Гамильтонова механика

Сэр Уильям Роуэн Гамильтон

Часть серии по
Классическая механика
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Гамильтонова механика - это математически сложная формулировка классической механики . Исторически он внес свой вклад в разработку статистической механики и квантовой механики . Гамильтонова механика была впервые сформулирована Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1833 году, начиная с лагранжевой механики , предыдущей переформулировки классической механики, представленной Джозефом Луи Лагранжем в 1788 году. Как и лагранжева механика, гамильтонова механика эквивалентна законам движения Ньютона в рамках классической механики. .

Обзор [ править ]

В гамильтоновой механике, классическая физическая система описывается набором канонических координат г = ( Q , р ) , где каждый компонент координат ц _я , р _я индексируется в системе отсчета системы. Д _я называются обобщенные координаты и выбираются таким образом , чтобы устранить ограничения или воспользоваться симметрии задачи, и р _я в их сопряженные импульсы .

Временная эволюция системы однозначно определяется уравнениями Гамильтона: ^[1]

где - гамильтониан, часто соответствующий полной энергии системы. ^[2] Для замкнутой системы это сумма кинетической и потенциальной энергии в системе.${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$

В механике Ньютона эволюция во времени получается путем вычисления общей силы, действующей на каждую частицу системы, а из второго закона Ньютона вычисляются изменения положения и скорости во времени. Напротив, в гамильтоновой механике временная эволюция получается путем вычисления гамильтониана системы в обобщенных координатах и ​​вставки его в уравнения Гамильтона. Этот подход эквивалентен подходу, используемому в лагранжевой механике . Гамильтониан - это преобразование Лежандра лагранжиана при фиксированных q и t и определении pкак двойственная переменная, и, таким образом, оба подхода дают одни и те же уравнения для одного и того же обобщенного импульса. Основная причина использования гамильтоновой механики вместо лагранжевой механики исходит из симплектической структуры гамильтоновых систем .

Хотя гамильтонову механику можно использовать для описания простых систем, таких как прыгающий мяч , маятник или колеблющаяся пружина, в которых энергия со временем меняется с кинетической на потенциальную и обратно, ее сила проявляется в более сложных динамических системах, таких как планетные орбиты. в небесной механике . ^[3] Чем больше степеней свободы имеет система, тем сложнее ее временная эволюция и, в большинстве случаев, она становится хаотичной .

Основная физическая интерпретация [ править ]

Простая интерпретация гамильтоновой механики происходит от ее применения к одномерной системе, состоящей из одной частицы массы m . Гамильтониан может представлять полную энергию системы, которая представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии , традиционно обозначаемых T и V соответственно. Здесь q - пространственная координата, p - импульс mv . потом

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\quad ,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad ,\quad V=V(q)}$

Т является функцией р в одиночку, в то время как V является функцией д в одиночку (то есть, Т и V являются scleronomic ).

В этом примере производная импульса p по времени равна силе Ньютона , и поэтому первое уравнение Гамильтона означает, что сила равна отрицательному градиенту потенциальной энергии. Производная q по времени - это скорость, и поэтому второе уравнение Гамильтона означает, что скорость частицы равна производной ее кинетической энергии по ее импульсу.

Вычисление гамильтониана из лагранжиана [ править ]

Для лагранжиана в терминах обобщенных координат q ⁱ и обобщенных скоростей и времени,${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

Пример [ править ]

Сферический маятник состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственные силы, действующие на массу, - это реакция сферы и гравитации . Сферические координаты используются для описания положения массы в терминах ( r , θ , φ ), где r фиксировано, r = l .

Лагранжиан этой системы равен ^[4]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

Таким образом, гамильтониан

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

куда

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}{\dot {\theta }}}$

и

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}.}$

В терминах координат и импульсов гамильтониан имеет вид

${\displaystyle H=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$

Уравнения Гамильтона дают временную эволюцию координат и сопряженных импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка:

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$.

Импульс , который соответствует вертикальной составляющей углового момента , является константой движения. Это следствие вращательной симметрии системы относительно вертикальной оси. Азимут, отсутствующий в гамильтониане, является циклической координатой , что означает сохранение его сопряженного импульса.${\displaystyle P_{\phi }}$ ${\displaystyle L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$

Вывод уравнений Гамильтона [ править ]

Уравнения Гамильтона могут быть получены путем смотреть на то, как полный дифференциал от лагранжиана зависит от времени, обобщенные позиции д _я и обобщенные скорости Q _I : ^[5]

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Обобщенные импульсы определялись как

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}}$

Если это подставить в полный дифференциал лагранжиана, получится

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Это можно переписать как

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{\dot {q}}^{i}\right)-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,.}$

что после перестановки приводит к

${\displaystyle \mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Член в левой части - это просто гамильтониан, который был определен ранее, поэтому

