Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Математические финансы , также известные как количественные финансы и финансовая математика , являются областью прикладной математики , связанной с математическим моделированием финансовых рынков . Как правило, математические финансы выводят и расширяют математические или числовые модели без необходимости установления связи с финансовой теорией, принимая в качестве исходных данных наблюдаемые рыночные цены. Требуется математическая последовательность, а не совместимость с экономической теорией. Так, например, финансовый экономист может изучить структурные причины, по которым компания может иметь определенную цену акций., Финансовый математик может взять цену акций как данность и попытаться использовать стохастическое исчисление , чтобы получить соответствующее значение производных в наличии ( см Оценка вариантов ; Финансовое моделирование ; ценообразование активов ). Фундаментальная теорема безарбитражных ценообразования является одним из ключевых теорем финансовой математики, а Блэка-Шоулза уравнение и формула являются одними из ключевых результатов. [1]

Математические финансы также сильно пересекаются с областями вычислительных финансов и финансового инжиниринга . Последний фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастических моделей активов ( см. Количественный аналитик ), тогда как первый фокусируется, помимо анализа, на создании инструментов реализации моделей. В общем, существует две отдельных ветвей финансов , которые требуют передовых количественных метод: производные ценообразования, с одной стороны, и оценкой риски и портфельного управления на другом. [2]

Французский математик Луи Башелье считается автором первой научной работы по математическим финансам, опубликованной в 1900 году. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах после работ Фишера Блэка , Майрона Скоулза и Роберта Мертона по теории ценообразования опционов.

Сегодня многие университеты предлагают ученую степень и исследовательские программы в области математических финансов.

История: Q против P [ править ]

Существуют две отдельные области финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелем. Одно из основных различий заключается в том, что они используют разные вероятности, такие как вероятность нейтрального риска (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначаемая «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначаемая «P».

Цены на деривативы: мир Q [ править ]

Мир Q
Цель«экстраполировать настоящее»
Среданейтральная к риску вероятность
Процессымартингалы в непрерывном времени
Измерениенизкий
ИнструментыIt исчисление, PDE
Вызовыкалибровка
Бизнессторона продажи
Основная статья: Нейтральная к риску мера
Дополнительная информация: модель Блэка – Шоулза , броуновская модель финансовых рынков , ценообразование по мартингейлу и количественный анализ (финансы) § История

Целью ценообразования производных финансовых инструментов является определение справедливой цены данной ценной бумаги с точки зрения более ликвидных ценных бумаг , цена которых определяется законом спроса и предложения . Значение слова «справедливая», конечно, зависит от того, рассматривать ли вы покупку или продажу ценной бумаги. Примерами цен на ценные бумаги являются обычные и экзотические опционы , конвертируемые облигации и т. Д.

Как только справедливая цена определена, продавец может торговать по ценной бумаге. Следовательно, ценообразование деривативов - это сложная процедура «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в книге «Теория спекуляции» (« Теория спекуляции », опубликована в 1900 году) с введением самых основных и наиболее влиятельных процессов, броуновского движения и его приложений к ценообразованию опционов. . [3] [4] Броуновское движение выводится с помощью уравнения Ланжевена и дискретного случайного блуждания . [5]Башелье смоделировал временной ряд изменений логарифма цен акций как случайное блуждание, в котором краткосрочные изменения имели конечную дисперсию . Это заставляет долгосрочные изменения следовать гауссовскому распределению . [6]

Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Скоулз , наряду с фундаментальным вкладом Роберта К. Мертона , не применили второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение , к ценообразованию опционов . За это М. Скоулз и Р. Мертон были удостоены Нобелевской премии по экономическим наукам 1997 года . Блэк не имел права на получение приза из-за своей смерти в 1995 году. [7]

Следующим важным шагом стала фундаментальная теорема ценообразования активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которой подходящим образом нормализованная текущая цена P 0 ценной бумаги не имеет арбитража и, таким образом, действительно справедлива только в том случае, если существует стохастический процесс P t с постоянным ожидаемым значением, которое описывает его дальнейшее развитие: [8]

 

 

 

 

( 1 )

Процесс, удовлетворяющий ( 1 ), называется « мартингалом ». Мартингейл не вознаграждает за риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется «нейтральной по отношению к риску» и обычно обозначается буквой « » шрифта на доске .

