В стохастическом исчислении , то Долеан-Дейд экспоненциальный , Долеан экспоненциальный или стохастические экспоненциальный , из семимартингала X определяются как решение к стохастическому дифференциальному уравнению д т = У т йХ т с начальным условием Y 0 = 1 . Концепция названа в честь Катерины Долеанс-Даде . Иногда его обозначают Ɛ ( X ). В случае, когда X дифференцируемо, то Y задается дифференциальным уравнениемdY / dt = Y dX / dt, решение которого есть Y = exp ( X - X 0 ) . В качестве альтернативы, если X t = σB t + μt для броуновского движения B , то экспонента Далеана-Дейда является геометрическим броуновским движением . Для любого непрерывного семимартингала X применение леммы Итё с ƒ ( Y ) = log ( Y ) дает
Возведение в степень дает решение
Это отличается от того, что можно было бы ожидать по сравнению со случаем, когда X дифференцируемо из-за существования члена квадратичной вариации [ X ] в решении. Обратите внимание, что приведенный выше аргумент является эвристическим, поскольку мы не знаем априори, что существует семимартингальное решение стохастического дифференциального уравнения. Кроме того, логарифм не является дважды дифференцируемой и непрерывной функцией действительных чисел.
Экспонента Долеана-Дейда полезна в случае, когда X является локальным мартингалом . Тогда Ɛ ( X ) также будет локальным мартингалом, тогда как нормальная экспонента exp ( X ) - нет. Это используется в теореме Гирсанова . Критерии для непрерывного локального мартингала X , чтобы гарантировать , что его стохастический экспоненциальный ɛ ( X ) является на самом деле мартингальным определяются условиями Kazamaki в , состоянии Новикова и условие Бенеша .
Можно применить лемму Ита для прерывистых семимартингалов подобным образом , чтобы показать , что Долеан-Дейд экспоненциального любой семимартингальной X является
где произведение простирается на (счетное множество) скачков X до момента времени t .
Смотрите также
- Стохастический логарифм
Рекомендации
- Проттер, Филип Э. (2004), Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00313-4