преобразование Фурье

В математике , А преобразование Фурье ( FT ) представляет собой математическое преобразование , что разлагает функции в зависимости от места или времени в функцию в зависимости от пространственной или временной частоты, таких как выражение музыкального аккорда с точкой зрения объемов и частот составляющих его нот. Термин преобразование Фурье относится как к представлению в частотной области, так и к математической операции, которая связывает представление частотной области с функцией пространства или времени.

Преобразование Фурье функции времени - это комплексная функция частоты, величина ( абсолютное значение ) которой представляет количество этой частоты, присутствующей в исходной функции, и аргументом которой является фазовый сдвиг основной синусоиды на этой частоте. Преобразование Фурье не ограничивается функциями времени, но область исходной функции обычно называется временной областью . Существует также обратное преобразование Фурье, которое математически синтезирует исходную функцию из ее представления в частотной области, что доказано теоремой об обращении Фурье .

Линейные операции, выполняемые в одной области (время или частота), имеют соответствующие операции в другой области, которые иногда легче выполнить. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту ^{[примечание 1],} поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Кроме того, свертка во временной области соответствует обычному умножению в частотной области (см. Теорему о свертке ). После выполнения желаемых операций преобразование результата может быть выполнено обратно во временную область. Гармонический анализэто систематическое изучение взаимосвязи между частотной и временной областями, включая виды функций или операций, которые «проще» в том или ином, и имеет глубокие связи со многими областями современной математики.

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, распределенные по частотной области, и наоборот, явление, известное как принцип неопределенности . Критический случай для этого принципа является функцией Гаусса , существенного значения в теории вероятностей и статистике , а также в изучении физических явлений , демонстрирующих нормальное распределение (например, диффузия ). Преобразование Фурье функции Гаусса - это еще одна функция Гаусса. Джозеф Фурье ввел преобразование в свое исследование теплопередачи , где гауссовские функции появляются как решенияуравнение теплопроводности .

Преобразование Фурье можно формально определить как несобственный интеграл Римана , что делает его интегральным преобразованием , хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования. ^{[примечание 2]} Например, многие относительно простые приложения используют дельта-функцию Дирака , которую формально можно рассматривать как функцию, но для обоснования требуется более сложная математическая точка зрения. ^{[замечание 3]} Преобразование Фурье также может быть обобщено на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве, переводя функцию трехмерного «позиционного пространства» в функцию трехмерногоимпульс (или функция пространства и времени в зависимости от 4-импульса ). Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным при изучении волн, а также в квантовой механике , где важно иметь возможность представлять волновые решения как функции либо положения, либо импульса, а иногда и того и другого. В общем, функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплексными и, возможно, векторнозначными . ^{[Замечание 4]} Тем не менее дальнейшее обобщение можно функции на группы , которые, помимо первоначального преобразования Фурье на ℝ или ℝ ^н (рассматриваются в качестве групп в рамках того), в частности , включает в себядискретное время преобразования Фурье (ДВПФ, группа = ℤ ), то дискретное преобразование Фурье (DFT, группа = ℤ мод N ) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S 1 , единичный круг ≈ закрыт конечный интервал с концами определенных ). Последний обычно используется для обработки периодических функций . Быстрого преобразования Фурье (БПФ) представляет собой алгоритм для вычисления ДПФ.

Определение [ править ]

Преобразование Фурье функции f традиционно обозначается добавлением циркумфлекса к символу функции. Существует несколько общих соглашений для определения преобразования Фурье интегрируемой функции . ^{[1] [2]} Один из них${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \ e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} \, dx,}$

( Уравнение 1 )

для любого действительного числа ξ .

Причиной отрицательного знака в показателе является то , что оно является общим в области электротехники , чтобы представить с помощью сигнала с нулевой начальной фазой и частотой ^{[3] [Замечание 5]} Отрицательный знак конвенции вызывает продукт быть 1 (частота равна нулю) , когда заставляя интеграл расходиться. Результатом является дельта-функция Дирака при , которая является единственной частотной составляющей синусоидального сигнала.${\ Displaystyle е (х) = е ^ {2 \ пи я \ хи _ {0} х}}$${\ displaystyle \ xi _ {0}.}$${\ Displaystyle е ^ {2 \ пи я \ хи _ {0} х} е ^ {- 2 \ пи я \ хи х}}$${\ Displaystyle \ xi = \ xi _ {0},}$${\ Displaystyle \ xi = \ xi _ {0}}$${\ displaystyle e ^ {2 \ pi i \ xi _ {0} x}.}$

Когда независимая переменная x представляет время , переменная преобразования ξ представляет частоту (например, если время измеряется в секундах, тогда частота в герцах ). При подходящих условиях f определяется через обратное преобразование:${\ displaystyle {\ hat {f}}}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (\ xi) \ e ^ {2 \ pi ix \ xi} \, d \ xi,}$

( Уравнение 2 )

для любого действительного числа  x .

Утверждение , что е может быть восстановлен из известен как теорема инверсии Фурье , и был впервые представлен в Фурье аналитической теории теплоты , ^{[4] [5 нет]} , хотя то , что будет рассматриваться как доказательство по современным меркам не было дано намного позже. ^{[6] [7]} Функции f и часто называют интегральной парой Фурье или парой преобразований Фурье . ^[8]${\ displaystyle {\ hat {f}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {f}}}$

Другие общепринятые условные обозначения и обозначения, включая использование угловой частоты ω вместо частоты ξ , см. В разделе « Другие условные обозначения и другие обозначения» ниже. Преобразование Фурье в евклидовом пространстве рассматривается отдельно, в котором переменная x часто представляет положение и импульс ξ . Эти конвенции , выбранные в этой статье, гармонического анализа , и характеризуются как единственные конвенции , такие , что преобразование Фурье является одновременно унитарной на L ² и алгебры гомоморфизм из L ¹ , чтобыL ^∞ , без перенормировки меры Лебега. ^[9]

Существует много других характеристик преобразования Фурье. Например, используется теорема Стоуна – фон Неймана : преобразование Фурье является единственным унитарным сплетником для симплектического и евклидова представлений Шредингера группы Гейзенберга .

История [ править ]

В 1822 году Джозеф Фурье показал, что некоторые функции можно записать в виде бесконечной суммы гармоник. ^[10]

Введение [ править ]

Одна из причин для преобразования Фурье исходит из изучения рядов Фурье . При изучении рядов Фурье сложные, но периодические функции записываются как сумма простых волн, математически представленных синусами и косинусами . Преобразование Фурье - это расширение ряда Фурье, которое получается, когда период представленной функции удлиняется и приближается к бесконечности . ^[11]

Благодаря свойствам синуса и косинуса, можно восстановить амплитуду каждой волны в ряду Фурье с помощью интеграла. Во многих случаях желательно использовать формулу Эйлера , которая утверждает, что e ^{2π iθ} = cos (2π θ ) + i sin (2π θ ) , чтобы записать ряд Фурье в терминах основных волн e ^{2π iθ} . Это имеет то преимущество, что упрощает многие из используемых формул и обеспечивает формулировку рядов Фурье, которая более похожа на определение, приведенное в этой статье. Переписываем синусы и косинусы как комплексные экспонентыделает необходимым, чтобы коэффициенты Фурье были комплексными. Обычная интерпретация этого комплексного числа состоит в том, что оно дает как амплитуду (или размер) волны, присутствующей в функции, так и фазу (или начальный угол) волны. Эти комплексные экспоненты иногда содержат отрицательные «частоты». Если θ измеряется в секундах, то обе волны e ^{2π iθ} и e ^{−2π iθ} завершают один цикл в секунду, но они представляют разные частоты в преобразовании Фурье. Следовательно, частота больше не измеряет количество циклов в единицу времени, но по-прежнему тесно связана.

Существует тесная связь между определением ряда Фурье и преобразованием Фурье для функций f , равных нулю вне интервала. Для такой функции мы можем вычислить ее ряд Фурье на любом интервале, который включает точки, где f не является тождественным нулем. Для такой функции также определено преобразование Фурье. По мере увеличения длины интервала, в котором мы вычисляем ряд Фурье, коэффициенты ряда Фурье начинают напоминать преобразование Фурье, а сумма ряда Фурье функции f начинает напоминать обратное преобразование Фурье. Точнее, предположим, что T достаточно велико, чтобы интервал [-Т/2, Т/2] содержит интервал, в котором f не равно нулю тождественно. Тогда коэффициент c _n n- го ряда определяется как:

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} f (x) \ , e ^ {- 2 \ pi i \ left ({\ frac {n} {T}} \ right) x} \, dx.}$

Сравнивая это с определением преобразования Фурье, следует, что:

${\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} {\ hat {f}} \ left ({\ frac {n} {T}} \ right)}$

поскольку f  ( x ) равен нулю вне [-Т/2, Т/2] . Таким образом, коэффициенты Фурье равны значениям преобразования Фурье, выбранным на сетке шириной1/Т, умноженное на ширину сетки 1/Т.

