В финансовой математике , то уравнение Блэка-Шоулза является частичное дифференциальное уравнение (PDE) , регулирующих эволюцию цен на европейский вызов или европейского положить под модель Блэка-Шоулза . В широком смысле термин может относиться к аналогичному PDE, который может быть получен для множества опционов или, в более общем плане, производных инструментов .
Для европейского колла или опциона на покупку базовой акции, не приносящей дивидендов, уравнение выглядит следующим образом:
где V - цена опциона как функция цены акции S и времени t , r - безрисковая процентная ставка, и волатильность акции.
Ключевой финансовый вывод, лежащий в основе уравнения, заключается в том, что при модельном предположении о рынке без трения можно идеально хеджировать опцион, купив и продав базовый актив правильным образом и, следовательно, «исключив риск». Это хеджирование, в свою очередь, означает, что существует только одна правильная цена для опциона, возвращаемая формулой Блэка – Шоулза .
Финансовая интерпретация PDE Блэка – Шоулза
Уравнение имеет конкретную интерпретацию, которая часто используется практиками и является основой для общего вывода, приведенного в следующем подразделе. Уравнение можно переписать в виде:
Левая часть состоит из члена «временного затухания», изменения значения производной по времени, называемого тета , и члена, включающего в себя вторую гамму пространственной производной , выпуклость значения производной по отношению к базовому значению. Правая часть - это безрисковый доход от длинной позиции по производному инструменту и короткой позиции, состоящей из акции базового актива.
Понимание Блэка и Скоулза заключалось в том, что портфель, представленный правой частью, безрисковый: таким образом, уравнение говорит, что безрисковая доходность за любой бесконечно малый интервал времени может быть выражена как сумма тета и члена, включающего гамму. Для опциона тета обычно отрицательна, что отражает потерю стоимости из-за меньшего времени для исполнения опциона (для европейского колла по базовому активу без дивидендов оно всегда отрицательно). Гамма обычно положительна, поэтому гамма-член отражает выигрыш от владения опционом. Уравнение утверждает, что за любой бесконечно малый интервал времени потеря от тета и выгода от гамма-члена компенсируют друг друга, так что результатом является доходность без риска.
С точки зрения эмитента опциона, например инвестиционного банка, гамма-термин - это стоимость хеджирования опциона. (Поскольку гамма максимальна, когда спотовая цена базового актива близка к цене исполнения опциона, в этом случае затраты продавца на хеджирование являются наибольшими.)
Вывод PDE Блэка – Шоулза
Следующий вывод дается в опционах , фьючерсах и других производных финансовых инструментах Халла . [1] : 287–288 Это, в свою очередь, основано на классическом аргументе в оригинальной статье Блэка – Шоулза.
Согласно приведенным выше допущениям модели, цена базового актива (обычно акции) следует геометрическому броуновскому движению . Это
где W - стохастическая переменная ( броуновское движение ). Обратите внимание, что W и, следовательно, его бесконечно малое приращение dW представляет собой единственный источник неопределенности в истории цен акций. Интуитивно W ( t ) - это процесс, который "колеблется вверх и вниз" таким случайным образом, что его ожидаемое изменение за любой интервал времени равно 0. (Кроме того, его дисперсия во времени T равна T ; см. Винеровский процесс § Основные свойства ); хороший дискретный аналог W - простое случайное блуждание . Таким образом, приведенное выше уравнение утверждает, что бесконечно малая норма прибыли на акции имеет ожидаемое значение μ dt и дисперсию.
Выплата опциона при наступлении срока погашения известно. Чтобы найти его ценность в более раннее время, нам нужно знать, как развивается как функция а также . По лемме Ито для двух переменных имеем
Теперь рассмотрим определенный портфель, называемый портфелем дельта-хеджирования , состоящий из короткой позиции по одному опциону и длинной позиции. акции в то время . Стоимость этих активов составляет
За период времени , общая прибыль или убыток от изменений стоимости владений составляет (но см. примечание ниже):
Теперь дискретизируйте уравнения для dS / S и dV , заменив дифференциалы на дельты:
и соответствующим образом подставим их в выражение для :
Обратите внимание, что срок исчез. Таким образом устранена неопределенность, и портфель фактически безрисковый. Норма доходности этого портфеля должна быть равна доходности любого другого безрискового инструмента; в противном случае были бы возможности для арбитража. Если предположить, что безрисковая норма доходности равна мы должны иметь за период времени
Если мы теперь приравняем наши две формулы для мы получаем:
Упрощая, мы приходим к знаменитому уравнению в частных производных Блэка – Шоулза:
При допущениях модели Блэка – Шоулза это уравнение в частных производных второго порядка справедливо для любого типа опциона до тех пор, пока его ценовая функция дважды дифференцируема по и один раз в отношении . Различные формулы ценообразования для различных опционов будут возникать в результате выбора функции выплаты по истечении срока и соответствующих граничных условий.
