Уравнение Фоккера – Планка.

Решение одномерного уравнения Фоккера – Планка как с дрейфом, так и с диффузионным членом. В этом случае начальным условием является дельта-функция Дирака, центрированная от нулевой скорости. Со временем это распределение расширяется за счет случайных импульсов.

В статистической механике , то уравнение Фоккер-Планка является парциальным дифференциальным уравнением , которое описывает эволюцию во время в функции плотности вероятности скорости частицы под действием сопротивления сил и случайных силы, как и в броуновском движении . Уравнение можно обобщить и на другие наблюдаемые. ^[1] Оно названо в честь Адриана Фоккера и Макса Планка , ^{[2] [3]} и также известно как прямое уравнение Колмогорова в честь Андрея Колмогорова., который независимо открыл эту концепцию в 1931 году. ^[4] Применительно к распределению положения частиц оно более известно как уравнение Смолуховского (после Мариана Смолуховского ), и в этом контексте оно эквивалентно уравнению конвекции-диффузии . Случай с нулевой диффузией известен в статистической механике как уравнение Лиувилля . Уравнение Фоккера – Планка получается из основного уравнения с помощью разложения Крамерса – Мойала .

Первый последовательный микроскопический вывод уравнения Фоккера – Планка в единой схеме классической и квантовой механики был выполнен Николаем Боголюбовым и Николаем Крыловым . ^{[5] [6]}

Уравнение Смолуховского - это уравнение Фоккера – Планка для функции плотности вероятности положения броуновских частиц. ^[7]

Одно измерение [ править ]

В одном пространственном измерении x для процесса Ито, управляемого стандартным винеровским процессом и описываемого стохастическим дифференциальным уравнением (SDE)${\ displaystyle W_ {t}}$

${\ displaystyle dX_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) \, dt + \ sigma (X_ {t}, t) \, dW_ {t}}$

с учетом дрейфа и коэффициента диффузии уравнение Фоккера – Планка для плотности вероятности случайной величины имеет вид${\ displaystyle \ mu (X_ {t}, t)}$${\ Displaystyle D (X_ {t}, t) = \ sigma ^ {2} (X_ {t}, t) / 2}$${\ Displaystyle р (х, т)}$${\ displaystyle X_ {t}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} p (x, t) = - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left [\ mu (x, t) p (x , t) \ right] + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} \ left [D (x, t) p (x, t) \ right].}$

Хотя уравнение Фоккера – Планка используется с задачами, в которых известно начальное распределение, если задача состоит в том, чтобы узнать распределение в предыдущие моменты времени, можно использовать формулу Фейнмана – Каца , которая является следствием обратного уравнения Колмогорова.

Стохастический процесс, определенный выше в смысле Ито, может быть переписан в рамках соглашения Стратоновича как SDE Стратоновича:

${\displaystyle dX_{t}=\left[\mu (X_{t},t)-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial X_{t}}}D(X_{t},t)\right]\,dt+{\sqrt {2D(X_{t},t)}}\circ dW_{t}.}$

Он включает добавленный дрейф, вызванный шумом, из-за эффектов градиента диффузии, если шум зависит от состояния. Это соглашение чаще используется в физических приложениях. Действительно, хорошо известно, что любое решение SDE Стратоновича является решением SDE Ито.

Уравнение нулевого сноса с постоянной диффузией можно рассматривать как модель классического броуновского движения :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)=D_{0}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[p(x,t)\right].}$

Эта модель имеет дискретный спектр решений, если добавить условие фиксированных границ для :${\displaystyle \{0\leqslant x\leqslant L\}}$

${\displaystyle p(0,t)=p(L,t)=0,}$

${\displaystyle p(x,0)=p_{0}(x).}$

В ^[9] показано, что в этом случае аналитический спектр решений позволяет вывести соотношение локальной неопределенности для фазового объема координата-скорость:

${\displaystyle \Delta x\,\Delta v\geqslant D_{0}.}$

Здесь - минимальное значение соответствующего диффузионного спектра , а и представляют собой неопределенность определения координаты – скорости.${\displaystyle D_{0}}$${\displaystyle D_{j}}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta v}$

Высшие измерения [ править ]

