Уравнение тепла

Анимированный график изменения температуры в квадратной металлической пластине согласно уравнению теплопроводности. Высота и покраснение указывают на температуру в каждой точке. В исходном состоянии имеется однородно горячая область в форме копыта (красный цвет), окруженная равномерно холодной областью (желтый цвет). Со временем тепло распространяется в холодную область.

В математике и физике , то уравнение теплопроводности определенное уравнение в частных производных . Решения уравнения теплопроводности иногда называют калорическими функциями . Теория уравнения теплопроводности была впервые разработана Джозефом Фурье в 1822 году с целью моделирования того, как такая величина, как тепло, распространяется через данную область.

Как прототип параболического уравнения в частных производных , уравнение теплопроводности является одной из наиболее широко изучаемых тем в чистой математике , и его анализ считается фундаментальным для более широкой области уравнений в частных производных . Уравнение теплопроводности также можно рассматривать на римановых многообразиях , что приводит к множеству геометрических приложений. Следуя работам Суббарамии Минакшисундарама и Оке Плейджеля , уравнение теплопроводности тесно связано со спектральной геометрией . Семенной нелинейный вариант уравнения теплопроводности был введен в дифференциальную геометрию с помощью Джеймса Иллсаи Джозеф Sampson в 1964 году, вдохновляя введение Риччей потока по Ричарду Гамильтон в 1982 году и привел к доказательству гипотезы Пуанкара по Григорию Перельману в 2003 году некоторых решений уравнения теплопроводности , известное как тепловые ядра обеспечивает тонкую информацию о регионе на которые они определены на примере их применения к теореме Атьи – Зингера об индексе . ^[1]

Уравнение теплопроводности, наряду с его вариантами, также важно во многих областях науки и прикладной математики . В теории вероятностей уравнение теплопроводности связано с изучением случайных блужданий и броуновского движения через уравнение Фоккера – Планка . Печально уравнение Блэк-Шоулз из финансовой математики небольшой вариант уравнения теплопроводности и уравнение Шредингера в квантовой механике можно рассматривать как уравнение теплопроводности в мнимое время . При анализе изображений уравнение теплопроводности иногда используется для разрешения пикселизации иопределить края . После того, как Роберт Рихтмайер и Джон фон Нейман представили методы «искусственной вязкости», решения уравнений теплопроводности стали полезными при математической формулировке гидродинамических ударов . Решениям уравнения теплопроводности также уделялось много внимания в литературе по численному анализу , начиная с 1950-х годов с работ Джима Дугласа, Д. У. Мирмана и Генри Рэчфорда-младшего.

Формулировка уравнения [ править ]

В математике, если дано открытое подмножество U в ℝ ^н и подынтервал I из ℝ , один говорит , что функция U  : U × I → ℝ является решением уравнения теплопроводности , если

${\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {n} ^ {2}}},}$

где ( x ₁ , ..., x _n , t ) обозначает общую точку области. Обычно t называют «временем», а x ₁ , ..., x _n - «пространственными переменными», даже в абстрактных контекстах, где эти фразы не имеют своего интуитивного значения. Набор пространственных переменных часто называют просто x . Для любого заданного значения t правая часть уравнения является лапласианом функции u (⋅, t ): U → ℝ. Таким образом, уравнение теплопроводности часто записывается более компактно как

В физическом и инженерном контекстах, особенно в контексте диффузии через среду, чаще всего фиксируют декартову систему координат, а затем рассматривают конкретный случай функции u ( x , y , z , t ) трех пространственных переменных. ( x , y , z ) и временной переменной t . Тогда говорят, что u является решением уравнения теплопроводности, если

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$

в котором α - положительный коэффициент, называемый коэффициентом диффузии среды. В дополнение к другим физическим явлениям это уравнение описывает поток тепла в однородной и изотропной среде, где u ( x , y , z , t ) - температура в точке ( x , y , z ) и время t . Если среда неоднородна и изотропна, то α не будет фиксированным коэффициентом, а будет зависеть от ( x , y ,z ) ; уравнение также имело бы несколько иную форму. В физической и технической литературедля обозначения лапласианаобычно используется ∇ ² , а не ∆ .

В математике, а также в физике и технике принято использовать обозначение Ньютона для производных по времени, поэтому оно используется для обозначения${\displaystyle {\dot {u}}}$∂ u/∂ т. Следует также отметить , что возможность использовать либо А или ∇ ² для обозначения лапласиана, без явной ссылки на пространственную переменные, является отражением того факта , что лапласиан не зависит от выбора системы координат. С математической точки зрения можно сказать, что лапласиан «трансляционно-вращательно инвариантен». Фактически, это (грубо говоря) простейший дифференциальный оператор, обладающий этими симметриями. Это можно рассматривать как существенное (и чисто математическое) обоснование использования лапласиана и уравнения теплопроводности при моделировании любых физических явлений, которые являются однородными и изотропными, главным примером которых является диффузия тепла.

