Экспоненциальный рост

График показывает, как экспоненциальный рост (зеленый) превосходит линейный (красный) и кубический (синий) рост.

  Экспоненциальный рост

  Кубический рост

  Линейный рост

Экспоненциальный рост - это процесс, который со временем увеличивает количество. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. Описанная как функция , величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является показателем (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ).

Если коэффициент пропорциональности отрицательный, то величина со временем уменьшается, и вместо этого считается, что она подвергается экспоненциальному убыванию . В случае дискретной области определения с равными интервалами это также называется геометрическим ростом или геометрическим убыванием, поскольку значения функции образуют геометрическую прогрессию .

Формула экспоненциального роста переменной x со скоростью r , когда время t продолжается в дискретных интервалах (то есть, в целых числах, умноженных на 0, 1, 2, 3, ...), имеет вид

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1 + r) ^ {t}}$

где x ₀ - значение x в момент времени 0. Для иллюстрации этого часто используется рост бактериальной колонии . Одна бактерия распадается на две, каждая из которых разделяется на четыре, затем восемь, 16, 32 и так далее. Скорость увеличения продолжает расти, потому что она пропорциональна постоянно растущему количеству бактерий. Подобный рост наблюдается в реальной жизни или явлениях, таких как распространение вирусной инфекции, рост долга из-за сложных процентов и распространение вирусных видео . В реальных случаях начальный экспоненциальный рост часто не длится вечно, вместо этого он в конечном итоге замедляется из-за верхних пределов, вызванных внешними факторами и превращаясь влогистический рост .

Примеры [ править ]

Бактерии демонстрируют экспоненциальный рост в оптимальных условиях.

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Август 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Биология [ править ]

• Количество микроорганизмов в культуре будет расти экспоненциально, пока не будут исчерпаны необходимые питательные вещества. Обычно первый организм разделяется на два дочерних организма, каждый из которых затем разделяется на четыре, а остальные на восемь и так далее. Поскольку экспоненциальный рост указывает на постоянную скорость роста, часто предполагается, что экспоненциально растущие клетки находятся в стабильном состоянии. Однако клетки могут расти экспоненциально с постоянной скоростью, изменяя свой метаболизм и экспрессию генов. ^[1]
• Если искусственная иммунизация недоступна, вирус (например, COVID-19 или оспа ) обычно сначала распространяется экспоненциально . Каждый зараженный человек может заразить несколько новых людей.

Физика [ править ]

• Лавинный пробой внутри диэлектрического материала. Свободный электрон получает достаточное ускорение под действием внешнего электрического поля, которое освобождает дополнительные электроны при столкновении с атомами или молекулами диэлектрической среды. Эти вторичные электроны также ускоряются, создавая большее количество свободных электронов. Возникающий в результате экспоненциальный рост электронов и ионов может быстро привести к полному диэлектрическому пробою материала.
• Ядерная цепная реакция (концепция ядерных реакторов и ядерного оружия ). Каждое ядро урана, которое подвергается делению, производит несколько нейтронов , каждый из которых может поглощаться соседними атомами урана, заставляя их делиться по очереди. Если вероятность поглощения нейтронов превышает вероятность нейтронного побега (в зависимости от формы и массы урана), K > 0, и поэтому скорость образования нейтронов и индуцированного деления урана увеличивается экспоненциально в неконтролируемой реакции. "Из-за экспоненциальной скорости роста, в любой момент цепной реакции 99% энергии будет высвобождено за последние 4,6 поколения. Это разумное приближение, чтобы думать о первых 53 поколениях как о латентном периоде, ведущем к настоящий взрыв, который занимает всего 3–4 поколения ». ^[2]
• Положительная обратная связь в линейном диапазоне электрического или электроакустического усиления может привести к экспоненциальному росту усиленного сигнала, хотя резонансные эффекты могут отдавать предпочтение некоторым частотам компонентов сигнала по сравнению с другими.

Экономика [ править ]

• Экономический рост выражается в процентах, что подразумевает экспоненциальный рост.

