Термин «разорение игрока» - это статистическая концепция, чаще всего выражаемая как тот факт, что игрок, играющий в игру с отрицательным математическим ожиданием, в конечном итоге разорится, независимо от его системы ставок.
Первоначальное значение этого термина является то , что упорный игрок , который ставит свою ставку на фиксированную долю банкролла , когда он выигрывает, но не уменьшает его , когда он проигрывает, в конечном счете и неизбежно разоряется, даже если он имеет положительное математическое ожидание на каждая ставка. [1]
Другое распространенное значение состоит в том, что настойчивый игрок с ограниченным богатством, играющий в честную игру (то есть, каждая ставка имеет нулевое значение для обеих сторон) в конечном итоге неизбежно разорится против оппонента с бесконечным богатством. Такую ситуацию можно смоделировать случайным блужданием по прямой с действительными числами. В этом контексте можно доказать, что агент с виртуальной уверенностью вернется к своей исходной точке, что означает разорение и разорение бесконечное количество раз, если случайное блуждание будет продолжаться бесконечно. Это следствие общей теоремы Христиана Гюйгенса., который также известен как разорение игрока. Эта теорема показывает, как вычислить вероятность того, что каждый игрок выиграет серию ставок, которая продолжается до тех пор, пока вся его начальная ставка не будет проиграна, с учетом начальных ставок двух игроков и постоянной вероятности выигрыша. Это старейшая математическая идея, получившая название «разорение игрока», но не первая идея, к которой было применено это название. Сегодняшнее обычное употребление этого термина является еще одним следствием результата Гюйгенса.
Разорение игрока не следует путать с ошибкой игрока , это другое понятие.
Эта концепция имеет особое значение для игроков; однако это также приводит к математическим теоремам с широким применением и многим связанным результатам в вероятности и статистике . Результат Гюйгенса, в частности, привел к важным успехам в математической теории вероятностей.
История
Самое раннее известное упоминание о проблеме разорения игрока письмо от Блеза Паскаля к Пьеру Ферма в 1656 (два года после того, как более известной переписки по проблеме точек ). [2] Версия Паскаля была резюмирована в письме Пьера де Каркави Гюйгенсу от 1656 года :
Пусть двое мужчин играют с тремя кубиками: первый игрок набирает очко, когда бросается 11, а второй, когда бросается 14. Но вместо того, чтобы набирать очки обычным способом, пусть очко будет добавлено к счету игрока только в том случае, если счет его оппонента равен нулю, а в противном случае пусть вычитается из счета его противника. Это как если бы противоположные точки образуют пары и уничтожают друг друга, так что у следующего игрока всегда ноль очков. Победитель первым набирает двенадцать очков; каковы относительные шансы на победу каждого игрока? [3]
Гюйгенс переформулировал проблему и опубликовал ее в De ratiociniis in ludo aleae («О рассуждении в азартных играх», 1657):
Задача (2-1) Каждый игрок начинает с 12 очков, и успешный бросок трех кубиков для игрока (получение 11 для первого игрока или 14 для второго) добавляет один к счету этого игрока и вычитает один из счет другого игрока; проигравший в игре первым набирает ноль очков. Какова вероятность победы каждого игрока? [4]
Это классическая формулировка разорения игрока: два игрока начинают с фиксированными ставками, передавая очки до тех пор, пока тот или другой не «разорятся», достигнув нуля. Однако термин «разорение игрока» стал применяться только много лет спустя. [5]
Причины четырех результатов
Пусть «банкролл» - это сумма денег, которая есть в распоряжении игрока в любой момент, а N - любое положительное целое число. Предположим, он увеличивает свою ставку докогда он выигрывает, но не уменьшает свою ставку, когда проигрывает. Эта общая закономерность не редкость среди настоящих игроков, и казино поощряют ее, «сколачивая» победителей (давая им фишки большего достоинства). [6] [ неудавшаяся проверка ] Согласно этой схеме ставок, потребуется не более N проигрышных ставок подряд, чтобы его обанкротить. Если его вероятность выигрыша по каждой ставке меньше 1 (если она равна 1, значит, он не игрок), он практически наверняка проиграет N ставок подряд, какими бы большими N ни были . Необязательно, чтобы он следовал точному правилу, просто он должен достаточно быстро увеличивать свою ставку по мере выигрыша. Это верно, даже если ожидаемая стоимость каждой ставки положительна.
