Функция плотности вероятности

Коробчатая диаграмма и функция плотности вероятности нормального распределения N (0,  σ ² ) .

Геометрическая визуализация режима , медианы и среднего значения произвольной функции плотности вероятности. ^[1]

В теории вероятностей , А функция плотности вероятности ( PDF ), или плотность из непрерывных случайных переменных , является функцией , значение которой в любом данном образце (или точка) в выборочном пространстве (множество возможных значений , принимаемых случайной величина) может интерпретироваться как обеспечение относительной вероятности того, что значение случайной переменной будет равно этой выборке. ^[2] Другими словами, абсолютная вероятностьдля непрерывной случайной переменной, которая принимает любое конкретное значение, является 0 (поскольку существует бесконечный набор возможных значений для начала), значение PDF в двух разных выборках может использоваться для вывода в любом конкретном розыгрыше случайного переменной, насколько более вероятно, что случайная величина будет равна одной выборке по сравнению с другой выборкой.

В более точном смысле PDF используется для указания вероятности попадания случайной величины в определенный диапазон значений , в отличие от принятия какого-либо одного значения. Эта вероятность дается интегралом PDF этой переменной в этом диапазоне, то есть она дается площадью под функцией плотности, но над горизонтальной осью и между наименьшим и наибольшим значениями диапазона. Функция плотности вероятности всюду неотрицательна, а ее интеграл по всему пространству равен 1.

Термины « функция распределения вероятностей » ^[3] и « функция вероятности » ^[4] также иногда использовались для обозначения функции плотности вероятности. Однако такое использование не является стандартным среди специалистов по теории вероятностей и статистиков. В других источниках «функция распределения вероятностей» может использоваться, когда распределение вероятностей определяется как функция по общим наборам значений, или оно может относиться к кумулятивной функции распределения , или это может быть функция массы вероятности (PMF), а не плотность. Сама «функция плотности» также используется для функции массы вероятности, что приводит к дальнейшему недоразумению. ^[5] Однако в целом PMF используется в контексте дискретных случайных величин (случайных величин, принимающих значения в счетном наборе), а PDF используется в контексте непрерывных случайных величин.

Пример [ править ]

Предположим, бактерии определенного вида обычно живут от 4 до 6 часов. Вероятность того, что бактерия живет ровно 5 часов, равна нулю. Многие бактерии живут примерно 5 часов, но нет никаких шансов, что какая-либо конкретная бактерия погибнет ровно в 5.0000000000 ... часов. Однако вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,01 часа, поддается количественной оценке. Предположим, ответ - 0,02 (т. Е. 2%). Тогда вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,001 часа, должна быть около 0,002, поскольку этот временной интервал в десять раз меньше предыдущего. Вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5.0001 часа, должна быть около 0,0002 и так далее.

В этих трех примерах отношение (вероятность смерти во время интервала) / (продолжительность интервала) приблизительно постоянное и равно 2 в час (или 2 час ^-1 ). Например, вероятность смерти составляет 0,02 в интервале 0,01 часа между 5 и 5,01 часами, а (вероятность 0,02 / 0,01 часа) = 2 час ^-1 . Эта величина 2 час ^-1 называется плотностью вероятности смерти примерно через 5 часов. Следовательно, вероятность того, что бактерия погибнет через 5 часов, может быть записана как (2 час ^-1 ) dt . Это вероятность того, что бактерия погибнет в бесконечно малом временном окне около 5 часов, где dtпродолжительность этого окна. Например, вероятность того, что он живет дольше 5 часов, но короче (5 часов + 1 наносекунда), составляет (2 час ⁻¹ ) × (1 наносекунда) ≈6 × 10 ⁻¹³ (с использованием преобразования единиц измерения 3,6 × 10 ¹² наносекунд = 1 час).

Существует функция плотности вероятности f с f (5 часов) = 2 час ⁻¹ . Интеграл от F над любым окном времени (не только бесконечно малые окна , но и большие окна) есть вероятность того, что бактерия умирает в этом окне.

