Мартингейл (теория вероятностей)

Остановленное броуновское движение - пример мартингейла. Он может смоделировать пари с подбрасыванием монеты с возможностью банкротства.

В теории вероятностей , A мартингальный является последовательностью из случайных величин (т.е. случайного процесса ) , для которого, в конкретный момент времени, то условное математическое ожидание следующего значения в последовательности равно текущую стоимость, независимо от всех предыдущих значений.

История [ править ]

Первоначально мартингейл относился к классу стратегий ставок, которые были популярны во Франции 18-го века . ^{[1] [2]} Простейшая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает свою ставку, если выпадает орел, и проигрывает, если монета выпадает решкой. Стратегия предусматривала, что игрок удваивает свою ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш компенсирует все предыдущие проигрыши плюс выигрыш, равный первоначальной ставке. Как богатство картежника и доступное время совместно стремятся к бесконечности, их вероятность в конце концов листать головки приближается к 1, что делает стратегию ставок мартингала кажется , как уверена вещь . Тем не менееэкспоненциальный рост ставок в конечном итоге приводит к банкротству пользователей из-за ограниченного банкролла. Остановленное броуновское движение , которое представляет собой мартингальный процесс, можно использовать для моделирования траектории таких игр.

Понятие мартингал в теории вероятностей было введено Полем Леви в 1934 году, хотя он не назвал его. Термин «мартингал» был введен позже Вилле (1939) , который также распространил это определение на непрерывные мартингалы. Большая часть первоначального развития теории была проделана, среди прочих, Джозефом Лео Дубом . Частично мотивация для этой работы заключалась в том, чтобы показать невозможность успешных стратегий ставок в азартных играх.

Определения [ править ]

Основное определение дискретного времени мартингала является дискретным время стохастического процессом (т.е. последовательности из случайных величин ) Х ₁ ,  Х ₂ ,  Х ₃ , ..., удовлетворяющие для любого момента времени п ,

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ vert X_ {n} \ vert) <\ infty}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} (X_ {n + 1} \ mid X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = X_ {n}.}$

То есть условное ожидаемое значение следующего наблюдения с учетом всех прошлых наблюдений равно самому последнему наблюдению.

Последовательности Мартингейла по отношению к другой последовательности [ править ]

В более общем смысле, последовательность Y ₁ ,  Y ₂ ,  Y ₃  ... называется мартингалом по отношению к другой последовательности X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃  ... если для всех n

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ vert Y_ {n} \ vert) <\ infty}$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}$

Аналогичным образом , с непрерывным временем мартингалом относительно в случайный процесс X _т представляет собой случайный процесс У _т таким образом, что для всех т

${\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}$

Это выражает свойство, заключающееся в том, что условное ожидание наблюдения в момент времени t , учитывая все наблюдения до времени , равно наблюдению в момент времени s (конечно, при условии, что s  ≤  t ). Обратите внимание, что из второго свойства следует измеримость относительно .${\displaystyle s}$${\displaystyle Y_{n}}$${\displaystyle X_{1}\dots X_{n}}$

Общее определение [ править ]

Вообще говоря, стохастический процесс, принимающий значение в банаховом пространстве, является мартингалом относительно фильтрации и вероятностной меры, если${\displaystyle Y:T\times \Omega \to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma _{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Σ _∗ - фильтрация нижележащего вероятностного пространства (Ω, Σ,  );${\displaystyle \mathbb {P} }$
• Y является приспособлен к фильтрации Σ _* , то есть, для каждого т в индексном множестве T , случайная величина Y _т является Σ _т - измеримая функция ;
• для каждого т , Y _т лежит в L р пространства L ¹ (Ω, Σ _т ,  ;  S ), т.е.${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}$

• для всех s и t с s  <  t и всех F  ∈ Σ _s ,

${\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbb {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,}$

где χ _Р обозначает индикаторную функцию события F . В теории вероятностей и случайных процессов Гримметта и Стирзакера это последнее условие обозначается как

${\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbb {P} }(Y_{t}\mid \Sigma _{s}),}$

что является общей формой условного ожидания . ^[3]

Важно отметить, что свойство быть мартингалом включает в себя как фильтрацию, так и вероятностную меру (относительно которой берутся ожидания). Возможно, что Y может быть мартингалом по одной мере, но не по другой; Гирсанов теорема предлагает способ найти меру в отношении которых процесс Ито является мартингалом.

