Эргодичность

В математике , эргодичности выражает идею о том , что точка движущейся системы, либо динамическая система или стохастический процесс , в конечном итоге посетить все части пространства , что система движется, в униформе и случайном смысле. Это означает, что среднее поведение системы может быть определено по траектории «типичной» точки. Точно так же достаточно большой набор случайных выборок из процесса может представлять среднестатистические свойства всего процесса. Эргодичность - свойство системы; это заявление о том, что система не может быть сокращена или разложена на более мелкие компоненты. Эргодическая теория - это исследование систем, обладающих эргодичностью.

Эргодические системы встречаются в широком диапазоне систем в физике и геометрии . Это можно приблизительно понять как следствие общего явления: движение частиц, то есть геодезические на гиперболическом многообразии расходятся; когда это многообразие компактно , то есть имеет конечный размер, эти орбиты возвращаются в ту же общую область , в конечном итоге заполняя все пространство .

Эргодические системы улавливают здравые повседневные представления о случайности, например, что дым может заполнять всю задымленную комнату, или что металлический блок может в конечном итоге иметь одинаковую температуру повсюду, или что честная монета может выпадать орлом и решкой в ​​половине случаев. Более сильная концепция, чем эргодичность, - это смешивание , цель которого - математически описать здравые понятия смешивания, такие как смешивание напитков или смешивание ингредиентов для приготовления пищи.

Правильная математическая формулировка эргодичности основана на формальных определениях теории меры и динамических систем и, в частности, на понятии динамической системы, сохраняющей меру . Истоки эргодичности лежат в статистической физике , где Людвиг Больцман сформулировал эргодическую гипотезу .

Неофициальное объяснение [ править ]

Эргодичность проявляется в широком контексте физики и математики . Все эти настройки объединены общим математическим описанием динамической системы, сохраняющей меру . Неформальное описание этого и определение эргодичности по отношению к нему дается непосредственно ниже. Далее следует описание эргодичности случайных процессов . Это одно и то же, несмотря на то, что в них используются совершенно разные обозначения и язык. Обзор эргодичности в физике и геометрии приводится ниже. Во всех случаях понятие эргодичности точно такое же, как и для динамических систем; нет никакой разницы, за исключением мировоззрения, обозначений, стиля мышления и журналов, в которых публикуются результаты.

Сохраняющие меру динамические системы [ править ]

Математическое определение эргодичности направлено на улавливание обычных повседневных представлений о случайности . Сюда входят идеи о системах, которые движутся таким образом, чтобы (в конечном итоге) заполнять все пространство, такие как диффузия и броуновское движение , а также здравые понятия смешивания, такие как смешивание красок, напитков, ингредиентов для приготовления пищи, промышленных процесс перемешивания , дым в задымленном помещении, пыль в кольцах Сатурна и так далее. Чтобы обеспечить прочную математическую основу, описание эргодических систем начинается с определения динамической системы, сохраняющей меру . Это записывается как${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu, T).}$

Под набором понимается общее заполняемое пространство: чаша для смешивания, задымленная комната и т. Д. Под мерой понимается естественный объем пространства и его подпространств. Набор подпространств обозначается , и размер любого данного подмножества равен ; размер - это его объем. Наивно, можно себе представить , чтобы быть булеан из ; это не совсем работает, поскольку не все подмножества пространства имеют объем (знаменитый парадокс Банаха-Тарского ). Таким образом, обычно состоит из измеримых подмножеств - подмножеств, которые имеют объем. Всегда считается${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle A \ подмножество X}$${\ Displaystyle \ му (А)}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$Множество Бореля - совокупность подмножеств, которые могут быть построены путем пересечения , объединения и дополнения множеств ; их всегда можно считать измеримыми.

Временная эволюция системы описывается картой . Если задано какое-то подмножество , его карта , как правило, будет деформированной версией - она ​​сжата или растянута, сложена или разрезана на части. Математические примеры включают в карту хлебопекарной и карту подковы , как вдохновленный хлеб -Изготовление. Набор должен иметь такую ​​же громкость, как ; сжатие / растяжение не изменяет объем пространства, а только его распределение. Такая система «сохраняет меру» (сохраняет площадь, сохраняет объем).${\ displaystyle T: X \ to X}$${\ Displaystyle A \ подмножество X}$${\ Displaystyle Т (А)}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т (А)}$${\ displaystyle A}$