Абсолютно непрерывные одномерные распределения [ править ]

Функция плотности вероятности чаще всего ассоциируется с абсолютно непрерывными одномерными распределениями . Случайная величина имеет плотность , где является неотрицательным интегрируемой по Лебегу функции, если:${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f_ {X}}$${\ displaystyle f_ {X}}$

${\ displaystyle \ Pr [a \ leq X \ leq b] = \ int _ {a} ^ {b} f_ {X} (x) \, dx.}$

Следовательно, если это кумулятивная функция распределения из , то:${\ displaystyle F_ {X}}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle F_ {X} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f_ {X} (u) \, du,}$

и (если непрерывна при )${\ displaystyle f_ {X}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f_ {X} (x) = {\ frac {d} {dx}} F_ {X} (x).}$

Интуитивно это можно представить как вероятность попадания в бесконечно малый интервал .${\ Displaystyle f_ {X} (х) \, dx}$${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle [х, х + dx]}$

Формальное определение [ править ]

( Это определение может быть распространено на любое распределение вероятностей, используя теоретико-мерное определение вероятности . )

Случайная величина со значениями в измеримом пространстве ( как правило , с множествами борелевскими как измеримых подмножеств) имеет в качестве распределения вероятностей мера Х _* Р на : по плотности от по отношению к эталонной мере на это производная Радона-Никодима :${\ displaystyle X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$

${\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}$

То есть f - это любая измеримая функция, обладающая следующим свойством:

${\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }$

для любого измеримого множества ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}$

Обсуждение [ править ]

В непрерывном одномерном случае выше эталонной мерой является мера Лебега . Функция вероятности массы из дискретной случайной величины плотности по отношению к счетным мерам по образцу пространству (обычно множество целых чисел , или некоторое их подмножества).

Невозможно определить плотность со ссылкой на произвольную меру (например, нельзя выбрать счетную меру в качестве эталона для непрерывной случайной величины). Более того, когда он действительно существует, плотность почти везде уникальна.

Дополнительная информация [ править ]

В отличие от вероятности функция плотности вероятности может принимать значения больше единицы; например, равномерное распределение на интервале [0, ½] имеет плотность вероятности f ( x ) = 2 для 0 ≤  x  ≤ ½ и f ( x ) = 0 в другом месте.

Стандартное нормальное распределение имеет плотность вероятности

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\;e^{-x^{2}/2}.}$

Если случайная величина Х задана и ее распределение допускает функцию плотности вероятности п , затем ожидаемое значение из X (если ожидаемое значение существует) может быть вычислена как

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}$

Не каждое распределение вероятностей имеет функцию плотности: распределения дискретных случайных величин не имеют; также нет распределения Кантора , даже если оно не имеет дискретной составляющей, т. е. не приписывает положительную вероятность какой-либо отдельной точке.

Распределение имеет функцию плотности тогда и только тогда, когда его кумулятивная функция распределения F ( x ) абсолютно непрерывна . В этом случае: F является почти всюду дифференцируема , и ее производная может быть использована в качестве плотности вероятности:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}$

Если распределение вероятностей допускает плотность, тогда вероятность каждого одноточечного набора { a } равна нулю; то же самое верно для конечных и счетных множеств.

Две плотности вероятности f и g представляют одно и то же распределение вероятностей, если они различаются только на множестве нулевой меры Лебега .

В области статистической физики в качестве определения функции плотности вероятности обычно используется неформальная переформулировка приведенного выше отношения между производной кумулятивной функции распределения и функцией плотности вероятности. Это альтернативное определение следующее:

Если dt - бесконечно малое число, вероятность того, что X входит в интервал ( t ,  t  +  dt ), равна f ( t )  dt , или:

${\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}$

Связь между дискретным и непрерывным распределениями [ править ]

Можно представить определенные дискретные случайные величины, а также случайные величины, включающие как непрерывную, так и дискретную части, с обобщенной функцией плотности вероятности, используя дельта-функцию Дирака . (Это невозможно с функцией плотности вероятности в смысле, определенном выше, это можно сделать с помощью распределения .) Например, рассмотрим двоичную дискретную случайную величину, имеющую распределение Радемахера, то есть принимая -1 или 1 для значений, с вероятностью ½ каждое. Плотность вероятности, связанная с этой переменной, равна:

