Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с алгоритмом Монте-Карло .

Методы Монте-Карло , или эксперименты Монте-Карло , представляют собой широкий класс вычислительных алгоритмов, которые полагаются на повторную случайную выборку для получения численных результатов. Основная концепция заключается в использовании случайности для решения проблем, которые в принципе могут быть детерминированными . Они часто используются в физических и математических задачах и наиболее полезны, когда использование других подходов затруднено или невозможно. Методы Монте-Карло в основном используются в трех классах задач: [1] оптимизация , численное интегрирование и получение результатов на основе распределения вероятностей..

В задачах, связанных с физикой, методы Монте-Карло полезны для моделирования систем со многими связанными степенями свободы , таких как жидкости, неупорядоченные материалы, сильно связанные твердые тела и ячеистые структуры (см. Сотовую модель Поттса , системы взаимодействующих частиц , процессы Маккина – Власова , кинетические модели газов ).

Другие примеры включают моделирование явлений со значительной неопределенностью во входных данных, таких как расчет риска в бизнесе и, в математике, оценка многомерных определенных интегралов со сложными граничными условиями . Применительно к задачам системного проектирования (космос, разведка нефти , проектирование самолетов и т. Д.) Предсказания отказов, перерасхода средств и перерасхода графика на основе Монте-Карло обычно лучше, чем человеческая интуиция или альтернативные «мягкие» методы. [2]

В принципе, методы Монте-Карло можно использовать для решения любой задачи, имеющей вероятностную интерпретацию. По закону больших чисел интегралы, описываемые ожидаемым значением некоторой случайной величины, могут быть аппроксимированы путем взятия эмпирического среднего (также известного как выборочное среднее) независимых выборок переменной. Когда распределение вероятностей переменной параметризовано, математики часто используют пробоотборник цепи Маркова Монте-Карло (MCMC). [3] [4] [5] Основная идея состоит в том, чтобы разработать разумную модель цепи Маркова с заданным стационарным распределением вероятностей.. То есть в пределе выборки, генерируемые методом MCMC, будут выборками из желаемого (целевого) распределения. [6] [7] По эргодической теореме стационарное распределение аппроксимируется эмпирическими мерами случайных состояний устройства выборки MCMC.

В других задачах цель состоит в том, чтобы получить результаты из последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции. Эти потоки вероятностных распределений всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса , вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний (см. Процессы Маккина – Власова , уравнение нелинейной фильтрации ). [8] [9]В других случаях нам дается поток распределений вероятностей с возрастающим уровнем сложности выборки (модели пространств путей с увеличивающимся временным горизонтом, меры Больцмана – Гиббса, связанные с уменьшением температурных параметров, и многие другие). Эти модели также можно рассматривать как эволюцию закона случайных состояний нелинейной цепи Маркова. [9] [10] Естественным способом моделирования этих сложных нелинейных марковских процессов является выборка нескольких копий процесса, замена в уравнении эволюции неизвестных распределений случайных состояний выборочными эмпирическими мерами . В отличие от традиционных методологий Монте-Карло и MCMC, эти частицы среднего поляметоды полагаются на последовательные взаимодействующие образцы. Терминологическое поле средних значений отражает тот факт, что каждый из образцов (он же частицы, люди, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими измерениями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает.

Обзор [ править ]

Методы Монте-Карло различаются, но, как правило, следуют определенной схеме:

  1. Определите область возможных входов
  2. Генерация входных данных случайным образом из распределения вероятностей по области
  3. Выполните детерминированное вычисление на входах
  4. Сгруппируйте результаты
Метод Монте-Карло применяется для аппроксимации значения π .

Например, рассмотрим квадрант (круговой сектор), вписанный в единичный квадрат . Учитывая, что соотношение их площадей равноπ/4, значение π может быть аппроксимировано методом Монте-Карло: [11]

  1. Нарисуйте квадрат, то вписывать квадрант внутри него
  2. Равномерно разбросайте заданное количество точек по квадрату
  3. Подсчитайте количество точек внутри квадранта, т. Е. Имеющих расстояние от начала координат менее 1
  4. Отношение внутреннего подсчета и общего количества образцов является оценкой отношения двух областей, π/4. Умножьте результат на 4, чтобы оценить π .

В этой процедуре областью ввода является квадрат, ограничивающий квадрант. Мы генерируем случайные входные данные, разбрасывая зерна по квадрату, затем выполняем вычисление для каждого входа (проверяем, попадает ли он в квадрант). Объединение результатов дает наш окончательный результат - приближение π .

Есть два важных момента:

  1. Если точки распределены неравномерно, аппроксимация будет плохой.
  2. Есть много моментов. Аппроксимация обычно плохая, если во всем квадрате случайным образом размещаются только несколько точек. В среднем аппроксимация улучшается по мере размещения большего количества точек.

Использование методов Монте-Карло требует большого количества случайных чисел, и именно их использование стимулировало разработку генераторов псевдослучайных чисел [ необходима цитата ] , которые были намного быстрее в использовании, чем таблицы случайных чисел, которые ранее использовались для статистической выборки .

История [ править ]

До того, как был разработан метод Монте-Карло, моделирование проверяло ранее понятую детерминированную проблему, и статистическая выборка использовалась для оценки неопределенностей в моделировании. Моделирование методом Монте-Карло инвертирует этот подход, решая детерминированные проблемы с использованием вероятностной метаэвристики (см. Моделирование отжига ).

Ранний вариант метода Монте-Карло был разработан для решения проблемы с иглой Бюффона , в которой π можно оценить, бросив иглы на пол, сделанный из параллельных равноудаленных полос. В 1930-х годах Энрико Ферми впервые экспериментировал с методом Монте-Карло, изучая диффузию нейтронов, но он не опубликовал эту работу. [12]

В конце 1940-х годов Станислав Улам изобрел современную версию метода Монте-Карло цепей Маркова, когда работал над проектами ядерного оружия в Национальной лаборатории Лос-Аламоса . Сразу после прорыва Улама Джон фон Нейман осознал его важность. Фон Нейман запрограммировал компьютер ENIAC для выполнения расчетов методом Монте-Карло. В 1946 году физики-ядерщики из Лос-Аламоса исследовали диффузию нейтронов в делящемся материале. [12]Несмотря на наличие большинства необходимых данных, таких как среднее расстояние, которое нейтрон пройдет в веществе до столкновения с атомным ядром, и сколько энергии нейтрон, вероятно, испустит после столкновения, физики из Лос-Аламоса не смогли решить проблема с использованием обычных, детерминированных математических методов. Улам предложил использовать случайные эксперименты. Он так описывает свое вдохновение:

Первые мысли и попытки, которые я предпринял на практике [метод Монте-Карло], были вызваны вопросом, который возник у меня в 1946 году, когда я выздоравливал от болезни и раскладывал пасьянсы. Вопрос заключался в том, каковы шансы, что пасьянс Кэнфилдвыложенные 52 карты удачно вылезут? Потратив много времени на попытки оценить их с помощью чистых комбинаторных вычислений, я задумался, не может ли быть более практичным методом, чем «абстрактное мышление», изложить его, скажем, сто раз и просто наблюдать и подсчитывать количество успешных пьес. Это уже можно было представить с началом новой эры быстрых компьютеров, и я сразу же задумался о проблемах диффузии нейтронов и других вопросах математической физики, и в более общем плане о том, как преобразовать процессы, описываемые некоторыми дифференциальными уравнениями, в эквивалентную форму, которую можно интерпретировать. как последовательность случайных операций. Позже [в 1946 году] я рассказал об этой идее Джону фон Нейману , и мы начали планировать реальные расчеты. [13]

Поскольку работа фон Неймана и Улама была секретной, ей требовалось кодовое название. [14] Коллега фон Неймана и Улама, Николас Метрополис , предложил использовать название Монте-Карло , которое относится к казино Монте-Карло в Монако, где дядя Улама занимал деньги у родственников, чтобы играть в азартные игры. [12] Использование списков «действительно случайных» случайных чисел было чрезвычайно медленным, но фон Нейман разработал способ вычисления псевдослучайных чисел , используя метод среднего квадрата.. Хотя этот метод критиковали как грубый, фон Нейман знал об этом: он оправдал его как более быстрый, чем любой другой метод, находящийся в его распоряжении, а также отметил, что, когда он пошел наперекосяк, он явно делал это, в отличие от методов, которые могли быть слегка неверными. . [15]

Методы Монте-Карло были центральными для моделирования, необходимого для Манхэттенского проекта , хотя в то время они были сильно ограничены вычислительными инструментами. В 1950-х годах они использовались в Лос-Аламосе для ранних работ, связанных с разработкой водородной бомбы , и стали популярными в областях физики , физической химии и исследований операций . Rand Corporation и ВВС США были два крупных организаций , ответственных за финансирование и распространение информации о методах Монте - Карло в это время, и они стали находить широкое применение в самых разных областях.

