Условное ожидание

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории вероятностей , в условное математическое ожидание , условное ожидаемое значение , или условное среднее из более случайной величины является ее ожидаемое значение - значение, которое бы «в среднем» над сколь угодно большим числом вхождений - учитывая , что определенный набор «условий» известно, что происходит. Если случайная величина может принимать только конечное число значений, «условия» состоят в том, что переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определяется в дискретном вероятностном пространстве , «условия» представляют собой разбиение этого вероятностного пространства.

В зависимости от контекста условное ожидание может быть случайной величиной или функцией. Случайная величина обозначается аналогично условной вероятности . Функциональная форма обозначается либо отдельным функциональным символом, который вводится вместе со значением .${\displaystyle E(X\mid Y)}$${\displaystyle E(X\mid Y=y)}$${\displaystyle f(y)}$${\displaystyle E(X\mid Y)=f(Y)}$

Примеры [ править ]

Пример 1. Бросание костей [ править ]

Рассмотрим бросок правильного кубика и пусть A = 1, если число четное (например, 2, 4 или 6), и A = 0 в противном случае. Кроме того, пусть B = 1, если число простое (т. Е. 2, 3 или 5), и B = 0 в противном случае.

Безусловное ожидание А , но ожидание условно на В = 1 (то есть, обусловливающие броска будучи 2, 3 или 5) , и ожидание Условное на B = 0 (то есть, обусловливающие при броске кубика 1, 4 или 6) . Аналогично, ожидание B при A = 1 является условным , а ожидание B при A = 0 равно .${\displaystyle E[A]=(0+1+0+1+0+1)/6=1/2}$${\displaystyle E[A\mid B=1]=(1+0+0)/3=1/3}$${\displaystyle E[A\mid B=0]=(0+1+1)/3=2/3}$${\displaystyle E[B\mid A=1]=(1+0+0)/3=1/3}$${\displaystyle E[B\mid A=0]=(0+1+1)/3=2/3}$

Пример 2: данные об осадках [ править ]

Предположим, у нас есть ежедневные данные об осадках (мм осадков каждый день), собранные метеостанцией каждый день десятилетнего (3652 дня) периода с 1 января 1990 г. по 31 декабря 1999 г. Безусловное ожидание количества осадков за Неуказанный день - это среднее количество осадков за эти 3652 дня. Условное математическое ожидание осадков в течение неопределенного иначе день известно, (условно на время) в марте месяце, средняя ежедневная осадков в течение всех 310 дней десять-летний период , который падает в марте. А условное ожидание количества осадков в дни, датированные 2 марта, - это среднее количество осадков, выпавших за десять дней с этой конкретной датой.

История [ править ]

Связанная с этим концепция условной вероятности восходит, по крайней мере, к Лапласу , который вычислял условные распределения. Именно Андрей Колмогоров в 1933 году формализовал ее с помощью теоремы Радона – Никодима . ^[1] В работах Пола Халмоса ^[2] и Джозефа Л. Дуба ^[3] от 1953 года условное математическое ожидание было обобщено до его современного определения с использованием суб-σ-алгебр . ^[4]

Определения [ править ]

Привязка к событию [ править ]

Если A - событие с ненулевой вероятностью, а X - дискретная случайная величина , условное ожидание X для данного A равно${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid A)&=\sum _{x}xP(X=x\mid A)\\&=\sum _{x}x{\frac {P({X=x}\cap A)}{P(A)}}\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем возможным результатам X .

Обратите внимание, что если , условное ожидание не определено из-за деления на ноль.${\displaystyle P(A)=0}$

Дискретные случайные величины [ править ]

Если X и Y являются дискретными случайными величинами , условное ожидание X при заданном Y равно

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\sum _{x}xP(X=x\mid Y=y)\\&=\sum _{x}x{\frac {P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}}\end{aligned}}}$

где есть совместная вероятность того, функция масс из X и Y . Сумма берется по всем возможным результатам X .${\displaystyle P(X=x,Y=y)}$

Обратите внимание, что согласование с дискретной случайной величиной аналогично условию для соответствующего события:

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y=y)=\operatorname {E} (X\mid A)}$

где A - множество .${\displaystyle \{Y=y\}}$

Непрерывные случайные величины [ править ]

Если X и Y являются непрерывными случайными величинами с совместной плотностью , условное ожидание X при заданном Y равно${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X\mid Y=y)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X|Y}(x,y)\mathrm {d} x\\&={\frac {\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} x}{\int _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\mathrm {d} x}}\end{aligned}}}$

Когда знаменатель равен нулю, выражение не определено.