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}$

В более общем плане, если дискретная переменная может принимать n различных значений среди действительных чисел, тогда соответствующая функция плотности вероятности имеет вид:

${\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),}$

где - дискретные значения, доступные для переменной, и - вероятности, связанные с этими значениями.${\displaystyle x_{1}\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

Это существенно унифицирует рассмотрение дискретных и непрерывных распределений вероятностей. Например, приведенное выше выражение позволяет определить статистические характеристики такой дискретной переменной (такие как ее среднее значение , дисперсия и эксцесс ), исходя из формул, приведенных для непрерывного распределения вероятности ...

Семейства плотностей [ править ]

Обычно функции плотности вероятности (и функции массы вероятности ) параметризуются, то есть характеризуются неопределенными параметрами . Например, нормальное распределение параметризуется в терминах среднего и дисперсии , обозначенных и соответственно, давая семейство плотностей${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$

Важно помнить о различии между областью плотностей семейства и параметрами этого семейства. Различные значения параметров описывают разные распределения разных случайных величин в одном и том же пространстве выборки (один и тот же набор всех возможных значений переменной); это пространство выборки является областью семейства случайных величин, которое описывает это семейство распределений. Данный набор параметров описывает единичное распределение внутри семейства, разделяющее функциональную форму плотности. С точки зрения данного распределения параметры являются константами, а члены функции плотности, которые содержат только параметры, но не переменные, являются частью коэффициента нормализации.распределения (мультипликативный коэффициент, который гарантирует, что площадь под плотностью - вероятность того, что что- то произойдет в области - равна 1). Этот коэффициент нормализации находится вне ядра дистрибутива.

Поскольку параметры являются константами, повторное параметрирование плотности с точки зрения различных параметров, чтобы дать характеристику другой случайной переменной в семействе, означает простую замену новых значений параметров в формулу вместо старых. Однако изменение области определения плотности вероятности сложнее и требует дополнительных усилий: см. Раздел ниже, посвященный замене переменных.

Плотности, связанные с несколькими переменными [ править ]

Для непрерывных случайных величин X ₁ , ..., X _n также можно определить функцию плотности вероятности, связанную с множеством в целом, часто называемую совместной функцией плотности вероятности . Эта функция плотности определяется как функция n переменных, так что для любой области D в n -мерном пространстве значений переменных X ₁ , ..., X _n вероятность того, что реализация множества переменные попадает внутрь область D является

${\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Если F ( x ₁ , ...,  x _n ) = Pr ( X ₁  ≤  x ₁ , ...,  X _n  ≤  x _n ) - кумулятивная функция распределения вектора ( X ₁ , ...,  X _n ), то совместная функция плотности вероятности может быть вычислена как частная производная

${\displaystyle f(x)={\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}{\bigg |}_{x}}$

Предельные плотности [ править ]

Для i = 1, 2, ..., n пусть f _{X i} ( x _i ) будет функцией плотности вероятности, связанной только с переменной X _i . Это называется функцией предельной плотности, и ее можно вывести из плотности вероятности, связанной со случайными величинами X ₁ , ..., X _n, путем интегрирования по всем значениям других n  - 1 переменных:

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$

Независимость [ править ]

Непрерывные случайные величины X ₁ , ..., X _n, допускающие совместную плотность, независимы друг от друга тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}$

Следствие [ править ]

Если совместная функция плотности вероятности вектора из n случайных величин может быть разложена на произведение n функций одной переменной

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}$

(где каждое f _i не обязательно является плотностью), тогда все n переменных в наборе независимы друг от друга, а предельная функция плотности вероятности каждой из них определяется выражением

${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}$

Пример [ править ]

Этот элементарный пример иллюстрирует приведенное выше определение многомерных функций плотности вероятности в простом случае функции от набора двух переменных. Назовем двумерный случайный вектор координат ( X , Y ): вероятность получить в четверть плоскости положительных значений x и y равна${\displaystyle {\vec {R}}}$${\displaystyle {\vec {R}}}$

${\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}$

Функция случайных величин и изменение переменных в функции плотности вероятности [ править ]

Если функция плотности вероятности случайной величины (или вектора) X задана как f _X ( x ), можно (но часто не обязательно; см. Ниже) вычислить функцию плотности вероятности некоторой переменной Y = g ( X ) . Это также называется «изменением переменной» и на практике используется для генерации случайной величины произвольной формы f _{g ( X )} = f _Y с использованием известного (например, равномерного) генератора случайных чисел.

