Траектория

Иллюстрация, показывающая траекторию пули, выпущенной по цели, идущей в гору.

Траектории или траектория полета это путь , что объект с массой в движении следует через пространство в зависимости от времени. В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса может быть снарядом или спутником . ^[1] Например, это может быть орбита - путь планеты , астероида или кометы, когда она движется вокруг центральной массы .

В теории управления , траектория является временным упорядоченным множеством состояний одного динамической системы (см , например , отображение Пуанкаре ). В дискретной математике траектория - это последовательность значений, вычисленная путем повторного применения отображения к элементу его источника.${\ Displaystyle (е ^ {к} (х)) _ {к \ в \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Физика траекторий [ править ]

Эта статья может сбивать с толку или непонятна читателям . Помогите, пожалуйста, прояснить статью . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Знакомый пример траектории - это путь снаряда, например брошенного шара или камня. В значительно упрощенной модели объект движется только под действием однородного гравитационного силового поля . Это может быть хорошим приближением для камня, который бросают на небольшое расстояние, например, на поверхность Луны . В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Обычно при определении траекторий может потребоваться учет неоднородных гравитационных сил и сопротивления воздуха ( лобовое сопротивление и аэродинамика ). Это центр дисциплины баллистики .

Одним из замечательных достижений ньютоновской механики был вывод законов Кеплера . В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (такой как Солнце ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение , обычно эллипс или гиперболу . ^[a] Это согласуется с наблюдаемыми орбитами планет , комет и искусственных космических аппаратов с достаточно хорошим приближением, хотя, если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы, такие как солнечный ветер ирадиационное давление , которое изменяет орбиту и заставляет комету выбрасывать материал в космос.

Позднее теория Ньютона превратилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика . В нем используется математика дифференциального исчисления (которое также было начато Ньютоном в юности). На протяжении веков бесчисленные ученые внесли свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рациональной мысли, то есть разума , как в науке, так и в технике. Это помогает понять и предсказать огромное количество явлений ; траектории - лишь один пример.

Рассмотрим частицу массы , движущуюся в потенциальном поле . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию , а поле представляет собой особые внешние силы, известные как «консервативные». Учитывая каждую соответствующую позицию, есть способ сделать вывод о связанной силе, которая будет действовать в этой позиции, скажем, от силы тяжести. Однако не все силы можно выразить таким образом.${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

С правой стороны, сила дана в терминах , в градиенте потенциала, принятом на позициях вдоль траектории. Это математическая форма второго закона движения Ньютона : для таких ситуаций сила равна массе, умноженной на ускорение.${\displaystyle \nabla V}$

Примеры [ править ]

Равномерная гравитация, ни сопротивление, ни ветер [ править ]

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле в отсутствие других сил (например, сопротивления воздуха) впервые исследовал Галилео Галилей . Пренебрежение влиянием атмосферы на формирование траектории было бы бесполезной гипотезой практичных исследователей на протяжении всего средневековья в Европе . Тем не менее, предвидя существование вакуума , который позже будет продемонстрирован на Земле его сотрудником Евангелистой Торричелли ^{[ необходима цитата ]} , Галилей смог положить начало будущей науке о механике . ^{[ необходима цитата ]}В почти вакууме, как выясняется, например, на Луне , его упрощенная параболическая траектория оказывается по существу правильной.

В нижеследующем анализе мы выводим уравнение движения снаряда, измеренного по инерциальной системе отсчета, покоящейся относительно земли. С рамой связана правая система координат с ее началом в точке пуска снаряда. Ось является касательной к земле, а ось перпендикулярна к нему (параллельно гравитационным силовым линиям). Позвольте быть ускорением свободного падения . Относительно равнинной местности пусть начальная горизонтальная скорость будет равной, а начальная вертикальная скорость будет . Также будет показано, что диапазон равен , а максимальная высота равна . Максимальный диапазон для данной начальной скорости получается, когда${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$, т.е. начальный угол равен 45 . Этот диапазон равен , а максимальная высота при максимальном диапазоне составляет .${\displaystyle ^{\circ }}$${\displaystyle v^{2}/g}$${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