В более общем смысле, если

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\,d\mathbf {W} _{t},}$

где и являются N - мерных случайных векторов , представляет собой Н М матрица и представляет собой М - мерный стандартный винеровский процесс , плотность вероятности для удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)}$${\displaystyle \times }$${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {X} _{t}}$

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}(\mathbf {x} ,t)p(\mathbf {x} ,t)\right],}$

с вектором сноса и тензором диффузии , т.е.${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\ldots ,\mu _{N})}$ ${\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma \sigma }}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle D_{ij}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t).}$

Если вместо СДУ Ито рассматривается СДУ Стратоновича ,

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}(\mathbf {X} _{t},t)\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {X} _{t},t)\circ d\mathbf {W} _{t},}$

уравнение Фоккера – Планка будет выглядеть так: ^{[8] : 129}

${\displaystyle {\frac {\partial p(\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[\mu _{i}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left\{\sigma _{ik}(\mathbf {x} ,t)\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[\sigma _{jk}(\mathbf {x} ,t)\,p(\mathbf {x} ,t)\right]\right\}}$

Примеры [ править ]

Винеровский процесс [ править ]

Стандартный скалярный винеровский процесс порождается стохастическим дифференциальным уравнением

${\displaystyle dX_{t}=dW_{t}.}$

Здесь дрейфовый член равен нулю, а коэффициент диффузии равен 1/2. Таким образом, соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$

которое представляет собой простейшую форму уравнения диффузии . Если начальное условие - решение${\displaystyle p(x,0)=\delta (x)}$

${\displaystyle p(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-{x^{2}}/({2t})}.}$

Процесс Орнштейна – Уленбека [ править ]

Процесс Орнштейна – Уленбека - это процесс, определяемый как

${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$.

с . Физически это уравнение может быть мотивировано следующим образом: частица массы со скоростью, движущаяся в среде, например жидкости, будет испытывать силу трения, которая сопротивляется движению, величина которого может быть аппроксимирована пропорциональной скорости частицы с . Другие частицы в среде будут случайным образом толкать частицу при столкновении с ней, и этот эффект можно аппроксимировать с помощью члена белого шума; . Второй закон Ньютона записывается как${\displaystyle a>0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle V_{t}}$${\displaystyle -aV_{t}}$${\displaystyle a=constant}$${\displaystyle \sigma (dW_{t}/dt)}$

${\displaystyle m{dV_{t} \over dt}=-aV_{t}+\sigma {dW_{t} \over dt}.}$

Принимая для простоты и меняя обозначения , как ведет к привычной форме .${\displaystyle m=1}$${\displaystyle V_{t}\rightarrow X_{t}}$${\displaystyle dX_{t}=-aX_{t}dt+\sigma dW_{t}}$

Соответствующее уравнение Фоккера – Планка имеет вид

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=a{\frac {\partial }{\partial x}}\left(x\,p(x,t)\right)+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}p(x,t)}{\partial x^{2}}},}$

Стационарное решение ( ) есть${\displaystyle \partial _{t}p=0}$

${\displaystyle p_{ss}(x)={\sqrt {\frac {a}{\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {ax^{2}}{\sigma ^{2}}}}.}$

Физика плазмы [ править ]

В физике плазмы, то функция распределения для одного вида частиц , , занимает место в функции плотности вероятности . Соответствующее уравнение Больцмана дается формулой${\displaystyle s}$${\displaystyle p_{s}({\vec {x}},{\vec {v}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial p_{s}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}p_{s}+{\frac {Z_{s}e}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\cdot {\vec {\nabla }}_{v}p_{s}=-{\frac {\partial }{\partial v_{i}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\rangle \right)+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial v_{i}\,\partial v_{j}}}\left(p_{s}\langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle \right),}$

где третий член включает ускорение частиц за счет силы Лоренца, а член Фоккера – Планка в правой части представляет эффекты столкновений частиц. Величины и представляют собой среднее изменение скорости, которое испытывает частица определенного типа из-за столкновений со всеми другими частицами в единицу времени. Выражения для этих величин приведены в другом месте. ^[10] Если не учитывать столкновения, уравнение Больцмана сводится к уравнению Власова .${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\rangle }$${\displaystyle \langle \Delta v_{i}\,\Delta v_{j}\rangle }$${\displaystyle s}$