Формальная трудность возникает, когда кто-то пытается согласовать объем множеств с необходимостью сохранить их размер под картой. Проблема возникает из-за того, что, как правило, несколько разных точек в области определения функции могут отображаться в одну и ту же точку в ее диапазоне; то есть может быть с . Хуже того, у единственной точки нет размера. Этих трудностей можно избежать, работая с обратной картой ; он сопоставит любое данное подмножество с частями, которые были собраны для его создания: эти части есть . У него есть важное свойство - не терять из виду, откуда пришли вещи. Более того, он обладает тем важным свойством, что любое (сохраняющее меру) отображение является обратным некоторому отображению.${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ Displaystyle Т (х) = Т (у)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle T ^ {- 1}: {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A \ подмножество X}$${\ displaystyle T ^ {- 1} (A) \ in {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ to {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X \ to X}$. Правильное определение карты, сохраняющей объем, - это то, для которого, потому что описывает все части-части, из которых произошли.${\ Displaystyle \ му (А) = \ му (T ^ {- 1} (А))}$${\displaystyle T^{-1}(A)}$${\displaystyle A}$

Теперь каждый заинтересован в изучении эволюции системы во времени. Если набор в конечном итоге приходит к заполнению всего в течение длительного периода времени (то есть, если все приближается к большому ), система называется эргодической . Если каждый набор ведет себя таким образом, система представляет собой консервативную систему , в отличие от диссипативной системы , в которой некоторые подмножества уходят прочь и никогда не возвращаются. Примером может быть вода, текущая под гору - если она стечет, она никогда больше не вернется. Однако озеро, которое образуется на дне этой реки, может быть хорошо перемешанным. Теорема об эргодическом разложении${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T^{n}(A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$ утверждает, что каждая эргодическая система может быть разделена на две части: консервативную часть и диссипативную часть.

Смешение - более сильное утверждение, чем эргодичность. Смешивание требует, чтобы это эргодическое свойство сохранялось между любыми двумя наборами , а не только между некоторыми наборами и . То есть для любых двух наборов система называется (топологически) смешивающейся, если существует такое целое число , что для всех и оно есть . Здесь обозначает пересечение множеств, а - пустое множество . Другие понятия перемешивания включают сильное и слабое перемешивание, которые описывают представление о том, что смешанные вещества смешиваются повсюду в равных пропорциях. Это может быть нетривиально, как показывает практический опыт попыток смешивания липких, липких веществ.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A,B}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle T^{n}(A)\cap B\neq \varnothing }$${\displaystyle \cap }$${\displaystyle \varnothing }$

Эргодические процессы [ править ]

Вышеупомянутое обсуждение обращается к физическому смыслу объема. Объем не обязательно должен быть частью трехмерного пространства ; это может быть какой-то абстрактный объем. Обычно это имеет место в статистических системах, где объем (мера) определяется вероятностью. Общий объем соответствует единице вероятности. Это соответствие работает , потому что аксиомы из теории вероятностей идентичны таковая теории меры ; это аксиомы Колмогорова .

Идея тома может быть очень абстрактной. Рассмотрим, например, множество всех возможных подбрасываний монеты: множество бесконечных последовательностей орла и решки. Присваивая этому пространству объем 1, становится ясно, что половина всех таких последовательностей начинается с орла, а половина - с решки. Можно разрезать этот объем и другими способами: можно сказать: «Меня не волнуют первые подбрасывания монеты; но я хочу, чтобы на первом из них был орел, и тогда меня не волнует, что будет после этого. ". Это может быть записано как множество, где «безразлично» и «головы». Объем этого пространства снова (очевидно!) Половинный. ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (*,\cdots ,*,h,*,\cdots )}$${\displaystyle *}$${\displaystyle h}$

Сказанного выше достаточно, чтобы построить динамическую систему, сохраняющую меру, в целом. Наборы из или , находящиеся на месте, называются наборами цилиндров . Множество всех возможных пересечений, объединений и дополнений наборов цилиндров затем образует множество Бореля, определенное выше. Формально, наборы цилиндра образуют основу для топологии на пространстве всех возможных бесконечной длиной монетных перестроек. У меры есть все свойства здравого смысла, на которые можно надеяться: мера цилиндра, установленная в '-м положении и в${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle h}$${\displaystyle m}$${\displaystyle t}$${\displaystyle k}$Очевидно, что позиция 1/4 и так далее. Эти свойства здравого смысла сохраняются для набора-комплемента и множество всесоюзного: все , за исключением , и в тех местах , и , очевидно , имеют объем 3/4. Все вместе они образуют аксиомы сигма-аддитивной меры ; Сохраняющие меру динамические системы всегда используют сигма-аддитивные меры. Для подбрасывания монеты эта мера называется мерой Бернулли .${\displaystyle h}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$

