Эквивалентность (теория меры)

В математике , и особенно в теории меры , эквивалентность - это понятие качественно схожих двух мер . В частности, эти две меры согласовывают, какие события имеют нулевую оценку.

Определение [ править ]

Пусть и - две меры на измеримом пространстве , и пусть ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ mu}: = \ {A \ in {\ mathcal {A}} \ mid \ mu (A) = 0 \}}

и

{\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ nu}: = \ {A \ in {\ mathcal {A}} \ mid \ nu (A) = 0 \}}

быть наборами - пустых наборов и - пустых наборов, соответственно. Тогда мера называется абсолютно непрерывной относительно iff . Это обозначается как . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ nu} \ supseteq {\ mathcal {N}} _ {\ mu}}$ ${\ Displaystyle \ ню \ ll \ mu}$

Две меры называются эквивалентными тогда и только тогда , когда , ^[1] обозначается как . То есть две меры эквивалентны, если они удовлетворяют . ${\ displaystyle \ mu \ ll \ nu}$ ${\ Displaystyle \ ню \ ll \ mu}$ ${\ Displaystyle \ му \ сим \ ню}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ mu} = {\ mathcal {N}} _ {\ nu}}$

Примеры [ править ]

На реальной линии [ править ]

Определите две меры на реальной прямой как

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {A} \ mathbf {1} _ {[0,1]} (x) \ mathrm {d} x}

\nu (A)=\int _{A}x^{2}\mathbf {1} _{[0,1]}(x)\mathrm {d} x

для всех борелевских множеств . Тогда и эквивалентны, так как все множества за пределами имеют и измеряют ноль, а множество внутри является -нулевым множеством или -нулевым множеством, когда оно является нулевым множеством относительно меры Лебега . $A$ $\mu$ $\nu$ $[0,1]$ $\mu$ $\nu$ $[0,1]$ $\mu$ $\nu$

Абстрактное пространство меры [ править ]

Взгляните на какое-нибудь измеримое пространство и позвольте ему быть мерой счета , так что $(X,{\mathcal {A}})$ $\mu$

\mu (A)=|A|

,

где - мощность множества a. Таким образом, счетная мера имеет только один нулевой набор, который является пустым набором . То есть . Итак, согласно второму определению, любая другая мера эквивалентна счетной мере, если и только если она также имеет только пустой набор в качестве единственного нулевого набора. $|A|$ ${\mathcal {N}}_{\mu }=\{\emptyset \}$ $\nu$ $\nu$

Вспомогательные меры [ править ]

Мера называется поддерживающей мера той или иной меры , если это -конечное и эквивалентно . ^[2] $\mu$ $\nu$ $\mu$ $\sigma$ $\nu$ $\mu$

Ссылки [ править ]

^ Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 156. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.
^ Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Спрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[1] Klenke Ахим (2008). Теория вероятностей . Берлин: Springer. п. 156. DOI : 10.1007 / 978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6.

[2] Калленберг, Олав (2017). Случайные меры, теория и приложения . Швейцария: Спрингер. п. 21. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.

[1]