В теории вероятностей , в частности при изучении случайных процессов , время остановки (также марковское время , марковский момент , необязательное время остановки или необязательное время [1] ) является особым типом «случайного времени»: случайной величиной , значение которой равно интерпретируется как время, в которое данный случайный процесс демонстрирует интересующее поведение. Время остановки часто определяется правилом остановки , механизмом для принятия решения о продолжении или остановке процесса на основе текущего положения и прошлых событий, и которое почти всегда привести к решению остановиться в какое-то конечное время.
Время остановки встречается в теории принятия решений , и теорема о необязательной остановке является важным результатом в этом контексте. Моменты остановки также часто используются в математических доказательствах, чтобы «приручить континуум времени», как выразился Чанг в своей книге (1982).
Определение
Дискретное время
Позволять быть случайной величиной, которая определена на фильтрованном вероятностном пространстве со значениями в . потомназывается моментом остановки (относительно фильтрации ), если выполняется следующее условие:
- для всех
Интуитивно это условие означает, что «решение» о том, останавливаться ли вовремя, должно быть основано только на информации, имеющейся в данный момент , а не о какой-либо будущей информации.
Общий случай
Позволять быть случайной величиной, которая определена на фильтрованном вероятностном пространстве со значениями в . В большинстве случаев,. потомназывается моментом остановки (относительно фильтрации ), если выполняется следующее условие:
- для всех
Как адаптированный процесс
Позволять быть случайной величиной, которая определена на фильтрованном вероятностном пространстве со значениями в . потомназывается временем остановки, если случайный процесс , определяется
будет адаптирован к фильтрации
Комментарии
Некоторые авторы прямо исключают случаи, когда может быть , в то время как другие авторы допускают принять любую ценность в закрытии .
Примеры
Чтобы проиллюстрировать некоторые примеры случайных моментов, когда правила останавливаются, а некоторые - нет, рассмотрим игрока, играющего в рулетку с типичным преимуществом казино, начиная со 100 долларов и делая ставку 1 доллар на красное в каждой игре:
- Проведение ровно пяти игр соответствует времени остановки τ = 5 и является правилом остановки.
- Играть до тех пор, пока у него не закончатся деньги или не сыграет 500 игр, является правилом остановки.
- Игра до тех пор, пока он не достигнет максимальной суммы впереди, не является правилом остановки и не предусматривает время остановки, поскольку требует информации о будущем, а также о настоящем и прошлом.
- Игра до тех пор, пока он не удвоит свои деньги (занимая при необходимости) , не является правилом остановки, поскольку существует положительная вероятность того, что он никогда не удвоит свои деньги.
- Игра до тех пор, пока он либо не удвоит свои деньги, либо не закончатся деньги, является правилом остановки, даже несмотря на то, что потенциально нет ограничений на количество игр, которые он играет, поскольку вероятность того, что он остановится через конечное время, равна 1.
Чтобы проиллюстрировать более общее определение остановки времени, рассмотрим броуновское движение , которое является случайным процессом., где каждый случайная величина, определенная на вероятностном пространстве . Мы определяем фильтрацию на этом вероятностном пространстве, позволяя- σ -алгебра, порожденная всеми множествами вида где а также - борелевское множество . Интуитивно понятно, что событие E находится втогда и только тогда, когда мы можем определить, истинно ли E или ложно, просто наблюдая за броуновским движением от времени 0 до времени t .
- Каждая константа это (тривиально) время остановки; это соответствует правилу остановки "остановить вовремя".
- Позволять потом - время остановки для броуновского движения, соответствующее правилу остановки: «остановитесь, как только броуновское движение превысит значение a ».
- Другое время остановки задается . Это соответствует правилу остановки «остановитесь, как только броуновское движение станет положительным на непрерывном участке длиной 1 единицу времени».
- В общем, если τ 1 и τ 2 являются временами остановки на тогда их минимум , их максимум , и их сумма τ 1 + τ 2 также являются моментами остановки. (Это неверно для различий и продуктов, потому что они могут потребовать «заглянуть в будущее», чтобы определить, когда остановиться.)
Время попадания, подобное приведенному выше второму примеру, может быть важным примером времени остановки. В то время как относительно просто показать, что по существу все времена остановки - это времена попадания [2], может быть намного сложнее показать, что определенное время достижения является временем остановки. Последние типы результатов известны как теорема Дебю .