Финансы [ править ]

• Сложные проценты при постоянной процентной ставке обеспечивают экспоненциальный рост капитала. ^[3] См. Также правило 72 .
• Схемы пирамиды или схемы Понци также демонстрируют этот тип роста, приводящий к высокой прибыли для нескольких первоначальных инвесторов и убыткам для большого числа инвесторов.

Информатика [ править ]

• Вычислительная мощность компьютеров. См. Также закон Мура и технологическую сингулярность . (При экспоненциальном росте нет никаких сингулярностей. Сингулярность здесь - метафора, предназначенная для обозначения невообразимого будущего. Связь этой гипотетической концепции с экспоненциальным ростом наиболее громко выражена футуристом Рэем Курцвейлом .)
• В теории вычислительной сложности компьютерные алгоритмы экспоненциальной сложности требуют экспоненциально увеличивающегося количества ресурсов (например, времени, памяти компьютера) только для постоянного увеличения размера задачи. Таким образом, для алгоритма временной сложности 2 ^x , если задача размера x = 10 требует 10 секунд для выполнения, а задача размера x = 11 требует 20 секунд, то задача размера x = 12потребуется 40 секунд. Этот вид алгоритма обычно становится непригодным для использования при очень малых размерах задач, часто от 30 до 100 элементов (большинство компьютерных алгоритмов должны иметь возможность решать гораздо более крупные проблемы, до десятков тысяч или даже миллионов элементов в разумные сроки, что быть физически невозможно с экспоненциальным алгоритмом). Кроме того, действие закона Мура не сильно помогает ситуации, потому что удвоение скорости процессора просто позволяет увеличить размер проблемы на константу. Например, если медленный процессор может решать задачи размера x за время t , то процессор в два раза быстрее может решать задачи размера x + constant за то же время t. Таким образом, экспоненциально сложные алгоритмы чаще всего непрактичны, и поиск более эффективных алгоритмов является сегодня одной из центральных целей информатики.

Интернет-феномены [ править ]

• Интернет-контент, такой как интернет-мемы или видео , может распространяться экспоненциально, и часто говорят, что он « становится вирусным » по аналогии с распространением вирусов. ^[4] С помощью таких средств массовой информации, как социальные сети , один человек может пересылать один и тот же контент множеству людей одновременно, которые затем распространяют его еще большему количеству людей и т. Д., Вызывая быстрое распространение. ^[5] Например, видео Gangnam Style было загружено на YouTube 15 июля 2012 года, его просмотрели сотни тысяч зрителей в первый день, миллионы - в двадцатый день, и в совокупности его просмотрели сотни миллионов человек менее чем за два месяца. ^{[4] [6]}

Основная формула [ править ]

Величина x экспоненциально зависит от времени t, если

${\ Displaystyle х (т) = а \ cdot b ^ {т / \ тау}}$

где постоянная a - начальное значение x ,

${\ Displaystyle х (0) = а \ ,,}$

постоянная b - положительный фактор роста, а τ - постоянная времени - время, необходимое для того, чтобы x увеличился в один раз в b :

${\displaystyle x(t+\tau )=a\cdot b^{\frac {t+\tau }{\tau }}=a\cdot b^{\frac {t}{\tau }}\cdot b^{\frac {\tau }{\tau }}=x(t)\cdot b\,.}$

Если τ > 0 и b > 1 , то x имеет экспоненциальный рост. Если τ <0 и b > 1 , или τ > 0 и 0 < b <1 , то x имеет экспоненциальный спад .

Пример: если количество бактерий удваивается каждые десять минут, начиная с одной бактерии, сколько бактерий будет присутствовать через час? Из вопроса следует, что a  = 1, b  = 2 и τ  = 10 мин.

${\displaystyle x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}}$

${\displaystyle x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{6}=64.}$

Через час или шесть десятиминутных интервалов будет шестьдесят четыре бактерии.