При соответствующих условиях ряд Фурье функции f будет равен функции f . Другими словами, f можно записать:

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} \, e ^ {2 \ pi i \ left ({\ frac {n} {T}} \ справа) x} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {f}} (\ xi _ {n}) \ e ^ {2 \ pi i \ xi _ {n} x } \ Delta \ xi,}$

где последняя сумма - это просто первая сумма, переписанная с использованием определений ξ _n =п/Т, и Δ ξ =п + 1/Т - п/Т знак равно 1/Т.

Эта вторая сумма представляет собой сумму Римана . Если позволить T → ∞, он сходится к интегралу для обратного преобразования Фурье, как указано выше. При подходящих условиях этот аргумент можно уточнить. ^[12]

При изучении рядов Фурье числа c _n можно рассматривать как «количество» волны, присутствующей в ряду Фурье f . Точно так же, как показано выше, преобразование Фурье можно рассматривать как функцию, которая измеряет, сколько каждой отдельной частоты присутствует в нашей функции f , и мы можем рекомбинировать эти волны, используя интеграл (или «непрерывную сумму»), чтобы воспроизвести исходная функция.

Пример [ править ]

На следующих рисунках наглядно показано, как преобразование Фурье измеряет, присутствует ли частота в конкретной функции. Изображенная функция f  ( t ) = cos (6π t ) e ^{−π t 2} колеблется с частотой 3  Гц (если t измеряет секунды) и быстро стремится к 0. (Второй фактор в этом уравнении - это огибающая функция, которая формирует непрерывную синусоиду. в короткий импульс (общий вид - функция Гаусса ). Эта функция была специально выбрана, чтобы иметь реальное преобразование Фурье, которое можно легко построить. Первое изображение содержит его график. Чтобы вычислить, мы должны проинтегрировать${\ displaystyle {\ hat {f}} (3)}$е − ^{2π i (3 t )} f  ( t ) . На втором изображении показан график реальной и мнимой частей этой функции. Действительная часть подынтегрального выражения почти всегда положительна, потому что, когда f  ( t ) отрицательна, действительная часть e ^{−2π i (3 t ) также} отрицательна. Поскольку они колеблются с одинаковой скоростью, когда f  ( t ) положительна, то же самое и действительная часть e ^{−2π i (3 t )}. В результате, когда вы интегрируете действительную часть подынтегрального выражения, вы получаете относительно большое число (в данном случае1/2). С другой стороны, когда вы пытаетесь измерить частоту, которой нет, как в случае, когда мы смотрим на нее , вы видите, что и реальная, и мнимая составляющие этой функции быстро меняются между положительными и отрицательными значениями, как показано на третьем графике. изображение. Следовательно, в этом случае подынтегральная функция колеблется достаточно быстро, так что интеграл очень мал, а значение преобразования Фурье для этой частоты почти равно нулю.${\ displaystyle {\ hat {f}} (5)}$

Общая ситуация может быть немного сложнее, но по духу преобразование Фурье измеряет, сколько отдельной частоты присутствует в функции f  ( t ) .

• Исходная функция, показывающая колебания 3 Гц.

• Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье на частоте 3 Гц

• Действительная и мнимая части подынтегрального выражения для преобразования Фурье при 5 Гц

• Величина преобразования Фурье с пометкой 3 и 5 Гц.

Свойства преобразования Фурье [ править ]

Здесь мы предполагаем, что f  ( x ) , g ( x ) и h ( x ) - интегрируемые функции : измеримые по Лебегу на вещественной прямой, удовлетворяющие следующим условиям:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | f (x) | \, dx <\ infty.}$

Обозначим преобразования Фурье этих функций как f̂  ( ξ ) , ĝ ( ξ ) и ĥ ( ξ ) соответственно.

Основные свойства [ править ]

Преобразование Фурье обладает следующими основными свойствами: ^[13]

Линейность [ править ]

Для любых комплексных чисел a и b , если h ( x ) = af  ( x ) + bg ( x ) , то ĥ ( ξ ) = a · f̂  ( ξ ) + b · ĝ ( ξ ) .

Перевод / сдвиг во времени [ править ]

Для любого действительного числа x ₀ , если h ( x ) = f  ( x - x ₀ ) , то ĥ ( ξ ) = e ^{−2π ix ₀ ξ} f̂  ( ξ ) .

Модуляция / сдвиг частоты [ править ]

Для любого действительного числа ξ ₀ , если h ( x ) = e ^{2π ixξ ₀} f  ( x ) , то ĥ ( ξ ) = f̂  ( ξ - ξ ₀ ) .

Масштабирование времени [ править ]

Для ненулевого действительного числа a , если h ( x ) = f  ( ax ) , то

${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {| a |}} {\ hat {f}} \ left ({\ frac {\ xi} {a}} \ right ).}$

Случай a = −1 приводит к свойству обращения времени , которое гласит: если h ( x ) = f  (- x ) , то ĥ ( ξ ) = f̂  (- ξ ) .

Спряжение [ править ]

Если h ( x ) = f  ( x ) , то

${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ overline {{\ hat {f}} (- \ xi)}}.}$

В частности, если f действительно, то выполняется условие реальности

${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}},}$

то есть f̂ - эрмитова функция . И если f чисто мнимое, то

${\ displaystyle {\ hat {f}} (- \ xi) = - {\ overline {{\ hat {f}} (\ xi)}}.}$

Реальная и мнимая части времени [ править ]

• Если , то .${\ Displaystyle ч (х) = \ Re {(е (х))}}$${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ hat {f}} (\ xi) + {\ overline {{\ hat {f}) } (- \ xi)}} \ right)}$
• Если , то .${\ Displaystyle ч (х) = \ Im {(е (х))}}$${\ displaystyle {\ hat {h}} (\ xi) = {\ frac {1} {2i}} \ left ({\ hat {f}} (\ xi) - {\ overline {{\ hat {f}) } (- \ xi)}} \ right)}$

Интеграция [ править ]

Подставляя ξ = 0 в определение, получаем

${\ displaystyle {\ hat {f}} (0) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx.}$

То есть вычисление преобразования Фурье в начале координат ( ξ = 0 ) равно интегралу от f по всей его области.

Обратимость и периодичность [ править ]

При подходящих условиях на функцию f ее можно восстановить с помощью ее преобразования Фурье . В самом деле, обозначая оператор преобразования Фурье через F , так что F (  f  ): = f̂ , то для подходящих функций двойное применение преобразования Фурье просто переворачивает функцию: F ² (  f  ) ( x ) = f  (- x ) , что можно интерпретировать как «время обращения вспять». Поскольку время обращения двухпериодично, применение этого дважды дает F ⁴ (  f  ) = f${\ displaystyle {\ hat {f}}}$, поэтому оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим, и аналогичным образом обратное преобразование Фурье может быть получено путем трехкратного применения преобразования Фурье: F ³ (  f̂  ) = f . В частности, преобразование Фурье обратимо (при подходящих условиях).

Точнее, определяя оператор четности P , инвертирующий время, P [  f  ]: t ↦ f  (- t ) :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} ^ {0} & = \ mathrm {Id}, \ quad {\ mathcal {F}} ^ {1} = {\ mathcal {F}}, \\ {\ mathcal {F}} ^ {2} & = {\ mathcal {P}}, \ quad {\ mathcal {F}} ^ {3} = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {P}} \ circ {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}} \ circ {\ mathcal {P}}, \\ {\ mathcal {F}} ^ {4} & = \ mathrm {идентификатор} \ end {выровненный}}}$

Эти равенства операторов требуют тщательного определения рассматриваемого пространства функций, определения равенства функций (равенства в каждой точке? Равенства почти всюду ?) И определения равенства операторов, то есть определения топологии на функциональном пространстве и пространстве операторов в вопрос. Это верно не для всех функций, но верно при различных условиях, которые являются содержанием различных форм теоремы обращения Фурье .