Соотношение ( 1 ) должно выполняться для всех времен t: поэтому процессы, используемые для ценообразования производных финансовых инструментов, естественным образом устанавливаются в непрерывное время.

В кванты , которые работают в Q мире производных ценообразования являются специалистами с глубоким знанием конкретных продуктов , которые они моделируют.

Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и, таким образом, проблемы в мире Q носят незначительный характер. Калибровка - одна из основных проблем мира Q: после того, как параметрический процесс с непрерывным временем был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг с помощью отношения, такого как ( 1 ), аналогичное отношение используется для определения цены новых производных инструментов.

Основными количественными инструментами, необходимыми для обработки Q-процессов в непрерывном времени, являются стохастическое исчисление Ито , моделирование и уравнения в частных производных (PDE).

Управление рисками и портфелем: мир P [ править ]

Мир P
Цель"модель будущего"
Средареальная вероятность
Процессыдискретный временной ряд
Измерениебольшой
Инструментымногомерная статистика
Вызовыоценка
Бизнессторона покупателя

Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на заданном горизонте будущих инвестиций.
Это «реальное» распределение вероятностей рыночных цен обычно обозначается буквой « » шрифта на доске , в отличие от «нейтральной к риску» вероятности « », используемой при ценообразовании деривативов. На основе распределения P покупатель принимает решения о том, какие ценные бумаги покупать, чтобы улучшить прогнозируемый профиль прибылей и убытков своих позиций, рассматриваемых как портфель. Все чаще элементы этого процесса автоматизируются; см. Краткое изложение финансов § Количественное инвестирование для получения списка соответствующих статей.

За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп вместе с Мертоном Миллером разделили Нобелевскую мемориальную премию по экономическим наукам 1990 года , впервые присужденную за работу в области финансов.

Работа Марковица и Шарпа по отбору портфелей познакомила математику с управлением инвестициями . Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону однопериодные модели были заменены моделями с непрерывным временем, моделями броуновского движения , а квадратичная функция полезности, неявная в оптимизации среднего отклонения, была заменена более общими возрастающими вогнутыми функциями полезности. [9] Кроме того, в последние годы акцент сместился на оценку риска, то есть опасность ошибочного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить полностью точные оценки параметров рынка. [10]

Много усилий было потрачено на изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу , один из основателей компаний Dow Jones & Company и The Wall Street Journal , сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые теперь называются теорией Доу . Это основа так называемого метода технического анализа, который пытается предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» состоит в том, что рыночные тенденции указывают на будущее, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Утверждения технических аналитиков оспариваются многими учеными. [ необходима цитата ]

Критика [ править ]

См. Также: Финансовая экономика § Проблемы и критика , Финансовые модели с длиннохвостым распределением и кластеризацией волатильности и Финансовый инжиниринг § Критика

С годами были разработаны все более сложные математические модели и стратегии ценообразования производных финансовых инструментов, но их доверие было подорвано финансовым кризисом 2007–2010 годов . Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, особенно со стороны Пола Уилмотта и Нассима Николаса Талеба в его книге «Черный лебедь» . [11] Талеб утверждает, что цены на финансовые активы не могут быть охарактеризованы простыми моделями, которые используются в настоящее время, что делает большую часть текущей практики в лучшем случае неактуальной, а в худшем - опасно вводящей в заблуждение. Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовали манифест разработчиков финансовых моделейв январе 2009 года [12], в котором рассматриваются некоторые из наиболее серьезных проблем. Такие организации, как Институт нового экономического мышления , сейчас пытаются разработать новые теории и методы. [13]

В целом, моделирование изменений распределениями с конечной дисперсией все чаще считается неуместным. [14] В 1960-х Бенуа Мандельброт обнаружил, что изменения цен не следуют гауссовскому распределению , а лучше моделируются альфа- стабильными распределениями Леви . [15] Масштаб изменения или волатильности зависит от продолжительности временного интервала в степени немного больше 1/2. Значительные изменения вверх или вниз более вероятны, чем то, что можно было бы рассчитать с использованием распределения Гаусса с предполагаемым стандартным отклонением.. Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и снижает надежность управления рисками. [11] См. Также процесс вариации гаммы # Цена опциона .