Теория более сложных методов Монте-Карло частиц типа среднего поля, безусловно, началась в середине 1960-х годов с работы Генри П. Маккина-младшего по марковским интерпретациям класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкости. [16] [17] Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодора Э. Харриса и Германа Кана, опубликованную в 1951 году, в которой использовались методы Монте-Карло генетического типа среднего поля для оценки энергии прохождения частиц. [18] Методологии Монте-Карло генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как метаэвристические алгоритмы ).) в эволюционных вычислениях. Истоки этих методов вычисления среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 годов с работами Алана Тьюринга об обучающих машинах с отбором мутаций по генетическому типу [19] и статьями Нильса Алла Барричелли из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси. . [20] [21]

Квантовый Монте - Карло , и более конкретно диффузии методом Монте - Карло методы также можно интерпретировать как среднее поле частиц методом Монте - Карло приближении Фейнман - Каца интегралов по траекториям. [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] Истоки методов квантового Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию нейтронной цепочки с помощью частиц среднего поля. реакции, [29]но первый эвристический алгоритм частиц генетического типа (также известный как методы повторной выборки или реконфигурации Монте-Карло) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях с сокращенной матрицей) был разработан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 г. [28] В молекулярной химии, Использование генетических эвристических методологий частиц (также известных как стратегии сокращения и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда были основополагающие работы Маршалла Н. Розенблют и Арианны В. Розенблут . [30]

Использование последовательного Монте-Карло для расширенной обработки сигналов и байесовского вывода появилось совсем недавно. В 1993 году Гордон и др. Опубликовали в своей основополагающей работе [31] первое применение алгоритма повторной выборки Монте-Карло для байесовского статистического вывода. Авторы назвали свой алгоритм «бутстрап-фильтром» и продемонстрировали, что по сравнению с другими методами фильтрации их самонастраивающийся алгоритм не требует никаких предположений об этом пространстве состояний или шумах системы. Мы также процитируем другую новаторскую статью в этой области Генширо Китагавы о родственном «фильтре Монте-Карло» [32] и статьи Пьера Дель Мораля [33]и Химилькон Карвалью, Пьер Дель Мораль, Андре Монен и Жерар Салю [34] о фильтрах частиц, опубликованных в середине 1990-х годов. Фильтры твердых частиц были также разработаны для обработки сигналов в 1989–1992 гг. П. Дель Мораль, Дж. К. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions). et Armes Navales), ИТ-компании DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов радара / гидролокатора и GPS. [35] [36] [37] [38] [39] [40] Эти методологии последовательного Монте-Карло можно интерпретировать как пробоотборник приемки-отклонения, оснащенный взаимодействующим механизмом рециркуляции.

С 1950 по 1996 год все публикации по методологиям последовательного Монте-Карло, включая методы отсечения и повторной выборки методов Монте-Карло, представленные в вычислительной физике и молекулярной химии, представляют естественные и эвристические алгоритмы, применяемые к различным ситуациям без единого доказательства их согласованности, а также обсуждение предвзятости оценок и алгоритмов, основанных на генеалогии и древе предков. Математические основы и первый строгий анализ этих алгоритмов частиц были написаны Пьером Дель Моралем в 1996 году. [33] [41]

Методологии частиц ветвящегося типа с различными размерами популяции также были разработаны в конце 1990-х Дэном Крисаном, Джессикой Гейнс и Терри Лайонс, [42] [43] [44] и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом. [45] Дальнейшие разработки в этой области были разработаны в 2000 г. П. Дель Моралем, А. Гионнет и Л. Микло. [23] [46] [47]

Определения [ править ]

Нет единого мнения о том, как следует определять Монте-Карло . Например, Рипли [48] определяет наиболее вероятностное моделирование как стохастическое моделирование , при этом Монте-Карло зарезервирован для интеграции Монте-Карло и статистических тестов Монте-Карло. Савиловский [49] различает моделирование , метод Монте-Карло и моделирование Монте-Карло: моделирование - это фиктивное представление реальности, метод Монте-Карло - это метод, который можно использовать для решения математической или статистической задачи, и Моделирование методом Монте-Карло использует повторную выборку для получения статистических свойств некоторого явления (или поведения). Примеры:

  • Моделирование: рисование одной псевдослучайной равномерной переменной из интервала [0,1] может использоваться для моделирования подбрасывания монеты: если значение меньше или равно 0,50, обозначьте результат как орел, но если значение больше чем 0,50 обозначают исход как решку. Это симуляция, а не симуляция Монте-Карло.
  • Метод Монте-Карло: выливание коробки с монетами на стол и последующее вычисление соотношения монет, выпавших на карту, и решки - это метод Монте-Карло для определения поведения повторяющихся подбрасываний монет, но это не моделирование.
  • Моделирование методом Монте-Карло: отрисовка большого количества псевдослучайных однородных переменных из интервала [0,1] за один раз или один раз в разные моменты времени и присвоение значений меньше или равных 0,50 в качестве орлов и больше 0,50 в качестве хвостов. , представляет собой симуляцию Монте-Карло поведения многократного подбрасывания монеты.

Калос и Уитлок [50] указывают, что такие различия не всегда легко поддерживать. Например, излучение атомов - это естественный случайный процесс. Его можно смоделировать напрямую, или его среднее поведение можно описать стохастическими уравнениями, которые сами могут быть решены с использованием методов Монте-Карло. «Действительно, один и тот же компьютерный код можно рассматривать одновременно как« естественное моделирование »или как решение уравнений путем естественной выборки».

Монте-Карло и случайные числа [ править ]

Основная идея этого метода заключается в том, что результаты вычисляются на основе повторной случайной выборки и статистического анализа. Моделирование методом Монте-Карло, по сути, представляет собой случайный эксперимент в том случае, если результаты этих экспериментов малоизвестны. Моделирование методом Монте-Карло обычно характеризуется множеством неизвестных параметров, многие из которых трудно получить экспериментально. [51] Методы моделирования Монте-Карло не всегда требуют использования действительно случайных чисел (хотя для некоторых приложений, таких как проверка простоты , непредсказуемость жизненно важна). [52] Многие из наиболее полезных методов используют детерминированный, псевдослучайныйпоследовательности, что упрощает тестирование и повторный запуск моделирования. Единственное качество, которое обычно необходимо для проведения хорошего моделирования, - это чтобы псевдослучайная последовательность казалась в определенном смысле «достаточно случайной».

Что это означает, зависит от приложения, но обычно они должны пройти серию статистических тестов. Проверка того, что числа распределены равномерно или следуют другому желаемому распределению, когда рассматривается достаточно большое количество элементов последовательности, является одним из самых простых и распространенных. Также часто желательны / необходимы слабые корреляции между последовательными выборками.

Савиловский перечисляет характеристики высококачественного моделирования Монте-Карло: [49]

  • генератор (псевдослучайных) чисел имеет определенные характеристики (например, длинный «период» перед повторением последовательности)
  • генератор (псевдослучайных) чисел производит значения, которые проходят проверку на случайность
  • имеется достаточно образцов, чтобы гарантировать точные результаты
  • используется правильная техника отбора проб
  • используемый алгоритм действителен для моделируемого объекта
  • он имитирует рассматриваемое явление.

Алгоритмы выборки псевдослучайных чисел используются для преобразования равномерно распределенных псевдослучайных чисел в числа, которые распределяются согласно заданному распределению вероятностей .

Последовательности с низким расхождением часто используются вместо случайной выборки из пространства, поскольку они обеспечивают равномерный охват и обычно имеют более быстрый порядок сходимости, чем моделирование методом Монте-Карло с использованием случайных или псевдослучайных последовательностей. Методы, основанные на их использовании, называются методами квази-Монте-Карло .

Пытаясь оценить влияние качества случайных чисел на результаты моделирования методом Монте-Карло, астрофизические исследователи протестировали криптографически безопасные псевдослучайные числа, сгенерированные с помощью набора команд Intel RDRAND , по сравнению с числами, полученными из алгоритмов, таких как Mersenne Twister , в моделированиях Монте-Карло. радиовспышки от коричневых карликов . RDRAND - это генератор псевдослучайных чисел, ближайший к истинному генератору случайных чисел. Не было обнаружено статистически значимой разницы между моделями, созданными с помощью типичных генераторов псевдослучайных чисел и RDRAND для испытаний, состоящих из генерации 10 7 случайных чисел. [53]

Mersenne_twister (MT19937) на Python (моделирование методом Монте-Карло) [ править ]

Методом Монте - Карло моделирования определяется как любой метод , который использует последовательности случайных чисел , чтобы выполнить моделирование. Моделирование методом Монте-Карло применяется ко многим темам, включая квантовую хромодинамику , лучевую терапию рака, транспортный поток, звездную эволюцию и проектирование СБИС. Все эти симуляции требуют использования случайных чисел и, следовательно, генераторов псевдослучайных чисел , что делает создание случайных чисел очень важным.

Простым примером того, как компьютер будет выполнять моделирование методом Монте-Карло, является вычисление π . Если бы квадрат окружал круг, а точка была бы случайно выбрана внутри квадрата, то точка либо лежала бы внутри круга, либо вне его. Если бы процесс повторялся много раз, отношение случайных точек, которые лежат внутри круга, к общему количеству случайных точек в квадрате было бы приблизительно равным отношению площади круга к площади квадрата. Исходя из этого, мы можем оценить число пи, как показано в коде Python ниже, используя пакет SciPy для генерации псевдослучайных чисел с помощью алгоритма MT19937 . Обратите внимание, что этот метод является вычислительно неэффективным способом численной аппроксимации π .

