Геометрическое броуновское движение

Геометрическое броуновское движение (GBM) (также известный как экспоненциальному броуновское движение ) является непрерывным временем стохастический процесс , в котором логарифм из произвольно изменяющейся величины следует броуновское движение (также называемый процессом Винера ) с дрейфом . ^[1] Это важный пример случайных процессов, удовлетворяющих стохастическому дифференциальному уравнению (SDE); в частности, он используется в финансовой математике для моделирования цен на акции в модели Блэка – Шоулза .

Техническое определение: SDE [ править ]

Говорят, что случайный процесс S _t следует за GBM, если он удовлетворяет следующему стохастическому дифференциальному уравнению (SDE):

{\ displaystyle dS_ {t} = \ mu S_ {t} \, dt + \ sigma S_ {t} \, dW_ {t}}

где - винеровский процесс или броуновское движение , а («процентный дрейф») и («процентная изменчивость») являются константами. ${\ displaystyle W_ {t}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Первый используется для моделирования детерминированных тенденций, а второй термин часто используется для моделирования набора непредсказуемых событий, происходящих во время этого движения.

Решение SDE [ править ]

Для произвольного начального значения S ₀ указанное выше СДУ имеет аналитическое решение ( в интерпретации Ито ):

{\ Displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ left (\ mu - {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} \ right) t + \ sigma W_ {t} \ right ).}

Вывод требует использования исчисления Ито . Применение формулы Ито приводит к

{\ Displaystyle d (\ ln S_ {t}) = (\ ln S_ {t}) 'dS_ {t} + {\ frac {1} {2}} (\ ln S_ {t})' '\, dS_ {t} \, dS_ {t} = {\ frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} - {\ frac {1} {2}} \, {\ frac {1} {S_ {t} ^ {2}}} \, dS_ {t} \, dS_ {t}}

где - квадратичная вариация СДУ. ${\ displaystyle dS_ {t} \, dS_ {t}}$

{\ displaystyle dS_ {t} \, dS_ {t} \, = \, \ sigma ^ {2} \, S_ {t} ^ {2} \, dW_ {t} ^ {2} +2 \ sigma S_ { t} ^ {2} \ mu \, dW_ {t} \, dt + \ mu ^ {2} S_ {t} ^ {2} \, dt ^ {2}}

Когда , сходится к 0 быстрее, чем , поскольку . Таким образом, указанное выше бесконечно малое можно упростить следующим образом: ${\ displaystyle dt \ to 0}$ ${\ displaystyle dt}$ ${\ displaystyle dW_ {t}}$ ${\ displaystyle dW_ {t} ^ {2} = O (dt)}$

dS_{t}\,dS_{t}\,=\,\sigma ^{2}\,S_{t}^{2}\,dt

Подставляя значение в приведенное выше уравнение и упрощая, мы получаем $dS_{t}$

\ln {\frac {S_{t}}{S_{0}}}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\,\right)t+\sigma W_{t}\,.

Взяв экспоненту и умножив обе части на, получим решение, заявленное выше. $S_{0}$

Свойства [ править ]

Вышеупомянутое решение (для любого значения t) представляет собой случайную переменную с нормальным логарифмическим распределением с ожидаемым значением и дисперсией, заданными формулой ^[2] $S_{t}$

\operatorname {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},

\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right).

Их можно получить, используя тот факт, что это мартингейл , и что $Z_{t}=\exp \left(\sigma W_{t}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t\right)$

\operatorname {E} \left[\exp \left(2\sigma W_{t}-\sigma ^{2}t\right)\mid {\mathcal {F}}_{s}\right]=e^{\sigma ^{2}(t-s)}\exp \left(2\sigma W_{s}-\sigma ^{2}s\right),\quad \forall 0\leq s<t.

Функция плотности вероятности из IS: $S_{t}$

f_{S_{t}}(s;\mu ,\sigma ,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,{\frac {1}{s\sigma {\sqrt {t}}}}\,\exp \left(-{\frac {\left(\ln s-\ln S_{0}-\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}t}}\right).

