В квантовой механике , то ожидаемое значение является вероятностным ожидаемым значением результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенных по их вероятности, и как таковое не является наиболее вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность появления (например, измерения, которые могут давать только целые значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальная концепция во всех областях квантовой физики .
Оперативное определение [ править ]
Рассмотрим оператора . Среднее значение затем в дираковских обозначениях с более нормированным вектором состояния.
Формализм в квантовой механике [ править ]
В квантовой теории экспериментальная установка описывается измеряемой наблюдаемой и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как .
Математически это самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике это чистое состояние , описываемое нормализованным вектором [a] в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как
(1) .
Если рассматривать динамику , либо вектор, либо оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли изображение Шредингера или изображение Гейзенберга . Однако эволюция математического ожидания не зависит от этого выбора.
Если имеет полный набор собственных векторов с собственными значениями , то (1) может быть выражено как
(2) .
Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения - это возможные результаты эксперимента [b], а их соответствующий коэффициент - вероятность того, что этот результат произойдет; ее часто называют вероятностью перехода .
Особенно простой случай возникает, когда - проекция , и поэтому она имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует эксперименту типа «да-нет». В этом случае математическое ожидание - это вероятность того, что эксперимент приведет к «1», и его можно вычислить как
(3) .
В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр , с собственными значениями и собственными векторами в зависимости от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . [1] В этом случае вектор можно записать как комплексную функцию на спектре (обычно действительной прямой). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае. Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полный базис векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются замыкающему соотношению :
Вышеупомянутое можно использовать для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения (4), вставив тождества в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширив базис позиции:
Если отношение ортонормированности базисных векторов положения сводит двойной интеграл к единственному интегралу. Последняя линия использует модуль комплексной значной функции для замены с , который является общим замещение в квантово-механических интегралов.
Тогда математическое ожидание может быть указано, где x не ограничено, как формула
(4) .
Аналогичная формула верна для оператора импульса в системах с непрерывным спектром.
Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний . Заметное в термодинамике и квантовой оптике , а также смешанные состояния имеют важное значение; они описываются положительным оператором класса следа , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда ожидаемое значение может быть получено как
(5) .
Общая формулировка [ править ]
В общем, квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, которые математически часто считаются C * -алгеброй . Тогда математическое ожидание наблюдаемого выражается следующим образом:
(6) .
Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве и является нормальным функционалом , то есть непрерывна в сверхслабой топологии , то ее можно записать как
с положительным оператором следового класса следа 1. Это дает формулу (5) выше. В случае чистого состояния , является проекцией на единичный вектор . Тогда , что дает формулу (1) выше.
считается самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно записать в спектральном разложении ,
с проекторной мерой . Для математического ожидания в чистом состоянии это означает
- ,
что можно рассматривать как общее обобщение приведенных выше формул (2) и (4).
В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовая механика в строгом смысле) рассматриваемые состояния обычно являются нормальными [ требуется пояснение ] . Однако в других областях квантовой теории также используются ненормальные состояния: они появляются, например. в виде состояний КМС в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред [2] и как заряженных состояний в квантовой теории поля . [3] В этих случаях математическое ожидание определяется только по более общей формуле (6).
Пример в пространстве конфигурации [ править ]
В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство - это пространство функций, суммируемых с квадратом на вещественной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение равно . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей:
дает вероятность найти частицу в бесконечно малом интервале длины около некоторой точки .
В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции посредством
- .
Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет выражаться следующим образом:
- .
Среднее значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не является случаем для всех векторов . Это связано с тем, что оператор позиции не ограничен и должен выбираться из области его определения .
В общем, ожидание любого наблюдаемого можно вычислить, заменив его соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса, один использует оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его математическое ожидание равно
- .
Не все операторы в целом предоставляют измеримые значения. Оператор, имеющий чисто реальное математическое ожидание, называется наблюдаемой, и его значение можно напрямую измерить в эксперименте.
См. Также [ править ]
- Фактор Рэлея
- Принцип неопределенности
- Теорема вириала
Заметки [ править ]
- ^ Эта статья всегдасоответствует норме 1. Для ненормализованных векторовво всех формулахнеобходимо заменитьна.
- ^ Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.
Ссылки [ править ]
- ↑ Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2 . Диу, Бернард, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островски, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0. OCLC 1159410161 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- ^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.
- Перейти ↑ Haag, Rudolf (1996). Локальная квантовая физика . Springer. С. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6.
Дальнейшее чтение [ править ]
Значение математического ожидания, в частности, представленное в разделе « Формализм в квантовой механике », рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.
Для обсуждения концептуальных аспектов см .:
- Ишем, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.