импортный  scipyN  =  100000 x_array  =  scipy . случайный . rand ( N ) y_array  =  scipy . случайный . rand ( N ) # генерирует N псевдослучайных независимых значений x и y на интервале [0,1) N_qtr_circle  =  sum ( x_array  **  2  +  y_array  **  2  <  1 ) # Количество точек внутри четверти круга x ^ 2 + y ^ 2 <1 с центром в начале координат с радиусом r = 1.# Истинная площадь четверти круга равна pi / 4, и в ней есть N_qtr_circle точек. # Истинная площадь квадрата равна 1 и имеет N точек внутри, поэтому мы приближаем число Пи как pi_approx  =  4  *  float ( N_qtr_circle )  /  N  # Типичные значения: 3.13756, 3.15156

Моделирование Монте-Карло в сравнении со сценариями "что, если" [ править ]

Существуют способы использования вероятностей, которые определенно не являются симуляциями Монте-Карло - например, детерминированное моделирование с использованием одноточечных оценок. Каждой неопределенной переменной в модели назначается оценка «наилучшего предположения». Для каждой входной переменной выбираются сценарии (например, лучший, наихудший или наиболее вероятный), а результаты записываются. [54]

Напротив, моделирование методом Монте-Карло выбирает из распределения вероятностей для каждой переменной, чтобы получить сотни или тысячи возможных результатов. Результаты анализируются для определения вероятностей наступления различных исходов. [55] Например, сравнение модели построения электронной таблицы, запускаемой с использованием традиционных сценариев «что, если», а затем повторное сравнение с моделированием Монте-Карло и треугольными распределениями вероятностей, показывает, что анализ Монте-Карло имеет более узкий диапазон, чем « что если "анализ. [ необходим пример ] Это связано с тем, что анализ «что, если» придает равный вес всем сценариям (см. количественную оценку неопределенности в корпоративных финансах), в то время как метод Монте-Карло практически не производит выборку в областях с очень низкой вероятностью. Образцы в таких регионах называют «редкими событиями».

Приложения [ править ]

Методы Монте-Карло особенно полезны для моделирования явлений со значительной неопределенностью входных данных и систем со многими связанными степенями свободы. Области применения включают:

Физические науки [ править ]

Вычислительная физика
Механика  · Электромагнетизм  · Термодинамика  · Моделирование
Потенциал
Потенциал Морзе / Дальнего действия  · Потенциал Леннарда-Джонса  · Потенциал Юкавы  · Потенциал Морзе
Динамика жидкостей
Конечная разница  · Конечный объем

Конечный элемент  · Граничный элемент
Решетка Больцмана  · Решатель Римана
Динамика
диссипативных частиц Гидродинамика сглаженных частиц

Модели турбулентности
Методы Монте-Карло
Интеграция  · Выборка Гиббса  · Алгоритм Метрополиса
Частицы
N-тело  · Частица в клетке
Молекулярная динамика
Ученые
Годунов  · Улам  · фон Нейман  · Галеркин  · Лоренц  · Уилсон  · Ольха  · Рихтмайер
  • v
  • т
  • е
Смотрите также: метод Монте-Карло в статистической физике

Методы Монте-Карло очень важны в вычислительной физике , физической химии и смежных прикладных областях и имеют разнообразные приложения от сложных расчетов квантовой хромодинамики до проектирования тепловых экранов и аэродинамических форм, а также моделирования переноса излучения для расчетов дозиметрии излучения. [56] [57] [58] В статистической физике молекулярное моделирование методом Монте-Карло является альтернативой вычислительной молекулярной динамике , и методы Монте-Карло используются для расчета статистических теорий поля для систем простых частиц и полимеров. [30][59] Квантовые методы Монте-Карло решают проблему многих тел для квантовых систем. [8] [9] [22] В радиации науки о материалах , то бинарное приближение столкновений для моделирования ионной имплантации , как правилона основе подхода МонтеКарлочтобы выбрать следующий атом сталкивающихся. [60] В экспериментальной физике элементарных частиц методы Монте-Карло используются для разработки детекторов , понимания их поведения и сравнения экспериментальных данных с теорией. В астрофизике они используются настолько разнообразно, что моделируютэволюцию галактик.[61] и прохождение микроволнового излучения через шероховатую поверхность планеты. [62] Методы Монте-Карло также используются в ансамблевых моделях, которые составляют основу современного прогнозирования погоды .

Инженерное дело [ править ]

Методы Монте-Карло широко используются в инженерии для анализа чувствительности и количественного вероятностного анализа при проектировании процессов . Необходимость возникает из-за интерактивного, коллинеарного и нелинейного поведения типичного моделирования процесса. Например,

  • В микроэлектронике методы Монте-Карло применяются для анализа коррелированных и некоррелированных изменений в аналоговых и цифровых интегральных схемах .
  • В геостатистике и геометаллургии методы Монте-Карло лежат в основе разработки технологических схем переработки полезных ископаемых и способствуют количественному анализу рисков . [63]
  • В энергии ветра анализа текучести, предсказанный выход энергии ветра фермы в течение его срока службы рассчитывается давая различные уровни неопределенности ( P90 , P50 и т.д.)
  • воздействие загрязнения моделируется [64] и дизельное топливо по сравнению с бензином. [65]
  • В гидродинамике , в частности в динамике разреженного газа , где уравнение Больцмана решается для течений жидкости с конечным числом Кнудсена с использованием метода прямого моделирования Монте-Карло [66] в сочетании с высокоэффективными вычислительными алгоритмами. [67]
  • В автономных роботов , локализации Монте - Карло можно определить положение робота. Он часто применяется к стохастическим фильтрам, таким как фильтр Калмана или фильтр частиц, который составляет основу алгоритма SLAM (одновременная локализация и отображение).
  • В сфере телекоммуникаций при планировании беспроводной сети необходимо доказать, что конструкция работает для самых разных сценариев, которые зависят, главным образом, от количества пользователей, их местоположения и услуг, которые они хотят использовать. Методы Монте-Карло обычно используются для генерации этих пользователей и их состояний. Затем оценивается производительность сети и, если результаты неудовлетворительны, проект сети проходит процесс оптимизации.
  • В проектировании надежности моделирование методом Монте-Карло используется для вычисления отклика на уровне системы с учетом отклика на уровне компонентов. Например, для транспортной сети, подверженной землетрясению, моделирование Монте-Карло можно использовать для оценки надежности k- терминала сети с учетом вероятности отказа ее компонентов, например мостов, дорог и т. Д. [68] [69] [70]
  • В обработке сигналов и вывода байесовского , фильтры частиц и последовательных методов Монте - Карло представляют собой класс средних методов поля частиц для отбора проб и вычисления заднего распределения процесса сигнала заданной некоторые шумные и частичные наблюдения с использованием взаимодействующих эмпирических мер .

Изменение климата и радиационное воздействие [ править ]

Межправительственная группа экспертов по изменению климата основывается на методах Монте - Карло в функции плотности вероятности анализа радиационного воздействия .

Функция плотности вероятности (PDF) ERF из-за общего ПГ, аэрозольного воздействия и полного антропогенного воздействия. ПГ состоит из WMGHG, озона и водяного пара в стратосфере. PDF генерируются на основе неопределенностей, представленных в таблице 8.6. Комбинация отдельных радиочастотных агентов для получения общего принуждения в индустриальную эпоху выполняется с помощью моделирования методом Монте-Карло и основывается на методе, описанном Бушером и Хейвудом (2001). PDF ERF от изменений поверхностного альбедо и комбинированных инверсионных следов и перистых следов, вызванных инверсионным следом, включены в общее антропогенное воздействие, но не показаны в виде отдельного PDF. В настоящее время у нас нет оценок ERF для некоторых механизмов воздействия: озона, землепользования, солнечной энергии и т. Д. [71]

Вычислительная биология [ править ]

Методы Монте-Карло используются в различных областях вычислительной биологии , например, для байесовского вывода в филогении или для изучения биологических систем, таких как геномы, белки [72] или мембраны. [73] Системы могут быть изучены в крупномасштабных или ab initio рамках в зависимости от желаемой точности. Компьютерное моделирование позволяет нам отслеживать локальное окружение конкретной молекулы, например, чтобы увидеть, не происходит ли какая-то химическая реакция . В тех случаях, когда невозможно провести физический эксперимент, мысленные эксперименты могут проводиться (например: разрыв связей, введение примесей в определенные места, изменение локальной / глобальной структуры или введение внешних полей).

Компьютерная графика [ править ]

Трассировка пути , иногда называемая трассировкой лучей Монте-Карло, визуализирует трехмерную сцену путем случайного отслеживания выборок возможных световых путей. Повторная выборка любого заданного пикселя в конечном итоге приведет к тому, что среднее из выборок сойдется с правильным решением уравнения рендеринга , что сделает его одним из наиболее физически точных существующих методов рендеринга 3D-графики.