Многие пары ( b ,  τ ) безразмерного неотрицательного числа b и количества времени τ ( физическая величина, которая может быть выражена как произведение количества единиц на единицу времени) представляют одну и ту же скорость роста с τ пропорционально log  b . Для любого фиксированного b, не равного 1 (например, e или 2), скорость роста определяется ненулевым временем τ . Для любого ненулевого времени τ скорость роста определяется безразмерным положительным числом  b .

Таким образом, закон экспоненциального роста может быть записан в разных, но математически эквивалентных формах с использованием другого основания . Наиболее распространены следующие формы:

${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},}$

где x ₀ выражает начальную величину x (0).

Параметры (отрицательные в случае экспоненциального спада):

• Константа роста k - это частота (количество раз в единицу времени) увеличения в e раз ; в финансах это также называется логарифмической доходностью, непрерывно начисленной доходностью или силой процента .
• Время электронного сворачивания τ - это время, необходимое для увеличения в e раз .
• Время удвоения T - это время, необходимое для удвоения.
• Процент увеличения r (безразмерное число) за период p .

Величины k , τ и T , а также для данного p также r , имеют взаимно однозначную связь, задаваемую следующим уравнением (которое может быть получено путем натурального логарифма вышеуказанного):

${\displaystyle k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}}$

где k = 0 соответствует r = 0 и бесконечности τ и T.

Если p - единица времени, то отношение t / p - это просто количество единиц времени. Используя обозначение t для (безразмерного) количества единиц времени, а не самого времени, t / p можно заменить на t , но для единообразия здесь этого удалось избежать. В этом случае деление на p в последней формуле также не является числовым делением, а преобразует безразмерное число в правильное количество, включая единицу.

Популярным приближенным методом расчета времени удвоения по скорости роста является правило 70 , то есть .${\displaystyle T\simeq 70/r}$

Переформулировка как лог-линейный рост [ править ]

Если переменная x демонстрирует экспоненциальный рост согласно , то логарифм (по любому основанию) x растет линейно со временем, как можно увидеть, логарифмируя обе части уравнения экспоненциального роста:${\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}}$

${\displaystyle \log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).}$

Это позволяет моделировать экспоненциально растущую переменную с помощью лог-линейной модели . Например, если кто-то хочет эмпирически оценить скорость роста на основе межвременных данных по x , можно линейно регрессировать log x по t .

Дифференциальное уравнение [ править ]

В экспоненциальной функции удовлетворяет линейное дифференциальное уравнение :${\displaystyle x(t)=x(0)e^{kt}}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=kx}$

говоря, что изменение x в момент времени t пропорционально значению x ( t ), а x ( t ) имеет начальное значение .${\displaystyle x(0)}$

Дифференциальное уравнение решается прямым интегрированием:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x(0)}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x(0)}}&=kt.\end{aligned}}}$

так что

${\displaystyle x(t)=x(0)e^{kt}}$

В приведенном выше дифференциальном уравнении, если k <0 , величина подвергается экспоненциальному убыванию .

Для нелинейного изменения этой модели роста см логистическая функция .

Другие темпы роста [ править ]

В конечном итоге экспоненциальный рост любого вида превзойдет линейный рост любого вида (который является основой мальтузианской катастрофы ), а также любой полиномиальный рост, то есть для всех α:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{t^{\alpha } \over ae^{t}}=0.}$

Существует целая иерархия возможных темпов роста, которые медленнее экспоненциального и быстрее линейного (в долгосрочной перспективе). См. Степень полинома § Вычисляется из значений функции .