Вывод функции плотности вероятности GBM

Чтобы получить функцию плотности вероятности для GBM, мы должны использовать уравнение Фоккера-Планка для оценки временной эволюции PDF:

{\partial p \over {\partial t}}+{\partial \over {\partial S}}[\mu (t,S)p(t,S)]={1 \over {2}}{\partial ^{2} \over {\partial S^{2}}}[\sigma ^{2}(t,S)p(t,S)],\quad p(0,S)=\delta (S)

где - дельта-функция Дирака . Чтобы упростить вычисления, мы можем ввести логарифмическое преобразование , приводящее к форме GBM: $\delta (S)$ $x=\log(S/S_{0})$

dx=\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dW

Тогда эквивалентное уравнение Фоккера-Планка для эволюции PDF принимает вид:

{\partial p \over {\partial t}}+\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right){\partial p \over {\partial x}}={1 \over {2}}\sigma ^{2}{\partial ^{2}p \over {\partial x^{2}}},\quad p(0,x)=\delta (x)

Определите и . Вводя новые переменные и , производные в уравнении Фоккера-Планка могут быть преобразованы как: $V=\mu -\sigma ^{2}/2$ $D=\sigma ^{2}/2$ $\xi =x-Vt$ $\tau =Dt$

{\begin{aligned}\partial _{t}p&=D\partial _{\tau }p-V\partial _{\xi }p\\\partial _{x}p&=\partial _{\xi }p\\\partial _{x}^{2}p&=\partial _{\xi }^{2}p\end{aligned}}

Приводя к новой форме уравнения Фоккера-Планка:

{\partial p \over {\partial \tau }}={\partial ^{2}p \over {\partial \xi ^{2}}},\quad p(0,\xi )=\delta (\xi )

Однако это каноническая форма уравнения теплопроводности . который имеет решение, данное тепловым ядром :

p(\tau ,\xi )={1 \over {\sqrt {4\pi \tau }}}\exp \left(-{\xi ^{2} \over {4\tau }}\right)

Добавление исходных переменных приводит к PDF для GBM:

p(t,S)={1 \over {S{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}t}}}}\exp \left\{-{\left[\log(S/S_{0})-\left(\mu -{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)t\right]^{2} \over {2\sigma ^{2}t}}\right\}

При выводе дополнительных свойств GBM можно использовать SDE, решением которой является GBM, или можно использовать явное решение, данное выше. Например, рассмотрим журнал случайных процессов ( S _t ). Это интересный процесс, потому что в модели Блэка – Шоулза он связан с логарифмической доходностью цены акций. Используя лемму Ито с f ( S ) = log ( S ), получаем

{\begin{alignedat}{2}d\log(S)&=f'(S)\,dS+{\frac {1}{2}}f''(S)S^{2}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{S}}\left(\sigma S\,dW_{t}+\mu S\,dt\right)-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\,dt\\[6pt]&=\sigma \,dW_{t}+(\mu -\sigma ^{2}/2)\,dt.\end{alignedat}}

Отсюда следует, что . $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$

Этот результат также может быть получен путем применения логарифма к явному решению GBM:

{\begin{alignedat}{2}\log(S_{t})&=\log \left(S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right)\right)\\[6pt]&=\log(S_{0})+\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}.\end{alignedat}}

Принимая ожидания дает тот же результат, что и выше: . $\operatorname {E} \log(S_{t})=\log(S_{0})+(\mu -\sigma ^{2}/2)t$

Моделирование траекторий образцов [ править ]

# Python код для сюжетаимпортировать  numpy  как  np импортировать  matplotlib.pyplot  как  pltmu  =  1 n  =  50 dt  =  0,1 x0  =  100 np . случайный . семя ( 1 )сигма  =  np . аранж ( 0,8 ;  2 ;  0,2 )х  =  нп . ехр (  ( мю  -  сигма  **  2  /  2 )  *  дт  +  сигма  *  нп . случайным образом . нормальная ( 0 ,  пр . SQRT ( дт ),  размер = ( LEN ( сигма ),  п )) . Т ) х  =  нп . vstack ([ np . ones ( len( сигма )),  х ]) х  =  х0  *  х . cumprod ( ось = 0 )plt . участок ( x ) plt . легенда ( np . round ( sigma ,  2 )) plt . xlabel ( "$ t $" ) plt . ylabel ( "$ x $" ) plt . title (  "Реализации геометрического броуновского движения с различными дисперсиями \ n $ \ mu = 1 $" ) plt . показать ()

Многовариантная версия [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Август 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

GBM можно расширить до случая, когда существует несколько коррелированных ценовых путей.