Для процесса монеты-флипа, оператор времени эволюции является оператором сдвига , который говорит «выбросить первую монету-флип, и держать остальное». Формально, если это последовательность подбрасываний монеты, то . Эта мера, очевидно , инвариантная относительно сдвига: до тех пор , как мы говорим о некотором множестве , где первая монета-флип является «не волнует» значения, то объем не меняется: . Для того , чтобы избежать говорить о первой монеты-флип, это легче определить , как вставка «не все равно» значение в первое положение: . С этим определением, очевидно, есть это без каких-либо ограничений . Это снова пример того, почему используется в формальных определениях.${\displaystyle T}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$${\displaystyle T(x_{1},x_{2},\cdots )=(x_{2},x_{3},\cdots )}$${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle x_{1}=*}$${\displaystyle \mu (A)}$${\displaystyle \mu (A)=\mu (T(A))}$${\displaystyle T^{-1}}$${\displaystyle T^{-1}(x_{1},x_{2},\cdots )=(*,x_{1},x_{2},\cdots )}$${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T^{-1}}$

Вышеупомянутая разработка берет случайный процесс, процесс Бернулли, и преобразует его в сохраняющую меру динамическую систему. Такое же преобразование (эквивалентность, изоморфизм) может быть применено к любому случайному процессу . Таким образом, неформальное определение эргодичности состоит в том, что последовательность эргодична, если она посещает все ; такие последовательности «типичны» для процесса. Другой заключается в том, что его статистические свойства могут быть выведены из единственной достаточно длинной случайной выборки процесса (таким образом, единообразная выборка всех ), или что любая коллекция случайных выборок из процесса должна представлять средние статистические свойства всего процесса ( то есть образцы, взятые единообразно из , представляют${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ,T).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ в целом.) В данном примере последовательность подбрасываний монеты, где половина - орел, а половина - решка, является «типичной» последовательностью.

В отношении процесса Бернулли необходимо сделать несколько важных моментов. Если написать 0 для решки и 1 для орла, получится набор всех бесконечных строк двоичных цифр. Они соответствуют разложению вещественных чисел по основанию два . Явно, учитывая последовательность , соответствующее действительное число${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )}$

${\displaystyle y=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}}$

Утверждение, что процесс Бернулли эргодичен, эквивалентно утверждению, что действительные числа распределены равномерно. Набор всех таких строк может быть записан различными способами: это набор Кантора , иногда называемый пространством Кантора, чтобы избежать путаницы с функцией Кантора. ${\displaystyle \{h,t\}^{\infty }=\{h,t\}^{\omega }=\{0,1\}^{\omega }=2^{\omega }=2^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle C(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{3^{n}}}}$

В конце концов, это все «одно и то же».

Набор Кантора играет ключевую роль во многих областях математики. В развлекательной математике он лежит в основе фракталов удвоения периода ; в анализе это проявляется в большом количестве теорем. Ключевым для случайных процессов является разложение Вольда , в котором говорится, что любой стационарный процесс можно разложить на пару некоррелированных процессов, один из которых детерминирован, а другой - процесс скользящего среднего .

Теорема об изоморфизме Орнштейна утверждает, что любой стационарный случайный процесс эквивалентен схеме Бернулли (процессу Бернулли с N- сторонней (и, возможно, несправедливой) игровой кубиком ). Другие результаты включают в себя то, что каждая недиссипативная эргодическая система эквивалентна марковскому одометру , иногда называемому «суммирующей машиной», потому что это похоже на сложение начальной школы, то есть взятие базового Nпоследовательность цифр, добавление единицы и распространение битов переноса. Доказательство эквивалентности очень абстрактно; понимания результата нет: добавляя единицу на каждом временном шаге, проверяется каждое возможное состояние одометра, пока он не перевернется и не запустится снова. Точно так же эргодические системы единообразно посещают каждое состояние, переходя к следующему, пока все они не будут посещены.

Системы, которые порождают (бесконечные) последовательности из N букв, изучаются с помощью символической динамики . Важные частные случаи включают подсдвиги конечного типа и софические системы .

Эргодичность в физике [ править ]

Физические системы можно разделить на три категории: классическая механика , которая описывает машины с конечным числом движущихся частей, квантовая механика , которая описывает структуру атомов, и статистическая механика , которая описывает газы, жидкости, твердые тела; это включает физику конденсированного состояния . Случай классической механики обсуждается в следующем разделе, посвященном эргодичности геометрии. Что касается квантовой механики, хотя существует концепция квантового хаоса , нет четкого определения эргодичности; что это могло быть, горячо обсуждается. В этом разделе рассматривается эргодичность статистической механики.

