Теорема Гирсанова

Визуализация теоремы Гирсанова - в левой части показан винеровский процесс с отрицательным сносом при канонической мере P ; на правой стороне каждого путь процесса окрашен в соответствии с его вероятностью под мартингальной мерой Q . Преобразование плотности от P к Q дается теоремой Гирсанова.

В теории вероятностей , то теорема Гирсанов (названный в честь Игоря Владимировича Гирсановым ) описывает , как динамика стохастических процессов изменится , когда исходная мера изменяется на эквивалентной вероятностной меры . ^[1]^{: 607} Теорема особенно важна в теории финансовой математики, поскольку в ней рассказывается, как преобразовать физическую меру , которая описывает вероятность того, что базовый инструмент (например, цена акции или процентная ставка ) будет иметь определенное значение. или ценности, кбезрисковая мера, которая является очень полезным инструментом для определения цены производных финансовых инструментов на базовый инструмент.

История [ править ]

Результаты этого типа были впервые доказаны Кэмероном – Мартином в 1940-х годах и Гирсановым в 1960 году ^[2]. Впоследствии они были распространены на более общие классы процессов, достигших высшей точки в общей форме Ленгларта (1977). ^[3]

Значение [ править ]

Теорема Гирсанова играет важную роль в общей теории случайных процессов , так как он позволяет ключевой результат , что если Q является абсолютно непрерывной мерой по отношению к Р , то каждый P - семимартингал является Q -semimartingale.

Заявление [ править ]

Сначала сформулируем теорему для частного случая, когда лежащий в основе случайный процесс является винеровским . Этого частного случая достаточно для ценообразования без учета риска в модели Блэка – Шоулза и во многих других моделях (например, во всех непрерывных моделях).

Пусть - винеровский процесс на винеровском вероятностном пространстве . Позвольте быть измеримым процессом, адаптированным к естественной фильтрации винеровского процесса с . ${\ displaystyle \ {W_ {t} \}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \}}$ ${\ Displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} \}}$ ${\ displaystyle X_ {0} = 0}$

Определим экспоненту Долеана-Дейда для X относительно W ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (Х) _ {т}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (X) _ {t} = \ exp \ left (X_ {t} - {\ frac {1} {2}} [X] _ {t} \ right),}

где это квадратичная вариация из . Если - строго положительный мартингал , вероятностная мера Q может быть определена на такой, что у нас есть производная Радона – Никодима ${\ displaystyle [X] _ {t}}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (Х) _ {т}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}})}$

{\ displaystyle {\ frac {dQ} {dP}} {\ bigg |} _ {{\ mathcal {F}} _ {t}} = {\ mathcal {E}} (X) _ {t}}

Тогда для каждого t мера Q, ограниченная неаугментированными сигма-полями , эквивалентна P, ограниченной на . Кроме того, если Y - локальный мартингал относительно P , то процесс ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t} ^ {W}}$

{\ Displaystyle {\ тильда {Y}} _ {t} = Y_ {t} - \ left [Y, X \ right] _ {t}}

является Q- локальным мартингалом на фильтрованном вероятностном пространстве . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ {{\ mathcal {F}} _ {t} ^ {W} \}, Q)}$

Следствие [ править ]

Если X - непрерывный процесс, а W - броуновское движение относительно меры P, то

{\ displaystyle {\ tilde {W}} _ {t} = W_ {t} - \ left [W, X \ right] _ {t}}

это Броуновское движение под Q .

Тот факт, что непрерывен, тривиален; по теореме Гирсанова это Q локальный мартингал, а вычислением квадратичной вариации ${\tilde {W}}_{t}$

\left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W_{t},W_{t}\right]-2\left[W_{t},[W,X]_{t}\right]+\left[[W,X]_{t},[W,X]_{t}\right]=\left[W\right]_{t}=t

из характеристики броуновского движения Леви следует, что это Q- броуновское движение.

Комментарии [ редактировать ]

Во многих распространенных приложениях процесс X определяется как

X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.

Если X имеет такую форму, то достаточным условием того, чтобы быть мартингалом, является условие Новикова , которое требует, чтобы ${\mathcal {E}}(X)$

E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .

Стохастическая экспонента - это процесс Z , который решает стохастическое дифференциальное уравнение ${\mathcal {E}}(X)$

Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,

Построенная выше мера Q не эквивалентна P на , так как это было бы только в том случае, если бы производная Радона – Никодима была равномерно интегрируемым мартингалом, а описанный выше экспоненциальный мартингал не является (для ). ${\mathcal {F}}_{\infty }$ $\lambda \neq 0$

Приложение к финансам [ править ]

В финансах теорема Гирсанова используется каждый раз, когда нужно вывести динамику актива или ставки с использованием новой вероятностной меры. Наиболее известный случай - это переход от исторической меры P к нейтральной по отношению к риску мере Q, который осуществляется - в модели Блэка – Шоулза - с помощью производной Радона – Никодима :

${\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{\cdot }{\frac {r-\mu }{\sigma }}\,dW_{s}\right)$

где обозначает мгновенную безрисковую ставку, дрейф актива и его волатильность. $r$ $\mu$ $\sigma$

Другими классическими приложениями теоремы Гирсанова являются квантовые корректировки и расчет дрейфа форвардов в рамках рыночной модели LIBOR .

См. Также [ править ]

Теорема Камерона – Мартина

Ссылки [ править ]

^ Musiela, M .; Рутковски, М. (2004). Методы мартингейла в финансовом моделировании (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-20966-2.
^ Гирсанов, IV (1960). «О преобразовании определенного класса случайных процессов путем абсолютно непрерывной замены мер». Теория вероятностей и ее приложения . 5 (3): 285–301. DOI : 10.1137 / 1105027 .
^ Ленгларт, Э. (1977). «Преобразование мартингальных мест с изменением абсолютной продолжительности вероятности». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit . 39 (1): 65–70. DOI : 10.1007 / BF01844873 .

Калин, Овидиу (2015). Неформальное введение в стохастическое исчисление с приложениями . Сингапур: World Scientific Publishing. п. 315. ISBN 978-981-4678-93-3. (См. Главу 10)
Dellacherie, C .; Мейер, П.-А. (1980). Probabilités et Potentiel: Théorie de Martingales: Chapitre VII (на французском языке). Пэрис: Германн. ISBN 2-7056-1385-4.

Внешние ссылки [ править ]

Заметки о стохастическом исчислении, содержащие простое схематическое доказательство теоремы Гирсанова.
Папайоанну, Денис (14 июля 2012 г.). «Прикладная многомерная теорема Гирсанова». SSRN 1805984 . Cite journal requires |journal= (help) Содержит финансовые приложения теоремы Гирсанова.

[1] Musiela, M .; Рутковски, М. (2004). Методы мартингейла в финансовом моделировании (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-20966-2.

[2] Гирсанов, IV (1960). «О преобразовании определенного класса случайных процессов путем абсолютно непрерывной замены мер». Теория вероятностей и ее приложения . 5 (3): 285–301. DOI : 10.1137 / 1105027 .

[3] Ленгларт, Э. (1977). «Преобразование мартингальных мест с изменением абсолютной продолжительности вероятности». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit . 39 (1): 65–70. DOI : 10.1007 / BF01844873 .

[1]