Заманчиво думать, что для того, чтобы найти ожидаемое значение E ( g ( X )), нужно сначала найти плотность вероятности f _{g ( X )} новой случайной величины Y = g ( X ) . Однако вместо вычислений

${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,}$

вместо этого можно найти

${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}$

Значения двух интегралов одинаковы во всех случаях, когда и X, и g ( X ) фактически имеют функции плотности вероятности. Необязательно, чтобы функция g была взаимно однозначной . В некоторых случаях последний интеграл вычисляется намного проще, чем первый. См. Закон бессознательного статистика .

Скалярное в скалярное [ править ]

Пусть - монотонная функция , тогда результирующая функция плотности будет${\displaystyle g:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}$

Здесь g ⁻¹ обозначает обратную функцию .

Это следует из того факта, что вероятность, содержащаяся в дифференциальной области, должна быть инвариантной относительно замены переменных. То есть,

${\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,}$

или же

${\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={{\big |}{\big (}g^{-1}{\big )}'(y){\big |}}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}$

Для функций, которые не являются монотонными, функция плотности вероятности для y равна

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},}$

где n ( y ) - количество решений по x уравнения , а - эти решения.${\displaystyle g(x)=y}$${\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}$

Вектор в вектор [ править ]

Вышеупомянутые формулы могут быть обобщены на переменные (которые мы снова будем называть y ) в зависимости от более чем одной другой переменной. f ( x ₁ , ..., x _n ) должно обозначать функцию плотности вероятности переменных, от которых зависит y , и зависимость должна быть y = g ( x ₁ ,…, x _n ) . Тогда результирующая функция плотности ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle \int \limits _{y=g(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{\sqrt {\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g}{\partial x_{j}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})^{2}}}}\,dV,}$

где интеграл ведется по всему ( n  - 1) -мерному решению уравнения с индексами, а символическое dV должно быть заменено параметризацией этого решения для конкретного вычисления; переменные x ₁ , ..., x _n в этом случае, конечно, являются функциями этой параметризации.

Это происходит из следующего, возможно, более интуитивного представления: предположим, что x - n- мерная случайная величина с совместной плотностью f . Если у = Н ( х ) , где Н представляет собой биективен , дифференцируемая функция , то у имеет плотность г :

${\displaystyle g(\mathbf {y} )=f{\Big (}H^{-1}(\mathbf {y} ){\Big )}\left\vert \det \left[{\frac {dH^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}{\Bigg \vert }_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right\vert }$

с дифференциалом, рассматриваемым как якобиан, обратным к H (.) , вычисленному в y . ^[6]

Например, в двумерном случае x  = ( x ₁ ,  x ₂ ) предположим, что преобразование H задано как y ₁  = H ₁ ( x ₁ ,  x ₂ ), y ₂  = H ₂ ( x ₁ ,  x ₂ ) с обратными x ₁  = H ₁ ⁻¹ ( y ₁ ,  y ₂ ), x ₂  = H ₂⁻¹ ( y ₁ ,  y ₂ ). Совместное распределение для y  = ( y ₁ , y ₂ ) имеет плотность ^[7]

${\displaystyle g(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}H_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),H_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial H_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial H_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial H_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial H_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}$

Вектор в скаляр [ править ]

Позвольте быть дифференцируемой функцией и быть случайным вектором, принимающим значения , быть функцией плотности вероятности и быть дельта- функцией Дирака . Можно использовать приведенные выше формулы для определения функции плотности вероятности , которая будет иметь вид${\displaystyle V:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$${\displaystyle f_{X}(\cdot )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta (\cdot )}$${\displaystyle f_{Y}(\cdot )}$${\displaystyle Y=V(X)}$

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}$

Этот результат приводит к Закону бессознательного статистика :

${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{{\mathbb {R} }^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dyd\mathbf {x} =\int _{{\mathbb {R} }^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].}$

Доказательство:

Позвольте быть свернутой случайной величиной с функцией плотности вероятности ( то есть константой, равной нулю). Пусть случайный вектор и преобразование определены как${\displaystyle Z}$${\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}}$.

