Классическая механика Купмана – фон Неймана.

Начнем со следующих уравнений для математических ожиданий координаты x и импульса p

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \ qquad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ langle -U '( x) \ rangle,}$

ака, законы движения Ньютона, усредненные по ансамблю. С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {x}} | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {p}} | \ Psi ( t) \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Обратите внимание на близкое сходство с теоремами Эренфеста в квантовой механике. Применение правила продукта приводит к

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle d \ Psi / dt | {\ hat {x}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {x}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | {\ hat {p}} / m | \ Psi \ rangle, \\\ langle d \ Psi / dt | {\ hat {p}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {p}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {align}}}$

в которое мы подставляем следствие теоремы Стоуна ${\ Displaystyle я | d \ Psi (t) / dt \ rangle = {\ hat {L}} | \ Psi (t) \ rangle}$ и получить

${\ Displaystyle {\ begin {align} им \ langle \ Psi (t) | [{\ hat {L}}, {\ hat {x}}] | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ i \ langle \ Psi (t) | [{\ hat {L}}, {\ hat {p}}] | \ Psi (t) \ rangle & = - \ langle \ Psi (t) | U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, усреднение можно отбросить и система уравнений коммутатора для неизвестного ${\ displaystyle {\ hat {L}}}$ выводится

${\ displaystyle im [{\ hat {L}}, {\ hat {x}}] = {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {L}}, {\ hat {p}}] = -U '({\ hat {x}}).}$

( коммутатор Eqs для L )

Предположим, что координата и импульс коммутируют ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = 0}$. Это предположение физически означает, что координата и импульс классической частицы могут быть измерены одновременно, что подразумевает отсутствие принципа неопределенности .

Решение ${\ displaystyle {\ hat {L}}}$ не может быть просто формы ${\ displaystyle {\ hat {L}} = L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$ потому что это будет означать сокращение ${\ displaystyle im [L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}), {\ hat {x}}] = 0 = {\ hat {p}}}$ а также ${\ displaystyle i [L ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}), {\ hat {p}}] = 0 = -U '({\ hat {x}})}$. Следовательно, мы должны использовать дополнительные операторы${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {x}}$ а также ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {p}}$ подчиняться

${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}] = [{\ hat {p}}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = я , \ quad [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = [{\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = [{\ hat {p }}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}] = [{\ hat {\ lambda}} _ {x}, {\ hat {\ lambda}} _ {p}] = 0.}$

( Алгебра КВН )

Необходимость использования этих вспомогательных операторов возникает потому, что все классические наблюдаемые коммутируют. Теперь мы ищем${\ displaystyle {\ hat {L}}}$ в виде ${\ displaystyle {\ hat {L}} = L ({\ hat {x}}, {\ hat {\ lambda}} _ {x}, {\ hat {p}}, {\ hat {\ lambda}}) _{п})}$. Используя алгебру KvN , уравнения коммутатора для L можно преобразовать в следующие дифференциальные уравнения

^{[7] [9]}

${\ displaystyle mL '_ {\ lambda _ {x}} (x, \ lambda _ {x}, p, \ lambda _ {p}) = p, \ qquad L' _ {\ lambda _ {p}} ( x, \ lambda _ {x}, p, \ lambda _ {p}) = - U '(x).}$

Отсюда заключаем, что классическая волновая функция КвН ${\ Displaystyle | \ пси (т) \ rangle}$развивается в соответствии с Шредингера , как уравнение движения

${\ displaystyle i {\ frac {d} {dt}} | \ Psi (t) \ rangle = {\ hat {L}} | \ Psi (t) \ rangle, \ qquad {\ hat {L}} = { \ frac {\ hat {p}} {m}} {\ hat {\ lambda}} _ {x} -U '({\ hat {x}}) {\ hat {\ lambda}} _ {p}. }$

( KvN динамическое уравнение )

Покажем явно, что динамическое уравнение KvN эквивалентно классической механике Лиувилля .

С ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ а также ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$коммутируют, у них общие собственные векторы

${\ displaystyle {\ hat {x}} | x, p \ rangle = x | x, p \ rangle, \ quad {\ hat {p}} | x, p \ rangle = p | x, p \ rangle, \ quad A ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}) | x, p \ rangle = A (x, p) | x, p \ rangle,}$

( xp eigenvec )

с разрешением личности ${\ displaystyle 1 = \ int dxdp \, | x, p \ rangle \ langle x, p |.}$Тогда из уравнения ( алгебра KvN ) получаем

${\ Displaystyle \ langle x, p | {\ hat {\ lambda}} _ {x} | \ Psi \ rangle = -i {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ langle x, p | \ Psi \ rangle, \ qquad \ langle x, p | {\ hat {\ lambda}} _ {p} | \ Psi \ rangle = -i {\ frac {\ partial} {\ partial p}} \ langle x, p | \ Psi \ rangle.}$

Проецирование уравнения ( динамическое уравнение KvN ) на${\ displaystyle \ langle x, p |}$, получаем уравнение движения для волновой функции КвН в xp-представлении

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {p} {m}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - U '(x) { \ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle = 0.}$