«Константа диффузии» α часто не присутствует в математических исследованиях уравнения теплопроводности, в то время как ее значение может быть очень важным в инженерии. Это несущественная разница по следующей причине. Пусть u - функция с

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.}$

Определите новую функцию. Затем, согласно цепному правилу , мы имеем${\displaystyle \ \ v(t,x)=u(t/\alpha ,x).\ \ }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u(t/\alpha ,x)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}(t/\alpha ,x)=\Delta u(t/\alpha ,x)=\Delta v(t,x)\ \ \ \ \ \ \ \ \ (*)}$

Таким образом, существует простой способ перехода между решениями уравнения теплопроводности с общим значением α и решениями уравнения теплопроводности с α = 1 . Таким образом, для математического анализа часто достаточно рассматривать только случай α = 1 .

Поскольку существует еще одна возможность определить удовлетворение, как указано выше, путем установки. Обратите внимание, что два возможных способа определения новой функции, обсуждаемой здесь, в физическом плане сводятся к изменению единицы измерения времени или единицы измерения длины.${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \ \ {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v\ \ }$${\displaystyle (*)}$${\displaystyle \ \ v(t,x)=u(t,\alpha ^{-1/2}x).\ \ }$${\displaystyle v}$

Интерпретация [ править ]

Физическая интерпретация уравнения [ править ]

Неформально оператор Лапласа ∆ дает разницу между средним значением функции в окрестности точки и ее значением в этой точке. Таким образом, если u - температура, ∆ говорит о том, является ли (и насколько) материал, окружающий каждую точку, в среднем горячее или холоднее, чем материал в этой точке.

Согласно второму закону термодинамики , тепло будет течь от более горячих тел к соседним более холодным телам пропорционально разнице температур и теплопроводности материала между ними. Когда тепло поступает в материал (соответственно из него), его температура увеличивается (соответственно уменьшается) пропорционально количеству тепла, деленному на количество ( массу ) материала, с коэффициентом пропорциональности, называемым удельной теплоемкостью материала. материал.

Комбинируя эти наблюдения, уравнение теплопроводности говорит, что скорость, с которой материал в точке будет нагреваться (или охлаждаться), пропорциональна тому, насколько горячее (или холоднее) окружающий материал. Коэффициент α в уравнении учитывает теплопроводность, удельную теплоемкость и плотность материала.${\displaystyle {\dot {u}}}$

Математическая интерпретация уравнения [ править ]

Первую половину изложенного выше физического мышления можно облечь в математическую форму. Ключ в том, что при любом фиксированном х , один имеет

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}}$

где у _{( х )} ( г ) является единственной переменной функции , обозначающая среднее значение из U по поверхности сферы радиуса г с центром в точке х ; это может быть определено

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

в котором ω _{n - 1} обозначает площадь поверхности единичного шара в n- мерном евклидовом пространстве. Это формализует вышеприведенное утверждение о том, что значение ∆ u в точке x измеряет разницу между значением u ( x ) и значением u в точках, близких к x , в том смысле, что последнее кодируется значениями u. _{( x )} ( r ) для малых положительных значений r .

Следуя этому наблюдению, можно интерпретировать уравнение теплопроводности как наложение бесконечно малого усреднения функции. Учитывая решение уравнения теплопроводности, значение u ( x , t + τ) для небольшого положительного значения τ может быть аппроксимировано как1/2 пумноженное на среднее значение функции u (⋅, t ) по сфере очень малого радиуса с центром в точке x .

Характер решений [ править ]

Решение одномерного уравнения в частных производных теплопроводности. Температура ( ) изначально распределяется по одномерному интервалу длиной в одну единицу ( x  = [0,1]) с изолированными конечными точками. Распределение со временем приближается к равновесию.${\displaystyle u}$

Уравнение теплопроводности подразумевает, что пики ( локальные максимумы ) будут постепенно размываться, в то время как впадины ( локальные минимумы ) будут заполнены. Значение в какой-то момент будет оставаться стабильным только до тех пор, пока оно равно среднему значению в его непосредственном окружение. В частности, если значения в окрестности очень близки к линейной функции , тогда значение в центре этой окрестности не будет изменяться в это время (то есть производная будет равна нулю).${\displaystyle u}$${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$${\displaystyle {\dot {u}}}$

Более тонкое следствие - принцип максимума , который гласит, что максимальное значение в любой области среды не будет превышать максимальное значение, которое ранее имело место , если только оно не находится на границе . То есть максимальная температура в регионе может повыситься только при поступлении тепла извне . Это свойство параболических уравнений в частных производных, которое нетрудно доказать математически (см. Ниже).${\displaystyle u}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

Еще одно интересное свойство состоит в том, что даже если изначально имеет место резкий скачок (разрыв) значения на некоторой поверхности внутри среды, скачок немедленно сглаживается мгновенным, бесконечно коротким, но бесконечно большим потоком тепла через эту поверхность. Например, если два изолированных органов, первоначально в форме , но разных температурах и , сделаны касаться друг друга, температура в точке контакта немедленно предположить некоторое промежуточное значение, и зона будет развиваться вокруг этой точки , где будет постепенно изменяться между и .${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle u_{1}}$

Если к какой-то точке среды внезапно приложить определенное количество тепла, оно распространится во всех направлениях в виде диффузионной волны . В отличие от упругих и электромагнитных волн , скорость диффузионной волны со временем падает: по мере того, как она распространяется на большую область, градиент температуры уменьшается, и, следовательно, уменьшается и тепловой поток.