Прикладная статистика [ править ]

Стандарты для экспериментов Монте-Карло в статистике были установлены Савиловским. [74] В прикладной статистике методы Монте-Карло могут использоваться как минимум для четырех целей:

  1. Для сравнения конкурирующих статистических данных для небольших выборок в условиях реальных данных. Хотя погрешность типа I и характеристики мощности статистики могут быть рассчитаны для данных, взятых из классических теоретических распределений ( например , нормальная кривая , распределение Коши ) для асимптотических условий ( т. Е. Бесконечный размер выборки и бесконечно малый эффект обработки), реальные данные часто делают это. нет таких раздач. [75]
  2. Обеспечить реализации тестов гипотез , которые более эффективны, чем точные тесты, такие как тесты перестановок (которые часто невозможно вычислить), но при этом являются более точными, чем критические значения для асимптотических распределений .
  3. Чтобы предоставить случайную выборку из апостериорного распределения в байесовском выводе . Затем этот образец аппроксимирует и суммирует все основные особенности заднего отдела.
  4. Обеспечить эффективные случайные оценки матрицы Гессе отрицательной функции логарифмического правдоподобия, которые могут быть усреднены для формирования оценки информационной матрицы Фишера . [76] [77]

Методы Монте-Карло также представляют собой компромисс между приблизительной рандомизацией и перестановочными тестами. Приблизительный тест рандомизации основан на заданном подмножестве всех перестановок (что влечет за собой потенциально огромную уборку того, какие перестановки были рассмотрены). Подход Монте-Карло основан на заданном количестве случайно выбранных перестановок (замена незначительной потери точности, если перестановка рисуется дважды - или чаще - на эффективность отсутствия необходимости отслеживать, какие перестановки уже были выбраны).

Искусственный интеллект для игр [ править ]

Основная статья: поиск дерева Монте-Карло

Методы Монте-Карло превратились в метод, называемый поиском по дереву Монте-Карло, который полезен для поиска лучшего хода в игре. Возможные ходы организованы в дерево поиска, и для оценки долгосрочного потенциала каждого хода используется множество случайных имитаций. Симулятор черного ящика представляет действия противника. [78]

Метод поиска по дереву Монте-Карло (MCTS) состоит из четырех шагов: [79]

  1. Начиная с корневого узла дерева, выбирайте оптимальные дочерние узлы, пока не будет достигнут листовой узел.
  2. Разверните листовой узел и выберите одного из его дочерних узлов.
  3. Сыграйте в имитацию игры, начиная с этого узла.
  4. Используйте результаты этой моделируемой игры, чтобы обновить узел и его предков.

Чистый эффект в ходе многих имитируемых игр состоит в том, что значение узла, представляющего движение, будет увеличиваться или уменьшаться в зависимости от того, представляет ли этот узел хороший ход.

Поиск по дереву методом Монте-Карло успешно использовался в таких играх, как Go , [80] Tantrix , [81] Battleship , [82] Havannah , [83] и Arimaa . [84]

См. Также: Computer Go

Дизайн и визуальные эффекты [ править ]

Методы Монте-Карло также эффективны при решении связанных интегрально-дифференциальных уравнений полей излучения и переноса энергии, и поэтому эти методы использовались в вычислениях глобального освещения, которые производят фотореалистичные изображения виртуальных 3D-моделей, с приложениями в видеоиграх , архитектуре , дизайне. , компьютерные фильмы и кинематографические спецэффекты. [85]

Поиск и спасение [ править ]

Береговая охрана США использует методы Монте - Карло в рамках его компьютерного моделирования программного обеспечения SAROPS для расчета вероятных местоположения судов во время поисково-спасательных операций. Каждое моделирование может генерировать до десяти тысяч точек данных, которые случайным образом распределяются на основе предоставленных переменных. [86] Затем на основе экстраполяции этих данных генерируются шаблоны поиска для оптимизации вероятности сдерживания (POC) и вероятности обнаружения (POD), которые вместе будут равны общей вероятности успеха (POS). В конечном итоге это служит практическим применением распределения вероятностей.чтобы обеспечить самый быстрый и наиболее целесообразный способ спасения, спасая жизни и ресурсы. [87]

Финансы и бизнес [ править ]

См. Также: методы Монте-Карло в финансах , методы квази-Монте-Карло в финансах , методы Монте-Карло для оценки опционов , стохастическое моделирование (страхование) и стохастическая модель активов.

Моделирование методом Монте-Карло обычно используется для оценки риска и неопределенности, которые могут повлиять на результат различных вариантов решения. Моделирование методом Монте-Карло позволяет аналитику бизнес-рисков учитывать общие эффекты неопределенности в таких переменных, как объем продаж, цены на товары и рабочую силу, процентные ставки и обменные курсы, а также влияние отдельных событий риска, таких как расторжение контракта или изменение налоговое право.

Методы Монте-Карло в финансах часто используются для оценки инвестиций в проекты на уровне бизнес-единицы или компании, а также для других финансовых оценок. Их можно использовать для моделирования графиков проекта , где моделирование объединяет оценки для наихудшего, наилучшего и наиболее вероятного продолжительности каждой задачи для определения результатов для всего проекта. [1] Методы Монте-Карло также используются при ценообразовании опционов и анализе риска дефолта. [88] [89] [90] Кроме того, их можно использовать для оценки финансового воздействия медицинских вмешательств. [91]

Закон [ править ]

Подход Монте-Карло использовался для оценки потенциальной ценности предлагаемой программы помощи женщинам-петиционерам в Висконсине в успешной подаче заявлений о преследовании и запретительных судебных приказах о насилии в семье . Было предложено помочь женщинам добиться успеха в удовлетворении их петиций, предоставив им более широкую поддержку, тем самым потенциально снизив риск изнасилования и физического насилия . Однако действовало множество переменных, которые нельзя было точно оценить, в том числе эффективность запретительных судебных приказов, успешность заявителей как с защитой, так и без нее, и многие другие. В ходе исследования были проведены испытания, в которых варьировались эти переменные, чтобы дать общую оценку уровня успеха предлагаемой программы в целом.[92]

Использование в математике [ править ]

В общем, методы Монте - Карло используются в математике , чтобы решать различные проблемы путем генерации подходящих случайных чисел (смотри также генерации случайных чисел ) и заметив , что часть чисел, подчиняющийся некоторое свойство или свойства. Метод полезен для получения численных решений задач, слишком сложных для решения аналитически. Наиболее распространенное применение метода Монте-Карло - интеграция Монте-Карло.

Интеграция [ править ]

Основная статья: интеграция Монте-Карло
Интеграция Монте-Карло работает путем сравнения случайных точек со значением функции.
Ошибки уменьшаются в раз

Детерминированные алгоритмы численного интегрирования хорошо работают в небольшом количестве измерений, но сталкиваются с двумя проблемами, когда функции имеют много переменных. Во-первых, количество необходимых оценок функций быстро увеличивается с увеличением количества измерений. Например, если 10 оценок обеспечивают адекватную точность в одном измерении, то для 100 измерений требуется 10 100 точек - слишком много для вычисления. Это называется проклятием размерности . Во-вторых, граница многомерной области может быть очень сложной, поэтому свести задачу к повторному интегралу может оказаться невозможным . [93] 100 измеренийв этом нет ничего необычного, поскольку во многих физических задачах «размерность» эквивалентна степени свободы .

Методы Монте-Карло позволяют избежать этого экспоненциального увеличения времени вычислений. Пока рассматриваемая функция ведет себя достаточно хорошо , ее можно оценить путем случайного выбора точек в 100-мерном пространстве и взятия некоторого среднего значения значений функции в этих точках. Согласно центральной предельной теореме , этот метод отображает сходимость, т. Е. Учетверение количества точек выборки уменьшает ошибку вдвое, независимо от количества измерений. [93]

Уточнение этого метода, известное как выборка по важности в статистике, включает случайную выборку точек, но чаще всего там, где подынтегральное выражение велико. Чтобы сделать это точно, нужно уже знать интеграл, но можно аппроксимировать интеграл интегралом аналогичной функции или использовать адаптивные процедуры, такие как стратифицированная выборка , рекурсивная стратифицированная выборка , адаптивная зонтичная выборка [94] [95] или Алгоритм VEGAS .

Похожий подход, метод квази-Монте-Карло , использует последовательности с низким расхождением . Эти последовательности лучше «заполняют» область и чаще выбирают наиболее важные точки, поэтому квази-Монте-Карло методы часто могут быстрее сходиться к интегралу.