Уравнение диффузии Смолуховского ^[11] [ править ]

Уравнение диффузии Смолуховского - это уравнение Фоккера-Планка, ограниченное броуновскими частицами, на которые действует внешняя сила . ${\displaystyle F(r)}$

${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot [D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})]}$

Где - постоянная диффузии и . Важность этого уравнения заключается в том, что оно позволяет учесть влияние температуры на систему частиц и пространственно-зависимую константу диффузии. ${\displaystyle D}$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}}$

Вывод уравнения Смолуховского из уравнения Фоккера-Планка.

Начнем с уравнения Ланжевена для броуновской частицы во внешнем поле , где - член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда флуктуации.${\displaystyle F(r)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle m{\ddot {r}}=-\gamma {\dot {r}}+F(r)+\sigma \xi (t)}$

В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {r}}\right\vert >>\left\vert m{\ddot {r}}\right\vert }$

${\displaystyle \gamma {\dot {r}}=F(r)+\sigma \xi (t)}$

Что порождает следующее уравнение Фоккера-Планка,

${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})={\Bigl (}\nabla ^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}-\nabla \cdot {\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}P(r,t|r_{0},t_{0})}$

Преобразуя уравнение Фоккера-Планка,

${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot {\Bigl (}\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}P(r,t|r_{0},t_{0})}$

Где . Обратите внимание , что коэффициент диффузии не обязательно может быть пространственно независимым, если он зависит или зависит от него. ${\displaystyle D={\frac {\sigma ^{2}}{2\gamma ^{2}}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \gamma }$

Далее, общее количество частиц в любом конкретном объеме определяется выражением

${\displaystyle N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int \limits _{V}drP(r,t|r_{0},t_{0})}$

Следовательно, поток частиц можно определить, взяв производную по времени от числа частиц в данном объеме, подставив уравнение Фоккера-Планка и затем применив теорему Гаусса .

${\displaystyle \partial _{t}N_{V}(t|r_{0},t_{0})=\int \limits _{V}dV\nabla \cdot {\Bigl (}\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}P(r,t|r_{0},t_{0})=\int \limits _{\partial V}{\vec {da}}\cdot j(r,t|r_{0},t_{0})}$

${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})={\Bigl (}\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}P(r,t|r_{0},t_{0})}$

В состоянии равновесия предполагается, что поток стремится к нулю. Следовательно, статистика Больцмана может применяться для вероятности нахождения частицы в состоянии равновесия, где - консервативная сила, а вероятность нахождения частицы в состоянии задается как .${\displaystyle F(r)=-\nabla U(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle P(r,t|r_{0},t_{0})={\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}}$

${\displaystyle j(r,t|r_{0},t_{0})={\Bigl (}\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}{\frac {e^{-\beta U(r)}}{Z}}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow \nabla D=F(r)({\frac {1}{\gamma }}-D\beta )}$

Это соотношение является реализацией теоремы о флуктуации-диссипации . Применяя к и используя теорему Флуктуационно рассеивание,${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$${\displaystyle DP(r,t|r_{0},t_{0})}$

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla DP(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})\nabla D}$

${\displaystyle =\nabla \cdot D\nabla P(r,t|r_{0},t_{0})+\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0}){\frac {F(r)}{\gamma }}-\nabla \cdot P(r,t|r_{0},t_{0})D\beta F(r)}$

Перестановка,

${\displaystyle \Rightarrow \nabla \cdot {\Bigl (}\nabla D-{\frac {F(r)}{\gamma }}{\Bigr )}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$

Таким образом, уравнение Фоккера-Планка становится уравнением Смолуховского:

${\displaystyle \partial _{t}P(r,t|r_{0},t_{0})=\nabla \cdot D(\nabla -\beta F(r))P(r,t|r_{0},t_{0})}$

Для произвольной силы .${\displaystyle F(r)}$

Вычислительные соображения [ править ]