Конкретные примеры [ править ]

Тепловой поток в однородном стержне [ править ]

Для теплового потока уравнение теплопроводности следует из физических законов теплопроводности и сохранения энергии ( Cannon 1984 ).

По закону Фурье для изотропной среды скорость потока тепловой энергии на единицу площади через поверхность пропорциональна отрицательному градиенту температуры на ней:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u\ }$

где - теплопроводность материала, - температура, - векторное поле, которое представляет величину и направление теплового потока в точке пространства и времени .${\displaystyle k}$${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$

Если среда представляет собой тонкий стержень с однородным сечением и материалом, положение представляет собой единую координату , тепловой поток в сторону увеличения представляет собой скалярное поле , а градиент представляет собой обычную производную по отношению к . Уравнение становится${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle q=q(t,x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

Позвольте быть внутренней тепловой энергией на единицу объема стержня в каждый момент и время. При отсутствии выработки тепловой энергии из внешних или внутренних источников скорость изменения внутренней тепловой энергии на единицу объема в материале пропорциональна скорости изменения его температуры . То есть,${\displaystyle Q=Q(x,t)}$${\displaystyle \partial Q/\partial t}$${\displaystyle \partial u/\partial t}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

где - удельная теплоемкость (при постоянном давлении, в случае газа) и - плотность (масса на единицу объема) материала. Этот вывод предполагает, что материал имеет постоянную массовую плотность и теплоемкость как в пространстве, так и во времени.${\displaystyle c}$${\displaystyle \rho }$

Применяя закон сохранения энергии к небольшому элементу среды с центром в , можно сделать вывод, что скорость, с которой накапливается тепло в данной точке , равна производной теплового потока в этой точке, но не учитывается. То есть,${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

Из приведенных выше уравнений следует, что

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\,\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\,\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\,\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

которое является уравнением теплопроводности в одном измерении с коэффициентом диффузии

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

Эта величина называется температуропроводностью среды.

Учет радиационных потерь [ править ]

В уравнение можно ввести дополнительный член для учета радиационных потерь тепла. Согласно закону Стефана – Больцмана , этот член равен , где - температура окружающей среды, а - коэффициент, который зависит от физических свойств материала. Скорость изменения внутренней энергии становится${\displaystyle \mu (u^{4}-v^{4})}$${\displaystyle v=v(x,t)}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu (u^{4}-v^{4})}$

и уравнение эволюции принимает вид${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\,\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\,\rho }}(u^{4}-v^{4})}$.

Неоднородная изотропная среда [ править ]

Обратите внимание, что уравнение состояния, заданное первым законом термодинамики (т.е. сохранения энергии), записывается в следующей форме (при условии отсутствия массопереноса или излучения). Эта форма является более общей и особенно полезной для распознавания того, какое свойство (например, c _p или ) влияет на какой термин.${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}}$

где - объемный источник тепла.${\displaystyle {\dot {q}}_{V}}$

Трехмерная задача [ править ]

В частных случаях распространения тепла в изотропной и однородной среде в трехмерном пространстве это уравнение имеет вид

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)}$   ${\displaystyle =\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad }$

куда:

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$ температура как функция пространства и времени;
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$ скорость изменения температуры в определенный момент времени;
• ${\displaystyle u_{xx}}$, И являются вторыми пространственными производными ( тепловые conductions ) температур в , и направлениях, соответственно;${\displaystyle u_{yy}}$${\displaystyle u_{zz}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$- коэффициент температуропроводности , величина, зависящая от материала, зависящая от теплопроводности , удельной теплоемкости и массовой плотности .${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \rho }$

Уравнение теплопроводности является следствием закона проводимости Фурье (см. Теплопроводность ).

Если среда - это не все пространство, для однозначного решения уравнения теплопроводности нам также необходимо указать граничные условия для u . Чтобы определить единственность решений во всем пространстве, необходимо принять дополнительные условия, например экспоненциальную оценку роста решений ^[2] или знаковое условие (неотрицательные решения уникальны по результату Дэвида Виддера ). ^[3]

Решения уравнения теплопроводности характеризуются постепенным сглаживанием начального распределения температуры за счет потока тепла от более теплых областей объекта к более холодным. Как правило, множество различных состояний и начальных условий будут стремиться к одному и тому же устойчивому равновесию . Как следствие, изменить решение и сделать вывод о более ранних временах или начальных условиях из текущего распределения тепла очень неточно, за исключением самых коротких периодов времени.