Другой класс методов выборки точек в объеме - моделирование случайных блужданий по нему ( цепь Маркова Монте-Карло ). К таким методам относятся алгоритм Метрополиса – Гастингса , выборка Гиббса , алгоритм Ванга и Ландау и методологии MCMC взаимодействующего типа, такие как последовательные сэмплеры Монте-Карло . [96]

Моделирование и оптимизация [ править ]

Основная статья: Стохастическая оптимизация

Еще одно мощное и очень популярное приложение для случайных чисел в численном моделировании - численная оптимизация . Проблема состоит в том, чтобы минимизировать (или максимизировать) функции некоторого вектора, который часто имеет много измерений. Многие проблемы можно сформулировать таким образом: например, компьютерную шахматную программу можно рассматривать как попытку найти набор, скажем, из 10 ходов, который дает наилучшую функцию оценки в конце. В задачах коммивояжеры цель состоит в том, чтобы свести к минимуму расстояния. Есть также приложения к инженерному проектированию, такие как многопрофильная оптимизация дизайна . Он применялся с квазиодномерными моделями для решения задач динамики частиц путем эффективного исследования большого конфигурационного пространства. Ссылка[97] представляет собой всесторонний обзор многих вопросов, связанных с моделированием и оптимизацией.

Задача коммивояжераэто то, что называется обычной задачей оптимизации. То есть все факты (расстояния между каждой точкой назначения), необходимые для определения оптимального пути, по которому следует следовать, известны с уверенностью, и цель состоит в том, чтобы просмотреть возможные варианты путешествия, чтобы найти путь с наименьшим общим расстоянием. Однако давайте предположим, что вместо того, чтобы минимизировать общее расстояние, пройденное для посещения каждого желаемого пункта назначения, мы хотели минимизировать общее время, необходимое для достижения каждого пункта назначения. Это выходит за рамки обычной оптимизации, поскольку время в пути по своей сути неопределенно (пробки, время суток и т. Д.). Как результат,чтобы определить наш оптимальный путь, мы хотели бы использовать моделирование - оптимизацию, чтобы сначала понять диапазон потенциальных времен, которые может потребоваться, чтобы перейти от одной точки к другой (представленный в данном случае распределением вероятностей, а не конкретным расстоянием), а затем оптимизировать наш решения о поездках для определения наилучшего пути следования с учетом этой неопределенности.

Обратные задачи [ править ]

Вероятностная постановка обратных задач приводит к определению распределения вероятностей в пространстве модели. Это распределение вероятностей объединяет априорную информацию с новой информацией, полученной путем измерения некоторых наблюдаемых параметров (данных). Поскольку в общем случае теория, связывающая данные с параметрами модели, является нелинейной, апостериорная вероятность в пространстве модели может быть нелегко описать (она может быть мультимодальной, некоторые моменты могут быть не определены и т. Д.).

При анализе обратной задачи получения модели максимального правдоподобия обычно недостаточно, поскольку мы обычно также хотим иметь информацию о разрешающей способности данных. В общем случае у нас может быть много параметров модели, и проверка интересующих предельных плотностей вероятностей может быть непрактичной или даже бесполезной. Но можно псевдослучайно сгенерировать большую коллекцию моделей в соответствии с апостериорным распределением вероятностей, а также проанализировать и отобразить модели таким образом, чтобы информация об относительной вероятности свойств модели передавалась зрителю. Это может быть выполнено с помощью эффективного метода Монте-Карло даже в тех случаях, когда нет явной формулы для априорного распределения.

Наиболее известный метод выборки по важности, алгоритм Метрополиса, может быть обобщен, и это дает метод, который позволяет анализировать (возможно, сильно нелинейные) обратные задачи со сложной априорной информацией и данными с произвольным распределением шума. [98] [99]

Философия [ править ]

Популярную экспозицию метода Монте-Карло провел Маккракен. [100] Общая философия метода обсуждалась Элишаковым [101], Грюне-Яновым и Вейрихом. [102]

См. Также [ править ]

  • Вспомогательное поле Монте-Карло
  • Биология метод Монте-Карло
  • Сравнение надстроек Microsoft Excel для анализа рисков
  • Прямое моделирование Монте-Карло
  • Динамический метод Монте-Карло
  • Генетические алгоритмы
  • Кинетический Монте-Карло
  • Список программ для молекулярного моделирования методом Монте-Карло
  • Методы частиц среднего поля
  • Метод Монте-Карло для переноса фотонов
  • Методы Монте-Карло для электронного транспорта
  • Метод Морриса
  • Многоуровневый метод Монте-Карло
  • Фильтр твердых частиц
  • Квази-Монте-Карло метод
  • Последовательность Соболя
  • Обучение разнице во времени