Вышеупомянутое абстрактное определение объема требуется как подходящая установка для определений эргодичности в физике . Представьте себе контейнер с жидкостью , газом , плазмой или другим скоплением атомов или частиц . Каждая частица имеет трехмерное положение и трехмерную скорость и, таким образом, описывается шестью числами: точка в шестимерном пространстве. Если в системе есть такие частицы, для полного описания требуются числа. Любая система - это всего лишь одна точка в Физической системе , конечно, не все ; если это поле ширины, высоты и длины, то точка находится в${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle 6N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{6N}}$${\displaystyle W\times H\times L}$${\displaystyle (W\times H\times L\times \mathbb {R} ^{3})^{N}.}$Скорости также не могут быть бесконечными: они масштабируются некоторой вероятностной мерой, например мерой Больцмана – Гиббса для газа. Тем не менее, для числа, близкого к числу Авогадро , это явно очень большое пространство. Это пространство называется каноническим ансамблем . ${\displaystyle N}$

Физическая система называется эргодической, если какая-либо репрезентативная точка системы в конечном итоге посещает весь объем системы. Для приведенного выше примера это означает, что любой данный атом не только посещает каждую часть ящика с равномерной вероятностью, но он делает это со всеми возможными скоростями, с вероятностью, заданной распределением Больцмана для этой скорости (так что равномерно по отношению к этой скорости). мера). Эргодическая гипотеза утверждает , что физические системы фактически являются эргодическая. Действуют множественные временные шкалы: газы и жидкости кажутся эргодичными в коротких временных масштабах. Эргодичность в твердом теле можно рассматривать с точки зрения колебательных мод или фононов , поскольку очевидно, что атомы в твердом теле не меняются местами.${\displaystyle W\times H\times L}$Очки бросают вызов эргодической гипотезе; Предполагается, что масштабы времени составляют миллионы лет, но результаты спорны. Спиновые очки представляют особые трудности.

Трудно найти формальные математические доказательства эргодичности статистической физики; большинство многомерных систем многих тел считается эргодическим без математических доказательств. Исключение составляют динамические бильярды , моделирующие столкновения атомов в идеальном газе или плазме по типу биллиардных шаров . Первая теорема эргодичности твердых сфер была для бильярда Синая., который рассматривает два шара, один из которых считается неподвижным, в начале координат. Когда второй шар сталкивается, он удаляется; применяя периодические граничные условия, он снова возвращается, чтобы столкнуться. Апеллируя к однородности, это возвращение «второго» шара вместо этого можно принять за «просто какой-то другой атом», который попал в зону действия и движется, чтобы столкнуться с атомом в начале координат (что можно считать просто «любой другой атом».) Это одно из немногих существующих формальных доказательств; не существует эквивалентных утверждений, например, для атомов в жидкости, взаимодействующих посредством сил Ван-дер-Ваальса , даже если было бы здравым смыслом полагать, что такие системы эргодичны (и смешиваются). Однако можно привести более точные физические аргументы.

Эргодичность в геометрии [ править ]

Эргодичность - широко распространенное явление при изучении римановых многообразий . Краткая последовательность примеров, от простых до сложных, иллюстрирует этот момент. Все перечисленные ниже системы доказали свою эргодичность с помощью строгих формальных доказательств. Иррациональное вращение окружности эргодическая: орбита точки такова , что в конце концов, каждая другая точка в круге посещается. Такие повороты являются частным случаем карты обмена интервалами . В бета - разложение ряда эргодично: бета разложение действительного числа выполняется не в базе - N , но в корпус- для некоторых Отраженной версии беты расширения является палатка на карте${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta .}$; существует множество других эргодических отображений единичного интервала. Переходя к двум измерениям, арифметические биллиарды с иррациональными углами эргодичны. Можно также взять плоский прямоугольник, раздавить его, разрезать и собрать заново; это уже упоминавшаяся карта пекаря . Его точки могут быть описаны набором бибесконечных строк из двух букв, то есть простирающихся как влево, так и вправо; как таковой, он выглядит как две копии процесса Бернулли. Если во время раздавливания кто-то деформируется боком, он получает карту кошки Арнольда . В большинстве случаев карта кошки является прототипом любого другого подобного преобразования.

Для неплоских поверхностей геодезический поток любой компактной римановой поверхности с отрицательной кривизной эргодичен. Поверхность «компактна» в том смысле, что она имеет конечную площадь поверхности. Геодезический поток - это обобщение идеи движения по «прямой линии» по искривленной поверхности: такие прямые являются геодезическими . Один из первых изученных случаев - биллиард Адамара , описывающий геодезические на поверхности Больца., топологически эквивалентен бублику с двумя дырками. Эргодичность можно продемонстрировать неформально, если у вас есть острый предмет и какой-нибудь разумный пример бублика с двумя отверстиями: начиная с любого места и в любом направлении, человек пытается провести прямую линию; линейки для этого пригодятся. Не так уж и много времени, чтобы обнаружить, что человек не возвращается к исходной точке. (Конечно, это тоже можно объяснить кривым рисунком; поэтому у нас есть доказательства.)

