Условное ожидание

В теории вероятностей условное ожидание , условное ожидаемое значение или условное среднее значение случайной величины — это ее ожидаемое значение — значение, которое она примет «в среднем» по произвольно большому количеству событий — при условии, что определенный набор «условий» известно, что происходит. Если случайная величина может принимать только конечное число значений, «условия» заключаются в том, что переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определена над дискретным вероятностным пространством , «условия» являются разбиением этого вероятностного пространства.

В зависимости от контекста условное ожидание может быть либо случайной величиной, либо функцией. Случайная величина обозначается аналогично условной вероятности . Функциональная форма либо обозначается, либо представляет собой отдельный функциональный символ, такой как вводится со значением .${\ Displaystyle Е (Х \ середина Y)}$${\ Displaystyle Е (Х \ середина Y = у)}$${\ Displaystyle е (у)}$${\ Displaystyle Е (Х \ середина Y) = е (Y)}$

Рассмотрим бросок игральной кости и пусть A = 1, если число четное (т. е. 2, 4 или 6), и A = 0 в противном случае. Кроме того, пусть B = 1, если число простое (т. е. 2, 3 или 5), и B = 0 в противном случае.

Безусловное математическое ожидание A равно , но математическое ожидание A при условии B = 1 (т. е. при условии, что на броске кости выпало 2, 3 или 5) равно , а ожидание A при условии B = 0 (т. е. при условии бросок кубика 1, 4 или 6) равен . Точно так же ожидание B при условии A = 1 равно , а ожидание B при условии A = 0 равно .${\ Displaystyle Е [А] = (0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1) / 6 = 1/2}$${\ Displaystyle Е [А \ середина В = 1] = (1 + 0 + 0) / 3 = 1/3}$${\ Displaystyle Е [А \ середина В = 0] = (0 + 1 + 1) / 3 = 2/3}$${\ Displaystyle Е [В \ середина А = 1] = (1 + 0 + 0) / 3 = 1/3}$${\ Displaystyle Е [В \ середина А = 0] = (0 + 1 + 1) / 3 = 2/3}$

Условное математическое ожидание относительно σ-алгебры: в этом примере вероятностное пространство представляет собой интервал [0,1] с мерой Лебега . Определим следующие σ-алгебры: ; — σ-алгебра, порожденная отрезками с концами 0, ¼, ½, ¾, 1; и является σ-алгеброй, порожденной интервалами с концами 0, ½, 1. Здесь условное математическое ожидание эффективно является средним по минимальным множествам σ-алгебры.${\ Displaystyle (\ Омега, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$