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ Круз, Д.П .; Brereton, T .; Taimre, T .; Ботев, З.И. (2014). «Почему метод Монте-Карло так важен сегодня» . ПРОВОДА Comput Stat . 6 (6): 386–392. DOI : 10.1002 / wics.1314 . S2CID  18521840 .
  2. ^ Хаббард, Дуглас; Самуэльсон, Дуглас А. (октябрь 2009 г.). «Моделирование без измерений» . ИЛИ / MS Сегодня : 28–33.
  3. ^ Метрополис, Николай; Розенблут, Арианна В .; Rosenbluth, Marshall N .; Teller, Augusta H .; Теллер, Эдвард (1953-06-01). «Уравнение состояний на быстрых вычислительных машинах» . Журнал химической физики . 21 (6): 1087–1092. Bibcode : 1953JChPh..21.1087M . DOI : 10.1063 / 1.1699114 . ISSN 0021-9606 . S2CID 1046577 .  
  4. ^ Гастингс, WK (1970-04-01). «Методы выборки Монте-Карло с использованием цепей Маркова и их приложения» . Биометрика . 57 (1): 97–109. Bibcode : 1970Bimka..57 ... 97H . DOI : 10.1093 / Biomet / 57.1.97 . ISSN 0006-3444 . S2CID 21204149 .  
  5. ^ Лю, Цзюнь S .; Лян, Фаминг; Вонг, Вин Хунг (2001-03-01). «Метод множественных попыток и локальная оптимизация в выборке мегаполисов» . Журнал Американской статистической ассоциации . 95 (449): 121–134. DOI : 10.1080 / 01621459.2000.10473908 . ISSN 0162-1459 . S2CID 123468109 .  
  6. ^ Сполл, JC (2003). «Оценка через цепь Маркова Монте-Карло». Журнал IEEE Control Systems . 23 (2): 34–45. DOI : 10,1109 / MCS.2003.1188770 .
  7. ^ Хилл, Стейси Д .; Сполл, Джеймс С. (2019). «Стационарность и конвергенция алгоритма Метрополиса-Гастингса: взгляд на теоретические аспекты». Журнал IEEE Control Systems . 39 : 56–67. DOI : 10,1109 / MCS.2018.2876959 . S2CID 58672766 . 
  8. ^ a b Колокольцов, Василий (2010). Нелинейные марковские процессы . Cambridge Univ. Нажмите. п. 375.
  9. ^ a b c Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интеграции Монте-Карло . Чепмен и Холл / CRC Press. п. 626. Монографии по статистике и прикладной теории вероятностей.
  10. ^ Дель Мораль, P; Дусе, А; Ясра, А (2006). «Последовательные пробоотборники Монте-Карло». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 68 (3): 411–436. arXiv : cond-mat / 0212648 . DOI : 10.1111 / j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 . 
  11. ^ Kalos & Уитлок 2008 .
  12. ^ а б в Метрополис 1987 .
  13. Перейти ↑ Eckhardt 1987 .
  14. ^ Mazhdrakov, Benov & Valkanov 2018 , стр. 250.
  15. ^ Peragine, Майкл (2013). Универсальный разум: эволюция машинного интеллекта и психологии человека . Xiphias Press . Проверено 17 декабря 2018 .
  16. ^ Маккин, Генри, П. (1967). «Распространение хаоса для одного класса нелинейных параболических уравнений». Серия лекций по дифференциальным уравнениям, Католический унив . 7 : 41–57.
  17. ^ Маккин, Генри, П. (1966). «Класс марковских процессов, связанных с нелинейными параболическими уравнениями» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 56 (6): 1907–1911. Bibcode : 1966PNAS ... 56.1907M . DOI : 10.1073 / pnas.56.6.1907 . PMC 220210 . PMID 16591437 .  
  18. ^ Герман, Кан; Теодор, Харрис Э. (1951). «Оценка пропускания частиц методом случайной выборки» (PDF) . Natl. Бур. Стоять. Appl. Математика. Сер . 12 : 27–30.
  19. ^ Тьюринг, Алан М. (1950). «Вычислительная техника и интеллект». Разум . LIX (238): 433–460. DOI : 10.1093 / разум / LIX.236.433 .
  20. ^ Барричелли, Нильс Алл (1954). "Esempi numerici di processi di evoluzione". Methodos : 45-68.
  21. ^ Barricelli, Nils Aall (1957). «Симбиогенетические процессы эволюции, реализуемые искусственными методами». Methodos : 143-182.
  22. ^ a b Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана – Каца. Генеалогические и взаимодействующие приближения частиц . Вероятность и ее приложения. Springer. п. 575. ISBN 9780387202686. Серия: Вероятность и приложения
  23. ^ a b Del Moral, P .; Микло, Л. (2000). "Аппроксимация систем ветвящихся и взаимодействующих частиц формул Фейнмана – Каца с приложениями к нелинейной фильтрации" . Séminaire de Probabilités, XXXIV . Конспект лекций по математике. 1729 . Берлин: Springer. С. 1–145. DOI : 10.1007 / BFb0103798 . ISBN 978-3-540-67314-9. Руководство по ремонту  1768060 .
  24. ^ Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). "Аппроксимация формул Фейнмана – Каца системой частиц Морана" . Случайные процессы и их приложения . 86 (2): 193–216. DOI : 10.1016 / S0304-4149 (99) 00094-0 .
  25. ^ Дель Мораль, Пьер (2003). «Частичные приближения показателей Ляпунова, связанных с операторами Шредингера и полугруппами Фейнмана – Каца» . ESAIM Вероятность и статистика . 7 : 171–208. DOI : 10.1051 / пс: 2003001 .
  26. ^ Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным числом пешеходов» (PDF) . Phys. Rev. E . 61 (4): 4566–4575. Bibcode : 2000PhRvE..61.4566A . DOI : 10.1103 / physreve.61.4566 . PMID 11088257 . Архивировано из оригинального (PDF) 07.11.2014.  
  27. ^ Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Малвин (1993). "Комментарий к расчету Фейнмана – Каца методом интеграла по траекториям энергий основного состояния атомов". Phys. Rev. Lett . 71 (13): 2159. Bibcode : 1993PhRvL..71.2159C . DOI : 10.1103 / physrevlett.71.2159 . PMID 10054598 . 
  28. ^ a b Хетерингтон, Джек, Х. (1984). «Наблюдения за статистической итерацией матриц». Phys. Rev. A . 30 (2713): 2713–2719. Bibcode : 1984PhRvA..30.2713H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.30.2713 .
  29. ^ Ферми, Энрике; Рихтмайер, Роберт, Д. (1948). «Примечание о проведении переписи в расчетах Монте-Карло» (PDF) . ЛАМ . 805 (А). Рассекреченный отчет Los Alamos Archive
  30. ^ a b Rosenbluth, Marshall, N .; Розенблут, Арианна, В. (1955). «Расчеты Монте-Карло средней протяженности макромолекулярных цепей» . J. Chem. Phys . 23 (2): 356–359. Bibcode : 1955JChPh..23..356R . DOI : 10.1063 / 1.1741967 . S2CID 89611599 . 
  31. ^ Гордон, Нью-Джерси; Салмонд, диджей; Смит, AFM (апрель 1993 г.). «Новый подход к нелинейному / негауссовскому байесовскому оцениванию состояния» . IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing . 140 (2): 107–113. DOI : 10.1049 / IP-F-2.1993.0015 . ISSN 0956-375X . S2CID 12644877 .  
  32. ^ Китагава, Г. (1996). «Фильтр Монте-Карло и сглаживание для негауссовских нелинейных моделей пространства состояний». Журнал вычислительной и графической статистики . 5 (1): 1–25. DOI : 10.2307 / 1390750 . JSTOR 1390750 . 
  33. ^ a b Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: решение взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и родственные поля . 2 (4): 555–580.
  34. ^ Карвалью, Гимилькон; Дель Мораль, Пьер; Монен, Андре; Салют, Жерар (июль 1997 г.). «Оптимальная нелинейная фильтрация в интеграции GPS / INS» (PDF) . IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам . 33 (3): 835. Bibcode : 1997ITAES..33..835C . DOI : 10.1109 / 7.599254 . S2CID 27966240 .  
  35. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. «Оценка и нелинейное оптимальное управление: единая структура для решений частиц». LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании № 91137, контракт DRET-DIGILOG-LAAS / CNRS, апрель (1991 г.).
  36. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. «Нелинейные и негауссовские фильтры частиц, применяемые для изменения положения инерционной платформы». LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании № 92207, STCAN / DIGILOG-LAAS / CNRS Конвенция STCAN No. A.91.77.013, (94p.) Сентябрь (1991).
  37. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. «Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке: экспериментальные результаты». Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 2 (54 стр.), Январь (1992).
  38. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. «Оценка и нелинейное оптимальное управление: разрешение частиц при фильтрации и оценивании: теоретические результаты». Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 3 (123 стр.), Октябрь (1992).
  39. ^ П. Дель Мораль, Ж.-Ч. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют. «Фильтры частиц в обработке радиолокационных сигналов: обнаружение, оценка и распознавание воздушных целей». LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании No. 92495, декабрь (1992).
  40. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. «Оценка и нелинейное оптимальное управление: разрешение частиц при фильтрации и оценивании». Исследования по: фильтрации, оптимальному управлению и оценке максимального правдоподобия. Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01. Отчет об исследовании № 4 (210 стр.), Январь (1993).
  41. ^ Del Moral, Пьер (1998). "Измерение значений процессов и взаимодействующих систем частиц. Применение к задачам нелинейной фильтрации" . Анналы прикладной вероятности (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) изд.). 8 (2): 438–495. CiteSeerX 10.1.1.55.5257 . DOI : 10.1214 / aoap / 1028903535 . 
  42. ^ Crisan, Дэн; Гейнс, Джессика; Лайонс, Терри (1998). «Сходимость метода ветвящихся частиц к решению Закая» . Журнал SIAM по прикладной математике . 58 (5): 1568–1590. DOI : 10.1137 / s0036139996307371 . S2CID 39982562 . 
  43. ^ Crisan, Дэн; Лайонс, Терри (1997). «Нелинейная фильтрация и мерозначные процессы». Теория вероятностей и смежные области . 109 (2): 217–244. DOI : 10.1007 / s004400050131 . S2CID 119809371 . 
  44. ^ Crisan, Дэн; Лайонс, Терри (1999). «Частичное приближение решения уравнения Кушнера – Стратоновича». Теория вероятностей и смежные области . 115 (4): 549–578. DOI : 10.1007 / s004400050249 . S2CID 117725141 . 