Броуновское движение следует уравнению Ланжевена , которое может быть решено для множества различных стохастических воздействий с усреднением результатов (канонический ансамбль в молекулярной динамике ). Однако вместо этого ресурсоемкого подхода можно использовать уравнение Фоккера – Планка и рассмотреть вероятность того, что частица будет иметь скорость в интервале, когда она начинает свое движение в момент времени 0.${\displaystyle p(\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$

Пример одномерного линейного потенциала ^{[11] [12]} [ править ]

Теория [ править ]

Начиная с линейного потенциала вида соответствующее уравнение Смолуховского принимает вид${\displaystyle U(x)=cx}$

${\displaystyle \partial _{t}P(x,t|x_{0},t_{0})=\partial _{x}D(\partial _{x}+\beta c)P(x,t|x_{0},t_{0})}$

Где постоянная диффузии постоянна в пространстве и времени. Граничные условия таковы, что вероятность обращается в нуль при начальном условии ансамбля частиц, стартующих в том же месте ,. ${\displaystyle D}$${\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }$${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})=\delta (x-x_{0})}$

Определение и применение преобразования координат,${\displaystyle \tau =Dt}$${\displaystyle b=\beta c}$

${\displaystyle y=x+\tau b,\ \ \ y_{0}=x_{0}+\tau _{0}b}$

С уравнением Смолуховского становится,${\displaystyle P(x,t,|x_{0},t)=q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$

${\displaystyle \partial _{t}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})=\partial _{y}^{2}q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})}$

Это уравнение свободной диффузии с решением,

${\displaystyle q(y,\tau |y_{0},\tau _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi (\tau -\tau _{0})}}}e^{-{\frac {(y-y_{0})^{2}}{4(\tau -\tau _{0})}}}}$

И после преобразования обратно к исходным координатам,

${\displaystyle P(x,t|x_{0},t_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D(t-t_{0})}}}\exp {{\Bigl [}{-{\frac {(x-x_{0}+D\beta c(t-t_{0}))^{2}}{4D(t-t_{0})}}}}{\Bigr ]}}$

Моделирование ^{[13] [14]} [ редактировать ]

Симуляция справа была завершена с использованием симуляции броуновской динамики . Начиная с уравнения Ланжевена для системы,

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-\gamma {\dot {x}}-c+\sigma \xi (t)}$

Где - член трения, - флуктуирующая сила, действующая на частицу, и - амплитуда флуктуации. В состоянии равновесия сила трения намного больше, чем сила инерции . Следовательно, уравнение Ланжевена принимает вид ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \left\vert \gamma {\dot {x}}\right\vert >>\left\vert m{\ddot {x}}\right\vert }$

${\displaystyle \gamma {\dot {x}}=-c+\sigma \xi (t)}$

Для броуновского динамического моделирования предполагается, что сила флуктуаций является гауссовой, а амплитуда зависит от температуры системы . Переписывая уравнение Ланжевена, ${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle \sigma ={\sqrt {2\gamma k_{B}T}}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-D\beta c+{\sqrt {2D}}\xi (t)}$

Где соотношение Эйнштейна. Интегрирование этого уравнения было выполнено с использованием метода Эйлера-Маруямы для численной аппроксимации пути этой броуновской частицы.${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{\gamma }}}$

Решение [ править ]

Уравнение Фоккера – Планка, являющееся уравнением в частных производных , может быть решено аналитически только в особых случаях. Формальная аналогия уравнения Фоккера – Планка с уравнением Шредингера позволяет использовать передовые операторные техники, известные из квантовой механики, для его решения в ряде случаев. Кроме того, в случае сверхзатухающей динамики, когда уравнение Фоккера – Планка содержит вторые частные производные по всем пространственным переменным, уравнение может быть записано в форме основного уравнения, которое можно легко решить численно. ^[15] Во многих приложениях интересует только установившееся распределение вероятностей , которое можно найти из . Вычисление среднего${\displaystyle p_{0}(x)}$${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=0}$Время первого прохождения и вероятности расщепления могут быть сведены к решению обыкновенного дифференциального уравнения, которое тесно связано с уравнением Фоккера – Планка.