Статьи по математическим финансам [ править ]

См. Также: Обзор финансов § Финансовая математика , Обзор финансов § Математические инструменты и Обзор финансов § Ценообразование производных финансовых инструментов

Математические инструменты [ править ]

  • Асимптотический анализ
  • Исчисление
  • Копулы , в том числе гауссовские
  • Дифференциальные уравнения
  • Ожидаемое значение
  • Эргодическая теория
  • Формула Фейнмана – Каца
  • преобразование Фурье
  • Теорема Гирсанова
  • Лемма Ито
  • Теорема о мартингальном представлении
  • Математические модели
  • Математическая оптимизация
    • Линейное программирование
    • Нелинейное программирование
    • Квадратичное программирование
  • Метод Монте-Карло
  • Числовой анализ
    • Квадратура Гаусса
  • Реальный анализ
  • Уравнения с частными производными
    • Уравнение тепла
    • Численные уравнения в частных производных
      • Метод Кранка – Николсона
      • Метод конечных разностей
  • Вероятность
  • Распределения вероятностей
    • Биномиальное распределение
    • SU-распределение Джонсона
    • Логнормальное распределение
    • Распределение Стьюдента
  • Квантильные функции
  • Производная Радона – Никодима
  • Нейтральная к риску мера
  • Оптимизация сценария
  • Стохастическое исчисление
    • Броуновское движение
    • Леви процесс
  • Стохастическое дифференциальное уравнение
  • Стохастическая оптимизация
  • Стохастическая волатильность
  • Анализ выживаемости
  • Ценность под угрозой
  • Волатильность
    • Модель ARCH
    • Модель GARCH

Цены на деривативы [ править ]

  • Броуновское модель финансовых рынков
  • Допущения рационального ценообразования
    • Оценка без риска
    • Ценообразование без арбитража
  • Корректировки оценки
    • Корректировка кредитной оценки
    • XVA
  • Формула форвардной цены
  • Стоимость фьючерсных контрактов
  • Оценка свопа
    • Валютный своп # Оценка и расценки
    • Своп процентных ставок # Оценка и расценки
      • Мультикривый каркас
    • Своп отклонений # Цены и оценка
    • Обмен активами # Расчет спреда обмена активами
    • Своп кредитного дефолта # Цены и оценка
  • Опции
    • Паритет пут – колл (арбитражные отношения для опционов)
    • Внутренняя стоимость , временная стоимость
    • Денежность
    • Ценовые модели
      • Модель Блэка – Шоулза
      • Черная модель
      • Модель биномиальных опционов
        • Подразумеваемое биномиальное дерево
        • Биномиальное дерево Эджворта
      • Опционная модель Монте-Карло
      • Подразумеваемая изменчивость , Улыбка волатильности
      • Местная волатильность
      • Стохастическая волатильность
        • Модель постоянной эластичности дисперсии
        • Модель Хестона
          • Скачок стохастической волатильности
        • Модель волатильности SABR
      • Марковский переключающий мультифрактал
      • Греки
      • Конечно-разностные методы ценообразования опционов
      • Цены на Ванна – Волга
      • Трехчленное дерево
        • Подразумеваемое трехчленное дерево
      • Модель Гармана-Кольхагена
      • Решетчатая модель (финансы)
      • Формула марграбе
    • Стоимость американских опционов
      • Бароне-Адези и Уэйли
      • Бьерксунд и Стенсланд
      • Приближение Блэка
      • Наименьшая площадь Монте-Карло
      • Оптимальная остановка
      • Roll-Geske-Whaley
  • Производные инструменты на процентную ставку
    • Черная модель
      • шапки и полы
      • обмены
      • Варианты облигаций
    • Краткосрочные модели
      • Модель Рендлмана – Барттера
      • Модель Васичека
      • Модель Хо – Ли
      • Модель Халла – Уайта
      • Модель Кокса – Ингерсолла – Росса
      • Модель Блэка – Карасинского
      • Модель Black – Derman – Toy
      • Модель Калотая – Вильямса – Фабоцци
      • Модель Лонгстаффа – Шварца
      • Чен модель
    • Модели на основе форвардной ставки
      • Модель рынка LIBOR ( Модель Брейса – Гатарека – Мусиела, BGM)
      • Модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM)