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Также возможно вычислить полный дифференциал гамильтониана H по времени напрямую, подобно тому, как это было проделано с лагранжианом L выше, что дает:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Из двух предыдущих независимых уравнений следует, что их правые части равны между собой. Результат

${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Поскольку этот расчет был выполнен вне оболочки ^{[ требуется пояснение ]} , можно связать соответствующие члены с обеих сторон этого уравнения, чтобы получить:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}$

На оболочке уравнения Лагранжа показывают, что

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$

Перестановка этого дает

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}}$

Таким образом, уравнения Гамильтона таковы:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{j}}}=-{\dot {p}}_{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}^{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}$

Уравнения Гамильтона состоят из 2 n дифференциальных уравнений первого порядка , а уравнения Лагранжа состоят из n уравнений второго порядка. Уравнения Гамильтона обычно не уменьшают сложность нахождения явных решений, но они все же предлагают некоторые преимущества: могут быть получены важные теоретические результаты, поскольку координаты и импульсы являются независимыми переменными с почти симметричными ролями.

У уравнений Гамильтона есть еще одно преимущество перед уравнениями Лагранжа: если система имеет симметрию, такую, что координата не входит в гамильтониан, соответствующий импульс сохраняется, и этой координатой можно пренебречь в других уравнениях системы. Это эффективно сокращает проблему с n координат до ( n - 1) координат. В рамках лагранжиана результат о сохранении соответствующего импульса по-прежнему следует немедленно, но все обобщенные скорости по-прежнему присутствуют в лагранжиане. Еще предстоит решить систему уравнений в n координатах. ^[2] Лагранжиан и гамильтониан подходы обеспечивают основу для более глубоких результатов в теории классической механики и для формулировок квантовой механики.

Гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле [ править ]

Достаточной иллюстрацией гамильтоновой механики является гамильтониан заряженной частицы в электромагнитном поле . В декартовых координатах лагранжиан из нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле (в единицах СИ ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

где q - электрический заряд частицы, φ - электрический скалярный потенциал , а A _i - компоненты векторного магнитного потенциала, которые все могут явно зависеть от и .${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$

Этот лагранжиан в сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа дает закон силы Лоренца

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

и называется минимальной связью .

Следует отметить , что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будет меняться в течение калибровочного преобразования , ^[6] , а сам лагранжиан будет подобрать дополнительные термины , как хорошо; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, не изменяют уравнение Эйлера – Лагранжа.

В канонических импульсах задаются следующим образом:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Обратите внимание, что канонические импульсы не являются калибровочно-инвариантными и физически не измеримыми. Однако кинетический импульс :

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

калибровочно инвариантно и физически измеримо.

Следовательно, гамильтониан как преобразование Лежандра лагранжиана:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Это уравнение часто используется в квантовой механике .

Под калибровочным преобразованием :

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

где f ( r , t) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование, например:

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

который по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

В квантовой механике волновая функция также подвергнется локальному преобразованию группы U (1) ^[7] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле [ править ]

Релятивистский лагранжиан для частицы ( масса покоя т и заряд д ) определяется по формуле:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

то есть сумма кинетического и потенциального импульса.

Решая для скорости, мы получаем

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Итак, гамильтониан

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Это приводит к уравнению силы (эквивалентному уравнению Эйлера – Лагранжа )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

из которого можно вывести

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Приведенный выше вывод использует тождество векторного исчисления :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функция релятивистского (кинетического) импульса, Р = Г т х ( т ) = р - д А , является

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс P можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс p нельзя. Обратите внимание, что гамильтониан ( полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистской энергии (кинетическая + покой) , E = γmc ² , плюс потенциальная энергия , V = eφ .

Математические структуры [ править ]

Геометрия гамильтоновых систем [ править ]

Гамильтониан может индуцировать симплектическую структуру на гладком четномерном многообразии M ^{2 n} несколькими различными, но эквивалентными способами, наиболее известными из которых являются следующие: ^[8]

Как замкнутая невырожденная симплектическая 2-форма ω. Согласно теореме Дарбу , в небольшой окрестности любой точки на M в подходящих локальных координатах существует симплектическая форма${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$

Тогда локальные координаты p , q называются каноническими или симплектическими .