Игрок, играющий в честную игру (с вероятностью выигрыша 0,5), в конечном итоге либо разорится, либо удвоит свое состояние. Давайте определим, что игра заканчивается в любом из событий. Эти события одинаково вероятны, иначе игра была бы несправедливой. Таким образом, у него есть 0,5 шанса разориться, прежде чем он удвоит свои деньги. Если он удвоит свои деньги, начинается новая игра, и у него снова есть 0,5 шанса удвоить свои деньги, прежде чем он разорится. После второй игры есть 1/2 x 1/2 шанс, что он не разорился в первой и второй играх. В этом случае его шанс не разориться после n последовательных игр составляет 1/2 x 1/2 x 1/2 x. . . 1/2 ^ n, что приближается к 0. Его шанс разориться после n последовательных игр составляет 0,5 + 0,25 + 0,125 +. . . 1 - 1/2 ^ n, что приближается к 1.
Результат Гюйгенса проиллюстрирован в следующем разделе.
Конечная судьба игрока в игре с отрицательным математическим ожиданием не может быть лучше, чем у игрока в честной игре, поэтому он тоже разорится.
Пример результата Гюйгенса
Честный подбрасывание монеты
Рассмотрим игру с подбрасыванием монеты с двумя игроками, в которой каждый игрок имеет 50% -ный шанс на выигрыш при каждом подбрасывании монеты. После каждого подбрасывания монеты проигравший передает один пенни победителю. Игра заканчивается, когда у одного игрока есть все гроши.
Если нет других ограничений на количество подбрасываний, вероятность того, что игра в конечном итоге закончится таким образом, равна 1. (Один из способов убедиться в этом заключается в следующем. Любая заданная конечная цепочка орлов и решек в конечном итоге наверняка перевернется: вероятность не увидеть эту цепочку, хотя поначалу она высока, экспоненциально уменьшается. В частности, игроки в конечном итоге переворачивают цепочку орлов, равную общему количеству пенни в игре, к этому времени игра должна уже закончиться.)
Если у первого игрока n 1 пенни, а у игрока 2 n 2 пенни, вероятности P 1 и P 2 того, что игроки 1 и 2, соответственно, останутся без гроша, равны:
Два примера: если у одного игрока больше пенсов, чем у другого; и если у обоих игроков одинаковое количество пенсов. В первом случае говорят, что игрок первый имеет 8 пенсов и два игрока () должны были иметь 5 пенни, то вероятность каждого проигрыша равна:
Отсюда следует, что даже при равных шансах на победу игрок, который начинает с меньшим количеством пенсов, скорее всего проиграет.
Во втором случае, когда у обоих игроков одинаковое количество пенни (в данном случае 6), вероятность каждого проигрыша равна:
Нечестное подбрасывание монеты
В случае несправедливой монеты, когда первый игрок выигрывает при каждой подбрасывании с вероятностью p, а второй игрок выигрывает с вероятностью q = 1 - p , тогда вероятность каждого завершения без гроша в кармане равна:
Это можно показать следующим образом: Рассмотрите вероятность того, что игрок 1 испытает разорение игрока, начав с количество денег, . Тогда, используя закон полной вероятности, мы имеем
где W обозначает событие, при котором игрок 1 выигрывает первую ставку. Тогда ясно а также . Также это вероятность того, что игрок 1 испытает разорение игрока, начав с количество денег: ; а также это вероятность того, что игрок 1 испытает разорение игрока, начав с количество денег: .