Эта четырехкратная периодичность преобразования Фурье аналогична повороту плоскости на 90 °, особенно потому, что двукратная итерация приводит к переворачиванию, и фактически эта аналогия может быть сделана точной. В то время как преобразование Фурье можно просто интерпретировать как переключение временной области и частотной области, с обратным преобразованием Фурье, переключающим их обратно, более геометрически его можно интерпретировать как поворот на 90 ° в частотно-временной области (рассматривая время как ось x и частота как ось y ), а преобразование Фурье можно обобщить до дробного преобразования Фурье , которое включает повороты на другие углы. В дальнейшем это можно обобщить на линейные канонические преобразования, которая может быть визуализирована как действие специальной линейной группы SL 2 ( time ) на частотно-временной плоскости с сохраненной симплектической формой, соответствующей принципу неопределенности , ниже. Этот подход особенно изучается при обработке сигналов при частотно-временном анализе .

Единицы и двойственность [ править ]

В математике часто не думают, что какие-либо единицы связаны с двумя переменными t и ξ . Но в физических приложениях ξ должен иметь единицы, обратные единицам t . Например, если t измеряется в секундах, ξ должно быть в циклах в секунду, чтобы приведенные здесь формулы были действительными. Если масштаб t изменяется и t измеряется в единицах 2 π секунд, то либо ξ должно быть в так называемой « угловой частоте », либо нужно ввести некоторый постоянный масштабный коэффициент в некоторые формулы. Если t измеряется в единицах длины, тоξ должно иметь обратную длину, например волновые числа . То есть есть две копии реальной линии: одна измеряется в одном наборе единиц, где t находится в диапазоне, а другая - в единицах, обратных единицам t , и которая является диапазоном ξ . Итак, это две разные копии настоящей линии, и их нельзя отождествить друг с другом. Следовательно, преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое пространство функций: функции, которые имеют другую область определения.

В общем, ξ всегда следует рассматривать как линейную форму на пространстве t s, то есть вторая действительная линия является двойственным пространством первой действительной прямой. См. Статью о линейной алгебре для более формального объяснения и более подробной информации. Эта точка зрения становится существенной при обобщениях преобразования Фурье на общие группы симметрии , включая случай рядов Фурье.

Что не существует одного предпочтительного способа (часто говорят «не канонический») для сравнения двух копий реальной линии, которые участвуют в преобразовании Фурье - фиксация единиц на одной строке не приводит к изменению масштаба единиц измерения. другая строка - причина множества конкурирующих соглашений по определению преобразования Фурье. Различные определения, полученные в результате различного выбора единиц, различаются разными константами. Если единицы t - секунды, а единицы ξ - угловая частота, то переменная угловой частоты часто обозначается той или иной греческой буквой, например, ω = 2π ξ довольно распространено. Таким образом (написав x̂ ₁ для альтернативного определения и x̂ для определения, принятого в этой статье)

${\ displaystyle {\ hat {x}} _ {1} (\ omega) = {\ hat {x}} \ left ({\ frac {\ omega} {2 \ pi}} \ right) = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- i \ omega t} \, dt}$

как и раньше, но соответствующая альтернативная формула обращения должна быть

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {x}} _ {1} (\ omega) e ^ {it \ omega} \, d \ omega.}$

Чтобы иметь что-то, связанное с угловой частотой, но с большей симметрией между преобразованием Фурье и формулой обращения, очень часто можно увидеть еще одно альтернативное определение преобразования Фурье с коэффициентом √ 2 π , таким образом

${\displaystyle {\hat {x}}_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i\omega t}\,dt,}$

и соответствующая формула обращения тогда должна быть

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {x}}_{2}(\omega )e^{it\omega }\,d\omega .}$

В некоторых необычных соглашениях, таких как те, которые используются командой FourierTransform языка Wolfram Language , преобразование Фурье имеет i в экспоненте вместо - i , и наоборот в формуле инверсии. Многие тождества, включающие преобразование Фурье, остаются в силе в этих соглашениях при условии, что все термины, которые явно подразумевают i , заменены на - i .

Например, в теории вероятностей, характеристическая функция φ функции плотности вероятности F случайной величины X непрерывного типа определяется без отрицательного знака в экспоненте, и так как единицы х игнорируются, нет 2 π либо :

${\displaystyle \phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.}$

(В теории вероятностей и в математической статистике использование преобразования Фурье-Стилтьеса является предпочтительным, потому что так много случайных величин не относятся к непрерывному типу и не обладают функцией плотности, и нужно рассматривать не функции, а распределения , т. Е. , меры, содержащие «атомы».)

С более высокой точки зрения групповых характеров , которая является гораздо более абстрактной, все эти произвольные выборы исчезают, как будет объяснено в следующем разделе этой статьи, в котором рассматривается понятие преобразования Фурье функции на локально компактном абелевом элементе. группа .

Равномерная непрерывность и лемма Римана – Лебега [ править ]

Преобразование Фурье может быть определено в некоторых случаях для неинтегрируемых функций, но преобразования Фурье интегрируемых функций обладают несколькими сильными свойствами.

Преобразование Фурье F любой интегрируемой функции F является равномерно непрерывна и ^[14]

${\displaystyle \left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$

По лемме Римана-Лебега , ^[15]

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$

Однако не обязательно быть интегрируемым. Например, преобразование Фурье прямоугольной функции , которая является интегрируемой, является функцией sinc , которая не является интегрируемой по Лебегу , потому что ее несобственные интегралы ведут себя аналогично чередующимся гармоническим рядам , сходясь к сумме, не будучи абсолютно сходящейся .${\displaystyle {\hat {f}}}$

Обычно невозможно записать обратное преобразование в виде интеграла Лебега . Однако, когда и f, и интегрируемы, обратное равенство${\displaystyle {\hat {f}}}$

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi }$

держится почти везде . То есть преобразование Фурье инъективно на L 1 ( ℝ ) . (Но если f непрерывна, то равенство выполняется для любого x .)

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля [ править ]

Пусть f  ( x ) и g ( x ) интегрируемы, а f̂  ( ξ ) и ĝ ( ξ ) - их преобразования Фурье. Если f  ( x ) и g ( x ) также интегрируемы с квадратом , то формула Парсеваля следует: ^[16]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$

где черта обозначает комплексное сопряжение .

Теорема Планшереля , вытекающая из вышеизложенного, утверждает, что ^[17]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$

Теорема Планшереля позволяет расширить преобразование Фурье, с помощью аргумента непрерывности, к унитарному оператору на L ² ( ℝ ) . На L ¹ ( ℝ ) L ² ( ℝ ) это расширение согласуется с исходным преобразованием Фурье, определенным на L ¹ ( ℝ ) , тем самым расширяя область преобразования Фурье до L ¹ ( ℝ ) + L ² ( ℝ ) (и следовательно, L ^p ( ℝ )для 1 ≤ p ≤ 2 ). Теорема Планшереля имеет научную интерпретацию, согласно которой преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины. Терминология этих формул не совсем стандартизирована. Теорема Парсеваля была доказана только для рядов Фурье и впервые была доказана Ляпуновым. Но формула Парсеваля имеет смысл и для преобразования Фурье, и поэтому, хотя в контексте преобразования Фурье она была доказана Планшерелем, ее все еще часто называют формулой Парсеваля, соотношением Парсеваля или даже теоремой Парсеваля.

См. Двойственность Понтрягина для общей формулировки этого понятия в контексте локально компактных абелевых групп.

Формула суммирования Пуассона [ править ]

Формула суммирования Пуассона (PSF) - это уравнение, которое связывает коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье функции. Формула суммирования Пуассона говорит, что для достаточно регулярных функций f ,

${\displaystyle \sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).}$

Он имеет множество полезных форм, которые являются производными от основной путем применения свойств масштабирования и сдвига во времени преобразования Фурье. У формулы есть приложения в технике, физике и теории чисел . Частотная область, двойственная стандартной формуле суммирования Пуассона, также называется преобразованием Фурье с дискретным временем .

Суммирование Пуассона обычно связано с физикой периодических сред, таких как теплопроводность по окружности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности на окружности называется тета-функцией . Он используется в теории чисел для доказательства свойств преобразования тета-функций, которые оказываются типом модулярной формы , и в более общем плане связан с теорией автоморфных форм, где он появляется на одной стороне формулы следа Сельберга .

Дифференциация [ править ]

Предположим, что f  ( x ) - абсолютно непрерывная дифференцируемая функция, а функция f и ее производная f ′ интегрируемы. Тогда преобразование Фурье производной дается выражением

${\displaystyle {\widehat {f'\;}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).}$

В более общем смысле преобразование Фурье n- й производной f ^{( n )} дается выражением

${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )=(2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi ).}$

Применяя преобразование Фурье и используя эти формулы, некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в алгебраические уравнения, которые намного проще решить. Эти формулы также приводят к практическому правилу « f  ( x ) является гладким тогда и только тогда, когда f̂  ( ξ ) быстро падает до 0 при | ξ | → ∞ ». Используя аналогичные правила для обратного преобразования Фурье, можно также сказать, что « f  ( x ) быстро падает до 0 при | x | → ∞ тогда и только тогда, когда f̂  ( ξ ) гладко ".