Примеры мартингалов [ править ]

• Беспристрастное случайное блуждание (в любом количестве измерений) является примером мартингейла.
• Состояние (капитал) игрока является мартингейлом, если все игры со ставками, в которые играет игрок, являются честными. Чтобы быть более конкретным: предположим, что X _n - состояние игрока после n подбрасываний справедливой монеты , где игрок выигрывает 1 доллар, если монета выпадает орлом, и теряет 1 доллар, если выпадает решка. Условное ожидаемое состояние игрока после следующего испытания, учитывая историю, равно его нынешнему состоянию. Таким образом, эта последовательность является мартингалом.
• Пусть Y _n = X _n ² - n, где X _n - состояние игрока из предыдущего примера. Тогда последовательность { Y _n : n = 1, 2, 3, ...} является мартингалом. Это можно использовать, чтобы показать, что общий выигрыш или проигрыш игрока колеблется примерно в пределах плюс или минус квадратный корень из числа шагов.
• ( Мартингал де Муавра ) Теперь предположим, что монета нечестная, т. е. смещенная, с вероятностью выпадения орла p и вероятностью выпадения решки q  = 1 -  p . Позволять

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

со знаком «+» в случае «орла» и «-» в случае «решки». Позволять

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}$

Тогда { Y _n : n = 1, 2, 3, ...} является мартингалом относительно { X _n : n = 1, 2, 3, ...}. Чтобы показать это

${\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• Урна Поли содержит несколько разноцветных шариков; на каждой итерации из урны случайным образом выбирается шарик и заменяется еще несколькими шариками того же цвета. Для любого цвета доля шариков в урне этого цвета является мартингалом. Например, если в настоящее время 95% шариков красные, то, хотя следующая итерация, скорее всего, добавит красные шарики, чем другой цвет, это смещение точно уравновешивается тем фактом, что добавление большего количества красных шариков изменяет фракцию гораздо менее значительно, чем добавление того же количества цветных шариков.
• ( Проверка отношения правдоподобия в статистике ) Предполагается, что случайная величина X распределена либо в соответствии с плотностью вероятности f, либо с другой плотностью вероятности g . Берется случайная выборка X ₁ , ..., X _n . Пусть Y _n будет «отношением правдоподобия»

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Если X фактически распределен согласно плотности f, а не согласно g , то {  Y _n :  n  = 1, 2, 3, ...} является мартингалом относительно {  X _n :  n  = 1, 2, 3 , ...}.

• Предположим, каждая амеба либо разделяется на две амебы с вероятностью p , либо в конце концов умирает с вероятностью 1 - p . Пусть X _n - количество амеб, выживших в n- м поколении (в частности, X _n = 0, если к этому времени популяция вымерла). Пусть r - вероятность возможного вымирания . Тогда r = (1-p) + pr². Итак, для p ≤ 0,5 r = 1; для p> 0,5, r = 1 / p - 1.

• В экологическом сообществе (группа видов, находящихся на определенном трофическом уровне, конкурирующих за аналогичные ресурсы в определенной местности) количество особей любого конкретного вида фиксированного размера является функцией (дискретного) времени и может быть рассматривается как последовательность случайных величин. Эта последовательность является мартингалом в рамках единой нейтральной теории биоразнообразия и биогеографии .
• Если { N _t : t  ≥ 0} - это пуассоновский процесс с интенсивностью λ, то компенсированный пуассоновский процесс {  N _t  - λ t : t  ≥ 0} является мартингалом с непрерывным временем с непрерывными справа / левыми путями выборки.
• Мартингейл Вальда

Субмартингалы, супермартингалы и связь с гармоническими функциями[ редактировать ]

Есть два популярных обобщения мартингала, которые также включают случаи, когда текущее наблюдение X _n не обязательно равно будущему условному ожиданию E [ X _{n + 1} | X ₁ , ..., X _n ], но вместо этого верхняя или нижняя граница условного ожидания. Эти определения отражают взаимосвязь между теорией мартингала и теорией потенциала , которая представляет собой изучение гармонических функций . Так же, как мартингал с непрерывным временем удовлетворяет условию E [ X _t | { X _τ  : τ≤s}] -  X _s  = 0 ∀s  ≤  t , гармоническая функция f удовлетворяет уравнению в частных производных Δ f  = 0, где Δ - оператор Лапласа . Учитывая процесс броуновского движения W _t и гармоническую функцию f , полученный процесс f ( W _t ) также является мартингалом.

• Дискретное время субмартингал представляет собой последовательность из интегрируемых случайных величин , удовлетворяющая${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

Точно так же субмартингал с непрерывным временем удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала субгармоническая функция f удовлетворяет условию ∆ f  ≥ 0. Любая субгармоническая функция, ограниченная сверху гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена сверху гармонической функцией для всех точек внутри шара. Точно так же, если субмартингейл и мартингейл имеют эквивалентные ожидания для данного времени, история субмартингейла имеет тенденцию быть ограничена сверху историей мартингейла. Грубо говоря, префикс «суб-» соответствует , потому что ток наблюдения Х _п составляет меньше (или равно) условное математическое ожидание E [ X _{п + 1}  |  Х ₁, ..., X _n ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку снизу будущего условного ожидания, и этот процесс имеет тенденцию к усилению в будущем.