Форма позволяет построить естественный изоморфизм в касательном пространстве и кокасательное пространство Это делается путем сопоставления вектора к 1-форме , где для произвольной связи с билинейностью и невырожденностью и тем фактом , что отображение действительно линейный изоморфизм . Этот изоморфизм естественен в том смысле, что он не меняется при изменении координат при повторении для каждого, мы получаем изоморфизм между бесконечномерным пространством гладких векторных полей и пространством гладких 1-форм. Для каждого и ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}M.}$${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}$${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}$${\displaystyle \eta \in T_{x}M.}$${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}$${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle x\in M,}$${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}$

${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$

(В алгебраических терминах можно было бы сказать, что -модули и изоморфны). Если то для каждого фиксированного и называется гамильтоновым векторным полем . Соответствующее дифференциальное уравнение на${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}$${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}$ ${\displaystyle J(dH)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$

называется уравнением Гамильтона . Здесь и - (зависящее от времени) значение векторного поля при${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$${\displaystyle J(dH)}$${\displaystyle x\in M.}$

Гамильтонова система может быть понята как расслоение E во времени R , где слои E _t , t ∈ R , являются пространством позиций. Таким образом, лагранжиан является функцией на расслоении струй J над E ; послойное преобразование Лежандра лагранжиана дает функцию на двойственном расслоении с течением времени, слой в точке t которой является кокасательным пространством T ^∗ E _t , которое имеет естественную симплектическую форму, и эта последняя функция является гамильтонианом. Соответствие между лагранжевой и гамильтоновой механиками достигается с помощью тавтологической одноформы .

Любая гладкая вещественнозначная функция H на симплектическом многообразии может использоваться для определения гамильтоновой системы . Функция H известна как «гамильтониан» или «функция энергии». Тогда симплектическое многообразие называется фазовым пространством . Гамильтониан индуцирует специальное векторное поле на симплектическом многообразии, известное как гамильтоново векторное поле .

Гамильтоново векторное поле индуцирует гамильтонов поток на многообразии. Это однопараметрическое семейство преобразований многообразия (параметр кривых обычно называют «временем»); в Другими словами, изотопии из симплектоморфизмов , начиная с единицы. По теореме Лиувилля каждый симплектоморфизм сохраняет форму объема на фазовом пространстве . Набор симплектоморфизмов, индуцированных гамильтоновым потоком, обычно называют «гамильтоновой механикой» гамильтоновой системы.

Симплектическая структура индуцирует скобку Пуассона . Скобка Пуассона придает пространству функций на многообразии структуру алгебры Ли .

Если F и G - гладкие функции на M, то гладкая функция ω ² ( IdG , IdF ) определена правильно; она называется скобкой Пуассона функций F и G и обозначается { F , G }. Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:

1. билинейность
2. антисимметрия
3. ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$( Правило Лейбница )
4. ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$( Тождество Якоби )
5. невырожденность: если точка x на M не является критической для F, то существует гладкая функция G такая, что .${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$

Для функции f

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$

если существует распределение вероятностей , ρ , то (поскольку пространственная фазовая скорость имеет нулевую дивергенцию и вероятность сохраняется), можно показать, что ее конвективная производная равна нулю, и поэтому${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$

Это называется теоремой Лиувилля . Каждая гладкая функция G над симплектическим многообразием порождает однопараметрическое семейство симплектоморфизмов, и если { G , H } = 0 , то G сохраняется, а симплектоморфизмы являются преобразованиями симметрии .

Гамильтониан может иметь несколько сохраняющихся величин G _i . Если симплектическое многообразие имеет размерность 2 n и существует n функционально независимых сохраняющихся величин G _i, находящихся в инволюции (т. Е. { G _i , G _j } = 0 ), то гамильтониан интегрируем по Лиувиллю . Теорема Лиувилля – Арнольда гласит, что локально любой интегрируемый по Лиувиллю гамильтониан можно преобразовать с помощью симплектоморфизма в новый гамильтониан с сохраняющимися величинами G _{i в} качестве координат; новые координаты называютсякоординаты действие-угол . Преобразованный гамильтониан зависит только от G _i , поэтому уравнения движения имеют простой вид

${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$

для некоторой функции F . ^[9] Существует целая область, посвященная малым отклонениям от интегрируемых систем, регулируемых теоремой КАМ .

Интегрируемость гамильтоновых векторных полей - открытый вопрос. В общем случае гамильтоновы системы хаотичны ; понятия меры, полноты, интегрируемости и устойчивости определены плохо.

Римановы многообразия [ править ]

Важным частным случаем являются те гамильтонианы, которые являются квадратичными формами , то есть гамильтонианы, которые можно записать как

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$

где ⟨,⟩ _q - плавно меняющееся внутреннее произведение на волокнах T^∗
_qQ , котангенсное пространство к точке q в конфигурационном пространстве , иногда называемое кометрикой. Этот гамильтониан полностью состоит из кинетического члена .

Если рассматривать риманово многообразие или псевдориманово многообразие , риманова метрика индуцирует линейный изоморфизм между касательным и кокасательным расслоениями. (См. Музыкальный изоморфизм ). Используя этот изоморфизм, можно определить кометрику. (В координатах матрица, определяющая кометку, является обратной по отношению к матрице, определяющей метрику.) Тогда решения уравнений Гамильтона – Якоби для этого гамильтониана будут такими же, как геодезические на многообразии. В частности, гамильтонов поток в этом случае - это то же самое, что геодезический поток. О существовании таких решений и полноте множества решений подробно рассказывается в статье о геодезических . См. Также Геодезические как гамильтоновы потоки .