Вывод уравнения движения [ править ]

Предположим, что движение снаряда измеряется из системы свободного падения, которая находится в точке ( x , y ) = (0,0) при  t  = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе координат (по принципу эквивалентности) ) будет . Координаты этой системы свободного падения по отношению к нашей инерциальной системе отсчета будут . То есть .${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

Теперь, переводя обратно в инерциальную систему координат, координаты снаряда становятся такими:${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(где v ₀ - начальная скорость, - угол подъема, а g - ускорение свободного падения).${\displaystyle \theta }$

Диапазон и высота [ править ]

Диапазон , R , является наибольшим расстоянием объекта перемещается вдоль оси х в I секторе. Начальная скорость , v _I , является скорость , при которой производится запуск объекта с точки происхождения сказал. Начальный угол , θ _I , представляет собой угол , при котором упомянутый объект освобождается. Г является соответствующим гравитационным притяжением на объекте в нуле-среде.

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

Высота , ч , самая большая параболическая высота указанного объекта достигает в пределах своей траектории

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

Угол возвышения [ править ]

По углу возвышения и начальной скорости :${\displaystyle \theta }$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

давая диапазон как

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

Это уравнение можно изменить, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$ (Уравнение II: угол запуска снаряда)

Обратите внимание, что синусоидальная функция такова, что существует два решения для данного диапазона . Угол, дающий максимальный диапазон, можно найти, рассматривая производную или относительно и устанавливая ее на ноль.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle d_{h}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

которое имеет нетривиальное решение при , или . Тогда максимальный диапазон . Под таким углом получается максимальная высота .${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту для данной скорости, вычислите производную максимальной высоты по , то есть которая равна нулю, когда . Таким образом, максимальная высота достигается, когда снаряд стреляет прямо вверх.${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

Орбитальные объекты [ править ]

Если вместо однородной гравитационной силы, направленной вниз, мы рассмотрим два тела, вращающихся по орбите с взаимной гравитацией между ними, мы получим законы движения планет Кеплера . Их вывод был одной из главных работ Исаака Ньютона и во многом послужил мотивацией для развития дифференциального исчисления .

Ловля мячей [ править ]

Если снаряд, такой как мяч для бейсбола или крикета, летит по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его при спуске, он видит, что его угол подъема постоянно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла возвышения пропорционален времени, прошедшему с момента, когда мяч был поднят в воздух, обычно в результате удара битой. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета его угол подъема, который видит игрок, продолжает увеличиваться. Таким образом, игрок видит его так, как если бы он поднимался вертикально с постоянной скоростью. Поиск места, из которого кажется, что мяч постоянно поднимается, помогает игроку правильно расположиться, чтобы поймать мяч. Если он находится слишком близко к игроку с битой, который ударил по мячу, будет казаться, что он будет подниматься с ускоренной скоростью.Если он находится слишком далеко от игрока с битой, будет казаться, что он быстро замедлится, а затем начнет снижаться.

Заметки [ править ]

См. Также [ править ]

• Траектория пересечения кормы
• Смещение (геометрия)
• Галилеевская инвариантность
• Орбита (динамика)
• Орбита (теория групп)
• Орбитальная траектория
• Планетарная орбита
• Сюжет свинины
• Движение снаряда
• Дальность снаряда
• Жесткое тело
• Мировая линия

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викибуке по физике старших классов есть страница на тему: Движение снаряда.

• Апплет движения снаряда :)
• Калькулятор траектории
• Интерактивное моделирование движения снаряда
• Projectile Lab, симулятор траектории JavaScript
• Движение параболического снаряда: стрельба дротиком с безвредным транквилизатором в падающую обезьяну Роберто Кастилья-Мелендес, Роксана Рамирес-Эррера и Хосе Луис Гомес-Муньос, The Wolfram Demonstrations Project .
• Траектория , ScienceWorld.
• Моделирование движения снаряда Java с сопротивлением воздуха первого порядка.
• Симуляция движения снаряда Java; нацеленные решения, парабола безопасности.