Обратите внимание, что обусловливание непрерывной случайной величины - это не то же самое, что обусловливание события, как в дискретном случае. Для обсуждения см. Условие для события с нулевой вероятностью . Несоблюдение этого различия может привести к противоречивым выводам, что иллюстрируется парадоксом Бореля-Колмогорова .${\displaystyle \{Y=y\}}$

L ² случайные величины [ править ]

Предполагается , что все случайные величины в этом разделе принадлежат к , то есть интегрируемы с квадратом . В своей полной общности условное математическое ожидание разрабатывается без этого предположения, см. Ниже в разделе « Условное математическое ожидание по отношению к суб-σ-алгебре» . Однако эта теория считается более интуитивной ^[5] и допускает важные обобщения . В контексте случайных величин условное ожидание также называется регрессией .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

Далее пусть будет вероятностным пространством, а в нем - средним и дисперсией . Математическое ожидание минимизирует среднеквадратичную ошибку :${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$${\displaystyle \mu _{X}}$

${\displaystyle \min _{x\in \mathbb {R} }\operatorname {E} \left((X-x)^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-\mu _{X})^{2}\right)=\sigma _{X}^{2}}$.

Условное ожидание X определяется аналогично, за исключением того, что вместо одного числа результатом будет функция . Позвольте быть случайным вектором также в . Условное ожидание - это измеримая функция, такая что${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle e_{X}(y)}$${\displaystyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle e_{X}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \min _{g{\text{ measurable }}}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)=\operatorname {E} \left((X-e_{X}(Y))^{2}\right)}$.

Обратите внимание, что, в отличие от этого , условное ожидание обычно не уникально: может быть несколько минимизаторов среднеквадратичной ошибки.${\displaystyle \mu _{X}}$${\displaystyle e_{X}}$

Уникальность [ править ]

Пример 1. Рассмотрим случай, когда Y - постоянная случайная величина, которая всегда равна 1. Тогда среднеквадратичная ошибка минимизируется любой функцией вида

${\displaystyle e_{X}(y)={\begin{cases}\mu _{X}&{\text{ if }}y=1\\{\text{any number}}&{\text{ otherwise}}\end{cases}}}$

Пример 2 : Рассмотрим случай, когда Y - двумерный случайный вектор . Тогда ясно${\displaystyle (X,2X)}$

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid Y)=X}$

но с точки зрения функций , которые он может быть выражен как или или бесконечно многими другими способами. В контексте линейной регрессии это отсутствие уникальности называется мультиколлинеарностью .${\displaystyle e_{X}(y_{1},y_{2})=3y_{1}-y_{2}}$${\displaystyle e'_{X}(y_{1},y_{2})=y_{2}-y_{1}}$

Условное ожидание уникально до набора нулевой меры . Мера используется это мера прямым образом , индуцированное Y .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

В первом примере мерой продвижения вперед является распределение Дирака в 1. Во втором оно сосредоточено на «диагонали» , так что любое множество, не пересекающееся с ним, имеет меру 0.${\displaystyle \{y:y_{2}=2y_{1}\}}$

Существование [ править ]

Существование минимизатора для нетривиально. Можно показать, что${\displaystyle \min _{g}\operatorname {E} \left((X-g(Y))^{2}\right)}$

${\displaystyle M:=\{g(Y):g{\text{ is measurable and }}\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}=L^{2}(\Omega ,\sigma (Y))}$

- замкнутое подпространство гильбертова пространства . ^[6] По теореме Гильберта о проекции , необходимое и достаточное условие для того, чтобы быть минимизатором, состоит в том, что для всех в M мы имеем${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle e_{X}}$${\displaystyle f(Y)}$

${\displaystyle \langle X-e_{X}(Y),f(Y)\rangle =0}$.