Каждый ценовой путь следует основному процессу

dS_{t}^{i}=\mu _{i}S_{t}^{i}\,dt+\sigma _{i}S_{t}^{i}\,dW_{t}^{i},

где винеровские процессы коррелированы так, что где . $\operatorname {E} (dW_{t}^{i}\,dW_{t}^{j})=\rho _{i,j}\,dt$ $\rho _{i,i}=1$

Для многомерного случая это означает, что

\operatorname {Cov} (S_{t}^{i},S_{t}^{j})=S_{0}^{i}S_{0}^{j}e^{(\mu _{i}+\mu _{j})t}\left(e^{\rho _{i,j}\sigma _{i}\sigma _{j}t}-1\right).

Использование в финансах [ править ]

Геометрическое броуновское движение используется для моделирования цен акций в модели Блэка – Шоулза и является наиболее широко используемой моделью поведения курса акций. ^[3]

Вот некоторые из аргументов в пользу использования GBM для моделирования цен на акции:

Ожидаемая доходность GBM не зависит от стоимости процесса (цены акций), что согласуется с тем, что мы ожидаем в реальности. ^[3]
Процесс GBM принимает только положительные значения, как и реальные цены на акции.
Процесс GBM демонстрирует ту же «грубость» на своем пути, что и реальные цены на акции.
Расчеты с использованием процессов GBM относительно просты.

Однако GBM не является полностью реалистичной моделью, в частности, она не соответствует действительности по следующим пунктам:

В реальных ценах на акции волатильность изменяется со временем (возможно, стохастически ), но в GBM волатильность считается постоянной.
В реальной жизни цены на акции часто показывают скачки, вызванные непредсказуемыми событиями или новостями, но в GBM этот путь является непрерывным (без разрывов).

Расширения [ править ]

В попытке сделать GBM более реалистичным в качестве модели цен на акции можно отказаться от предположения, что волатильность ( ) является постоянной. Если мы предположим, что волатильность является детерминированной функцией цены акции и времени, это называется моделью локальной волатильности . Если вместо этого мы предположим, что волатильность имеет собственную случайность - часто описываемую другим уравнением, управляемым другим броуновским движением, - модель называется моделью стохастической волатильности . $\sigma$

См. Также [ править ]

Броуновская поверхность

Ссылки [ править ]

^ Росс, Шелдон М. (2014). «Вариации на тему броуновского движения» . Введение в вероятностные модели (11-е изд.). Амстердам: Эльзевир. С. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9.
^ Эксендал, Бернт К. (2002), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями , Springer, с. 326, ISBN 3-540-63720-6
^ a b Халл, Джон (2009). «12,3». Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.).

Внешние ссылки [ править ]

Геометрические модели броуновского движения для движения акций, за исключением редких случаев.
Моделирование геометрического броуновского движения на R и C #
Моделирование геометрического броуновского движения в Excel для моделирования цен на акции
«Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» .

Сайт неньютоновского исчисления

[1] Росс, Шелдон М. (2014). «Вариации на тему броуновского движения» . Введение в вероятностные модели (11-е изд.). Амстердам: Эльзевир. С. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9.

[2] Эксендал, Бернт К. (2002), Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями , Springer, с. 326, ISBN 3-540-63720-6

[Hull-3] Халл, Джон (2009). «12,3». Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (7-е изд.).

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стертой петлей Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели организации очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодичный Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Теорема Карунена – Лоэва Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Пространство Скорохода Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория