Пропорциональность (математика)

Переменная y прямо пропорциональна переменной x с константой пропорциональности ~ 0,6.

Переменная y обратно пропорциональна переменной x с константой пропорциональности 1.

В математике , два различных количествах , как говорят, в связи с пропорциональности , мультипликативно , соединенного с константой ; то есть, когда либо их соотношение, либо их произведение дает константу. Величина этой константы называется коэффициентом пропорциональности или константой пропорциональности .

• Если соотношение (y/Икс) двух переменных ( x и y ) равна константе ( k =y/Икс) , то переменная в числителе отношения ( y ) может быть произведением другой переменной и константы ( y = k  ⋅  x ) . В этом случае у называется прямо пропорционально к х с постоянной пропорциональности к . Эквивалентно можно написать x =1/k ⋅  y ; то есть x прямо пропорционален y с константой пропорциональности1/k знак равно Икс/y) . Если термин пропорциональный связан с двумя переменными без дальнейших уточнений, обычно можно предположить прямую пропорциональность.
• Если произведение двух переменных ( x  ⋅  y ) равно константе ( k = x  ⋅  y ) , то говорят, что они обратно пропорциональны друг другу с константой пропорциональности k . Эквивалентно, обе переменные прямо пропорциональны обратной величине соответствующей другой с константой пропорциональности k ( x = k  ⋅ 1/yи y = k  ⋅ 1/Икс) .

Если несколько пар переменных имеют одну и ту же константу прямой пропорциональности, уравнение, выражающее равенство этих соотношений, называется пропорцией , например,а/б знак равно Икс/y= ... = k (подробнее см. Соотношение ).

Прямая пропорциональность [ править ]

При наличии двух переменных х и у , у находится прямо пропорционально , чтобы х ^[1] , если существует ненулевая константа K такая , что

${\ displaystyle y = kx.}$

Отношение часто обозначается символами «∝» (не путать с греческой буквой альфа ) или «~»:

${\ displaystyle y \ propto x,}$ или же ${\ displaystyle y \ sim x.}$

Для получения от константы пропорциональности может быть выражена как отношение${\ Displaystyle х \ neq 0}$

${\ displaystyle k = {\ frac {y} {x}}.}$

Ее также называют постоянной вариации или постоянной пропорциональности .

Прямая пропорциональность также можно рассматривать в качестве линейного уравнения в двух переменных с у -intercept из 0 и наклон от к . Это соответствует линейному росту .

Примеры [ править ]

• Если объект движется с постоянной скоростью , то пройденное расстояние прямо пропорционально времени, затраченному на путешествие, а скорость является константой пропорциональности.
• Окружность из круга прямо пропорциональна его диаметр , с константой пропорциональности , равная П .
• На карте достаточно маленькой географической области, нарисованной в масштабе расстояний, расстояние между любыми двумя точками на карте прямо пропорционально прямому расстоянию между двумя местоположениями, представленными этими точками; константа пропорциональности - это масштаб карты.
• Сила , действующая на небольшой объект с небольшой массой по близлежащей большой расширенной массы за счет силы тяжести , прямо пропорциональна массе объекта; константа пропорциональности между силой и массой известна как ускорение свободного падения .
• Чистая сила, действующая на объект, пропорциональна ускорению этого объекта относительно инерциальной системы отсчета. Константа пропорциональности в этом втором законе Ньютона - это классическая масса объекта.

Обратная пропорциональность [ править ]

Концепции обратной пропорциональности можно противопоставить прямую пропорциональность . Рассмотрим две переменные, которые считаются «обратно пропорциональными» друг другу. Если все другие переменные остаются постоянными , величина или абсолютное значение одной обратно пропорциональной переменной уменьшается, если другая переменная увеличивается, в то время как их произведение (константа пропорциональности k ) всегда одинаково. Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.

Формально две переменные обратно пропорциональны (также называемые изменяющимися обратно пропорционально , в обратной вариации , в обратной пропорции , в обратной пропорции ), если каждая из переменных прямо пропорциональна мультипликативной обратной (обратной) другой, или эквивалентно, если их произведение равно константа. ^[2] Отсюда следует, что переменная y обратно пропорциональна переменной x, если существует ненулевая константа k такая, что

${\ displaystyle y = {\ frac {k} {x}},}$

или, что эквивалентно, Следовательно, константа « k » является произведением x и y .${\ displaystyle xy = k.}$

График двух переменных, изменяющихся обратно пропорционально на декартовой координатной плоскости, представляет собой прямоугольную гиперболу . Произведение значений x и y каждой точки кривой равно коэффициенту пропорциональности ( k ). Поскольку ни x, ни y не могут равняться нулю (поскольку k не равно нулю), график никогда не пересекает ни одну из осей.

Гиперболические координаты [ править ]

Понятия прямой и обратной пропорции приводят к расположению точек на декартовой плоскости по гиперболическим координатам ; две координаты соответствуют константе прямой пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенном луче, и константе обратной пропорциональности, которая определяет точку как находящуюся на определенной гиперболе.

См. Также [ править ]

• Линейная карта
• Корреляция
• Евдокс Книдский
• Золотое сечение
• Закон обратных квадратов
• Пропорциональный шрифт
• Соотношение
• Правило трех (математика)
• Размер образца
• Сходство
• Основная теорема пропорциональности
• ∷ является б , как с этим й символом (U + 2237 ДОЛЯ )

Рост [ править ]

• Линейный рост
• Гиперболический рост

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Я. Б. Зельдович, И. М. Яглом : Высшая математика для начинающих , с. 34–35 .
• Брайан Баррелл: Руководство Merriam-Webster по повседневной математике: справочник по дому и бизнесу . Merriam-Webster, 1998, ISBN  9780877796213 , стр. 85–101 .
• Lanius, Cynthia S .; Уильямс Сьюзен Э .: ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ: объединяющая тема для средних классов . Преподавание математики в средней школе 8.8 (2003), стр. 392–396.
• Сили, Кэти; Шилак Джейн Ф .: Взгляд на развитие соотношений, ставок и пропорциональности . Преподавание математики в средней школе, 13.3, 2007 г., стр. 140–142.
• Ван Дурен, Вим; Де Бок Дирк; Эверс Марлен; Вершаффель Ливен: Чрезмерное использование студентами принципа пропорциональности для решения проблем с отсутствием значений: как числа могут изменить решения . Журнал исследований в области математического образования, 40.2, 2009 г., стр. 187–211.