На словах это уравнение говорит о том , что остаточный ортогональна пространству М всех функций Y . Это условие ортогональности, применяемое к индикаторным функциям , используется ниже для расширения условного ожидания на случай, когда X и Y не обязательно входят .${\displaystyle X-e_{X}(Y)}$ ${\displaystyle f(Y)=1_{Y\in H}}$${\displaystyle L^{2}}$

Связь с регрессом [ править ]

Условное ожидание часто аппроксимируется в прикладной математике и статистике из-за трудностей его аналитического вычисления и интерполяции. ^[7]

Гильбертово подпространство

${\displaystyle M=\{g(Y):\operatorname {E} (g(Y)^{2})<\infty \}}$

определенное выше заменяется его подмножествами, ограничивая функциональную форму g , а не разрешая любую измеримую функцию. Примерами этого являются регрессия дерева решений, когда требуется, чтобы g была простой функцией , линейная регрессия, когда требуется, чтобы g была аффинной , и т. Д.

Эти обобщения условного ожидания происходят за счет того, что многие из его свойств больше не выполняются. Например, пусть M - пространство всех линейных функций от Y, и пусть обозначает это обобщенное условное ожидание / проекцию. Если не содержит постоянных функций , свойство башни не будет сохраняться.${\displaystyle {\mathcal {E}}_{M}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {E} ({\mathcal {E}}_{M}(X))=\operatorname {E} (X)}$

Важный частный случай - это когда X и Y совместно нормально распределены. В этом случае можно показать, что условное ожидание эквивалентно линейной регрессии:

${\displaystyle e_{X}(Y)=\alpha _{0}+\sum _{i}\alpha _{i}Y_{i}}$

для коэффициентов, описанных в разделе Многомерное нормальное распределение # Условные распределения .${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=0..n}}$

Условное ожидание относительно суб-σ-алгебры [ править ]

Условное математическое ожидание относительно σ-алгебры: в этом примере вероятностным пространством является интервал [0,1] с мерой Лебега . Определим следующие сг-алгебры: ; является σ-алгеброй, порожденной интервалами с концами 0, ¼, ½, ¾, 1; и является σ-алгеброй, порожденной интервалами с концевыми точками 0, ½, 1. Здесь условное ожидание фактически является средним по минимальным наборам σ-алгебры.${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Учтите следующее:

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$- вероятностное пространство .
• ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$является случайной величиной на этом вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием.
• ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {F}}}$является под- σ-алгеброй в .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Поскольку является подалгеброй в , функция обычно не является -измеримой, поэтому существование интегралов вида , где и является ограничением для , не может быть заявлено в общем случае. Однако местные средние значения могут быть восстановлены с помощью условного ожидания. Условное математическое ожидание из X дано , обозначается как , любая - измеримая функция , которая удовлетворяет условию:${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle \int _{H}X\,dP|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\textstyle \int _{H}X\,dP}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {H}},P|_{\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P=\int _{H}X\,\mathrm {d} P}$

для каждого . ^[8]${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$

Как отмечалось в обсуждении, это условие эквивалентно утверждению, что остаток ортогонален индикаторным функциям :${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle 1_{H}}$

${\displaystyle \langle X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}),1_{H}\rangle =0}$

Существование [ править ]

Существование можно установить, отметив, что for - конечная мера на , абсолютно непрерывная по отношению к . Если это естественное вложение от до , то есть ограничение на и есть ограничение на . Кроме того, абсолютно непрерывно относительно , поскольку условие${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\textstyle \mu ^{X}\colon F\mapsto \int _{F}X\,\mathrm {d} P}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mu ^{X}\circ h=\mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mu ^{X}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle P\circ h=P|_{\mathcal {H}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \mu ^{X}\circ h}$${\displaystyle P\circ h}$

${\displaystyle P\circ h(H)=0\iff P(h(H))=0}$

подразумевает

${\displaystyle \mu ^{X}(h(H))=0\iff \mu ^{X}\circ h(H)=0.}$

Таким образом, мы имеем

${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})={\frac {\mathrm {d} \mu ^{X}|_{\mathcal {H}}}{\mathrm {d} P|_{\mathcal {H}}}}={\frac {\mathrm {d} (\mu ^{X}\circ h)}{\mathrm {d} (P\circ h)}},}$

где производные - производные Радона – Никодима от мер.