Моделирование портфолио [ править ]

Дополнительная информация: Краткое изложение финансов § Теория портфеля и Краткое описание финансов § Количественное инвестирование

См. Также [ править ]

  • Броуновская модель финансовых рынков
  • Вычислительные финансы
  • Деривативы (финансы) , перечень тем по деривативам
  • Экономическая модель
  • Эконофизика
  • Финансовая экономика
  • Финансовое проектирование
  • Финансовое моделирование § Количественные финансы
  • Международная ассоциация свопов и деривативов
  • Указатель бухгалтерских статей
  • Список экономистов
  • Магистр количественных финансов
  • Очерк экономики
  • Схема финансов
  • Физика финансовых рынков
  • Количественные поведенческие финансы
  • Статистические финансы
  • Технический анализ
  • XVA
  • Квантовые финансы

Заметки [ править ]

  1. ↑ Джонсон, Тим (1 сентября 2009 г.). «Что такое финансовая математика?» . + Журнал "Плюс" . Проверено 1 марта 2021 года .
  2. ^ «Количественные финансы» . About.com . Проверено 28 марта 2014 .
  3. ^ Э., Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление для финансов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387401003. OCLC  53289874 .
  4. Перейти ↑ Stephen., Blyth (2013). Введение в количественные финансы . Издательство Оксфордского университета, США. п. 157. ISBN. 9780199666591. OCLC  868286679 .
  5. ^ Б., Шмидт, Анатолий (2005). Количественные финансы для физиков: введение . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. ISBN 9780080492209. OCLC  57743436 .
  6. ^ Bachelir, Луи. «Теория спекуляции» . Проверено 28 марта 2014 .
  7. ^ Линдбек, Ассар. «Премия Sveriges Riksbank в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 1969-2007» . Нобелевская премия . Проверено 28 марта 2014 .
  8. ↑ Браун, Ангус (1 декабря 2008 г.). «Рискованный бизнес: как оценивать производные финансовые инструменты» . Цена + Журнал . Проверено 28 марта 2014 .
  9. ^ Karatzas, Иоаннис; Шрив, Стив (1998). Методы математических финансов . Секакус, штат Нью-Джерси, США: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN 9780387948393.
  10. ^ Meucci, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов . Springer. ISBN 9783642009648.
  11. ^ a b Талеб, Нассим Николас (2007). Черный лебедь: влияние невероятного . Случайная торговля домом. ISBN 978-1-4000-6351-2.
  12. ^ «Манифест разработчиков финансовых моделей» . Блог Пола Уилмотта. 8 января 2009 года архив с оригинала на 8 сентября 2014 года . Проверено 1 июня 2012 года .
  13. ^ Джиллиан Тетт (15 апреля 2010). «Математики должны выбраться из своих башен из слоновой кости» . Financial Times .
  14. ^ Светлозар Т. Рачев; Фрэнк Дж. Фабоцци ; Кристиан Менн (2005). Неопределенное и асимметричное распределение доходности активов: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0471718864.
  15. ^ Б. Мандельброт , "Изменение некоторых спекулятивных цен" , Журнал бизнеса 1963 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Николь Эль Каруи , «Будущее финансовой математики» , ParisTech Review , 6 сентября 2013 г.
  • Гарольд Марковиц , «Выбор портфеля», The Journal of Finance , 7, 1952, стр. 77–91.
  • Аттилио Меуччи , «P Versus Q: различия и сходства между двумя областями количественного финансирования» , GARP Risk Professional , февраль 2011 г., стр. 41–44
  • Уильям Ф. Шарп , Инвестиции , Прентис-Холл, 1985