  45. ^ Crisan, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1999). «Дискретная фильтрация с использованием систем ветвящихся и взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и родственные поля . 5 (3): 293–318.
  46. ^ Дель Мораль, Пьер; Гионнет, Алиса (1999). «Об устойчивости мерозначных процессов с приложениями к фильтрации». CR Acad. Sci. Париж . 39 (1): 429–434.
  47. ^ Дель Мораль, Пьер; Гионнет, Алиса (2001). «Об устойчивости взаимодействующих процессов с приложениями к фильтрации и генетическим алгоритмам» . Annales de l'Institut Henri Poincaré . 37 (2): 155–194. Bibcode : 2001AnIHP..37..155D . DOI : 10.1016 / s0246-0203 (00) 01064-5 .
  48. ^ Рипли 1987
  49. ^ a b Савиловский 2003
  50. ^ Калос и Уитлок 2008
  51. ^ Shojaeefard, MH; Халхали, А; Ярмохаммадисатри, Садех (2017). «Эффективный метод анализа чувствительности модифицированной геометрии подвески Макферсона на основе коэффициента корреляции Пирсона». Динамика систем автомобиля . 55 (6): 827–852. Bibcode : 2017VSD .... 55..827S . DOI : 10.1080 / 00423114.2017.1283046 . S2CID 114260173 . 
  52. ^ Давенпорт 1992
  53. ↑ Маршрут, Мэтью (10 августа 2017 г.). "Синтез популяции ультрахолодных карликов с помощью радиоактивных вспышек". Астрофизический журнал . 845 (1): 66. arXiv : 1707.02212 . Bibcode : 2017ApJ ... 845 ... 66R . DOI : 10.3847 / 1538-4357 / aa7ede . S2CID 118895524 . 
  54. ↑ Восе 2000 , стр. 13
  55. ↑ Восе 2000 , стр. 16
  56. ^ Цзя, Сюнь; Зигенхайн, Питер; Цзян, Стив Б. (2014). «Высокопроизводительные вычисления на базе GPU для лучевой терапии» . Физика в медицине и биологии . 59 (4): R151 – R182. Bibcode : 2014PMB .... 59R.151J . DOI : 10.1088 / 0031-9155 / 59/4 / R151 . PMC 4003902 . PMID 24486639 .  
  57. ^ Хилл, R; Хили, B; Холлоуэй, L; Кунчич, Z; Thwaites, D; Бэлдок, К. (март 2014 г.). «Достижения в дозиметрии киловольтного рентгеновского излучения» . Физика в медицине и биологии . 59 (6): R183 – R231. Bibcode : 2014PMB .... 59R.183H . DOI : 10.1088 / 0031-9155 / 59/6 / R183 . PMID 24584183 . S2CID 18082594 .  
  58. ^ Роджерс, DWO (2006). «Пятьдесят лет моделирования методом Монте-Карло для медицинской физики» . Физика в медицине и биологии . 51 (13): R287 – R301. Bibcode : 2006PMB .... 51R.287R . DOI : 10.1088 / 0031-9155 / 51/13 / R17 . PMID 16790908 . S2CID 12066026 .  
  59. ^ Baeurle 2009
  60. ^ Möller, W .; Экштейн, В. (1984-03-01). «Tridyn - код моделирования TRIM, включающий динамические изменения композиции». Ядерные инструменты и методы в физических исследованиях Секция B: Взаимодействие пучков с материалами и атомами . 2 (1): 814–818. Bibcode : 1984NIMPB ... 2..814M . DOI : 10.1016 / 0168-583X (84) 90321-5 .
  61. ^ Макгилливрей и Додд 1982
  62. ^ Золотой 1979
  63. ^ Маждраков, Методи; Бенов, Добрян; Валканов, Николай (2018). Метод Монте-Карло. Инженерные приложения . ACMO Academic Press. п. 250. ISBN 978-619-90684-3-4.
  64. ^ Int Panis et al. 2001 г.
  65. ^ Int Panis et al. 2002 г.
  66. Перейти ↑ GA Bird, Molecular Gas Dynamics, Clarendon, Oxford (1976)
  67. ^ Дитрих, S .; Бойд, И. (1996). «Скалярно оптимизированная параллельная реализация метода DSMC». Журнал вычислительной физики . 126 (2): 328–42. Bibcode : 1996JCoPh.126..328D . DOI : 10,1006 / jcph.1996.0141 .
  68. ^ Набиан, Мохаммад Амин; Мейдани, Хади (28.08.2017). «Глубокое обучение для ускоренного анализа надежности инфраструктурных сетей». Компьютерное проектирование строительства и инфраструктуры . 33 (6): 443–458. arXiv : 1708.08551 . Bibcode : 2017arXiv170808551N . DOI : 10.1111 / mice.12359 . S2CID 36661983 . 
  69. ^ Набиан, Мохаммад Амин; Мейдани, Хади (2018). «Ускорение стохастической оценки связности транспортной сети после землетрясения с помощью суррогатов на основе машинного обучения» . 97-е ежегодное собрание Совета по транспортным исследованиям .
  70. ^ Набиан, Мохаммад Амин; Мейдани, Хади (2017). «Количественная оценка неопределенности и уменьшение модели на основе PCA для параллельного анализа надежности инфраструктурных систем методом Монте-Карло» . 96-е ежегодное собрание Совета по транспортным исследованиям .
  71. ^ Изменение климата 2013 Основы физических наук (PDF) . Издательство Кембриджского университета. 2013. с. 697. ISBN.  978-1-107-66182-0. Дата обращения 2 марта 2016 .
  72. ^ Охеда и др. 2009 г. ,
  73. ^ Милик и Сколник 1993
  74. ^ Кэсси; Смит (2014). «Моделирование уверенности для индекса Эллисона-Глезера». Журнал экономики города . 81 : 93. DOI : 10.1016 / j.jue.2014.02.005 .
  75. ^ Sawilowsky & Fahoome 2003
  76. ^ Сполл, Джеймс С. (2005). «Вычисление Монте-Карло информационной матрицы Фишера в нестандартных условиях». Журнал вычислительной и графической статистики . 14 (4): 889–909. CiteSeerX 10.1.1.142.738 . DOI : 10.1198 / 106186005X78800 . S2CID 16090098 .  
  77. ^ Дас, Сонджой; Сполл, Джеймс С.; Ганем, Роджер (2010). «Эффективное вычисление Монте-Карло информационной матрицы Фишера с использованием априорной информации». Вычислительная статистика и анализ данных . 54 (2): 272–289. DOI : 10.1016 / j.csda.2009.09.018 .
  78. ^ Гийом Шасло; Сандер Баккес; Иштван Сита; Питер Спронк. «Поиск по дереву Монте-Карло: новая структура для игрового ИИ» (PDF) . Sander.landofsand.com . Проверено 28 октября 2017 года .
  79. ^ "Монте-Карло Tree Search - About" . Архивировано из оригинала на 2015-11-29 . Проверено 15 мая 2013 .
  80. ^ Шасло, Гийом MJ -B; Винандс, Марк Х. М.; Ван Ден Херик, Х. Яап (2008). Параллельный поиск по дереву Монте-Карло . Конспект лекций по информатике. 5131 . С. 60–71. CiteSeerX 10.1.1.159.4373 . DOI : 10.1007 / 978-3-540-87608-3_6 . ISBN  978-3-540-87607-6.
  81. ^ Брунс, Пит. Поиск по дереву Монте-Карло в игре Tantrix: Cosc490 Final Report (PDF) (Отчет).
  82. ↑ Дэвид Сильвер; Джоэл Венесс. «Планирование методом Монте-Карло в больших POMDP» (PDF) . 0.cs.ucl.ac.uk . Проверено 28 октября 2017 года .
  83. ^ Лоренц, Ричард Дж (2011). «Улучшение поиска по дереву методом Монте-Карло в Гаванне». Компьютеры и игры . Конспект лекций по информатике. 6515 . С. 105–115. Bibcode : 2011LNCS.6515..105L . DOI : 10.1007 / 978-3-642-17928-0_10 . ISBN 978-3-642-17927-3.
  84. ^ Tomas Jakl. «Задача Аримаа - сравнительное исследование методов MCTS и альфа-бета» (PDF) . Arimaa.com . Проверено 28 октября 2017 года .
  85. ^ Szirmay – Kalos 2008
  86. ^ «Как береговая охрана использует аналитику для поиска потерявшихся в море» . Dice Insights . 2014-01-03.
  87. ^ Лоуренс Д. Стоун; Томас М. Кратцке; Джон Р. Фрост. «Поисковое моделирование и оптимизация в системе оптимального планирования поисково-спасательных операций (SAROPS) USCG» (PDF) . Ifremer.fr . Проверено 28 октября 2017 года .
  88. ^ Кармона, Рене; Дель Мораль, Пьер; Ху, Пэн; Oudjane, Надя (2012). Кармона, Рене А .; Мораль, Пьер Дель; Ху, Пэн; и другие. (ред.). Введение в методы частиц с финансовыми приложениями . Численные методы в финансах . Springer Proceedings in Mathematics. 12 . Springer Berlin Heidelberg. С. 3–49. CiteSeerX 10.1.1.359.7957 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-25746-9_1 . ISBN  978-3-642-25745-2.
  89. ^ Кармона, Рене; Дель Мораль, Пьер; Ху, Пэн; Oudjane, Надя (2012). Численные методы в финансах . Springer Proceedings in Mathematics. 12 . DOI : 10.1007 / 978-3-642-25746-9 . ISBN 978-3-642-25745-2.
  90. ^ Круз, Д.П .; Taimre, T .; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Вили и сыновья.
  91. ^ Аренас, Дэниел Дж .; Lett, Lanair A .; Клузариц, Хизер; Тейтельман, Энн М. (2017). «Метод моделирования Монте-Карло для оценки воздействия на здоровье и экономику вмешательств, проводимых в клинике, управляемой студентами» . PLOS ONE . 12 (12): e0189718. Bibcode : 2017PLoSO..1289718A . DOI : 10.1371 / journal.pone.0189718 . PMC 5746244 . PMID 29284026 .  
  92. ^ Элварт, Лиз; Эмерсон, Нина; Эндерс, Кристина; Фумия, Дэни; Мерфи, Кевин (декабрь 2006 г.). «Расширение доступа к запретительным судебным приказам для малообеспеченных жертв домашнего насилия: анализ затрат и выгод предлагаемой программы грантов против домашнего насилия» (PDF) . Адвокатура штата Висконсин . Архивировано из оригинального (PDF) 6 ноября 2018 года . Проверено 12 декабря 2016 .
  93. ^ a b Press et al. 1996 г.
  94. ^ Mezei, M (31 декабря 1986). «Адаптивная зонтичная выборка: самосогласованное определение небольцмановского смещения». Журнал вычислительной физики . 68 (1): 237–248. Bibcode : 1987JCoPh..68..237M . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (87) 90054-4 .
  95. ^ Бартельс, Кристиан; Карплюс, Мартин (31 декабря 1997 г.). "Распределения вероятностей для сложных систем: адаптивная зонтичная выборка потенциальной энергии". Журнал физической химии B . 102 (5): 865–880. DOI : 10.1021 / jp972280j .
  96. ^ Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2006). «Последовательные пробоотборники Монте-Карло». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 68 (3): 411–436. arXiv : cond-mat / 0212648 . DOI : 10.1111 / j.1467-9868.2006.00553.x . S2CID 12074789 . 
  97. ^ Сполл, JC (2003), Введение в стохастический поиск и оптимизацию: оценка, моделирование и управление , Wiley, Hoboken, NJ. http://www.jhuapl.edu/ISSO
  98. ^ Мосегаард и Тарантола 1995
  99. ^ Тарантола 2005
  100. ↑ McCracken, DD, (1955) Метод Монте-Карло, Scientific American, 192 (5), стр. 90-97.
  101. ^ Elishakoff И., (2003) Заметки о философии метода МонтеКарло, Международный прикладной механики, 39 (7), pp.753-762
  102. ^ Grüne-Yanoff, Т., и Weirich, P. (2010). Философия и эпистемология моделирования: обзор, Simulation & Gaming, 41 (1), стр. 20-50.