Эти результаты распространяются на более высокие измерения. Геодезический поток для компактных римановых многообразий с отрицательной кривизной эргодичен. Классическим примером этого является поток Аносова , который представляет собой поток орициклов на гиперболическом многообразии . Это можно рассматривать как своего рода расслоение Хопфа . Такие потоки обычно возникают в классической механике , которая изучает физику конечномерных движущихся механизмов, например двойного маятника и так далее. Классическая механика строится на симплектических многообразиях . Потоки в таких системах можно разложить на устойчивые и неустойчивые многообразия.; как правило, когда это возможно, возникает хаотическое движение. То, что это родовое можно увидеть, заметив , что котангенс пучок из риманова многообразия (всегда) симплектическое многообразие; геодезический поток задается решением уравнений Гамильтона – Якоби для этого многообразия. В терминах канонических координат на кокасательном многообразии гамильтониан или энергия задаются выражением ${\displaystyle (q,p)}$

${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

с в (обратная величина) метрического тензора и от импульса . Сходство с кинетической энергией точечной частицы не случайно; в этом весь смысл называть такие вещи «энергией». В этом смысле хаотическое поведение с эргодическими орбитами является более или менее общим явлением на больших участках геометрии. ${\displaystyle g^{ij}}$${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Результаты эргодичности были предоставлены для поверхностей перевода , гиперболических групп и систолической геометрии . Методы включают изучение эргодических потоков , разложение Хопфа и теорему Амброуза – Какутани – Кренгеля – Кубо . Важный класс систем являются аксиома А системой.

Получен ряд как классификационных, так и «антиклассификационных» результатов. Теорема Ornstein изоморфизм применяется здесь, а; опять же, он утверждает, что большинство этих систем изоморфны некоторой схеме Бернулли . Это довольно четко связывает эти системы с определением эргодичности, данным для случайного процесса в предыдущем разделе. Результаты антиклассификации утверждают, что существует более чем счетное бесконечное число неэквивалентных эргодических динамических систем, сохраняющих меру. Возможно, это не совсем неожиданно, поскольку можно использовать точки из набора Кантора для построения похожих, но разных систем. См. Сохраняющую меру динамическую систему для краткого обзора некоторых антиклассификационных результатов.

Историческое развитие [ править ]

Идея эргодичности родилась в области термодинамики , где необходимо было связать отдельные состояния молекул газа с температурой газа в целом и ее эволюцией во времени. Для этого необходимо было указать, что именно означает хорошее смешивание газов, чтобы термодинамическое равновесие могло быть определено с математической строгостью . Как только теория была хорошо развита в физике , она была быстро формализована и расширена, так что эргодическая теориядолгое время была самостоятельной областью математики. В рамках этой прогрессии сосуществуют несколько несколько отличающихся друг от друга определений эргодичности и множество интерпретаций концепции в разных областях.

Например, в классической физике этот термин подразумевает , что система удовлетворяет эргодическая гипотеза о термодинамике , ^[1] соответствующее пространство состояний является положение и импульсное пространство . В теории динамических систем пространство состояний обычно рассматривается как более общее фазовое пространство . С другой стороны, в теории кодирования пространство состояний часто дискретно как по времени, так и по состоянию, с менее сопутствующей структурой. Во всех этих областях идеи среднего по времени и среднего по совокупности также могут нести дополнительный багаж - как в случае со многими возможными термодинамически значимымиСтатистические данные, используемые для определения средних по ансамблю в физике, снова. Таким образом, теоретико-мерная формализация концепции также служит объединяющей дисциплиной.

Этимология [ править ]

Обычно считается, что термин эргодический происходит от греческих слов ἔργον ( ergon : «работа») и ὁδός ( hodos : «путь», «путь»), выбранных Людвигом Больцманом, когда он работал над проблемой статистической механики . ^[2] В то же время он также считается производным от эргомоноды , введенной Больцманом в относительно малоизвестной статье 1884 года. Этимология, по-видимому, оспаривается и другими способами. ^[3]

Определение для систем с дискретным временем [ править ]

Формальное определение [ править ]

Позвольте быть измеримым пространством . Если измеримая функция от самой себе и с вероятностной мерой на то мы говорим , что это -ergodic или эргодическая мера , если пресервы и выполнено следующее условие: ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$

Для любого такого, что либо, либо .${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle T^{-1}(A)\subset A}$${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu (A)=1}$

Другими словами, нет никаких -инвариантных подмножеств до меры 0 (относительно ). Напомним , что сохранение (или быть - инвариант ) означает , что для всех (см также Измерить сохраняющих динамическую систему ).${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu (T^{-1}(A))=\mu (A)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$

Примеры [ править ]

Простейший пример , когда конечное множество и мера подсчета . Тогда отображение себя в себя сохраняется тогда и только тогда, когда оно является биекцией, и оно эргодично тогда и только тогда, когда имеет только одну орбиту (то есть для каждого существует такое, что ). Например, если тогда цикл эргодичен, а перестановка нет (у него есть два инвариантных подмножества и ). ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle y=T^{k}(x)}$${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle (1\,2\,\cdots \,n)}$${\displaystyle (1\,2)(3\,4\,\cdots n)}$${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle \{3,4,\ldots ,n\}}$

