Остановленный процесс

В математике , А остановленный процесс является случайным процессом , который вынужден предположить одинаковое значение после заданного (возможно , случайного) времени.

Определение [ править ]

Позволять

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$быть вероятностным пространством ;
• ${\displaystyle (\mathbb {X} ,{\mathcal {A}})}$быть измеримым пространством ;
• ${\displaystyle X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {X} }$ быть случайным процессом;
• ${\displaystyle \tau :\Omega \to [0,+\infty ]}$быть останавливая время относительно некоторой фильтрации из .${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}}$${\displaystyle {}{\mathcal {F}}}$

Затем остановленный процесс определяется для и по${\displaystyle X^{\tau }}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega ).}$

Примеры [ править ]

Азартные игры [ править ]

Представьте игрока, играющего в рулетку . X _t обозначает общие авуары игрока в казино в момент времени t ≥ 0, которые могут быть отрицательными, а могут и не быть отрицательными, в зависимости от того, предлагает ли казино кредит или нет. Пусть Y _t обозначает, какими были бы авуары игрока, если бы он / она мог получить неограниченный кредит (чтобы Y мог достигать отрицательных значений).

• Остановка в детерминированное время: предположим, что казино готово предоставить игроку неограниченный кредит и что игрок решает выйти из игры в заранее определенное время T , независимо от состояния игры. Тогда X - это действительно остановленный процесс Y ^T , поскольку счет игрока остается в том же состоянии после выхода из игры, в котором он находился в момент выхода игрока из игры.
• Остановка в случайное время: предположим, что у игрока нет других источников дохода, и что казино не будет предоставлять кредит своим клиентам. Игрок решает играть до тех пор, пока он / она не разорится. Тогда случайное время

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t\geq 0|Y_{t}(\omega )=0\}}$

- время остановки для Y , и, поскольку игрок не может продолжать играть после того, как он / она исчерпал свои ресурсы, X - это остановленный процесс Y ^τ .

Броуновское движение [ править ]

Пусть - одномерное стандартное броуновское движение, начинающееся с нуля.${\displaystyle B:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} }$

• Остановка в детерминированное время : если , то остановленное броуновское движение будет развиваться как обычно до времени , а после этого останется постоянным, то есть для всех .${\displaystyle T>0}$${\displaystyle \tau (\omega )\equiv T}$${\displaystyle B^{\tau }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv B_{T}(\omega )}$${\displaystyle t\geq T}$
• Остановка в случайное время: определите случайное время остановки по времени первого удара для региона :${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}}$

${\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t>0|B_{t}(\omega )\geq a\}.}$

Тогда остановившееся броуновское движение будет развиваться обычным образом до случайного момента времени и после этого будет постоянным со значением, то есть для всех .${\displaystyle B^{\tau }}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle a}$${\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a}$${\displaystyle t\geq \tau (\omega )}$

См. Также [ править ]

• Убитый процесс

Ссылки [ править ]

• Роберт Г. Галлагер. Случайные процессы: теория приложений. Cambridge University Press, 12 декабря 2013 г., стр. 450