Условное ожидание относительно случайной величины [ править ]

Рассмотрим, в дополнение к вышесказанному,

• Измеримое пространство , и${\displaystyle (U,\Sigma )}$
• Случайная величина .${\displaystyle Y\colon \Omega \to U}$

Условное математическое ожидание X при заданном Y определяется применением вышеупомянутой конструкции к σ-алгебре, порожденной Y :

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y]:=\operatorname {E} [X|\sigma (Y)]}$.

По лемме Дуба-Дынкина существует такая функция , что${\displaystyle e_{X}\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [X|Y]=e_{X}(Y)}$.

Обсуждение [ править ]

• Это неконструктивное определение; нам просто дается необходимое свойство, которому должно удовлетворять условное ожидание.
  • Определение может напоминать определение события, но это очень разные объекты. Первая является измеримой функцией , а вторая является элементом и для .${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\mid H)\ P(X\in H)=\int _{H}X\,\mathrm {d} P=\int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\,\mathrm {d} P}$${\displaystyle H\in {\mathcal {H}}}$
  • Можно почти наверняка показать уникальность : то есть версии одного и того же условного ожидания будут отличаться только на множестве с нулевой вероятностью .
• Σ-алгебра контролирует «гранулярность» обусловливания. Условное ожидание более тонкой (большей) σ-алгебры сохраняет информацию о вероятностях более крупного класса событий. Условное ожидание более грубой (меньшей) σ-алгебры усредняет большее количество событий.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Условная вероятность [ править ]

Для борелевского подмножества B in можно рассматривать набор случайных величин${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,B):=\operatorname {E} (1_{X\in B}|{\mathcal {H}})(\omega )}$.

Можно показать , что они образуют марковское ядро , то есть, почти все , является вероятностной мерой. ^[9]${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \kappa _{\mathcal {H}}(\omega ,-)}$

Закон бессознательного статистика тогда

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)|{\mathcal {H}}]=\int f(x)\kappa _{\mathcal {H}}(-,\mathrm {d} x)}$.

Это показывает, что условные ожидания, как и их безусловные аналоги, являются интеграцией условной меры.

Основные свойства [ править ]

Все следующие формулы следует понимать почти наверняка. Σ-алгебру можно заменить случайной величиной .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Z}$

• Выделение независимых факторов:
  • Если не зависит от , то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=E(X)}$