Теорема свертки [ править ]

Преобразование Фурье выполняет преобразование между сверткой и умножением функций. Если f  ( x ) и g ( x ) - интегрируемые функции с преобразованиями Фурье f̂  ( ξ ) и ĝ ( ξ ) соответственно, то преобразование Фурье свертки дается произведением преобразований Фурье f̂  ( ξ ) и ĝ ( ξ ) (при других соглашениях для определения преобразования Фурье может появиться постоянный множитель).

Это означает, что если:

${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$

где ∗ обозначает операцию свертки, тогда:

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$

В линейное время теории инвариантов системы (LTI) , он является общим для интерпретации г ( х ) в качестве импульсного отклика от системы LTI с входным F  ( х ) и выходной ч ( х ) , так как подставив единичный импульс для F  ( х ) дает h ( x ) = g ( x ) . В этом случае ĝ ( ξ ) представляет собой частотную характеристику системы.

И наоборот, если f  ( x ) можно разложить как произведение двух суммируемых с квадратом функций p ( x ) и q ( x ) , то преобразование Фурье функции f  ( x ) задается сверткой соответствующих преобразований Фурье p̂ ( ξ ) и q̂ ( ξ ) .

Теорема взаимной корреляции [ править ]

Аналогичным образом, можно показать , что если ч ( х ) является кросс-корреляции из F  ( х ) и г ( х ) :

${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$

тогда преобразование Фурье h ( x ) :

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\cdot {\hat {g}}(\xi ).}$

В частном случае автокорреляция функции f  ( x ) равна:

${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$

для которого

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$

Собственные функции [ править ]

Одним из важного выбора ортонормированных для L 2 ( ℝ ) задаются функции Эрмита

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$

где He _n ( x ) - "вероятностные" многочлены Эрмита , определяемые как

${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

Согласно этому соглашению для преобразования Фурье, мы имеем, что

${\displaystyle {\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi )}$.

Другими словами, функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций для преобразования Фурье на L ² ( ℝ ) . ^[13] Однако такой выбор собственных функций не единственен. Есть только четыре различных собственных значения преобразования Фурье (± 1 и ± i ), и любая линейная комбинация собственных функций с одним и тем же собственным значением дает другую собственную функцию. Вследствие этого можно разложить L ² ( ℝ ) как прямую сумму четырех пространств H ₀ , H ₁ , H₂ и H _3, где преобразование Фурье действует на He _k простым умножением на i ^k .

Поскольку полный набор функций Эрмита обеспечивает разрешение тождества, преобразование Фурье может быть представлено такой суммой членов, взвешенных указанными выше собственными значениями, и эти суммы могут быть явно просуммированы. Этот подход к определению преобразования Фурье был впервые применен Норбертом Винером . ^[18] Среди других свойств функции Эрмита экспоненциально быстро убывают как в частотной, так и во временной областях, и поэтому они используются для определения обобщения преобразования Фурье, а именно дробного преобразования Фурье, используемого в частотно-временном анализе. ^[19] В физике это преобразование было введено Эдвардом Кондоном . ^[20]

Связь с группой Гейзенберга [ править ]

Группа Гейзенберга определенная группа из унитарных операторов на гильбертовом пространстве L ² ( ℝ ) квадратично интегрируемых комплекснозначных функций ф на прямой, порожденное переводов ( Т _у F  ) ( х ) = е  ( х + у ) и умножением на e ^{2π ixξ} , ( M _ξ f  ) ( x ) = e ^{2π ixξ} f  (х ) . Эти операторы не коммутируют, так как их (групповой) коммутатор

${\displaystyle \left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{2\pi iy\xi }f(x)}$

которое является умножением на константу (не ^{зависящую} от x ) e ^{2π iyξ} ∈ U (1) ( круговая группа комплексных чисел с единичным модулем). Как абстрактная группа, группа Гейзенберга представляет собой трехмерную группу Ли троек ( x , ξ , z ) ∈ ℝ ² × U (1) с групповым законом

${\displaystyle \left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{2\pi i\left(x_{1}\xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).}$

Обозначим группу Гейзенберга H ₁ . Выше процедура описывает не только структуру группы, но также стандартное унитарное представление о H ₁ на гильбертовом пространстве, которое мы обозначим через р  : Н ₁ → B ( L ² ( ℝ )) . Определим линейный автоморфизм ℝ ² путем

${\displaystyle J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}}$

так что J ² = - я . Этот J можно продолжить до единственного автоморфизма H ₁ :

${\displaystyle j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-2\pi ix\xi }\right).}$

Согласно теореме Стоуна – фон Неймана унитарные представления ρ и ρ ∘ j унитарно эквивалентны, поэтому существует единственный сплетник W ∈ U ( L ² ( ℝ )) такой, что

${\displaystyle \rho \circ j=W\rho W^{*}.}$

Этот оператор W является преобразованием Фурье.

Многие стандартные свойства преобразования Фурье являются непосредственными следствиями этой более общей концепции. ^[21] Например, квадрат преобразования Фурье, W ² , является переплетением, связанным с J ² = - I , и поэтому мы имеем ( W ² f  ) ( x ) = f  (- x ) - отражение исходная функция f .

Сложный домен [ править ]

Интеграл для преобразования Фурье

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\xi t}f(t)\,dt}$

можно изучать при комплексных значениях его аргумента ξ . В зависимости от свойств f , это может вообще не сходиться с действительной оси, или оно может сходиться к сложной аналитической функции для всех значений ξ = σ + iτ или чего-то промежуточного. ^[22]

Теорема Пэли – Винера гласит, что функция f гладкая (т. Е. N раз дифференцируема для всех натуральных чисел n ) и имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда f̂  ( σ + iτ ) - голоморфная функция, для которой существует константа a > 0 такая что для любого целого числа п ≥ 0 ,

${\displaystyle \left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }}$

для некоторых постоянная C . (В этом случае f поддерживается на [- a , a ] .) Это можно выразить, сказав, что f̂ - это целая функция, которая быстро убывает по σ (при фиксированном τ ) и экспоненциально растет по τ (равномерно по σ ). ^[23]

(Если F не является гладким, но только L ² , утверждение остается в силе при условии , п = 0 . ^[24] ) Пространство таких функций комплексной переменной называется Пэли-Винера пространство. Эта теорема была обобщена на полупростые группы Ли . ^[25]

Если f поддерживается на полупрямой t ≥ 0 , то f называется «причинным», потому что функция импульсной характеристики физически реализуемого фильтра должна обладать этим свойством, поскольку никакое действие не может предшествовать его причине. Пэли и Винер показали, что тогда f̂ продолжается до голоморфной функции на комплексной нижней полуплоскости τ <0, которая стремится к нулю, когда τ стремится к бесконечности. ^[26] Обратное неверно, и неизвестно, как охарактеризовать преобразование Фурье причинной функции. ^[27]

Преобразование Лапласа [ править ]

Преобразование Фурье f̂  ( ξ ) связано с преобразованием Лапласа F ( s ) , которое также используется для решения дифференциальных уравнений и анализа фильтров .

Может случиться так, что функция f, для которой интеграл Фурье вообще не сходится на действительной оси, тем не менее имеет комплексное преобразование Фурье, определенное в некоторой области комплексной плоскости .

Например, если f  ( t ) имеет экспоненциальный рост, т. Е.

${\displaystyle \vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }}$

для некоторых констант C , a ≥ 0 , то ^[28]

${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,}$

сходящийся для всех 2π τ <- a , является двусторонним преобразованием Лапласа функции f .

Более обычная версия («односторонняя») преобразования Лапласа - это

${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$

Если f также является причинным, то

${\displaystyle {\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau ).}$

Таким образом, расширение преобразования Фурье на комплексную область означает, что оно включает преобразование Лапласа как частный случай - случай причинных функций - но с заменой переменной s = 2π iξ .

Инверсия [ править ]

Если f̂ является комплексно-аналитическим при a ≤ τ ≤ b , то

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ia)e^{2\pi i\xi t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +ib)e^{2\pi i\xi t}\,d\sigma }$

по интегральной теореме Коши . Следовательно, формула обращения Фурье может использовать интегрирование по разным линиям, параллельным действительной оси. ^[29]

Теорема: если f  ( t ) = 0 для t <0 и | f  ( t ) | < Ce ^{a | т |} для некоторых констант C , a > 0 , то

${\displaystyle f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\sigma +i\tau )e^{2\pi i\xi t}\,d\sigma ,}$

для любого τ <-а/2π.