Обозначение , получаем линейное однородное рекуррентное соотношение
которую мы можем решить, используя тот факт, что (т.е. вероятность разорения игрока при условии, что игрок 1 начинает без денег, равна 1), и (т.е. вероятность разорения игрока при условии, что игрок 1 начинает со всеми деньгами, равна 0.) Для более подробного описания метода см., например, Feller (1970), Введение в теорию вероятностей и ее приложения , 3-е изд.
N -player проблема разорения
Описанная выше проблема (2 игрока) является частным случаем так называемой проблемы N-Player Ruin. [7] Здесь игроков с начальным капиталом долларов, соответственно, играют в последовательность (произвольных) независимых игр и выигрывают и проигрывают определенное количество долларов друг другу в соответствии с установленными правилами. Последовательность игр заканчивается, как только проигрывает хотя бы один игрок. Стандартные методы цепей Маркова могут быть применены для решения этой более общей проблемы в принципе, но вычисления быстро становятся запретительными, как только количество игроков или их начальные капиталы увеличиваются. Для и большие начальные капиталы решение можно хорошо аппроксимировать, используя двумерное броуновское движение . (Для это невозможно.) На практике настоящая проблема состоит в том, чтобы найти решение для типичных случаев и ограниченный начальный капитал. Свон (2006) предложил алгоритм, основанный на матрично-аналитических методах (алгоритм складывания для задач разорения), который в таких случаях значительно снижает порядок вычислительной задачи.
Смотрите также
Заметки
- ^ Кулидж, JL (1909). «Руины игрока» . Анналы математики . 10 (4): 181–192. DOI : 10.2307 / 1967408 . ISSN 0003-486X .
- ^ Дэвид, Флоренс Найтингейл (1998). Игры, боги и азартные игры: история вероятностей и статистических идей . Courier Dover Publications. ISBN 978-0486400235.
- ^ Эдвардс, JWF (апрель 1983 г.). «Проблема Паскаля:« Гибель игрока » ». Revue Internationale de Statistique . 51 (1): 73–79. DOI : 10.2307 / 1402732 . JSTOR 1402732 .
- ^ Ян Гуллберг , Математика с момента рождения чисел, WW Norton & Company; ISBN 978-0-393-04002-9
- ^ Kaigh, WD (апрель 1979 г.). «Проблема истощения разорения игрока». Математический журнал . 52 .
- ^ «Фишка в покере» . Проверено 26 октября 2020 .
- ^ «Проблема разорения игрока с n игроками и асимметричная игра» . Статистика и вероятностные письма . 44 (1): 87–95. 1999-08-01. DOI : 10.1016 / S0167-7152 (98) 00295-8 . ISSN 0167-7152 .
Рекомендации
- Р., Эпштейн (1995). Теория азартных игр и статистическая логика (пересмотренная ред.). Академическая пресса.
- Фергюсон Т.С. Разорение игроков в трех измерениях . Неопубликованная рукопись: https://www.math.ucla.edu/~tom/
- М., Крайчик (1942). «§6.20: Руины игрока». Математические развлечения . Нью-Йорк: У.В. Нортон. п. 140.
- Shoesmith, E (1986). «Решение Гюйгенса о разорении игрока» . Historia Math . 13 (2): 157–164. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (86) 90028-5 .
- Стиглер, Стивен М. (1990). История статистики: измерение неопределенности до 1900 года . Белкнап Пресс. ISBN 978-0-674-40341-3.
- Swan, Yves C .; Брюсс, Ф. Томас (2006). «Матрично-аналитический подход к проблеме разорения N-игроков» . Журнал прикладной теории вероятностей . 4 (3): 755–766. DOI : 10.1017 / S0021900200002084 .
Внешние ссылки
- Иллюстрация разорения игрока
- Руины игрока на MathPages
- Моделирование разорения игрока в демонстрационном проекте Wolfram