Ясно, что это биективное отображение, и якобиан отображения задается формулой:${\displaystyle H}$${\displaystyle H^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}}}$,

которая является верхнетреугольной матрицей с единицами на главной диагонали, поэтому ее определитель равен 1. Применяя теорему о замене переменной из предыдущего раздела, получаем, что

${\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}}$,

что при маргинализации приводит к желаемой функции плотности вероятности.${\displaystyle x}$

Суммы независимых случайных величин [ править ]

Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, представляет собой свертку их отдельных функций плотности:

${\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}$

Можно обобщить предыдущее соотношение на сумму N независимых случайных величин с плотностями U ₁ , ..., U _N :

${\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U_{N}}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}$

Это может быть получено путем двусторонней замены переменных с участием Y = U + V и Z = V , аналогично приведенному ниже примеру для отношения независимых случайных величин.

Произведения и отношения независимых случайных величин [ править ]

Учитывая две независимые случайные величины U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, плотность продукта Y  =  UV и частного Y = U / V можно вычислить путем замены переменных.

Пример: частное распределение [ править ]

Чтобы вычислить частное Y  =  U / V двух независимых случайных величин U и V , определите следующее преобразование:

${\displaystyle Y=U/V}$

${\displaystyle Z=V}$

Затем совместная плотность p ( y , z ) может быть вычислена путем замены переменных с U, V на Y, Z и Y может быть получена путем исключения Z из совместной плотности.

Обратное преобразование

${\displaystyle U=YZ}$

${\displaystyle V=Z}$

Матрица Якоби этого преобразования${\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}z&y\\0&1\end{vmatrix}}=|z|.}$

Таким образом:

${\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}$

А распределение Y можно вычислить, исключив Z :

${\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}$

Этот метод критически требует, чтобы преобразование из U , V в Y , Z было биективным . Вышеупомянутое преобразование соответствует этому, потому что Z может быть отображено непосредственно обратно в V , и для данного V отношение U / V является монотонным . То же самое и для суммы U  +  V , разности U  -  V и произведения UV .

Точно такой же метод можно использовать для вычисления распределения других функций от нескольких независимых случайных величин.

Пример: отношение двух стандартных нормалей [ править ]

Учитывая две стандартные нормальные переменные U и V , частное можно вычислить следующим образом. Во-первых, переменные имеют следующие функции плотности:

${\displaystyle p(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}}$

${\displaystyle p(v)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {v^{2}}{2}}}}$

Трансформируем как описано выше:

${\displaystyle Y=U/V}$

${\displaystyle Z=V}$

Это ведет к:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(y^{2}+1)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}(y^{2}+1)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-(y^{2}+1)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi (y^{2}+1)}}e^{-(y^{2}+1)u}\right]_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi (y^{2}+1)}}\end{aligned}}}$

Это плотность стандартного распределения Коши .

См. Также [ править ]

• Оценка плотности
• Оценка плотности ядра
• Функция правдоподобия
• Список вероятностных распределений
• Вероятностная функция масс
• Вторичная мера
• Используется в качестве плотности вероятности положения :
  • Атомная орбиталь
  • Домашний ассортимент

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Биллингсли, Патрик (1979). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Торонто, Лондон: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.
• Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (второе изд.). Thomson Learning. С. 34–37. ISBN 0-534-24312-6.
• Стирзакер, Дэвид (2003). Элементарная вероятность . ISBN 0-521-42028-8. Главы с 7 по 9 посвящены непрерывным переменным.

Внешние ссылки [ править ]

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], "Плотность распределения вероятностей" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. "Функция плотности вероятности" . MathWorld .