Эквивалентные формулировки [ править ]

Приведенное выше определение допускает следующие немедленные переформулировки:

• для каждого с мы имеем или (где обозначает симметричную разность );${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu (T^{-1}(A)\bigtriangleup A)=0}$${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu (A)=1\,}$${\displaystyle \bigtriangleup }$
• для каждого с положительной мерой мы имеем ;${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }T^{-n}(A)\right)=1}$
• для любых двух наборов положительной меры существует такое, что ;${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \mu ((T^{-n}(A))\cap B)>0}$
• Каждая измеримая функция с постоянна на подмножестве полной меры.${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\circ T=f}$

Что важно для приложений, условие в последней характеризации может быть ограничено только квадратично интегрируемыми функциями :

• Если и то постоянно почти везде.${\displaystyle f\in L^{2}(X,\mu )}$${\displaystyle f\circ T=f}$${\displaystyle f}$

Дальнейшие примеры [ править ]

Сдвиги Бернулли и подмены [ править ]

Пусть конечное множество , и с по мере продукта (каждый фактор , наделенный его подсчет меры). Тогда оператор сдвига, определенный как -эргодичен. ^[4]${\displaystyle S}$${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$${\displaystyle T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }}$${\displaystyle \mu }$

Есть много более эргодических мер для карты сдвига на . Периодические последовательности дают меры с конечным носителем. Что еще интереснее, есть подсдвиги конечного типа с неограниченным носителем .${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$

Иррациональные вращения [ править ]

Позвольте быть единичный круг с его мерой Лебега . Для любого поворота угла дается . Если then не эргодичен для меры Лебега, так как у нее бесконечно много конечных орбит. С другой стороны, если иррационально, то эргодично. ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ,\,|z|=1\}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R_{\theta }(z)=e^{2i\pi \theta }z}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {Q} }$${\displaystyle T_{\theta }}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle T_{\theta }}$

Карта кошек Арнольда [ править ]

Позвольте быть 2-тор. Тогда любой элемент определяет собственную карту с . Когда получается так называемое отображение кошки Арнольда, которое эргодично для меры Лебега на торе.${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle g\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g(\mathbb {Z} ^{2})=\mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle g=\left({\begin{array}{cc}2&1\\1&1\end{array}}\right)}$

Эргодические теоремы [ править ]

Если - вероятностная мера на пространстве, которое является эргодическим для преобразования, поточечная эргодическая теорема Г. Биркгофа утверждает, что для каждой измеримой функции и почти для каждой точки среднее по времени на орбите сходится к среднему пространственному значению . Формально это означает, что ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

Эргодическая теорема Дж фон Нейман аналогичного, более слабое утверждение о усредненных сдвигах квадратично интегрируемых функций.

Связанные свойства [ править ]

Плотные орбиты [ править ]

Непосредственным следствием определения эргодичности является определение эргодичности на топологическом пространстве , и если является σ-алгеброй борелевских множеств , если она -эргодична, то -почти каждая орбита пространства плотна в носителе . ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$

Это не эквивалентность, поскольку для преобразования, которое не является однозначно эргодическим, но для которого существует эргодическая мера с полным носителем , для любой другой эргодической меры эта мера не является эргодической, но ее орбиты плотны в носителе. Явные примеры можно построить с помощью мер, инвариантных к сдвигу. ^[6]${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle \mu _{1}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(\mu _{0}+\mu _{1})}$${\displaystyle T}$

Смешивание [ править ]

Преобразование вероятностного пространства меры называется перемешивающим для меры, если для любых измеримых множеств выполняется следующее: ${\displaystyle T}$${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A,B\subset X}$

Непосредственно перемешивающее преобразование также является эргодическим (принимая за -устойчивое подмножество и его дополнение). Обратное неверно, например, поворот окружности с иррациональным углом (который является эргодическим в приведенных выше примерах) не является перемешивающим (для достаточно малого интервала его последовательные изображения не будут пересекаться большую часть времени). Сдвиги Бернулли смешиваются, как и кошачья карта Арнольда.${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$${\displaystyle B}$

Это понятие перемешивания иногда называют сильным перемешиванием, в отличие от слабого перемешивания, что означает, что

Правильная эргодичность [ править ]

Преобразование называется собственно эргодическим, если оно не имеет орбиты полной меры. В дискретном случае это означает, что мера не поддерживается на конечной орбите .${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$

Определение динамических систем с непрерывным временем [ править ]

