Ценообразование по мартингейлу

Ценообразование по мартингейлу - это подход к ценообразованию, основанный на понятиях мартингейла и нейтральности риска . Подход к ценообразованию мартингейл является краеугольным камнем современного количественного финансирования и может применяться к различным контрактам с производными финансовыми инструментами , например, опционам , фьючерсам , производным финансовым инструментам на процентную ставку , кредитным производным инструментам и т. Д.

В отличие от подхода PDE к ценообразованию, формулы ценообразования мартингейла имеют форму ожиданий, которые могут быть эффективно решены численно с использованием подхода Монте-Карло . Таким образом, ценообразование по мартингейлу предпочтительнее при оценке крупномасштабных контрактов, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценка контрактов в американском стиле проблематична и требует дискретизации проблемы (превращения ее в бермудский вариант ), и только в 2001 году Ф.А. Лонгстафф и Э.С. Шварц разработали практический метод Монте-Карло для ценообразования американских опционов. ^[1]

Представление теории меры [ править ]

Предположим , что состояние рынка может быть представлена фильтрованной вероятностного пространства , . Позвольте быть стохастическим ценовым процессом на этом пространстве. В соответствии с философией отсутствия арбитража можно установить цену на производную ценную бумагу следующим образом:${\ displaystyle (\ Omega, ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ in [0, T]}, {\ tilde {\ mathbb {P}}})}$${\ Displaystyle \ {S (т) \} _ {т \ в [0, Т]}}$${\ Displaystyle V (т, S (т))}$

${\ Displaystyle D (t) V (t, S (t)) = {\ тильда {\ mathbb {E}}} [D (T) V (T, S (T)) | {\ mathcal {F}} _ {t}], \ qquad dD (t) = - r (t) D (t) \ dt}$

Где нейтральная к риску мера .${\ Displaystyle {\ тильда {\ mathbb {P}}}}$

${\displaystyle (r(t))_{t\in [0,T]}}$- это измеримый (безрисковый, возможно, стохастический) процесс процентной ставки.${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Это достигается за счет почти надежного воспроизведения временной выплаты производного инструмента с использованием только базовых ценных бумаг и безрискового денежного рынка (MMA). Эти базовые активы имеют цены, которые наблюдаемы и известны. В частности, человек строит портфельный процесс в непрерывном времени, где он держит акции базовых акций каждый раз и деньги, зарабатывая безрисковую ставку . Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению${\displaystyle T}$${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,T]}}$${\displaystyle \Delta (t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X(t)-\Delta (t)S(t)}$${\displaystyle r(t)}$

${\displaystyle dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

Затем можно попытаться применить теорему Гирсанова путем первых вычислений ; то есть производная Радона – Никодима по наблюдаемому рыночному распределению вероятностей. Это гарантирует, что процесс репликации дисконтированного портфеля будет мартингейлом в условиях нейтрального риска. ${\displaystyle {\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}$

Если такой процесс может быть четко определен и сконструирован, то результатом будет выбор , из чего сразу следует, что это произойдет - почти наверняка , поскольку эти две меры эквивалентны.${\displaystyle \Delta (t)}$${\displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

См. Также [ править ]

• Броуновская модель финансовых рынков
• Мартингейл (теория вероятностей)

Ссылки [ править ]