Уравнение теплопроводности является прототипом параболического уравнения в частных производных .

Используя оператор Лапласа , уравнение теплопроводности можно упростить и обобщить на аналогичные уравнения в пространствах произвольного числа измерений, как

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,\quad }$

где оператор Лапласа, Δ или ∇ ² , дивергенция градиента, взят в пространственных переменных.

Уравнение тепла управляет диффузией тепла, а также другими диффузионными процессами, такими как диффузия частиц или распространение потенциала действия в нервных клетках. Хотя они не являются диффузными по своей природе, некоторые задачи квантовой механики также регулируются математическим аналогом уравнения теплопроводности (см. Ниже). Его также можно использовать для моделирования некоторых явлений, возникающих в финансах , таких как процессы Блэка – Шоулза или Орнштейна-Уленбека . Уравнение и различные нелинейные аналоги также использовались при анализе изображений.

Уравнение теплопроводности технически противоречит специальной теории относительности , поскольку его решения включают мгновенное распространение возмущения. Частью возмущения за пределами переднего светового конуса обычно можно безопасно пренебречь, но если необходимо развить разумную скорость для передачи тепла, вместо этого следует рассмотреть гиперболическую задачу - например, уравнение в частных производных, включающее второй порядок производная по времени. Некоторые модели нелинейной теплопроводности (которые также являются параболическими уравнениями) имеют решения с конечной скоростью передачи тепла. ^{[4] [5]}

Внутреннее тепловыделение [ править ]

Вышеупомянутая функция u представляет температуру тела. В качестве альтернативы иногда удобно изменить единицы измерения и представить u как плотность тепла среды. Поскольку плотность тепла пропорциональна температуре в однородной среде, уравнение теплопроводности по-прежнему соблюдается в новых единицах измерения.

Предположим, что тело подчиняется уравнению теплопроводности и, кроме того, генерирует собственное тепло на единицу объема (например, в ваттах / литр - Вт / л) со скоростью, определяемой известной функцией q, изменяющейся в пространстве и времени. ^[6] Тогда тепло на единицу объема u удовлетворяет уравнению

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

Например, нить накаливания вольфрамовой лампочки выделяет тепло, поэтому при включении у нее будет положительное ненулевое значение q . Когда свет выключен, значение q для вольфрамовой нити будет равно нулю.

Решение уравнения теплопроводности с использованием ряда Фурье [ править ]

Следующий метод решения уравнения теплопроводности был предложен Жозефом Фурье в его трактате « Аналитическая теория де ля шалер» , опубликованном в 1822 году. Рассмотрим уравнение теплопроводности для одной пространственной переменной. Это можно использовать для моделирования теплопроводности стержня. Уравнение

${\displaystyle \displaystyle u_{t}=\alpha u_{xx}}$

( 1 )

где u = u ( x , t ) - функция двух переменных x и t . Здесь

• x - пространственная переменная, поэтому x ∈ [0, L ], где L - длина стержня.
• t - временная переменная, поэтому t ≥ 0.

Предположим начальное условие

${\displaystyle u(x,0)=f(x)\quad \forall x\in [0,L]}$

( 2 )

где задана функция f , а граничные условия

${\displaystyle u(0,t)=0=u(L,t)\quad \forall t>0}$.

( 3 )

Попытаемся найти решение ( 1 ), которое не является тождественно нулевым, удовлетворяющим граничным условиям ( 3 ), но со следующим свойством: u - произведение, в котором зависимость u от x , t разделена, то есть:

${\displaystyle \displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).}$

( 4 )

Такой прием решения называется разделением переменных . Подставляя u обратно в уравнение ( 1 ),

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$

Поскольку правая часть зависит только от x, а левая только от t , обе части равны некоторому постоянному значению −λ. Таким образом:

${\displaystyle T'(t)=-\lambda \alpha T(t)}$

( 5 )

и

${\displaystyle X''(x)=-\lambda X(x).}$

( 6 )

Теперь покажем, что нетривиальных решений для ( 6 ) при значениях λ ≤ 0 не может быть:

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость u имеет специальный вид ( 4 ). В общем случае сумма решений уравнения ( 1 ), удовлетворяющих граничным условиям ( 3 ), также удовлетворяет ( 1 ) и ( 3 ). Мы можем показать, что решение ( 1 ), ( 2 ) и ( 3 ) дается формулой

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}}$

куда

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

Обобщение техники решения [ править ]

Метод решения, использованный выше, может быть значительно расширен на многие другие типы уравнений. Идея состоит в том, что оператор u _xx с нулевыми граничными условиями может быть представлен через его собственные функции . Это естественным образом приводит к одной из основных идей спектральной теории линейных самосопряженных операторов .