( Динамическое уравнение KvN в xp )

Количество ${\ Displaystyle \ langle х, \, р | \ пси (т) \ rangle}$ - амплитуда вероятности попадания классической частицы в точку ${\ displaystyle x}$ с импульсом ${\ displaystyle p}$ вовремя ${\ displaystyle t}$. Согласно аксиомам, приведенным выше , плотность вероятности определяется выражением${\ displaystyle \ rho (x, p; t) = \ left | \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ right | ^ {2}}$. Использование идентичности

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ rho (x, p; t) = \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle {\ frac {\ partial} {\ partial t }} \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle + \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \ right) ^ {*}}$

а также ( динамическое уравнение KvN в xp ), мы восстанавливаем классическое уравнение Лиувилля

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {p} {m}} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} - U '(x) { \ frac {\ partial} {\ partial p}} \ right] \ rho (x, p; t) = 0.}$

( Уравнение Лиувилля )

Кроме того, согласно аксиомам операторов и ( xp eigenvec ),

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle A \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | A ({\ hat {x}}, {\ hat {p}}) | \ Psi (t) \ rangle = \ int dxdp \, \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle A (x, p) \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle \\ & = \ int dxdp \, A (x , p) \ langle \ Psi (t) | x, p \ rangle \ langle x, p | \ Psi (t) \ rangle = \ int dxdp \, A (x, p) \ rho (x, p; t) . \ end {выровнено}}}$

Следовательно, правило вычисления средних наблюдаемых ${\ Displaystyle А (х, р)}$в классической статистической механике был восстановлен из операторных аксиом с дополнительным предположением${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = 0}$. В результате фаза классической волновой функции не влияет на наблюдаемые средние. В отличие от квантовой механики, фаза волновой функции KvN физически не имеет значения. Таким образом, в механике KvN установлено отсутствие эксперимента с двумя щелями ^{[6] [10] [11],} а также эффекта Ааронова – Бома ^[12] .

Проецирование динамического уравнения KvN на общий собственный вектор операторов${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ а также ${\ displaystyle {\ hat {\ lambda}} _ {p}}$ (т.е. ${\ displaystyle x \ lambda _ {p}}$-представление), получается классическая механика в двойном конфигурационном пространстве ^[13] , обобщение которой приводит ^{[13] [14] [15] [16] [17]} к формулировке квантовой механики в фазовом пространстве .

Как и при выводе классической механики , мы начнем со следующих уравнений для средних значений координаты x и импульса p

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle, \ qquad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = \ langle -U '( x) \ rangle.}$

С помощью аксиом операторов их можно переписать в виде

${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {x}} | \ Psi (t) \ rangle & = \ langle \ Psi ( t) | {\ hat {p}} | \ Psi (t) \ rangle, \\ {\ frac {d} {dt}} \ langle \ Psi (t) | {\ hat {p}} | \ Psi ( t) \ rangle & = \ langle \ Psi (t) | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi (t) \ rangle. \ end {align}}}$

Это теоремы Эренфеста в квантовой механике. Применение правила продукта приводит к

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ langle d \ Psi / dt | {\ hat {x}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {x}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | {\ hat {p}} / m | \ Psi \ rangle, \\\ langle d \ Psi / dt | {\ hat {p}} | \ Psi \ rangle + \ langle \ Psi | {\ hat {p}} | d \ Psi / dt \ rangle & = \ langle \ Psi | -U '({\ hat {x}}) | \ Psi \ rangle, \ end {align}}}$

в которое мы подставляем следствие теоремы Стоуна

${\ Displaystyle я \ hbar | д \ пси (т) / дт \ рангл = {\ шляпа {Н}} | \ пси (т) \ рангл,}$

где ${\ displaystyle \ hbar}$была введена как нормировочная константа, чтобы сбалансировать размерность. Поскольку эти тождества должны выполняться для любого начального состояния, от усреднения можно отказаться и система уравнений коммутатора для неизвестного квантового генератора движения${\ displaystyle {\ hat {H}}}$ получены

${\ displaystyle im [{\ hat {H}}, {\ hat {x}}] = \ hbar {\ hat {p}}, \ qquad i [{\ hat {H}}, {\ hat {p} }] = - \ hbar U '({\ hat {x}}).}$

В отличие от классической механики , мы предполагаем, что наблюдаемые координаты и импульс подчиняются каноническому коммутационному соотношению ${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = я \ hbar}$. Параметр${\ displaystyle {\ hat {H}} = H ({\ hat {x}}, {\ hat {p}})}$, уравнения коммутатора можно преобразовать в дифференциальные уравнения ^{[7] [9]}

${\ displaystyle mH '_ {p} (x, p) = p, \ qquad H' _ {x} (x, p) = U '(x),}$

решением которой является известный квантовый гамильтониан

${\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + U ({\ hat {x}}).}$

Следовательно, уравнение Шредингера было выведено из теорем Эренфеста, предполагая каноническое коммутационное соотношение между координатой и импульсом. Этот вывод, а также вывод классической механики KvN показывают, что разница между квантовой и классической механикой по существу сводится к значению коммутатора${\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}]}$.