Из этой теоремы следует формула обращения Меллина для преобразования Лапласа, ^[28]

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds}$

для любого b > a , где F ( s ) - преобразование Лапласа функции f  ( t ) .

Гипотезы можно ослабить, как и в результатах Карлеманом и Hunt, чтобы F  ( т ) е ^{- при} будучи L ¹ , при условии , что е имеет ограниченную вариацию в замкнутой окрестности т (ср теорема Дирихле-Дини ), то значение f в t берется как среднее арифметическое левого и правого пределов, и при условии, что интегралы взяты в смысле главных значений Коши. ^[30]

Также доступны версии L ² этих формул обращения. ^[31]

Преобразование Фурье на евклидовом пространстве [ править ]

Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном количестве измерений n . Как и в случае с одномерным случаем, существует множество соглашений. Для интегрируемой функции f  ( x ) в этой статье используется определение:

${\displaystyle {\hat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot {\boldsymbol {\xi }}}\,d\mathbf {x} }$

где x и ξ - n -мерные векторы , а x · ξ - скалярное произведение векторов. В качестве альтернативы, ξ можно рассматривать как принадлежащие к двойственному векторному пространству , в этом случае скалярного произведение становится сокращение от й и £ , обычно записываются в виде ⟨ х , £ , ⟩ .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\star }}$

Все перечисленные выше основные свойства сохраняются для n- мерного преобразования Фурье, как и теоремы Планшереля и Парсеваля. Когда функция интегрируема, преобразование Фурье по-прежнему равномерно непрерывно и выполняется лемма Римана – Лебега . ^[15]

Принцип неопределенности [ править ]

Вообще говоря, чем более сконцентрирована функция f  ( x ) , тем более растянутым должно быть ее преобразование Фурье f̂  ( ξ ) . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно рассматривать как утверждение: если мы сжимаем функцию по x , ее преобразование Фурье растягивается по ξ . Невозможно произвольно сконцентрировать одновременно функцию и ее преобразование Фурье.

Компромисс между сжатием функции и ее преобразованием Фурье можно формализовать в форме принципа неопределенности , рассматривая функцию и ее преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы в частотно-временной области : С точки зрения линейного канонического преобразования преобразование Фурье представляет собой поворот на 90 ° в частотно-временной области и сохраняет симплектическую форму .

Предположим, что f  ( x ) - интегрируемая и квадратично интегрируемая функция. Без ограничения общности предположим, что f  ( x ) нормирована:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.}$

Из теоремы Планшереля следует, что f̂  ( ξ ) также нормирована.

Разброс вокруг x = 0 может быть измерен дисперсией около нуля ^[32], определяемой формулой

${\displaystyle D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.}$

С точки зрения вероятности, это второй момент из | f  ( x ) | ² около нуля.

Принцип неопределенности гласит, что если f  ( x ) абсолютно непрерывна и функции x · f  ( x ) и f  ′ ( x ) интегрируемы с квадратом, то ^[13]

${\displaystyle D_{0}(f)D_{0}\left({\hat {f}}\right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$.

Равенство достигается только в случае

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\hat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}}$

где σ > 0 произвольно и C ₁ =⁴ √ 2/√ σтак что f является L ² -нормализованной. ^[13] Другими словами, где f - (нормализованная) функция Гаусса с дисперсией σ ² , центрированная в нуле, а ее преобразование Фурье - это функция Гаусса с дисперсией σ ⁻² .

Фактически это неравенство означает, что:

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}}$

для любых x ₀ , ξ ₀ ∈ ℝ . ^[12]

В квантовой механике , то импульс и положение волновых функции являются преобразование Фурье пара, чтобы в пределах фактора постоянная Планка . При правильном учете этой константы указанное выше неравенство становится утверждением принципа неопределенности Гейзенберга . ^[33]

Более сильный принцип неопределенности - это принцип неопределенности Хиршмана , который выражается как:

${\displaystyle H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\hat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$

где Н ( р ) является дифференциальной энтропии от функции плотности вероятности р ( х ) :

${\displaystyle H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx}$

где логарифмы могут быть в любом непротиворечивом основании. Равенство достигается для гауссиана, как и в предыдущем случае.

Синусоидальные и косинусные преобразования [ править ]

В первоначальной формулировке преобразования Фурье использовались не комплексные числа, а синусы и косинусы. Статистики и другие специалисты по-прежнему используют эту форму. Абсолютно интегрируемая функция f, для которой справедливо обращение Фурье, может быть разложена на истинные частоты (избегая отрицательных частот, которые иногда трудно интерпретировать физически ^[34] ) λ по формуле

${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .}$

Это называется разложением в виде тригонометрического интеграла или разложением интеграла Фурье. Коэффициенты функции a и b могут быть найдены с помощью вариантов косинусного преобразования Фурье и синусоидального преобразования Фурье (нормализации, опять же, не стандартизированы):

${\displaystyle a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt}$

и

${\displaystyle b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.}$

В более ранней литературе упоминаются две функции преобразования: косинусное преобразование Фурье a и синусоидальное преобразование Фурье b .

Функция f может быть восстановлена ​​из преобразования синуса и косинуса, используя

${\displaystyle f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .}$

вместе с тригонометрическими тождествами. Это называется интегральной формулой Фурье. ^{[28] [35] [36] [37]}

Сферические гармоники [ править ]

Обозначим множество однородных гармонических многочленов степени k на ℝ ⁿ через A _k . Множество A _k состоит из твердых сферических гармоник степени k . Сплошные сферические гармоники в высших измерениях играют ту же роль, что и полиномы Эрмита в размерности один. В частности, если f  ( x ) = e ^{−π | х | 2} P ( x ) для некоторого P ( x ) в A _k, то f̂  ( ξ ) = i ^{- k} f  ( ξ ) . Пусть множество H _k является замыканием в L ² ( ℝ ⁿ ) линейных комбинаций функций вида f  (| x |) P ( x ), где P ( x ) принадлежит A _k . Тогда пространство L ² ( ℝ ⁿ ) является прямой суммой пространств H _kи преобразование Фурье отображает каждое пространство H _k в себя и позволяет характеризовать действие преобразования Фурье на каждое пространство H _k . ^[15]

Пусть f  ( x ) = f ₀ (| x |) P ( x ) (с P ( x ) в A _k ), тогда

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )}$

куда

${\displaystyle F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.}$

Здесь J_{п + 2 к - 2/2}обозначает функцию Бесселя первого рода с порядкомп + 2 к - 2/2. Когда k = 0, это дает полезную формулу для преобразования Фурье радиальной функции. ^[38] По сути, это преобразование Ханкеля . Более того, существует простая рекурсия, связывающая случаи n + 2 и n ^[39], позволяющая вычислить, например, трехмерное преобразование Фурье радиальной функции из одномерной.

Проблемы с ограничениями [ править ]

В более высоких измерениях становится интересным изучение проблем с ограничениями для преобразования Фурье. Преобразование Фурье интегрируемой функции является непрерывным, и ограничение этой функции на любое множество определено. Но для функции, интегрируемой с квадратом, преобразование Фурье могло бы быть общим классом функций, суммируемых с квадратом. Таким образом, ограничение преобразования Фурье функции L ² ( ℝ ⁿ ) не может быть определено на множествах меры 0. Это все еще активная область изучения проблем ограничения в L ^p для 1 < p <2. Удивительно, но в некоторых случаях возможно определить ограничение преобразования Фурье на множество S , при условии, что S имеет ненулевую кривизну. Случай , когда S единичный шар в ℝ ^п представляет особый интерес. В этом случае теорема Томаса – Стейна об ограничении утверждает, что ограничение преобразования Фурье на единичную сферу в ℝ ⁿ является ограниченным оператором на L ^p при условии 1 ≤ p ≤2 п + 2/п + 3.