• • Если не зависит от , то . Обратите внимание, что это не обязательно так, если он не зависит от and of .${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma (Y,{\mathcal {H}})}$${\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=E(X)\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$
  • Если независимы, независимы, не зависят и не зависят от , то .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}},{\mathcal {H}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle E(E(XY\mid {\mathcal {G}})\mid {\mathcal {H}})=E(X)E(Y)=E(E(XY\mid {\mathcal {H}})\mid {\mathcal {G}})}$
• Стабильность:
  • Если это -измеримое, то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})=X}$
  • Если Z - случайная величина, то . В простейшей форме это говорит .${\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)\mid Z)=f(Z)}$${\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}$
• Вытягивая известные факторы:
  • Если это -измеримое, то .${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(XY\mid {\mathcal {H}})=X\,E(Y\mid {\mathcal {H}})}$
  • Если Z - случайная величина, то .${\displaystyle \operatorname {E} (f(Z)Y\mid Z)=f(Z)\operatorname {E} (Y\mid Z)}$
• Закон полного математического ожидания : . ^[10]${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X)}$
• Свойство башни:
  • Для суб-σ-алгебр имеем .${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset {\mathcal {F}}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}}_{2})\mid {\mathcal {H}}_{1})=E(X\mid {\mathcal {H}}_{1})}$
    • Особый случай - это когда Z - измеримая случайная величина. Тогда и так .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \sigma (Z)\subset {\mathcal {H}}}$${\displaystyle E(E(X\mid {\mathcal {H}})\mid Z)=E(X\mid Z)}$
    • Свойство doob martingale : указанное выше с (которое измеримо), а также с использованием дает .${\displaystyle Z=E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid Z)=Z}$${\displaystyle E(X\mid E(X\mid {\mathcal {H}}))=E(X\mid {\mathcal {H}})}$
  • Для случайных величин у нас есть .${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle E(E(X\mid Y)\mid f(Y))=E(X\mid f(Y))}$
  • Для случайных величин у нас есть .${\displaystyle X,Y,Z}$${\displaystyle E(E(X\mid Y,Z)\mid Y)=E(X\mid Y)}$
• Линейность: есть и за .${\displaystyle E(X_{1}+X_{2}\mid {\mathcal {H}})=E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})+E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle E(aX\mid {\mathcal {H}})=a\,E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Позитивность: Если, то .${\displaystyle X\geq 0}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})\geq 0}$
• Монотонность: Если то .${\displaystyle X_{1}\leq X_{2}}$${\displaystyle E(X_{1}\mid {\mathcal {H}})\leq E(X_{2}\mid {\mathcal {H}})}$
• Монотонная сходимость : Если то .${\displaystyle 0\leq X_{n}\uparrow X}$${\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\uparrow E(X\mid {\mathcal {H}})}$
• Преобладают сведения : если и с , то .${\displaystyle X_{n}\to X}$${\displaystyle |X_{n}|\leq Y}$${\displaystyle Y\in L^{1}}$${\displaystyle E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}$
• Лемма Фату : Если тогда .${\displaystyle \textstyle E(\inf _{n}X_{n}\mid {\mathcal {H}})>-\infty }$${\displaystyle \textstyle E(\liminf _{n\to \infty }X_{n}\mid {\mathcal {H}})\leq \liminf _{n\to \infty }E(X_{n}\mid {\mathcal {H}})}$
• Неравенство Дженсена : если - выпуклая функция , то .${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(E(X\mid {\mathcal {H}}))\leq E(f(X)\mid {\mathcal {H}})}$
• Условная дисперсия : используя условное ожидание, мы можем определить, по аналогии с определением дисперсии как среднеквадратическое отклонение от среднего, условную дисперсию
  • Определение: ${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} {\bigl (}(X-\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))^{2}\mid {\mathcal {H}}{\bigr )}}$
  • Алгебраическая формула дисперсии: ${\displaystyle \operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}})=\operatorname {E} (X^{2}\mid {\mathcal {H}})-{\bigl (}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}){\bigr )}^{2}}$
  • Закон общей дисперсии : .${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (X\mid {\mathcal {H}}))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}}))}$
• Сходимость по мартингалу : для случайной величины , имеющей конечное математическое ожидание, мы имеем , если либо является возрастающей серией под-σ-алгебр, либо если является убывающей серией под-σ-алгебр, и .${\displaystyle X}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}}_{n})\to E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}_{2}\subset \dotsb }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\sigma (\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\supset {\mathcal {H}}_{2}\supset \dotsb }$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {H}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {H}}_{n}}$
• Условное математическое ожидание , как -проекции: Если находятся в гильбертовом пространстве в квадратично интегрируемых вещественных случайных величин (действительных случайных величин с конечным вторым моментом) , то${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle X,Y}$
  • для -измеримой , мы имеем , т.е. условное математическое ожидание в смысле L 2 ( Р ) скалярного произведении ортогональная проекция от до линейного подпространства в -измеримых функций. (Это позволяет определить и доказать существование условного ожидания на основе теоремы о проекции Гильберта .)${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E(Y(X-E(X\mid {\mathcal {H}})))=0}$${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
  • отображение является самосопряженным :${\displaystyle X\mapsto \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})}$${\displaystyle \operatorname {E} (X\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}}))=\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\operatorname {E} (Y\mid {\mathcal {H}})\right)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})Y)}$
• Кондиционер является сжимающей проекцией L р пространств . Т.е. для любого p  ≥ 1.${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\rightarrow L^{p}(\Omega ,{\mathcal {H}},P)}$${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}|\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})|^{p}{\big )}\leq \operatorname {E} {\big (}|X|^{p}{\big )}}$
• Условное свойство независимости Дуба: ^[11] Если есть условно независимы дано , то ( что то же самое, ).${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P(X\in B\mid Y,Z)=P(X\in B\mid Z)}$${\displaystyle E(1_{\{X\in B\}}\mid Y,Z)=E(1_{\{X\in B\}}\mid Z)}$

См. Также [ править ]

Законы вероятности [ править ]

• Закон полной кумулятивности (обобщает остальные три)
• Закон полного ожидания
• Закон полной вероятности
• Закон полной дисперсии

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], "Условное математическое ожидание" , Энциклопедия математики , EMS Press