Рассмотрим линейный оператор Δ u = u _xx . Бесконечная последовательность функций

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

при n ≥ 1 - собственные функции оператора Δ. В самом деле,

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

Более того, любая собственная функция f оператора ∆ с граничными условиями f (0) = f ( L ) = 0 имеет вид e _n для некоторого n ≥ 1. Функции e _n для n ≥ 1 образуют ортонормированную последовательность относительно a некоторый скалярный продукт на пространстве вещественнозначных функций на [0, L ]. Это означает

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

Наконец, последовательность { е _п } _{п ∈ N} охватывает плотное линейное подпространство в L ² ((0, L )). Это показывает, что фактически мы диагонализовали оператор Δ.

Теплопроводность в неоднородных анизотропных средах [ править ]

В целом изучение теплопроводности основано на нескольких принципах. Тепловой поток - это форма потока энергии , и поэтому имеет смысл говорить о временной скорости потока тепла в область пространства.

• Скорость теплового потока в область V определяется зависящей от времени величиной q _t ( V ). Мы предполагаем, что q имеет плотность Q , так что

${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$

• Тепловой поток - это зависящая от времени векторная функция H ( x ), характеризующаяся следующим образом: скорость потока тепла через бесконечно малый элемент поверхности с площадью dS и единичным вектором нормали n равна

${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$

Таким образом, скорость теплового потока в V также определяется поверхностным интегралом

${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$

где n ( x ) - направленный наружу вектор нормали в точке x .

• Закон Фурье гласит, что поток тепловой энергии имеет следующую линейную зависимость от градиента температуры

${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$

где A ( x ) - вещественная матрица 3 × 3, которая является симметричной и положительно определенной .

• По теореме о расходимости предыдущий поверхностный интеграл для теплового потока в V можно преобразовать в объемный интеграл

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$

• Скорость изменения температуры в точке x пропорциональна теплу, поступающему в бесконечно малый элемент объема, где коэффициент пропорциональности зависит от константы κ

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$

Объединение этих уравнений дает общее уравнение теплового потока:

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

Замечания .

• Коэффициент κ ( x ) является обратной величиной удельной теплоемкости вещества при x × плотности вещества при x : κ = .${\displaystyle 1/(\rho c_{p})}$
• В случае изотропной среды матрица A представляет собой скалярную матрицу, равную теплопроводности k .
• В анизотропном случае, когда матрица коэффициентов A не скалярна и / или если она зависит от x , то явную формулу для решения уравнения теплопроводности можно записать редко, хотя обычно можно рассматривать связанную с ней абстрактную задачу Коши и показать, что это правильно поставленная задача и / или показать некоторые качественные свойства (например, сохранение положительных начальных данных, бесконечная скорость распространения, сходимость к равновесию, свойства сглаживания). Обычно это делается с помощью теории однопараметрических полугрупп : например, если A - симметричная матрица, то эллиптический оператор, определяемый формулой

${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$

является самосопряженной и диссипативной, таким образом , самыми спектральной теоремой она генерирует один параметр полугруппу .

Фундаментальные решения [ править ]

Фундаментальное решение , также называется ядром теплопроводности , является решением уравнения теплопроводности , соответствующего начального условием исходного точечного источника тепла в известном положении. Их можно использовать для поиска общего решения уравнения теплопроводности в определенных областях; см., например, ( Evans 2010 ) вводное лечение.

В одной переменной функция Грина является решением задачи начального значения (по принципу Дюамеля , что эквивалентно определению функции Грина как функции с дельта-функцией в качестве решения первого уравнения)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}}$

где δ - дельта-функция Дирака . Решением этой проблемы является фундаментальное решение ( тепловое ядро )

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).}$

Можно получить общее решение уравнения теплопроводности с одной переменной с начальным условием u ( x , 0) = g ( x ) для −∞ < x <∞ и 0 < t <∞, применяя свертку :

${\displaystyle u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.}$

В нескольких пространственных переменных фундаментальное решение решает аналогичную задачу

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}}$

П -переменную фундаментальным решением является продуктом фундаментальных решений в каждой переменной; т.е.

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\dots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).}$

Общее решение уравнения теплопроводности на R ⁿ затем получается сверткой, так что для решения начальной задачи с u ( x , 0) = g ( x ) нужно иметь

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .}$

Общая задача об области Ω в R ⁿ такова:

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}}$

с граничными данными Дирихле или Неймана . Функция Грина существует всегда, но, если область Ω не может быть легко разложена на задачи с одной переменной (см. Ниже), может быть невозможно записать ее явно. Другие методы получения функций Грина включают метод изображений , разделения переменных и преобразования Лапласа (Cole, 2011).

Некоторые решения функций Грина в 1D [ править ]

Здесь записаны различные одномерные решения элементарных функций Грина; многие другие доступны в других местах. ^[7] В некоторых из них пространственная область равна (−∞, ∞). В других случаях это полубесконечный интервал (0, ∞) с граничными условиями Неймана или Дирихле . Еще один вариант состоит в том, что некоторые из них решают неоднородное уравнение

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

где f - некоторая заданная функция от x и t .