Субримановы многообразия [ править ]

Когда комета вырождена, она не обратима. В этом случае у человека нет риманова многообразия, как нет метрики. Однако гамильтониан все еще существует. В случае, когда комета вырождена в каждой точке q многообразия конфигурационного пространства Q , так что ранг кометы меньше размерности многообразия Q , получается субриманово многообразие .

Гамильтониан в этом случае известен как субриманов гамильтониан . Каждый такой гамильтониан однозначно определяет комету, и наоборот. Отсюда следует, что каждое субриманово многообразие однозначно определяется своим субримановым гамильтонианом, и что верно обратное: каждое субриманово многообразие имеет единственный субриманов гамильтониан. Существование субримановых геодезических дается теоремой Чоу – Рашевского .

Непрерывная вещественнозначная группа Гейзенберга представляет собой простой пример субриманова многообразия. Для группы Гейзенберга гамильтониан имеет вид

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}$

p _z не входит в гамильтониан.

Алгебры Пуассона [ править ]

Гамильтоновы системы можно обобщать по-разному. Вместо того , чтобы просто смотреть на алгебру из гладких функций над симплектическим многообразием , гамильтонова механика может быть сформулирована на общих коммутативных унитальных реальные алгебрах Пуассона . Состояние представляет собой непрерывный линейный функционал на алгебре Пуассона (снабжённым подходящей топологии ), что для любого элемента А алгебры, ² сопоставляется неотрицательное вещественное число.

Дальнейшее обобщение дает динамика Намбу .

Обобщение на квантовую механику через скобку Пуассона [ править ]

Приведенные выше уравнения Гамильтона хорошо подходят для классической механики , но не для квантовой механики , поскольку обсуждаемые дифференциальные уравнения предполагают, что можно указать точное положение и импульс частицы одновременно в любой момент времени. Однако уравнения можно далее обобщить, чтобы затем применить к квантовой механике, а также к классической механике, путем деформации алгебры Пуассона над p и q до алгебры скобок Мойала .

В частности, более общая форма уравнения Гамильтона гласит

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

где f - некоторая функция от p и q , а H - гамильтониан. Чтобы узнать правила вычисления скобки Пуассона, не прибегая к дифференциальным уравнениям, см. Алгебру Ли ; скобка Пуассона - это имя скобки Ли в алгебре Пуассона . Эти скобки Пуассона затем могут быть расширены до скобок Мойала, составляющих неэквивалентную алгебру Ли, как было доказано Хильбрандом Дж. Греневольдом , и, таким образом, описывают квантово-механическую диффузию в фазовом пространстве (см. Формулировку фазового пространства и преобразование Вигнера-Вейля). Этот более алгебраический подход не только позволяет в конечном итоге расширить вероятностные распределения в фазовом пространстве до квазивероятностных распределений Вигнера , но и в классической постановке простой скобки Пуассона также предоставляет больше возможностей, помогая анализировать соответствующие сохраняющиеся величины в системе.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ландау Лев Давидович ; Лифшиц, Евгений Михайлович (1976). Механика . Курс теоретической физики . 1 . Сайкс, Дж. Б. (Джон Брэдбери), Белл, Дж. С. (3-е изд.). Оксфорд. ISBN 0-08-021022-8. OCLC  2591126 .
• Abraham, R .; Марсден, Дж. Э. (1978). Основы механики (2-е изд., Перераб., Англ. И сб. Ред.). Ридинг, Массачусетс: Benjamin / Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC  3516353 .
• Арнольд, VI ; Козлов, В.В.; Neĩshtadt, AI (1988). Математические аспекты классической и небесной механики . 3 . Аносов, Д.В. Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC  16404140 .
• Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352 .
• Гольдштейн, Герберт ; Пул, Чарльз П. Младший; Сафко, Джон Л. (2002). Классическая механика (3-е изд.). Сан-Франциско: Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311 .
• Виноградов АМ ; Купершмидт, Б.А. (1977-08-31). «Структура гамильтоновой механики» . Российские математические обзоры . 32 (4): 177–243. DOI : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001642 . ISSN  0036-0279 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с гамильтоновой механикой .

• Бинни, Джеймс Дж. , Классическая механика (конспект лекций) (PDF) , Оксфордский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Тонг, Дэвид , Классическая динамика (Кембриджские лекции) , Кембриджский университет , получено 27 октября 2010 г.
• Гамильтон, Уильям Роуэн , Об общем методе динамики , Тринити-колледж в Дублине