Источники [ править ]

  • Андерсон, Герберт Л. (1986). «Метрополис, Монте-Карло и МАНИАК» (PDF) . Лос-Аламосская наука . 14 : 96–108.
  • Бенов, Добрян М. (2016). «Манхэттенский проект, первый электронный компьютер и метод Монте-Карло». Методы и приложения Монте-Карло . 22 (1): 73–79. DOI : 10,1515 / MCMA-2016-0102 . S2CID  30198383 .
  • Baeurle, Стефан А. (2009). «Многомасштабное моделирование полимерных материалов с использованием теоретико-полевых методологий: обзор последних разработок». Журнал математической химии . 46 (2): 363–426. дои : 10.1007 / s10910-008-9467-3 . S2CID  117867762 .
  • Берг, Бернд А. (2004). Моделирование цепей Маркова методом Монте-Карло и их статистический анализ (с помощью веб-кода Fortran) . Хакенсак, штат Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-238-935-0.
  • Биндер, Курт (1995). Метод Монте-Карло в физике конденсированного состояния . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-54369-7.
  • Caflisch, RE (1998). Методы Монте-Карло и квази-Монте-Карло . Acta Numerica. 7 . Издательство Кембриджского университета. С. 1–49.
  • Давенпорт, JH (1992). «Снова о проверке первичности». Материалы международного симпозиума по символическим и алгебраическим вычислениям - ISSAC '92 . Материалы Международного симпозиума по символьным и алгебраическим вычислениям ISSAC '92 . С. 123–129. CiteSeerX  10.1.1.43.9296 . DOI : 10.1145 / 143242.143290 . ISBN 978-0-89791-489-5. S2CID  17322272 .
  • Дусе, Арно; Фрейтас, Нандо де; Гордон, Нил (2001). Последовательные методы Монте-Карло на практике . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95146-1.
  • Экхардт, Роджер (1987). «Стэн Улам, Джон фон Нейман и метод Монте-Карло» (PDF) . Лос-Аламосская наука (15): 131–137.
  • Фишман, GS (1995). Монте-Карло: концепции, алгоритмы и приложения . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94527-9.
  • К. Форастеро, Л. Замора, Д. Гирадо и А. Лаллена (2010). «Инструмент Монте-Карло для моделирования программ скрининга рака груди». Phys. Med. Биол . 55 (17): 5213–5229. Bibcode : 2010PMB .... 55.5213F . DOI : 10.1088 / 0031-9155 / 55/17/021 . PMID  20714045 .
  • Голден, Лесли М. (1979). «Влияние шероховатости поверхности на прохождение микроволнового излучения через поверхность планеты». Икар . 38 (3): 451–455. Bibcode : 1979Icar ... 38..451G . DOI : 10.1016 / 0019-1035 (79) 90199-4 .
  • Гулд, Харви; Тобочник, Ян (1988). Введение в методы компьютерного моделирования, часть 2, приложения к физическим системам . Читает: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-201-16504-3.
  • Гринстед, Чарльз; Снелл, Дж. Лори (1997). Введение в вероятность . Американское математическое общество . стр.  10 -11.
  • Хаммерсли, Дж. М.; Хэндскомб, округ Колумбия (1975). Методы Монте-Карло . Лондон: Метуэн. ISBN 978-0-416-52340-9.
  • Хартманн, АК (2009). Практическое руководство по компьютерному моделированию . World Scientific. ISBN 978-981-283-415-7. Архивировано из оригинала на 2009-02-11.
  • Хаббард, Дуглас (2007). Как измерить что угодно: определение ценности нематериальных активов в бизнесе . Джон Вили и сыновья . п. 46 .
  • Хаббард, Дуглас (2009). Неудача в управлении рисками: почему она не работает и как ее исправить . Джон Вили и сыновья .
  • Kahneman, D .; Тверски, А. (1982). Суждение в условиях неопределенности: эвристика и предвзятость . Издательство Кембриджского университета.
  • Kalos, Malvin H .; Уитлок, Паула А. (2008). Методы Монте-Карло . Wiley-VCH . ISBN 978-3-527-40760-6.
  • Крезе, Д.П .; Taimre, T .; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья . п. 772. ISBN. 978-0-470-17793-8.
  • MacGillivray, HT; Додд, Р.Дж. (1982). «Моделирование систем галактик методом Монте-Карло». Астрофизика и космическая наука . 86 (2): 419–435. DOI : 10.1007 / BF00683346 . S2CID  189849365 .
  • Маккеун, П. Кевин (1997). Стохастическое моделирование в физике . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-981-3083-26-4.
  • Метрополис, Н. (1987). «Начало метода Монте-Карло» (PDF) . Los Alamos Science (Специальный выпуск 1987 г., посвященный Станиславу Уламу): 125–130.
  • Метрополис, Н .; Розенблут, Арианна В .; Rosenbluth, Marshall N .; Teller, Augusta H .; Теллер, Эдвард (1953). «Уравнение состояний на быстрых вычислительных машинах» . Журнал химической физики . 21 (6): 1087. Полномочный код : 1953JChPh..21.1087M . DOI : 10.1063 / 1.1699114 .
  • Метрополис, Н .; Улам, С. (1949). «Метод Монте-Карло». Журнал Американской статистической ассоциации . 44 (247): 335–341. DOI : 10.1080 / 01621459.1949.10483310 . JSTOR  2280232 . PMID  18139350 .
  • Милик, М .; Сколник, Дж. (Январь 1993 г.). «Вставка пептидных цепей в липидные мембраны: внерешеточная модель динамики Монте-Карло» . Белки . 15 (1): 10–25. DOI : 10.1002 / prot.340150104 . PMID  8451235 . S2CID  7450512 .
  • Мосегаард, Клаус; Тарантола, Альберт (1995). «Выборка решений обратных задач методом Монте-Карло» (PDF) . J. Geophys. Res . 100 (B7): 12431–12447. Bibcode : 1995JGR ... 10012431M . DOI : 10.1029 / 94JB03097 .
  • П. Охеда; М. Гарсия; А. Лондоно; Нью-Йорк Чен (февраль 2009 г.). "Моделирование белков в клетках методом Монте-Карло: влияние ограничения на стабильность промежуточных состояний" . Биофиз. Дж . 96 (3): 1076–1082. Bibcode : 2009BpJ .... 96.1076O . DOI : 10.1529 / biophysj.107.125369 . PMC  2716574 . PMID  18849410 .
  • Int Panis, L .; de Nocker, L .; De Vlieger, I .; Торфс, Р. (2001). «Тенденции и неопределенность в отношении воздействия загрязнения воздуха и внешних затрат на бельгийские перевозки легковых автомобилей». Международный журнал автомобильного дизайна . 27 (1–4): 183–194. DOI : 10.1504 / IJVD.2001.001963 .
  • Int Panis, L .; Rabl, A .; de Nocker, L .; Торфс, Р. (2002). Штурм, П. (ред.). «Дизель или бензин? Экологическое сравнение затруднено из-за неопределенности». Mitteilungen Institut für Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik . Technische Universität Graz Austria. Heft 81 Vol 1: 48–54.
  • Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (1996) [1986]. Числовые рецепты в Fortran 77: Искусство научных вычислений . Цифровые рецепты на Фортране. 1 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-43064-7.
  • Рипли, Б.Д. (1987). Стохастическое моделирование . Wiley & Sons .
  • Роберт, C .; Казелла, Г. (2004). Статистические методы Монте-Карло (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-21239-5.
  • Рубинштейн, Р.Ю .; Крезе, Д.П. (2007). Моделирование и метод Монте-Карло (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 978-0-470-17793-8.
  • Саввидес, Саввакис С. (1994). «Анализ рисков при оценке инвестиций» (PDF) . Журнал оценки проектов . 9 (1). DOI : 10.2139 / ssrn.265905 .
  • Савиловский, Шломо С .; Фахум, Гейл С. (2003). Статистика с помощью моделирования методом Монте-Карло с помощью Fortran . Рочестер-Хиллз, Мичиган: JMASM. ISBN 978-0-9740236-0-1.
  • Савиловский, Шломо С. (2003). "Думаешь, у тебя есть мелочи?" . Журнал современных прикладных статистических методов . 2 (1): 218–225. DOI : 10.22237 / jmasm / 1051748460 .
  • Сильвер, Дэвид; Венесс, Джоэл (2010). «Планирование методом Монте-Карло в больших POMDP» (PDF) . В Лафферти, Дж .; Уильямс, CKI; Shawe-Taylor, J .; Zemel, RS; Кулотта, А. (ред.). Достижения в системах обработки нейронной информации 23 . Нейронные системы обработки информации 2010. Основы нейронных систем обработки информации.
  • Ширмай-Калос, Ласло (2008). Методы Монте-Карло в глобальном освещении - фотореалистичный рендеринг с рандомизацией . VDM Verlag Dr. Mueller eK ISBN 978-3-8364-7919-6.
  • Тарантола, Альберт (2005). Теория обратной задачи . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 978-0-89871-572-9.
  • Восе, Дэвид (2008). Анализ рисков, количественное руководство (3-е изд.). Джон Вили и сыновья .
  • Маждраков, Методи; Бенов, Добрян; Валканов, Николай (2018). Метод Монте-Карло. Инженерные приложения . ACMO Academic Press. п. 250. ISBN 978-619-90684-3-4.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с методом Монте-Карло на Викискладе?