Однородное уравнение теплопроводности [ править ]

Задача начального значения на (−∞, ∞)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени . Синий: временные ходы для двух выбранных точек x ₀ = 0,2 и x ₀ = 1. Обратите внимание на разные времена нарастания / задержки и амплитуды. Интерактивная версия.${\displaystyle \Phi (x,t)}$${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

Комментарий . Это решение представляет собой свертку по переменной x фундаментального решения

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

и функция g ( x ). ( Функциональное число Грина фундаментального решения равно X00.)

Следовательно, согласно общим свойствам свертки относительно дифференцирования, u = g ∗ Φ является решением того же уравнения теплопроводности при

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

Более того,

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

так что, исходя из общих фактов о приближении к тождеству , Φ (⋅, t ) ∗ g → g при t → 0 в различных смыслах, в соответствии с конкретным g . Например, если g предполагается ограниченным и непрерывным на R, то Φ (⋅, t ) ∗ g равномерно сходится к g при t → 0, что означает, что u ( x , t ) непрерывно на R × [0, ∞) с u ( х , 0) = д ( х ).

Задача начального значения на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным g ( x ), подходящим образом расширенным до R , чтобы быть нечетной функцией , то есть позволяя g (- x ): = - g ( x ) для всех x . Соответственно, решение начальной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле u (0, t ) = 0 . в числе функций Грина этого решения является Х10.

Задача начального значения на (0, ∞) с однородными граничными условиями Неймана

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Комментарий. Это решение получается из формулы первого решения применительно к данным g (x), подходящим образом расширенным до R, чтобы быть четной функцией , то есть позволяя g (- x ): = g ( x ) для всех x . Соответственно, решение начальной задачи на R является четной функцией по переменной x для всех значений t > 0, и, в частности, будучи гладким, оно удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u _x (0, t ) = 0. Число функции Грина этого решения X20.

Задача на (0, ∞) с однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями Дирихле

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

Комментарий . Это решение представляет собой свертку по переменной t функции

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

и функция h ( t ). Поскольку Φ ( x , t ) - фундаментальное решение

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

функция ψ ( x, t ) также является решением того же уравнения теплопроводности, как и u  : = ψ ∗ h , благодаря общим свойствам свертки относительно дифференцирования. Более того,

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

так что, исходя из общих фактов о приближении к тождеству , ψ ( x , ⋅) ∗ h → h при x → 0 в различных смыслах, в соответствии с конкретным h . Например, если h предполагается непрерывным на R с носителем в [0, ∞), то ψ ( x , ⋅) ∗ h равномерно сходится на компактах к h при x → 0, что означает, что u (x, t) непрерывно на [ 0, ∞) × [0, ∞) с u (0, t ) = h ( t ).

Неоднородное уравнение теплопроводности [ править ]

Задача об (-∞, ∞) однородных начальных условиях

Комментарий . Это решение является сверткой в R ² , то есть по отношению к обеим переменным х и т , фундаментального решения

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

и функция F ( х, т ), как подразумевается , как определено на всем R ² и одинаково 0 для всех т → 0. проверяется , что

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,}$

который выражается на языке дистрибутивов, становится

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,}$

где распределение δ - это дельта-функция Дирака , то есть оценка в 0.

Задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле и начальными условиями

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u(0,t)=0&BC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Комментарий . Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным f ( x , t ), подходящим образом расширенным до R × [0, ∞), так чтобы они были нечетной функцией переменной x , то есть позволяя f (- x , t ): = - f ( x , t ) для всех x и t . Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по переменной x для всех значений t и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихлеи (0, t ) = 0.

Задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Неймана и начальными условиями

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&IC\\u_{x}(0,t)=0&BC\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Комментарий . Это решение получается из первой формулы применительно к данным f ( x , t ), подходящим образом расширенным до R × [0, ∞), чтобы быть четной функцией переменной x , то есть позволяя f (- x , t ): = f ( x , t ) для всех x и t . Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) является четной функцией по переменной x для всех значений t, и, в частности, будучи гладкой функцией, она удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана u _x (0, t ) = 0.

Примеры [ править ]

Поскольку уравнение теплопроводности является линейным, решения других комбинаций граничных условий, неоднородного члена и начальных условий можно найти, взяв соответствующую линейную комбинацию вышеуказанных решений функции Грина.