Определение по существу то же самое для динамических систем с непрерывным временем, что и для одиночного преобразования. Позвольте быть измеримым пространством, и для каждого такая система задается семейством измеримых функций от самого себя, так что для любого отношения выполняется (обычно также спрашивают, что отображение орбиты из также является измеримым). Если - вероятностная мера на, то мы говорим, что она является -эргодической или является эргодической мерой для, если каждая из них сохраняет и выполняется следующее условие: ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t,s\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle T_{s+t}=T_{s}\circ T_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}\times X\to X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{t}}$${\displaystyle \mu }$

Для любого , если для всех есть то либо, либо .${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle T_{t}^{-1}(A)\subset A}$${\displaystyle \mu (A)=0}$${\displaystyle \mu (A)=1}$

Примеры [ править ]

Как и в дискретном случае, простейшим примером является транзитивное действие, например действие на окружности, задаваемое формулой, является эргодическим для меры Лебега. ${\displaystyle T_{t}(z)=e^{2i\pi t}z}$

Пример с бесконечным числом орбит дает поток по иррациональному наклону на торе: let и . Пусть ; тогда, если это эргодично для меры Лебега. ${\displaystyle X=\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{t}(z_{1},z_{2})=(e^{2i\pi t}z_{1},e^{2\alpha i\pi t}z_{2})}$${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Q} }$

Эргодические потоки [ править ]

Другие примеры эргодических потоков:

• Бильярд в выпуклых евклидовых областях;
• геодезический поток из отрицательно изогнутого риманова многообразия конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема);
• орицикл поток на гиперболическое многообразии конечного объема эргодичен (для нормированной меры объема)

Эргодичность в компактных метрических пространствах [ править ]

Если это компактное метрическое пространство, оно естественно наделено σ-алгеброй борелевских множеств . Дополнительная структура, проистекающая из топологии, позволяет получить гораздо более подробную теорию эргодических преобразований и мер . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Интерпретация функционального анализа [ править ]

Очень мощное альтернативное определение эргодических мер может быть дано с помощью теории банаховых пространств . Меры Радона на образуют банахово пространство, в котором множество вероятностных мер является выпуклым подмножеством. Учитывая непрерывное преобразование из подмножества из инвариантных мер является замкнутым выпуклым подмножеством, и мера эргодична для тогда и только тогда , когда это крайняя точка этого выпуклым. ^[7]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Существование эргодических мер [ править ]

В приведенной выше постановке из теоремы Банаха-Алаоглу следует, что всегда существуют экстремальные точки в . Следовательно, преобразование компактного метрического пространства всегда допускает эргодические меры. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)^{T}}$

Эргодическое разложение [ править ]

В общем случае инвариантная мера не обязательно должна быть эргодической, но, как следствие теории Шоке, ее всегда можно выразить как барицентр вероятностной меры на множестве эргодических мер. Это называется эргодическим разложением меры. ^[8]

Пример [ править ]

В случае и счетная мера не эргодична. Эргодические меры являются едиными мерами , поддерживаемых на подмножествах и и каждая -инвариантная вероятностная мера может быть записана в виде для некоторых . В частности, это эргодическое разложение считающей меры. ${\displaystyle X=\{1,\ldots ,n\}}$${\displaystyle T=(1\,2)(3\,4\,\cdots n)}$${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}$${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle \{3,\ldots ,n\}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle t\mu _{1}+(1-t)\mu _{2}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\textstyle {\frac {2}{n}}\mu _{1}+{\frac {n-2}{n}}\mu _{2}}$

Непрерывные системы [ править ]

Все в этом разделе дословно переносится на непрерывные действия компактных метрических пространств или на них. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

Уникальная эргодичность [ править ]

Преобразование называется однозначно эргодическим, если существует единственная вероятностная борелевская мера, на которой эргодична для . ${\displaystyle T}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$

В рассмотренных выше примерах иррациональные повороты окружности однозначно эргодичны; ^[9] карты сдвига нет.

Вероятностная интерпретация: эргодические процессы [ править ]

Если это случайный процесс с дискретным временем в пространстве , он называется эргодическим, если совместное распределение переменных в пространстве инвариантно относительно отображения сдвига . Это частный случай рассмотренных выше понятий. ${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}\mapsto (x_{n+1})_{n\geq 1}}$

Самый простой случай - это независимый и идентично распределенный процесс, который соответствует карте сдвига, описанной выше. Другой важный случай - это цепь Маркова, которая подробно обсуждается ниже.

Аналогичная интерпретация верна для случайных процессов с непрерывным временем, хотя построение измеримой структуры действия более сложно.