Локализация
Моменты остановки часто используются для обобщения определенных свойств случайных процессов на ситуации, в которых требуемое свойство выполняется только в локальном смысле. Во-первых, если X - процесс, а τ - время остановки, то X τ используется для обозначения процесса X, остановленного в момент τ .
Тогда говорят , что X локально удовлетворяет некоторому свойству P, если существует последовательность моментов остановки τ n , которая возрастает до бесконечности и для которой процессы
удовлетворяет свойство P . Типичные примеры с набором временного индекса I = [0, ∞) следующие:
Процесс местного мартингейла . Процесс X является локальным мартингалом, если он càdlàg и существует последовательность моментов остановки τ n, возрастающая до бесконечности, такая, что
является мартингалом для каждого n .
Локально интегрируемый процесс . Неотрицательный и возрастающий процесс X является локально интегрируемым, если существует последовательность моментов остановки τ n, возрастающих до бесконечности, такая, что
для каждого n .
Типы времени остановки
Моменты остановки с установленным индексом времени I = [0, ∞) часто делятся на один из нескольких типов в зависимости от того, можно ли предсказать, когда они вот-вот произойдут.
Время остановки τ является предсказуемым , если она равна пределом возрастающей последовательности моментов остановки т п , удовлетворяющий т п < т , когда τ > 0. Последовательности τ п называется объявить τ и предсказуемые времена остановочных иногда называют анонсируемый . Примерами прогнозируемого времени остановки являются время срабатывания непрерывных и адаптированных процессов. Если τ - это первый раз, когда непрерывный и вещественнозначный процесс X равен некоторому значению a , то он объявляется последовательностью τ n , где τ n - первый раз, когда X находится на расстоянии 1 / n из .
Доступное время остановки - это время, которое может быть покрыто последовательностью предсказуемых времен. То есть время остановки τ доступно, если P ( τ = τ n для некоторого n ) = 1, где τ n - предсказуемые времена.
Стопорное время τ является абсолютно недоступным , если она никогда не может быть объявлена возрастающей последовательностью времени остановки. Эквивалентно, P ( τ = σ <∞) = 0 для каждого предсказуемого времени σ . Примеры полностью недоступных времен остановки включают времена скачков пуассоновских процессов .
Каждый момент остановки τ можно однозначно разложить на доступное и полностью недоступное время. То есть существует единственный доступный момент остановки σ и полностью недоступный момент υ такие, что τ = σ, если σ <∞, τ = υ, если υ <∞, и τ = ∞, если σ = υ = ∞. Обратите внимание, что в формулировке этого результата разложения времена остановки не обязательно должны быть почти наверняка конечными и могут равняться ∞.
Правила остановки в клинических испытаниях
Клинические испытания в медицине часто проводят промежуточный анализ, чтобы определить, достигло ли испытание своих конечных результатов. Однако промежуточный анализ создает риск ложноположительных результатов, и поэтому границы остановки используются для определения количества и времени промежуточного анализа (также известного как альфа-расход, чтобы обозначить частоту ложноположительных результатов). В каждом из R промежуточных тестов испытание останавливается, если вероятность ниже порогового значения p, которое зависит от используемого метода. См. Последовательный анализ .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Kallenberg, Олаф (2017). Случайные меры, теория и приложения . Теория вероятностей и стохастическое моделирование. 77 . Швейцария: Шпрингер. п. 347. DOI : 10.1007 / 978-3-319-41598-7 . ISBN 978-3-319-41596-3.
- ^ Фишер, Том (2013). «О простых представлениях моментов остановки и сигма-алгебр времени остановки». Статистика и вероятностные письма . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . DOI : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .
дальнейшее чтение
- Томас С. Фергюсон , «Кто решил проблему секретаря?», Stat. Sci. т. 4, 282–296, (1989).
- Введение в время остановки.
- Ф. Томас Брюсс , «Суммируйте шансы до единицы и остановитесь», Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391, (2000)
- Чунг, Кай Лай (1982). Лекции от марковских процессов до броуновского движения . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90618-8.
- Х. Винсент Пур и Олимпия Хаджилиадис (2008). Самое быстрое обнаружение (Первое издание). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62104-5.
- Проттер, Филип Э. (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения . Стохастическое моделирование и прикладная вероятность № 21 (Второе издание (версия 2.1, исправленное третье издание) изд.). Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00313-7.
- Ширяев, Альберт Н. (2007). Оптимальные правила остановки . Springer. ISBN 978-3-540-74010-0.