Например, чтобы решить

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\end{cases}}}$

пусть u = w + v, где w и v решают задачи

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbf {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&IC\end{cases}}}$

Аналогично решить

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&IC\\u(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$

пусть u = w + v + r, где w , v и r решают задачи

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&IC\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&BC\end{cases}}}$

Свойство среднего значения для уравнения теплопроводности [ править ]

Решения уравнений теплопроводности

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

удовлетворяют свойству среднего значения, аналогичному свойствам среднего значения гармонических функций , решения

${\displaystyle \Delta u=0}$,

хотя немного посложнее. Точно, если и решает

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

и

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

тогда

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

где E _λ - "тепловой шар", то есть набор суперуровня фундаментального решения уравнения теплопроводности:

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s)\,:\,\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

Заметь

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

при λ → ∞, поэтому приведенная выше формула верна для любого ( x, t ) в (открытом) множестве dom ( u ) при достаточно большом λ. ^[8] Это можно показать с помощью рассуждения, аналогичного аналогичному для гармонических функций .

Уравнение стационарной теплопроводности [ править ]

Уравнение установившейся теплопроводности по определению не зависит от времени. Другими словами, предполагается, что существуют такие условия, что:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

Это условие зависит от постоянной времени и количества времени, прошедшего с момента наложения граничных условий. Таким образом, условие выполняется в ситуациях, когда постоянная временного равновесия достаточно мала, чтобы более сложное зависящее от времени уравнение теплопроводности можно было аппроксимировать стационарным случаем. Эквивалентно, стационарное состояние существует для всех случаев , когда прошло достаточно времени, чтобы тепловое поле u больше не эволюционировало во времени.

В стационарном случае пространственный температурный градиент может (или не может) существовать, но если он есть, он не изменяется во времени. Таким образом, это уравнение описывает конечный результат всех тепловых проблем, в которых включается источник (например, запуск двигателя в автомобиле), и прошло достаточно времени для того, чтобы все постоянные градиенты температуры установились в пространстве, после чего эти пространственные градиенты больше не меняются во времени (как и в случае с автомобилем, в котором двигатель проработал достаточно долго). Другое (тривиальное) решение состоит в том, чтобы также исчезнуть все пространственные градиенты температуры, и в этом случае температура также станет однородной в пространстве.

Уравнение намного проще и может помочь лучше понять физику материалов, не обращая внимания на динамику процесса переноса тепла. Он широко используется для простых инженерных задач, предполагающих наличие равновесия температурных полей и переноса тепла со временем.

Устойчивое состояние:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

Уравнение стационарной теплопроводности для объема, содержащего источник тепла (неоднородный случай), является уравнением Пуассона :

${\displaystyle -k\nabla ^{2}u=q}$

где U представляет собой температуру , к является теплопроводность и д теплового потока плотность источника.

В электростатике это эквивалентно случаю, когда рассматриваемое пространство содержит электрический заряд.

Уравнение стационарной теплопроводности без источника тепла в объеме (однородный случай) - это уравнение в электростатике для объема свободного пространства, не содержащего заряд. Он описывается уравнением Лапласа :

${\displaystyle \nabla ^{2}u=0}$

Приложения [ править ]

Диффузия частиц [ править ]

Можно смоделировать диффузию частиц с помощью уравнения, включающего либо:

• объемная концентрация частиц, обозначаемая c , в случае коллективной диффузии большого числа частиц, или
• функция плотности вероятности связан с положением одной частицы, обозначается P .

В любом случае используется уравнение теплопроводности

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,\quad }$

или же

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.\quad }$

И c, и P являются функциями положения и времени. D - коэффициент диффузии, который контролирует скорость диффузионного процесса, и обычно выражается в метрах в квадрате за секунду. Если коэффициент диффузии D непостоянен, а зависит от концентрации c (или P во втором случае), то получается уравнение нелинейной диффузии .

Броуновское движение [ править ]

Пусть случайный процесс является решением стохастического дифференциального уравнения${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\text{d}}X_{t}={\sqrt {2k}}\;{\text{d}}B_{t}\\X_{0}=0\end{array}}\right.}$

где - винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Тогда функция плотности вероятности из даются в любое время с помощью${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

которое является решением начальной задачи

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,\quad (x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{array}}\right.}$

где - дельта-функция Дирака .${\displaystyle \delta }$

Уравнение Шредингера для свободной частицы [ править ]

Простым делением уравнение Шредингера для отдельной частицы массы m в отсутствие какого-либо приложенного силового поля можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$,

где i - мнимая единица , ħ - приведенная постоянная Планка , а ψ - волновая функция частицы.

Это уравнение формально аналогично уравнению диффузии частиц, которое получается с помощью следующего преобразования:

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

Применение этого преобразования к выражениям функций Грина, определенных в случае диффузии частиц, дает функции Грина уравнения Шредингера , которые, в свою очередь, могут быть использованы для получения волновой функции в любое время через интеграл от волновой функции при t = 0:

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi (\mathbf {R} ^{0},t=0)G(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

с

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)={\bigg (}{\frac {m}{2\pi i\hbar t}}{\bigg )}^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

Замечание: эта аналогия между квантовой механикой и диффузией носит чисто формальный характер. Физически эволюция волновой функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера, могла иметь другое происхождение, кроме диффузии.