Эргодичность цепей Маркова [ править ]

Динамическая система, связанная с цепью Маркова [ править ]

Позвольте быть конечным множеством. Цепь Маркова на определяются матрицей , где есть вероятность перехода от к , так для каждого у нас есть . Стационарная мера для вероятностная мера на такое , что  ; это для всех . ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P\in [0,1]^{S\times S}}$${\displaystyle P(s_{1},s_{2})}$${\displaystyle s_{1}}$${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle \sum _{s'\in S}P(s,s')=1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \nu P=\nu }$${\displaystyle \sum _{s'\in S}\nu (s')P(s',s)=\nu (s)}$${\displaystyle s\in S}$

Используя эти данные, мы можем определить вероятностную меру на множестве с ее произведением σ-алгебры, задав меры цилиндров следующим образом:${\displaystyle \mu _{\nu }}$${\displaystyle X=S^{\mathbb {Z} }}$

Тогда стационарность означает, что мера инвариантна относительно карты сдвига .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu _{\nu }}$${\displaystyle T\left((s_{k})_{k\in \mathbb {Z} })\right)=(s_{k+1})_{k\in \mathbb {Z} }}$

Критерий эргодичности [ править ]

Мера всегда эргодична для отображения сдвига, если ассоциированная цепь Маркова неприводима (любое состояние может быть достигнуто с положительной вероятностью из любого другого состояния за конечное число шагов). ^[10]${\displaystyle \mu _{\nu }}$

Из приведенных выше гипотез следует, что для цепи Маркова существует единственная стационарная мера. В терминах матрицы достаточным условием для этого является то, что 1 - простое собственное значение матрицы, а все остальные собственные значения (in ) имеют модуль <1. ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Обратите внимание, что в теории вероятностей цепь Маркова называется эргодической, если, кроме того, каждое состояние является апериодическим (моменты времени, когда вероятность возврата положительна, не кратны одному целому числу> 1). Это не обязательно для того, чтобы инвариантная мера была эргодической; следовательно, понятия «эргодичности» для цепи Маркова и связанной с ней инвариантной к сдвигу меры различны (для цепи строго сильнее). ^[11]

Более того, критерий является «тогда и только тогда, когда», если все сообщающиеся классы в цепочке рекуррентны, и мы рассматриваем все стационарные меры.

Примеры [ править ]

Счетная мера [ править ]

Если для всех, то стационарная мера - это счетная мера, то мера - это произведение счетных мер. Цепь Маркова эргодична, поэтому приведенный выше пример сдвига является частным случаем критерия. ${\displaystyle P(s,s')=1/|S|}$${\displaystyle s,s'\in S}$${\displaystyle \mu _{P}}$

Неэргодические цепи Маркова [ править ]

Цепи Маркова с повторяющимися сообщающимися классами не являются неприводимыми, не эргодичны, что сразу видно из следующего. Если существуют два различных рекуррентных сообщающихся класса, существуют ненулевые стационарные меры, поддерживаемые соответственно, и подмножества, и оба они инвариантны относительно сдвига и имеют меру 1.2 для инвариантной вероятностной меры . Очень простой пример этого - цепочка, заданная матрицей (оба состояния стационарны). ${\displaystyle S_{1}\subsetneq S}$${\displaystyle \nu _{1},\nu _{2}}$${\displaystyle S_{1},S_{2}}$${\displaystyle S_{1}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle S_{2}^{\mathbb {Z} }}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\nu _{1}+\nu _{2})}$${\displaystyle S=\{1,2\}}$${\textstyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right)}$

Периодическая цепочка [ править ]

Цепь Маркова на, заданная матрицей , неприводима, но периодична. Таким образом, она не эргодична в смысле цепи Маркова, хотя ассоциированная мера on эргодична для отображения сдвига. Однако для этой меры сдвиг не является смешивающим, поскольку для множеств ${\displaystyle S=\{1,2\}}$${\textstyle \left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{1,2\}^{\mathbb {Z} }}$

и у нас есть но ${\displaystyle \mu (A)=1/2=\mu (B)}$

Обобщения [ править ]

Эргодические групповые действия [ править ]

Определение эргодичности также имеет смысл для групповых действий . Классическая теория (для обратимых преобразований) соответствует действиям или . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Квазиинвариантные меры [ править ]

Для неабелевых групп инвариантных мер может не быть даже на компактных метрических пространствах. Однако определение эргодичности остается неизменным, если заменить инвариантные меры квазиинвариантными .

Важные примеры - действие полупростой группы Ли (или решетки в ней) на ее границе Фюрстенберга .

Эргодические отношения [ править ]

Отношение измеримой эквивалентности называется эргодическим, если все насыщенные подмножества либо нулевые, либо конулльные.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Уолтерс, Питер (1982). Введение в эргодическую теорию . Springer . ISBN 0-387-95152-0.
• Брин, Майкл; Гаррет, Штук (2002). Введение в динамические системы . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-80841-3.

Внешние ссылки [ править ]

Поищите эргодический словарь в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Карма Даджани и Шорд Дирксин, «Простое введение в эргодическую теорию»