Техническое примечание. Тонкость, скрываемая описанным выше подходом к дискретизации, заключается в том, что бесконечно малое изменение стоимости портфеля было вызвано только бесконечно малыми изменениями в стоимости удерживаемых активов, а не изменениями позиций в активах. Другими словами, предполагалось, что портфель будет самофинансируемым . [ необходима цитата ]
Альтернативное происхождение
Вот альтернативный вывод, который можно использовать в ситуациях, когда изначально неясно, каким должен быть портфель хеджирования. (Для справки см. 6.4 Шрив, том II).
В модели Блэка – Шоулза, предполагая, что мы выбрали нейтральную с точки зрения риска вероятностную меру, предполагается , что базовая цена акций S ( t ) эволюционирует как геометрическое броуновское движение:
Поскольку это стохастическое дифференциальное уравнение (SDE) показывает, что эволюция цены акций является марковской , любая производная по этому базовому инструменту является функцией времени t и цены акции в текущий момент времени S ( t ). Тогда применение леммы Ито дает СДУ для процесса дисконтированной производной, который должен быть мартингейлом. Для этого необходимо, чтобы дрейфовый член был равен нулю, что подразумевает PDE Блэка-Шоулза.
Этот вывод в основном является применением формулы Фейнмана – Каца и может быть применен всякий раз, когда базовые активы развиваются в соответствии с заданными SDE.
Решение PDE Блэка – Шоулза
После того, как УЧП Блэка – Шоулза с граничными и конечными условиями выведено для производной, УЧП можно решить численно с использованием стандартных методов численного анализа [2], таких как метод конечных разностей . [3] В некоторых случаях можно найти точную формулу, например, в случае европейского звонка, который был сделан Блэком и Скоулзом.
Чтобы сделать это для опциона колл, напомним, что приведенная выше PDE имеет граничные условия
Последнее условие дает значение опциона на момент его погашения. Возможны и другие условия, когда S стремится к 0 или бесконечности. Например, общие условия, используемые в других ситуациях, состоят в том, чтобы выбрать, чтобы дельта исчезла, когда S стремится к 0, и гамма, чтобы исчезнуть, когда S стремится к бесконечности; они дадут ту же формулу, что и приведенные выше условия (как правило, разные граничные условия дают разные решения, поэтому следует использовать некоторую финансовую проницательность, чтобы выбрать подходящие условия для данной ситуации).
Решение PDE дает значение опциона в любое более раннее время, . Чтобы решить PDE, мы понимаем, что это уравнение Коши – Эйлера, которое может быть преобразовано в уравнение диффузии путем введения преобразования замены переменной
Тогда УЧП Блэка – Шоулза становится уравнением диффузии
Конечное состояние теперь становится начальным условием
- ,
где H ( x ) - ступенчатая функция Хевисайда . Функция Хевисайда соответствует обеспечению граничных данных в системе координат S , t, которая требует, когда t = T ,
- ,
предполагая, что оба S , K > 0. С этим предположением, это эквивалентно функции max по всем x в действительных числах, за исключением x = 0. Приведенное выше равенство между функцией max и функцией Хевисайда в том смысле, что распределений, потому что это не выполняется для x = 0. Хотя это и тонко, это важно, потому что функция Хевисайда не обязательно должна быть конечной при x = 0 или даже определяться в этом отношении. Дополнительные сведения о значении функции Хевисайда при x = 0 см. В разделе «Нулевой аргумент» статьи о ступенчатой функции Хевисайда .
Используя стандартный метод свертки для решения уравнения диффузии с заданной функцией начального значения u ( x , 0), мы имеем
- ,
что после некоторых манипуляций дает
- ,
где - стандартная нормальная кумулятивная функция распределения и
Это те же решения (с точностью до перевода времени), которые были получены Фишером Блэком в 1976 г., уравнения (16) с. 177. [4]
Возврат к исходному набору переменных дает указанное выше решение уравнения Блэка – Шоулза.
- Теперь можно реализовать асимптотическое условие.
что дает просто S при возврате к исходным координатам.
- .
Рекомендации
- ^ Халл, Джон С. (2008). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-505283-9.
- ^ « Быстрый, стабильный и точный численный метод для уравнения Блэка – Шоулза для американских опционов » Международный журнал теоретических и прикладных финансов , Vol. 11, No. 5, pp. 471-501, 2008, 20 апреля 2010 г.
- ^ Схемы конечных разностей, которые обеспечивают динамическую согласованность моделей населения Тринадцатая лекция в память о Вирджинии Л. Шатлен, представленная Талитой Вашингтон в Государственном университете Канзаса 9 ноября 2017 г.
- ^ Блэк, Фишер С. "Ценообразование товарных контрактов", журнал "Финансовая экономика" , 3, стр. 167-179, 1976 г., ссылка добавлена 3 августа 2019 г.