Местный мартингейл

В математике , локальный мартингал является типом стохастического процесса , удовлетворяя локализованную версию мартингальной собственности. Каждый мартингейл - это местный мартингейл; каждый ограниченный местный мартингейл является мартингалом; в частности, каждый локальный мартингал, ограниченный снизу, является супермартингалом, а каждый локальный мартингал, ограниченный сверху, является субмартингалом; однако в целом локальный мартингейл не является мартингалом, поскольку его ожидания могут быть искажены большими значениями с малой вероятностью. В частности, процесс диффузии без дрейфа является локальным мартингалом, но не обязательно мартингалом.

Локальные мартингалы необходимы в стохастическом анализе (см. Исчисление Ито , семимартингал и теорему Гирсанова ).

Определение [ править ]

Позвольте быть вероятностным пространством ; пусть будет фильтрацией из ; пусть будет - адаптированный случайный процесс на множестве . Тогда называется - локальный мартингал , если существует последовательность - остановочные раз такие , что${\ displaystyle (\ Omega, F, P)}$${\ Displaystyle F _ {*} = \ {F_ {t} \ mid t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle X: [0, \ infty) \ times \ Omega \ rightarrow S}$${\ displaystyle F _ {*}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle F _ {*}}$${\ displaystyle F _ {*}}$ ${\displaystyle \tau _{k}:\Omega \rightarrow [0,\infty )}$

• которые почти наверняка растет : ;${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle P\{\tau _{k}<\tau _{k+1}\}=1}$
• расходятся почти наверняка: ;${\displaystyle \tau _{k}}$${\displaystyle P\{\lim _{k\rightarrow \infty }\tau _{k}=\infty \}=1}$
• остановленный процесс

${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$

является -martingale для каждого .${\displaystyle F_{*}}$${\displaystyle k}$

Примеры [ править ]

Пример 1 [ править ]

Пусть W _t - винеровский процесс, а T  = min {  t  :  W _t  = −1} - время первого совпадения −1. Остановленный процесс Вт _{мин {  т ,  Т  }} является мартингалом; его ожидание всегда равно 0, тем не менее его предел (при t  → ∞) почти наверняка равен −1 (своего рода разорение игрока ). Изменение времени приводит к процессу

${\displaystyle \displaystyle X_{t}={\begin{cases}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Процесс почти всегда непрерывен; тем не менее, его ожидание прерывисто,${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E} X_{t}={\begin{cases}0&{\text{for }}0\leq t<1,\\-1&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Этот процесс не мартингейл. Однако это местный мартингейл. Локализирующая последовательность может быть выбрана так, как если бы такое t было , иначе τ _k = k . Эта последовательность расходится почти наверняка, поскольку τ _k = k для всех достаточно больших k (а именно, для всех k , превышающих максимальное значение процесса X ). Процесс, остановленный на τ _k, является мартингалом. ^{[подробнее 1]}${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=k\}}$

Пример 2 [ править ]

Пусть W _t - винеровский процесс, а ƒ - такая измеримая функция, что Тогда следующий процесс является мартингалом:${\displaystyle \operatorname {E} |f(W_{1})|<\infty .}$

${\displaystyle X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}}$

здесь

${\displaystyle f_{s}(x)=\operatorname {E} f(x+W_{s})=\int f(x+y){\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-y^{2}/(2s)}\,dy.}$

Дельта - функции Дирака (строго говоря, не является функцией), используется в месте , приводит к процессу , определенной неформально и формально , как${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f,}$${\displaystyle Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})}$

${\displaystyle Y_{t}={\begin{cases}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty ,\end{cases}}}$

куда

${\displaystyle \delta _{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}}}\mathrm {e} ^{-x^{2}/(2s)}.}$

Процесс является непрерывным почти наверняка (поскольку почти наверняка), тем не менее, его ожидание прерывисто,${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle W_{1}\neq 0}$

${\displaystyle \operatorname {E} Y_{t}={\begin{cases}1/{\sqrt {2\pi }}&{\text{for }}0\leq t<1,\\0&{\text{for }}1\leq t<\infty .\end{cases}}}$

Этот процесс не мартингейл. Однако это местный мартингейл. Последовательность локализации может быть выбрана как${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:Y_{t}=k\}.}$

Пример 3 [ править ]

Пусть - комплекснозначный винеровский процесс , и${\displaystyle Z_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\ln |Z_{t}-1|\,.}$

Процесс является непрерывным почти наверняка (поскольку не достигает 1, почти наверняка) и является локальным мартингалом, поскольку функция является гармонической (на комплексной плоскости без точки 1). Последовательность локализации может быть выбрана как Тем не менее, ожидание этого процесса непостоянно; более того,${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Z_{t}}$${\displaystyle u\mapsto \ln |u-1|}$${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:X_{t}=-k\}.}$

${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}\to \infty }$   в качестве ${\displaystyle t\to \infty ,}$

который можно вывести из того факта, что среднее значение по окружности стремится к бесконечности при . (Фактически, он равен для r ≥ 1, но равен 0 для r ≤ 1).${\displaystyle \ln |u-1|}$${\displaystyle |u|=r}$${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle \ln r}$

Мартингейлы через местные мартингалы [ править ]

Пусть будет местный мартингал. Чтобы доказать, что это мартингал, достаточно доказать, что в L 1 (as ) для любого t , то есть здесь находится остановленный процесс. Данное соотношение подразумевает это почти наверняка. Теорема о мажорируемой сходимости обеспечивает сходимость в L ¹ при условии, что${\displaystyle M_{t}}$${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$ ${\displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \operatorname {E} |M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t}|\to 0;}$${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}=M_{t\wedge \tau _{k}}}$${\displaystyle \tau _{k}\to \infty }$${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (*)\quad \operatorname {E} \sup _{k}|M_{t}^{\tau _{k}}|<\infty }$    за каждый т .

Таким образом, условия (*) достаточно для того, чтобы локальный мартингал был мартингалом. Более сильное состояние${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle \textstyle (**)\quad \operatorname {E} \sup _{s\in [0,t]}|M_{s}|<\infty }$    для каждого t

тоже достаточно.

Осторожность. Более слабое состояние

${\displaystyle \textstyle \sup _{s\in [0,t]}\operatorname {E} |M_{s}|<\infty }$    для каждого t

не достаточно. Кроме того, условие

${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,\infty )}\operatorname {E} \mathrm {e} ^{|M_{t}|}<\infty }$

все еще недостаточно; контрпример см. в примере 3 выше .

Особый случай:

${\displaystyle \textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),}$

где это процесс Винера , и является дважды непрерывно дифференцируема . Процесс является локальным мартингалом тогда и только тогда, когда f удовлетворяет PDE${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle f:[0,\infty )\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle M_{t}}$

${\displaystyle {\Big (}{\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big )}f(t,x)=0.}$

Однако сам по себе PDE не гарантирует, что это мартингейл. Для применения (**) достаточно следующего условия на f : для каждого и t существует такое, что${\displaystyle M_{t}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle C=C(\varepsilon ,t)}$

${\displaystyle \textstyle |f(s,x)|\leq C\mathrm {e} ^{\varepsilon x^{2}}}$

для всех и${\displaystyle s\in [0,t]}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$

Технические детали [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1.