Одно заметное различие между преобразованием Фурье в одном измерении и в более высоком измерении касается оператора частичной суммы. Рассмотрим возрастающую коллекцию измеримых множеств Е _R , индексированных R ∈ (0, ∞) : таких , как шары радиуса R с центром в начале координат, или кубики со стороной 2 R . Для данной интегрируемой функции f рассмотрим функцию f _R, определенную следующим образом:

${\displaystyle f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Предположим дополнительно, что f ∈ L ^p ( ℝ ⁿ ) . Для n = 1 и 1 < p <∞ , если взять E _R = (- R , R ) , то f _R сходится к f в L ^p, когда R стремится к бесконечности, в силу ограниченности преобразования Гильберта . Наивно можно надеяться, что то же самое верно и для n > 1 . В случае, если E _R взять куб с длиной стороныR , то сходимость сохраняется. Другой естественный кандидат - евклидов шар E _R = { ξ  : | ξ | < R } . Чтобы этот оператор частичной суммы сходился, необходимо, чтобы множитель для единичного шара был ограничен в L ^p ( ℝ ⁿ ) . Для n ≥ 2 это знаменитая теорема Чарльза Феффермана о том, что множитель для единичного шара никогда не ограничен, если p = 2 . ^[18] Фактически, когда p ≠ 2 , это показывает, что не только f _Rне сходится к F в L ^р , но для некоторых функций F ∈ L ^р ( ℝ ^п ) , е _R еще не является элементом L ^р .

Преобразование Фурье в функциональных пространствах [ править ]

На пространствах L ^p [ править ]

На L ¹ [ править ]

Определение преобразования Фурье интегральной формулой

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-2\pi i\xi \cdot x}\,dx}$

справедливо для интегрируемых по Лебегу функций f ; то есть f ∈ L ¹ ( ℝ ⁿ ) .

Преобразование Фурье F  : L ¹ ( ℝ ⁿ ) → L ^∞ ( ℝ ⁿ ) является ограниченным оператором . Это следует из наблюдения, что

${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,}$

что показывает, что его операторная норма ограничена 1. В самом деле, она равна 1, что видно, например, из преобразования функции rect . Образ L ¹ - это подмножество пространства C ₀ ( ℝ ⁿ ) непрерывных функций, стремящихся к нулю на бесконечности ( лемма Римана – Лебега ), хотя это не все пространство. Действительно, простой характеристики изображения не существует.

На L ² [ править ]

Поскольку финитные гладкие функции интегрируемые и плотно в L ² ( ℝ ^п ) , то Планшерель теорема позволяет распространить определение преобразования Фурье общих функций в L ² ( ℝ ^п ) с помощью соображений непрерывности. Преобразование Фурье в L ² ( ℝ ^п ) больше не дается обычным интегралом Лебега, хотя она может быть вычислена с помощью несобственного интеграла , здесь это означает , что для L ² функции F ,

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,dx}$

где предел берется в L ² смысле. (В более общем смысле, вы можете взять последовательность функций, которые находятся на пересечении L ¹ и L ² и которая сходится к f в L ² -норме, и определить преобразование Фурье f как L ² -предел Фурье преобразования этих функций. ^[40] )

Многие из свойств преобразования Фурье в L ¹ переносится на L ² , с помощью соответствующего предельного аргумента.

Кроме того, F  : L ² ( ℝ ^п ) → L ² ( ℝ ^п ) является унитарным оператором . ^[41] Чтобы оператор был унитарным, достаточно показать, что он биективен и сохраняет скалярное произведение, поэтому в этом случае они следуют из теоремы об обращении Фурье в сочетании с тем фактом, что для любых f , g ∈ L ² ( ℝ ^п ) у нас есть

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.}$

В частности, изображение L ² ( ℝ ^п ) находится под себя преобразование Фурье.

На другом L ^p [ править ]

Определение преобразования Фурье можно расширить до функций в L ^p ( ℝ ⁿ ) для 1 ≤ p ≤ 2 , разложив такие функции на часть толстого хвоста в L ² плюс часть толстого тела в L ¹ . В каждом из этих пространств преобразование Фурье функции из L ^p ( ℝ ⁿ ) находится в L ^q ( ℝ ⁿ ) , где q =п/п - 1является гёльдеровым элементом p (по неравенству Хаусдорфа – Юнга ). Однако, за исключением p = 2 , изображение не так просто охарактеризовать. Дальнейшие расширения становятся более техническими. Преобразование Фурье функций из L ^p для диапазона 2 < p <∞ требует изучения распределений. ^[14] Фактически, можно показать, что в L ^p есть функции с p > 2, так что преобразование Фурье не определяется как функция. ^[15]

Закаленные дистрибутивы [ править ]

Можно было бы рассмотреть возможность расширения области преобразования Фурье с L ¹ + L ² , рассматривая обобщенные функции или распределения. Распределение по ℝ ^п представляет собой непрерывный линейный функционал на пространстве С _с ( ℝ ^п ) финитных гладких функций, снабженной подходящей топологии. Стратегия состоит в том, чтобы рассмотреть действие преобразования Фурье на C _c ( ℝ ⁿ ) и перейти к распределениям по двойственности. Препятствием к этому является то, что преобразование Фурье не отображает C _c (ℝ ⁿ ) в C _c ( ℝ ⁿ ) . Фактически преобразование Фурье элемента в C _c ( ℝ ⁿ ) не может обращаться в нуль на открытом множестве; см. выше обсуждение принципа неопределенности. Правое пространство здесь - это немного большее пространство функций Шварца . Преобразование Фурье является автоморфизмом на пространстве Шварца как топологическом векторном пространстве и, таким образом, индуцирует автоморфизм на его двойственном пространстве умеренных распределений. ^[15] К умеренным распределениям относятся все упомянутые выше интегрируемые функции, а также хорошо настроенные функции полиномиального роста и распределения компактного носителя.

Для определения преобразования Фурье умеренного распределения пусть f и g - интегрируемые функции, а f̂ и ĝ - их преобразования Фурье соответственно. Тогда преобразование Фурье подчиняется следующей формуле умножения, ^[15]

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\hat {g}}(x)\,dx.}$

Каждая интегрируемая функция f определяет (индуцирует) распределение T _f соотношением

${\displaystyle T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx}$

для всех функций Шварца φ . Таким образом, имеет смысл определить преобразование Фурье T̂ _f для T _{f следующим} образом:

${\displaystyle {\hat {T}}_{f}(\varphi )=T_{f}\left({\hat {\varphi }}\right)}$

для всех функций Шварца φ . Распространение этого на все умеренные распределения T дает общее определение преобразования Фурье.

Распределения можно дифференцировать, и упомянутая выше совместимость преобразования Фурье с дифференцированием и сверткой остается верной для умеренных распределений.

Обобщения [ править ]

Преобразование Фурье – Стилтьеса [ править ]

Преобразование Фурье конечной борелевской меры μ на ℝ ⁿ дается формулой ^[42]

${\displaystyle {\hat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \xi }\,d\mu .}$

Это преобразование по-прежнему обладает многими свойствами преобразования Фурье интегрируемых функций. Одно заметное отличие состоит в том, что лемма Римана – Лебега неверна для мер. ^[14] В случае, когда dµ = f  ( x ) dx , приведенная выше формула сводится к обычному определению преобразования Фурье функции f . В случае, когда μ - это распределение вероятностей, связанное со случайной величиной X , преобразование Фурье – Стилтьеса тесно связано с характеристической функцией , но типичные соглашения в теории вероятностей принимают e ^ixξ вместое − ^{2π ixξ} . ^[13] В случае, когда распределение имеет функцию плотности вероятности, это определение сводится к преобразованию Фурье, применяемому к функции плотности вероятности, опять же с другим выбором констант.

Преобразование Фурье можно использовать для характеристики мер. Теорема Бохнера характеризует, какие функции могут возникать при преобразовании Фурье – Стилтьеса положительной меры на окружности. ^[14]

Кроме того, дельта-функция Дирака , хотя и не функция, является конечной борелевской мерой . Его преобразование Фурье является постоянной функцией (конкретное значение которой зависит от формы используемого преобразования Фурье).

Локально компактные абелевы группы [ править ]

Преобразование Фурье можно обобщить на любую локально компактную абелеву группу. Локально компактная абелева группа - это абелева группа, которая в то же время является локально компактным хаусдорфовым топологическим пространством, так что групповая операция непрерывна. Если G - локально компактная абелева группа, у нее есть трансляционно-инвариантная мера μ , называемая мерой Хаара . Для локально компактной абелевой группы G множество неприводимых, т. Е. Одномерных, унитарных представлений называется ее характерами . Благодаря своей естественной групповой структуре и топологии поточечной сходимости множество характеров Ĝсама по себе локально компактная абелева группа, называемая Понтрягин двойной из G . Для функции f из L ¹ ( G ) ее преобразование Фурье определяется формулой ^[14]

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{G}\xi (x)f(x)\,d\mu \qquad {\text{for any }}\xi \in {\hat {G}}.}$

В этом случае верна лемма Римана – Лебега; f̂  ( ξ ) - функция, обращающаяся в нуль на бесконечности на Ĝ .