• Аналогично, супермартингал с дискретным временем удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

Аналогичным образом, супермартингал с непрерывным временем удовлетворяет

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

В теории потенциала супергармоническая функция f удовлетворяет условию ∆ f  ≤ 0. Любая супергармоническая функция, ограниченная снизу гармонической функцией для всех точек на границе шара, ограничена снизу гармонической функцией для всех точек внутри шара. Точно так же, если супермартингейл и мартингейл имеют эквивалентные ожидания на данный момент времени, история супермартингейла имеет тенденцию быть ограничена снизу историей мартингейла. Грубо говоря, префикс «супер» соответствует , потому что ток наблюдения Х _п является больше (или равно) условное математическое ожидание E [ X _{п + 1} | Х ₁, ..., X _n ]. Следовательно, текущее наблюдение обеспечивает поддержку сверху условного ожидания будущего, и процесс имеет тенденцию к уменьшению в будущем.

Примеры субмартингалов и супермартингалов [ править ]

• Каждый мартингейл - это еще и субмартингейл и супермартингейл. И наоборот, любой случайный процесс, который одновременно является субмартингалом и супермартингейлом, является мартингалом.
• Снова рассмотрим игрока, который выигрывает 1 доллар, когда выпадает орел, и проигрывает 1 доллар, когда монета выпадает решкой. Теперь предположим, что монета может быть смещена так, что выпадает орел с вероятностью p .
  • Если p равно 1/2, игрок в среднем не выигрывает и не теряет деньги, а состояние игрока с течением времени является мартингалом.
  • Если p меньше 1/2, игрок в среднем теряет деньги, а состояние игрока с течением времени является супермартингейлом.
  • Если p больше 1/2, игрок в среднем выигрывает деньги, а состояние игрока с течением времени является субмартингейлом.
• Выпуклая функция мартингала является субмартингалом, по неравенству Йенсена . Например, квадрат состояния игрока в игре с честными монетами является субмартингалом (что также следует из того факта, что X _n ²  -  n - мартингал). Точно так же вогнутая функция мартингейла - это супермартингейл.

Мартингейлы и время остановки [ править ]

Момент остановки по отношению к последовательности случайных величин Х ₁ ,  Х ₂ ,  Х ₃ , ... , является случайной величиной τ со свойством , что для каждого т , возникновение или отсутствие события τ = т зависит только от значений X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ...,  X _t . Интуиция, лежащая в основе определения, заключается в том, что в любой конкретный момент времени t, вы можете взглянуть на последовательность и сказать, пора ли остановиться. Примером в реальной жизни может быть время, когда игрок покидает игровой стол, что может зависеть от его предыдущих выигрышей (например, он может уйти только тогда, когда он разорится), но он не может выбрать, уйти или оставаться в зависимости от результатов еще не сыгранных игр.

В некоторых контекстах понятие времени остановки определяется потребовав только , что возникновение или отсутствие события τ =  т является вероятностным независимым от X _{т + 1} ,  X _{т + 2} , ... , но не то, что она полностью определяется по истории процесса до времени t . Это более слабое условие, чем указанное в предыдущем абзаце, но оно достаточно сильное, чтобы служить в некоторых доказательствах, в которых используются времена остановки.

Одно из основных свойств мартингалов состоит в том, что если это (суб- / супер-) мартингейл и время остановки, то соответствующий остановленный процесс, определенный с помощью , также является (суб- / супер-) мартингалом.${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$

Концепция остановленного мартингала приводит к ряду важных теорем, включая, например, теорему о необязательной остановке, которая гласит, что при определенных условиях ожидаемое значение мартингала в момент остановки равно его начальному значению.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• "Мартингейл" , энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Великолепие и неудачи мартингалов» . Электронный журнал истории вероятностей и статистики . 5 (1). Июнь 2009 г. Весь выпуск посвящен теории вероятностей Мартингейла.
• Уильямс, Дэвид (1991). Вероятность с мартингейлами . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-40605-5.
• Кляйнерт, Хаген (2004). Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках (4-е изд.). Сингапур: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.
• Симинелакис, Париж (2010). «Мартингалы и время остановки: использование мартингалов для получения границ и анализа алгоритмов» (PDF) . Афинский университет. Архивировано из оригинального (PDF) 19 февраля 2018 года . Проверено 18 июня 2010 .
• Вилле, Жан (1939). "Этюд критики понятия де коллектива" . Бюллетень Американского математического общества . Monographies des Probabilités (на французском языке). Париж. 3 (11): 824–825. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1939-07089-4 . Zbl  0021.14601 . Обзор Doob .