Темпы роста также могут быть выше, чем экспоненциальные. В самом крайнем случае, когда рост неограниченно увеличивается за конечное время, это называется гиперболическим ростом . Между экспоненциальным и гиперболическим ростом находится больше классов поведения роста, таких как гипероперации, начинающиеся с тетрации , и диагональ функции Аккермана .${\displaystyle A(n,n)}$

Логистический рост [ править ]

В действительности начальный экспоненциальный рост часто не сохраняется вечно. По прошествии некоторого времени это замедлится из-за внешних факторов или факторов окружающей среды. Например, рост населения может достигнуть верхнего предела из-за ограниченности ресурсов. ^[7] В 1845 году бельгийский математик Пьер Франсуа Ферхюльст впервые предложил подобную математическую модель роста, названную « логистическим ростом ». ^[8]

Ограничения моделей [ править ]

Модели экспоненциального роста физических явлений применимы только в ограниченных регионах, поскольку неограниченный рост физически нереален. Хотя первоначально рост может быть экспоненциальным, моделируемые явления в конечном итоге войдут в область, в которой ранее игнорировавшиеся факторы отрицательной обратной связи становятся значимыми (что приводит к модели логистического роста ) или другие базовые предположения модели экспоненциального роста, такие как непрерывность или мгновенная обратная связь, разрыв вниз.

Предвзятость экспоненциального роста [ править ]

Исследования показывают, что людям сложно понять экспоненциальный рост. Смещение экспоненциального роста - это тенденция недооценивать сложные процессы роста. Эта предвзятость может иметь и финансовые последствия. ^[9] Ниже приведены некоторые истории, подчеркивающие эту предвзятость.

Рис на шахматной доске [ править ]

Согласно старинной легенде, визирь Сисса Бен Дахир подарила индийскому королю Шариму красивую шахматную доску ручной работы . Король спросил, что он хотел бы взамен своего подарка, и придворный удивил короля, попросив одно зернышко риса на первом квадрате, два зерна на втором, четыре зерна на третьем и т. Д. Король с готовностью согласился и спросил чтобы принести рис. Сначала все шло хорошо, но потребность в 2 ^{n −1} зернах на n- м квадрате требовала более миллиона зерен на 21-м квадрате, более миллиона миллионов ( или триллионов ) на 41-м, а риса просто не хватало. весь мир за финальные квадраты. (Из Свирски, 2006 г.) ^[10]

Вторая половина шахматной доски этого время , когда экспоненциально растущее влияние оказывает существенное экономическое влияние на общей бизнес - стратегии организации.

Водяная лилия [ править ]

Французским детям предлагается загадка, в которой показан аспект экспоненциального роста: «очевидная внезапность, с которой экспоненциально растущее количество приближается к фиксированному пределу». Загадка представляет собой растение водяной лилии, растущее в пруду. Растение удваивается в размерах каждый день, и, если его оставить в покое, оно задушит пруд за 30 дней, убив всех остальных живых существ в воде. День за днем ​​рост растения невелик, поэтому решили, что это не будет проблемой, пока оно не покроет половину пруда. Какой это будет день? 29-й день, остается только один день на спасение пруда. ^{[11] [10]}

См. Также [ править ]

Ссылки и сноски [ править ]

Источники [ править ]

• Медоуз, Донелла. Рандерс, Йорген. Медоуз, Деннис. Пределы роста : 30-летний отчет. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN 9781603581554. 
• Медоуз, Донелла Х., Деннис Л. Медоуз, Йорген Рандерс и Уильям В. Беренс III. (1972) Пределы роста . Нью-Йорк: Университетские книги. ISBN 0-87663-165-0 
• Порритт, Дж. Капитализм, как будто мир имеет значение , Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8 
• Свирски, Питер. Литературы и знаний: исследования в области повествовательных мысленных экспериментов, эволюции и теории игр . Нью-Йорк: Рутледж. ISBN 0-415-42060-1 
• Томсон, Дэвид Г. План на миллиард: 7 основных принципов достижения экспоненциального роста , Wiley, декабрь 2005 г., ISBN 0-471-74747-5 
• Цирель, С.В. 2004. О возможных причинах гиперэкспоненциального роста населения Земли . Математическое моделирование социально-экономической динамики / Под ред. Дмитриева М.Г., Петрова А.П., с. 367–9. М .: Российский государственный социальный университет, 2004.

Внешние ссылки [ править ]

• Рост в конечном мире - Устойчивость и экспоненциальная функция - Презентация
• Доктор Альберт Бартлетт: Арифметика, население и энергия - потоковое видео и аудио 58 мин.