Преобразование Фурье на T = R / Z является примером; здесь T - локально компактная абелева группа, и меру Хаара μ на T можно рассматривать как меру Лебега на [0,1). Рассмотрим представление T на комплексной плоскости C, которое является одномерным комплексным векторным пространством. Есть группа представлений (которые неприводимы, поскольку C 1-мерно), где для .${\displaystyle \{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}}$${\displaystyle e_{k}(x)=e^{2\pi ikx}}$${\displaystyle x\in T}$

Характер такого представления, то есть след каждого и , есть он сам. В случае представления конечной группы таблица характеров группы G - это строки векторов, каждая из которых является характером одного неприводимого представления группы G , и эти векторы образуют ортонормированный базис пространства функций классов, отображаемых из G в C по лемме Шура. Теперь группа T больше не конечна, но по-прежнему компактна и сохраняет ортонормированность таблицы характеров. Каждая строка таблицы является функцией от и скалярное произведение между двумя функциями класса (все функции являются функциями класса так${\displaystyle e_{k}(x)}$${\displaystyle x\in T}$${\displaystyle k\in Z}$${\displaystyle e^{2\pi ikx}}$${\displaystyle e_{k}(x)}$${\displaystyle x\in T,}$T абелева) f , определяется как с нормирующим множителем Последовательность является ортонормированным базисом пространства функций классов${\displaystyle g\in L^{2}(T,d\mu )}$${\displaystyle <f,g>={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$${\displaystyle |T|=1.}$${\displaystyle \{e_{k}\mid k\in Z\}}$${\displaystyle L^{2}(T,d\mu ).}$

Для любого представления V конечной группы G , может быть выражено как промежуток ( являются нерепами группы G ), st . Аналогично для и , . Двойственное по Понтрягину есть и для , является его преобразованием Фурье для .${\displaystyle \chi _{v}}$${\displaystyle \sum _{i}<\chi _{v},\chi _{v_{i}}>\chi _{v_{i}}}$${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle <\chi _{v},\chi _{v_{i}}>={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)}$${\displaystyle G=T}$${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\hat {f}}(k)e_{k}}$${\displaystyle {\hat {T}}}$${\displaystyle \{e_{k}\}(k\in Z)}$${\displaystyle f\in L^{2}(T,d\mu )}$${\displaystyle {\hat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-2\pi iky}dy}$${\displaystyle e_{k}\in {\hat {T}}}$

Преобразование Гельфанда [ править ]

Преобразование Фурье также является частным случаем преобразования Гельфанда . В данном конкретном контексте это тесно связано с картой двойственности Понтрягина, определенной выше.

Для абелевой локально компактной топологической группы Хаусдорфа G , как и раньше, мы рассматриваем пространство L ¹ ( G ) , определенное с помощью меры Хаара. Со сверткой как умножением L ¹ ( G ) является абелевой банаховой алгеброй . Он также имеет инволюцию *, заданную формулой

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.}$

Принимая завершение в отношении к наибольшему возможно C * -норм дает его обволакивающее C * -алгебра, называется группа C * -алгебра C * ( G ) от G . (Любая C * -норма на L ¹ ( G ) ограничена нормой L ¹ , поэтому их супремум существует.)

Для любой абелевой C * -алгебры A преобразование Гельфанда дает изоморфизм между A и C ₀ ( A ^) , где A ^ - мультипликативные линейные функционалы, т. Е. Одномерные представления, на A со слабой * топологией. Карта просто дается

${\displaystyle a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}}$

Оказывается, что мультипликативные линейные функционалы от C * ( G ) после подходящей идентификации являются в точности характерами G , а преобразование Гельфанда, ограниченное плотным подмножеством L ¹ ( G ), является преобразованием Фурье – Понтрягина.

Компактные неабелевы группы [ править ]

Преобразование Фурье также может быть определено для функций на неабелевой группе при условии, что группа компактна . Убрав предположение, что основная группа является абелевой, неприводимые унитарные представления не всегда должны быть одномерными. Это означает, что преобразование Фурье на неабелевой группе принимает значения как операторы гильбертова пространства. ^[43] Преобразование Фурье на компактных группах является основным инструментом в теории представлений ^[44] и некоммутативном гармоническом анализе .

Пусть G - компактная хаусдорфова топологическая группа . Обозначим через Σ совокупность всех классов изоморфизма конечномерных неприводимых унитарных представлений вместе с определенным выбором представления U ^{( σ )} в гильбертовом пространстве H _σ конечной размерности d _σ для каждого σ ∈ Σ . Если μ - конечная борелевская мера на G , то преобразование Фурье – Стилтьеса для μ - это оператор на H _σ, определяемый формулой

${\displaystyle \left\langle {\hat {\mu }}\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle {\overline {U}}_{g}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g)}$

где U ^{( σ )} - комплексно-сопряженное представление U ^{( σ ),} действующее на H _σ . Если μ является абсолютно непрерывна относительно левоинвариантной вероятностной меры Л на G , представлены в

${\displaystyle d\mu =f\,d\lambda }$

для некоторого f ∈ L 1 ( λ ) преобразование Фурье функции f отождествляется с преобразованием Фурье – Стилтьеса функции μ .

Отображение

${\displaystyle \mu \mapsto {\hat {\mu }}}$

определяет изоморфизм между банаховым пространством M ( G ) конечных борелевских мер (см. пространство rca ) и замкнутым подпространством банахова пространства C _∞ (Σ), состоящим из всех последовательностей E = ( E _σ ), индексированных Σ из (ограниченных) линейные операторы E _σ  : H _σ → H _σ, для которых норма

${\displaystyle \|E\|=\sup _{\sigma \in \Sigma }\left\|E_{\sigma }\right\|}$

конечно. « Теорема свертки » утверждает, что, кроме того, этот изоморфизм банаховых пространств на самом деле является изометрическим изоморфизмом C * алгебр в подпространство C _∞ (Σ) . Умножение на M ( G ) задается сверткой мер и инволюцией *, определяемой равенством

${\displaystyle f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}},}$

и C _∞ (Σ) имеет естественную структуру C * -алгебры как операторы гильбертова пространства.

Питер-Вейль теорема имеет место и вариант формулы обращения Фурье ( теорема Планшереля ) следующим образом : если F ∈ L ² ( G ) , то

${\displaystyle f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\hat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right)}$

где суммирование понимается как сходящееся в смысле L ² .

Обобщение преобразования Фурье на некоммутативную ситуацию также частично способствовало развитию некоммутативной геометрии . ^{[ необходимая цитата ]} В этом контексте категориальным обобщением преобразования Фурье на некоммутативные группы является двойственность Таннаки – Крейна , которая заменяет группу характеров категорией представлений. Однако это теряет связь с гармоническими функциями.

Альтернативы [ править ]

С точки зрения обработки сигналов функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без частотной информации, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное частотное разрешение , но без информации о времени: величина преобразования Фурье в точке - это количество частот, но местоположение задается только фазой (аргумент преобразования Фурье в точке), а стоячие волны не локализуются во времени - синусоидальная волна продолжается до бесконечности, не затухая. Это ограничивает полезность преобразования Фурье для анализа сигналов, которые локализованы во времени, особенно переходных процессов , или любого сигнала конечной протяженности.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования или частотно-временные распределения для представления сигналов в форме, которая имеет некоторую информацию о времени и некоторую частотную информацию - по принципу неопределенности существует компромисс: выкл между ними. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье или дробное преобразование Фурье , или другие функции для представления сигналов, такие как вейвлет-преобразования и чирплет-преобразования , при этом вейвлет-аналогом (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывное вейвлет-преобразование . ^[19]

Приложения [ править ]

Анализ дифференциальных уравнений [ править ]

Возможно, наиболее важным применением преобразования Фурье является решение уравнений в частных производных . Так можно трактовать многие уравнения математической физики девятнадцатого века. Фурье исследовал уравнение теплопроводности, которое в одномерном и безразмерных единицах имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.}$

Пример, который мы приведем, чуть более сложный, - это волновое уравнение в одном измерении,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.}$

Как обычно, проблема не в том, чтобы найти решение: их бесконечно много. Проблема заключается в так называемой «краевой задаче»: найти решение, удовлетворяющее «граничным условиям».

${\displaystyle y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).}$

Здесь f и g - заданные функции. Для уравнения теплопроводности может потребоваться только одно граничное условие (обычно первое). Но для волнового уравнения по-прежнему существует бесконечно много решений y, удовлетворяющих первому граничному условию. Но когда накладываются оба условия, есть только одно возможное решение.