Частные случаи с известным решением и обращением [ править ]

В финансовой математике для моделирования волатильности опционов через локальную волатильность возникает проблема получения коэффициента диффузии, согласованного с плотностью вероятности, полученной из котировок рыночных опционов. Таким образом, проблема заключается в инверсии уравнения Фоккера – Планка: учитывая плотность f (x, t) опциона, лежащего в основе X, выведенную из рынка опционов, мы стремимся найти локальную волатильность, совместимую с f . Это обратная задача , которая была решена Дюпире (1994, 1997) с помощью непараметрического решения. ^{[16] [17]}${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$Бриго и Меркурио (2002, 2003) предлагают решение в параметрической форме через конкретную локальную волатильность, совместимую с решением уравнения Фоккера-Планка, заданным смешанной моделью . ^{[18] [19]} Дополнительная информация доступна также в Fengler (2008), ^[20] Gatheral (2008), ^[21] и Musiela and Rutkowski (2008). ^[22]${\displaystyle {\sigma }(\mathbf {X} _{t},t)}$

Уравнение Фоккера – Планка и интеграл по путям [ править ]

Каждое уравнение Фоккера – Планка эквивалентно интегралу по путям . Формулировка интеграла по путям - отличная отправная точка для применения методов теории поля. ^[23] Это используется, например, в критической динамике .

Вывод интеграла по путям возможен аналогично квантовой механике. Вывод уравнения Фоккера – Планка с одной переменной выглядит следующим образом. Начните с вставки дельта-функции, а затем интегрируйте по частям: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}p\!\left(x^{\prime },t\right)&=-{\frac {\partial }{\partial x'}}\left[D_{1}(x',t)p(x',t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {x'}^{2}}}\left[D_{2}(x',t)p(x',t)\right]\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\left(\left[D_{1}\left(x,t\right){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}\left(x,t\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\delta \left(x^{\prime }-x\right)\right)p\!\left(x,t\right).\end{aligned}}}$

Производные здесь действуют только на функцию, но не на . Интегрировать по временному интервалу ,${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle p(x,t)}$${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle p(x^{\prime },t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\,dx\left(\left(1+\varepsilon \left[D_{1}(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}+D_{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right]\right)\delta (x^{\prime }-x)\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).}$

Вставьте интеграл Фурье

${\displaystyle \delta \left(x^{\prime }-x\right)=\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}e^{{\tilde {x}}\left(x-x^{\prime }\right)}}$

для -функции,${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x^{\prime },t+\varepsilon )&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\left(1+\varepsilon \left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)e^{{\tilde {x}}(x-x^{\prime })}p(x,t)+O(\varepsilon ^{2})\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {d{\tilde {x}}}{2\pi i}}\exp \left(\varepsilon \left[-{\tilde {x}}{\frac {(x^{\prime }-x)}{\varepsilon }}+{\tilde {x}}D_{1}f(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)\right]\right)p(x,t)+O(\varepsilon ^{2}).\end{aligned}}}$

Это уравнение выражается как функционал от . Итерация времени и выполнение предела дает интеграл по пути с действием${\displaystyle p(x^{\prime },t+\varepsilon )}$${\displaystyle p(x,t)}$${\displaystyle (t^{\prime }-t)/\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$

${\displaystyle S=\int dt\left[{\tilde {x}}D_{1}(x,t)+{\tilde {x}}^{2}D_{2}(x,t)-{\tilde {x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}\right].}$

Сопряженные переменные называются «переменными ответа». ^[24]${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle x}$

Хотя формально они эквивалентны, различные проблемы могут быть более легко решены с помощью уравнения Фоккера – Планка или формулировки интеграла по путям. Равновесное распределение, например, может быть получено более непосредственно из уравнения Фоккера – Планка.

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фрэнк, Тилль Дэниел (2005). Нелинейные уравнения Фоккера – Планка: основы и приложения . Серия Спрингера в синергетике. Springer. ISBN 3-540-21264-7.
• Гардинер, Криспин (2009). Стохастические методы (4-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-70712-7.
• Павлиотис, Григориос А. (2014). Случайные процессы и приложения: диффузионные процессы, уравнения Фоккера – Планка и Ланжевена . Тексты Спрингера по прикладной математике. Springer. ISBN 978-1-4939-1322-0.
• Рискен, Ханнес (1996). Уравнение Фоккера – Планка: методы решений и приложения . Серия Спрингера в синергетике (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-61530-Х.