Температуропроводность в полимерах [ править ]

Прямым практическим применением уравнения теплопроводности в сочетании с теорией Фурье в сферических координатах является прогнозирование профилей теплопередачи и измерение температуропроводности в полимерах (Ансуорт и Дуарте ). Этот двойной теоретико-экспериментальный метод применим к резине, различным другим полимерным материалам, представляющим практический интерес, и микрожидкостям. Эти авторы вывели выражение для температуры в центре сферы T _C

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

где Т ₀ является начальной температурой сферы и Т _S температуры на поверхности сферы, радиус L . Это уравнение также нашло применение в переносе энергии белками и тепловом моделировании в биофизике.

Дальнейшие приложения [ править ]

Уравнение теплопроводности возникает при моделировании ряда явлений и часто используется в финансовой математике при моделировании вариантов . Дифференциальное уравнение знаменитой модели ценообразования опционов Блэка – Шоулза может быть преобразовано в уравнение теплопроводности, позволяющее относительно легко находить решения на основе знакомой математики. Многие из расширений простых моделей опционов не имеют решений в закрытой форме и поэтому должны решаться численно, чтобы получить смоделированную цену опциона. Уравнение, описывающее диффузию давления в пористой среде, идентично по форме уравнению теплопроводности. Задачи диффузии, связанные с Дирихле , Нейманом иГраничные условия Робина имеют аналитические решения в замкнутой форме ( Thambynayagam 2011 ). Уравнение теплопроводности также широко используется в анализе изображений ( Perona & Malik, 1990 ) и в машинном обучении в качестве движущей теории, лежащей в основе методов Лапласа масштабного пространства или графов . Уравнение теплопроводности можно эффективно решить численно, используя неявный метод Кранка – Николсона ( Crank & Nicolson 1947 ). Этот метод можно распространить на многие модели без решения в закрытой форме, см., Например, ( Wilmott, Howison & Dewynne, 1995 ).

Абстрактная форма уравнения теплопроводности на многообразиях обеспечивает основной подход к теореме Атьи – Зингера об индексе и привела к дальнейшим исследованиям уравнений теплопроводности в римановой геометрии .

См. Также [ править ]

• Калорический полином
• Кривая-укорачивающая поток
• Уравнение диффузии
• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение Шредингера
• Преобразование Вейерштрасса

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Crank, J .; Николсон, П. (1947), "Практический метод численной оценки решений уравнений с частными производными типа теплопроводности", Труды Кембриджского философского общества , 43 (1): 50–67, Bibcode : 1947PCPS .. 0,43 ... 50C , DOI : 10,1017 / S0305004100023197
• Эйнштейн Альберт (1905), "Über умереть фон дер molekularkinetischen Теорье дер Wärme geforderte Bewegung фон в ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", Annalen дер Physik , 322 (8): 549-560, Bibcode : 1905AnP ... 322..549E , DOI : 10.1002 / andp.19053220806
• Thambynayagam, RKM (2011), Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Perona, P; Малик, Дж (1990), "Шкала-Пространство и обнаружение края Использование анизотропная диффузия" (PDF) , IEEE Transactions на шаблон анализа и Machine Intelligence , 12 (7): 629-639, DOI : 10,1109 / 34,56205
• Unsworth, J .; Дуарте, Ф.Дж. (1979), "Рассеивание тепла в твердой сфере и теория Фурье", Am. J. Phys. , 47 (11): 891-893, Bibcode : 1979AmJPh..47..981U , DOI : 10.1119 / 1,11601

Учебники

• Кэннон, Джон Розьер (1984), Одномерное уравнение теплопроводности , Энциклопедия математики и ее приложений, 23 , Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley, Advanced Book Program, ISBN 0-201-13522-1, Руководство по ремонту  0747979 , Zbl  0567.35001
• Карслав, HS ; Jaeger, JC (1988), Проводимость тепла в твердых телах , Oxford Science Publications (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
• Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс V .; Хаджи-Шейх, А .; Литкоухи, Бахан (2011), Теплопроводность с использованием функций Грина , Серии вычислительных и физических процессов в механике и тепловых науках (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-43-981354-6
• Эванс, Лоуренс К. (2010), Уравнения в частных производных , Исследования в области математики, 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4974-3
• Фридман, Авнер (1964), Уравнения с частными производными параболического типа , Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc.
• Джон, Фриц (1991), Уравнения в частных производных (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90609-6
• Виддер, Д.В. (1975), Уравнение теплопроводности , Чистая и прикладная математика, 67 , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]
• Уилмотт, Пол; Ховисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995), Математика производных финансовых инструментов. Введение для студентов , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-49699-3

Внешние ссылки [ править ]

В Викиверситете есть учебные ресурсы по уравнению тепла

Викискладе есть медиафайлы, связанные с уравнением тепла .

• Вывод уравнения теплопроводности
• Линейные уравнения теплопроводности : частные решения и краевые задачи - от EqWorld
• «Уравнение тепла» . Бесконечная серия PBS . 17 ноября 2017 г. - через YouTube .