Проще найти преобразование Фурье ŷ решения, чем найти решение напрямую. Это связано с тем, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на двойственную по Фурье переменную, и поэтому уравнение в частных производных, применяемое к исходной функции, преобразуется в умножение на полиномиальные функции двойственных переменных, применяемых к преобразованной функции. После того, как сечение ■ определяется, мы можем применить обратное преобразование Фурье , чтобы найти у .

Метод Фурье заключается в следующем. Во-первых, обратите внимание, что любая функция форм

${\displaystyle \cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\mbox{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}}$

удовлетворяет волновому уравнению. Они называются элементарными решениями.

Во-вторых, заметим, что поэтому любой интеграл

${\displaystyle y(x,t)=\int _{0}^{\infty }a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right)\,d\xi }$

(для произвольных a ₊ , a _- , b ₊ , b _- ) удовлетворяет волновому уравнению. (Этот интеграл представляет собой разновидность непрерывной линейной комбинации, а уравнение является линейным.)

Теперь это напоминает формулу синтеза Фурье функции. Фактически, это реальное обратное преобразование Фурье для a _± и b _± по переменной x .

Третий шаг - изучить, как найти конкретные неизвестные функции коэффициентов a _± и b _± , которые приведут к удовлетворению y граничным условиям. Нас интересуют значения этих решений при t = 0 . Поэтому мы положим t = 0 . Предполагая, что условия, необходимые для обращения Фурье, выполнены, мы можем затем найти преобразования синуса и косинуса Фурье (по переменной x ) обеих сторон и получить

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}}$

и

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.}$

Точно так же, взяв производную y по t и затем применив преобразования синуса Фурье и косинуса, получим

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)}$

и

${\displaystyle 2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).}$

Это четыре линейных уравнения для четырех неизвестных a _± и b _± в терминах синусоидальных и косинусных преобразований Фурье граничных условий, которые легко решаются элементарной алгеброй при условии, что эти преобразования могут быть найдены.

Таким образом, мы выбрали набор элементарных решений, параметризованных ξ , из которых общее решение будет (непрерывной) линейной комбинацией в форме интеграла по параметру ξ . Но этот интеграл был в форме интеграла Фурье. Следующим шагом было выражение граничных условий через эти интегралы и приравнивание их к заданным функциям f и g . Но эти выражения также приняли форму интеграла Фурье из-за свойств преобразования Фурье производной. Последним шагом было использование обращения Фурье, применяя преобразование Фурье к обеим сторонам, получая таким образом выражения для коэффициентных функций a _± и b_± в терминах заданных граничных условий f и g .

С более высокой точки зрения процедуру Фурье можно переформулировать более концептуально. Поскольку есть две переменные, мы будем использовать преобразование Фурье как для x, так и для t, а не действовать, как это делал Фурье, который преобразовывал только пространственные переменные. Обратите внимание, что ŷ следует рассматривать в смысле распределения, поскольку y ( x , t ) не будет L ¹: как волна, она будет существовать во времени и, следовательно, не является временным явлением. Но оно будет ограниченным, и поэтому его преобразование Фурье можно определить как распределение. Операционные свойства преобразования Фурье, которые имеют отношение к этому уравнению, заключаются в том, что для него требуется дифференцирование по x для умножения на 2π iξ и дифференцирование по t для умножения на 2π, если где f - частота. Тогда волновое уравнение превращается в алгебраическое уравнение относительно :

${\displaystyle \xi ^{2}{\hat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\hat {y}}(\xi ,f).}$

Это эквивалентно требованию ŷ ( ξ , f  ) = 0, если ξ = ± f . Это сразу объясняет, почему сделанный нами ранее выбор элементарных решений сработал так хорошо: очевидно , что решениями будут f̂ = δ ( ξ ± f  ) . Применяя обращение Фурье к этим дельта-функциям, мы получаем выбранные ранее элементарные решения. Но с более высокой точки зрения, мы не выбираем элементарных решений, а скорее рассматриваем пространство всех распределений, которые поддерживаются на (вырожденной) конике ξ ² - f ² = 0 .

Мы также можем рассматривать распределения с носителем на конике, которые задаются распределениями одной переменной на прямой ξ = f плюс распределения на прямой ξ = - f следующим образом: если ϕ - любая пробная функция,

${\displaystyle \iint {\hat {y}}\phi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\phi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\phi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,}$

где s ₊ и s _- , - распределения одной переменной.

Тогда обращение Фурье дает для граничных условий нечто очень похожее на то, что мы имели более конкретно выше (положим ϕ ( ξ , f  ) = e ^{2π i ( xξ + tf  )} , что явно имеет полиномиальный рост):

${\displaystyle y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi }$

и

${\displaystyle {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}2\pi i\xi e^{2\pi i\xi x+0}\,d\xi .}$

Теперь, как и раньше, применение преобразования Фурье с одной переменной по переменной x к этим функциям от x приводит к двум уравнениям с двумя неизвестными распределениями s _± (которые можно принять за обычные функции, если граничные условия L ¹ или L ² ).

С вычислительной точки зрения недостатком, конечно же, является то, что нужно сначала вычислить преобразования Фурье граничных условий, затем собрать из них решение, а затем вычислить обратное преобразование Фурье. Формулы с закрытыми формулами встречаются редко, за исключением случаев, когда можно использовать некоторую геометрическую симметрию, а численные расчеты затруднены из-за колебательного характера интегралов, что делает сходимость медленной и затрудняет оценку. Для практических расчетов часто используются другие методы.

В двадцатом веке эти методы были распространены на все линейные дифференциальные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами, а также за счет расширения понятия преобразования Фурье, включая интегральные операторы Фурье, а также некоторые нелинейные уравнения.

Спектроскопия с преобразованием Фурье [ править ]

Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и в других видах спектроскопии , например инфракрасной ( FTIR ). В ЯМР сигнал экспоненциального затухания свободной индукции (FID) регистрируется во временной области и преобразуется Фурье в форму линии Лоренца в частотной области. Преобразование Фурье также используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии .

Квантовая механика [ править ]

Преобразование Фурье полезно в квантовой механике двумя разными способами. Начнем с того, что основная концептуальная структура квантовой механики постулирует существование пар дополнительных переменных , связанных принципом неопределенности Гейзенберга . Например, в одном измерении пространственная переменная q , скажем, частицы, может быть измерена только квантово-механическим « оператором положения » за счет потери информации об импульсе p частицы. Следовательно, физическое состояние частицы может быть описано либо функцией, называемой "волновой функцией", q или функцией p.но не функцией обеих переменных. Переменная p называется переменной, сопряженной с q . В классической механике физическое состояние частицы (существующее в одном измерении для простоты изложения) может быть задано путем одновременного присвоения определенных значений как p, так и q . Таким образом, набор всех возможных физических состояний представляет собой двумерное реальное векторное пространство с осью p и осью q, называемое фазовым пространством .

Напротив, квантовая механика выбирает поляризацию этого пространства в том смысле, что она выбирает подпространство размером в половину размерности, например, только ось q , но вместо того, чтобы рассматривать только точки, берет набор всех комплексных значений. «волновые функции» на этой оси. Тем не менее, выбор оси p является равнозначной поляризацией, приводящей к другому представлению набора возможных физических состояний частицы, которое связано с первым представлением преобразованием Фурье.

${\displaystyle \phi (p)=\int \psi (q)e^{2\pi i{\frac {pq}{h}}}\,dq.}$

Физически осуществимые состояния L ² , и поэтому по теореме Планшереля , их преобразования Фурье также L ² . (Обратите внимание, что, поскольку q выражается в единицах расстояния, а p - в единицах количества движения, наличие постоянной Планка в показателе степени делает показатель безразмерным , как и должно быть.)

Следовательно, преобразование Фурье можно использовать для перехода от одного способа представления состояния частицы с помощью волновой функции положения к другому способу представления состояния частицы: с помощью волновой функции количества движения. Возможно бесконечно много различных поляризаций, и все они одинаково действительны. Иногда бывает удобно преобразовывать состояния из одного представления в другое.

Другое использование преобразования Фурье как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля - решение применимого волнового уравнения. В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шредингера для изменяющейся во времени волновой функции в одномерном, не подверженном внешним силам, имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$

Это то же самое, что и уравнение теплопроводности, за исключением наличия мнимой единицы i . Для решения этого уравнения можно использовать методы Фурье.

При наличии потенциала, задаваемого функцией потенциальной энергии V ( x ) , уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).}$