Гильбертово пространство

Состояние колеблющейся струны можно смоделировать как точку в гильбертовом пространстве. Разложение колеблющейся струны на ее колебания в различных обертонах дается проекцией точки на оси координат в пространстве.

Математическое понятие гильбертово пространство , названное в честь Давида Гильберта , обобщающее понятие евклидова пространства . Он расширяет методы векторной алгебры и исчисления с двухмерной евклидовой плоскости и трехмерного пространства до пространств с любым конечным или бесконечным числом измерений . Гильбертово пространство - это векторное пространство, снабженное внутренним произведением , операцией, которая позволяет определять длины и углы. Кроме того, гильбертовы пространства полны , а это значит, что существует достаточно ограничений. в пространстве, чтобы можно было использовать методы исчисления.

Гильбертовые пространства возникают естественным образом и часто в математике и физике , обычно как бесконечномерные функциональные пространства . Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии 20 века Давидом Гильбертом , Эрхардом Шмидтом и Фридьесом Риссом . Они являются незаменимыми инструментами в теориях уравнений в частных производных , квантовой механике , анализе Фурье (который включает приложения для обработки сигналов и теплопередачи) и эргодической теории (которая формирует математическую основутермодинамика ). Джон фон Нейман ввел термин « гильбертово пространство» для обозначения абстрактной концепции, лежащей в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства положил начало очень плодотворной эре функционального анализа . Помимо классических евклидовых пространств, примеры гильбертовых пространств включают в себя пространство квадратично интегрируемых функций , пространство последовательностей , пространства Соболева , состоящие из обобщенных функций и пространство Харди из голоморфных функций .

Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертова пространства. В гильбертовом пространстве справедливы точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма . На более глубоком уровне перпендикулярная проекция на подпространство (аналог « снижения высоты » треугольника) играет важную роль в задачах оптимизации и других аспектах теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан его координатами относительно набора координатных осей ( ортонормированный базис ) по аналогии с декартовыми координатами на плоскости. Когда этот набор осей счетно бесконечен, гильбертово пространство можно также рассматривать в терминах пространства бесконечных последовательностей , суммируемых с квадратом . Последнее пространство часто в старой литературе упоминается как в гильбертовом пространстве. Линейные операторы в гильбертовом пространстве также являются довольно конкретными объектами: в хороших случаях они представляют собой просто преобразования, которые растягивают пространство на различные факторы во взаимно перпендикулярных направлениях в том смысле, который уточняется путем изучения их спектра .

Определение и иллюстрация [ править ]

Мотивирующий пример: евклидово векторное пространство [ править ]

Одним из наиболее известных примеров гильбертова пространства является евклидово векторное пространство, состоящее из трехмерных векторов , обозначенных ℝ ³ и снабженное скалярным произведением . Скалярное произведение берет два вектора x и y и дает действительное число x · y . Если x и y представлены в декартовых координатах , то скалярное произведение определяется как

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} y_ {1} \\ y_ {2} \ \ y_ {3} \ end {pmatrix}} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} \ ,.}$

Скалярное произведение удовлетворяет свойствам:

1. Он симметричен по x и y : x · y = y · x .
2. Он линейен по своему первому аргументу: ( a x ₁ + b x ₂ ) · y = a x ₁ · y + b x ₂ · y для любых скаляров a , b и векторов x ₁ , x ₂ и y .
3. Это положительно определена : для всех векторов х , х · х ≥ 0 , причем равенство тогда и только тогда , когда х = 0 .

Операция с парами векторов, которая, как и скалярное произведение, удовлетворяет этим трем свойствам, называется (реальным) внутренним произведением . Векторное пространство , оборудованное такой внутренний продукт известно как (реальный) внутреннее пространство продукта . Каждое конечномерное внутреннее пространство продукта также является гильбертовым пространством. Основная особенность скалярного произведения, которая связывает его с евклидовой геометрией, состоит в том, что оно связано как с длиной (или нормой ) вектора, обозначенной || х || , а на угол θ между двумя векторами x и y по формуле

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} = \ | \ mathbf {x} \ | \, \ | \ mathbf {y} \ | \, \ cos \ theta \ ,.}$

Многовариантное исчисление в евклидовом пространстве полагается на способность вычислять пределы и наличие полезных критериев для заключения о существовании пределов. Математическая серия

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {х} _ {п}}$

состоящий из векторов из ℝ ³ , абсолютно сходится при условии, что сумма длин сходится как обычный ряд действительных чисел: ^[1]

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} \ | \ mathbf {x} _ {k} \ | <\ infty \ ,.}$

Как и в случае с серией скаляров, серия абсолютно сходящихся векторов также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве в том смысле, что

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {L} - \ sum _ {k = 0} ^ {N} \ mathbf {x} _ {k} \ right \ | \ to \ mathbf {0} \ quad {\ text {as}} N \ to \ infty \ ,.}$

Это свойство выражает полноту евклидова пространства: абсолютно сходящийся ряд также сходится в обычном смысле.

Гильбертовы пространства часто берут на себя комплексные числа . Комплексная плоскость обозначается ℂ оснащена понятием величины, то комплексный модуль | z | который определяется как квадратный корень из произведения z на комплексное сопряжение :

${\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ overline {z}} \ ,.}$

Если z = x + iy представляет собой разложение z на его действительную и мнимую части, то модуль представляет собой обычную евклидову двумерную длину:

${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ ,.}$

Скалярное произведение пары комплексных чисел z и w - это произведение z на комплексно сопряженное число w :

${\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z {\ overline {w}} \ ,.}$

Это комплексно. Действительная часть ⟨ г , ш ⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение .

Второй пример - пространство ℂ ² , элементами которого являются пары комплексных чисел z = ( z ₁ , z ₂ ) . Тогда скалярное произведение z на другой такой вектор w = ( w ₁ , w ₂ ) задается формулой

${\ displaystyle \ langle z, w \ rangle = z_ {1} {\ overline {w_ {1}}} + z_ {2} {\ overline {w_ {2}}} \ ,.}$

Действительная часть ⟨ г , ш ⟩ тогда двумерное евклидово скалярное произведение. Это внутреннее произведение эрмитово симметрично, что означает, что результатом перестановки z и w будет комплексное сопряжение:

${\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = {\ overline {\ langle z, w \ rangle}} \ ,.}$

Определение [ править ]

Гильбертово пространство Н является реальным или сложным внутренним пространством продукта , который также является полным метрическим пространство относительно функции расстояния , индуцированной скалярным произведением. ^[2]

Для того, чтобы сказать , что Н представляет собой сложный внутренний продукт пространство означает , что Н представляет собой комплексное векторное пространство , на котором есть скалярное произведение ⟨ х , у ⟩ связывая комплексное число к каждой паре элементов х , у из Н , которая удовлетворяет следующим свойствам:

1. Внутренний продукт сопряженно-симметричный; то есть внутренний продукт пары элементов равен комплексному сопряжению внутреннего продукта замененных элементов:

   ${\ displaystyle \ langle y, x \ rangle = {\ overline {\ langle x, y \ rangle}} \ ,.}$

2. Внутренний продукт линейен по своему первому аргументу ^{[nb 1]} . Для всех комплексных чисел и Ь ,

   ${\ displaystyle \ langle ax_ {1} + bx_ {2}, y \ rangle = a \ langle x_ {1}, y \ rangle + b \ langle x_ {2}, y \ rangle \ ,.}$

3. Внутренний продукт элемента с самим собой положительно определен :

   ${\ displaystyle {\ begin {cases} \ langle x, x \ rangle> 0 & x \ neq 0 \\\ langle x, x \ rangle = 0 & x = 0 \,. \ end {cases}}}$

Из свойств 1 и 2 следует, что комплексное внутреннее произведение антилинейно , также называемое сопряженно-линейным , во втором аргументе, что означает, что

${\ displaystyle \ langle x, ay_ {1} + by_ {2} \ rangle = {\ bar {a}} \ langle x, y_ {1} \ rangle + {\ bar {b}} \ langle x, y_ { 2} \ rangle \ ,.}$

Реальное внутреннее пространство продукта определяется таким же образом, за исключением того, что Н является реальным векторным пространством и скалярное произведение принимает действительные значения. Такое внутреннее произведение будет билинейным отображением, а ( H , H , ⟨⋅, ⋅⟩) образует двойственную систему . ^[3]

Нормой является функцией вещественной

${\ Displaystyle \ | х \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}} \ ,,}$

а расстояние d между двумя точками x , y в H определяется в терминах нормы как

${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ | = {\ sqrt {\ langle xy, xy \ rangle}} \ ,.}$

То, что эта функция является функцией расстояния, означает, во-первых, что она симметрична по x и y , во-вторых, что расстояние между x и самим собой равно нулю, а в противном случае расстояние между x и y должно быть положительным, и, наконец, что выполняется неравенство треугольника , что означает что длина одного катета треугольника xyz не может превышать сумму длин двух других катетов:

${\ Displaystyle d (х, z) \ Leq d (х, y) + d (y, z) \ ,.}$

Последнее свойство в конечном итоге является следствием более фундаментального неравенства Коши – Шварца , которое утверждает

${\ Displaystyle {\ bigl |} \ langle x, y \ rangle {\ bigr |} \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$

равенство тогда и только тогда , когда х и у являются линейно зависимыми .

С функцией расстояния, определенной таким образом, любое внутреннее пространство продукта является метрическим пространством и иногда известно как предгильбертово пространство Хаусдорфа . ^[4] Любое предгильбертово пространство, которое к тому же является полным пространством, является гильбертовым пространством.

Полнота из H выражается с помощью формы критерия Кошей для последовательностей в Н : предгильбертовое пространство Н является полным , если каждые Коши последовательность сходится относительно этой нормы к элементу в пространстве. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если серия векторов

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} и_ {к}}$

абсолютно сходится в том смысле, что

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 0} ^ {\ infty} \ | u_ {k} \ | <\ infty \ ,,}$

то ряд сходится в H , в том смысле , что частичные суммы сходятся к элементу Н .

Как полное нормированное пространство, гильбертовы пространства по определению также являются банаховыми пространствами . Как таковые, они являются топологическими векторными пространствами , в которых хорошо определены топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств. Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства в гильбертовом пространстве, которое со скалярным произведением, индуцированным ограничением, также является полным (будучи замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, является гильбертовым пространством само по себе.

Второй пример: пробелы в последовательности [ править ]

Пространство последовательностей l ² состоит из всех бесконечных последовательностей z = ( z ₁ , z ₂ ,…) комплексных чисел таких, что ряд

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} | z_ {п} | ^ {2}}$

сходится . Внутренний продукт на l ² определяется как

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {z}, \ mathbf {w} \ rangle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} z_ {n} {\ overline {w_ {n}}} \ ,,}$

причем последний ряд сходится вследствие неравенства Коши – Шварца .

Полнота пространства сохраняется при условии, что всякий раз, когда серия элементов из l ² сходится абсолютно (по норме), то она сходится к элементу из l ² . Доказательство является основным в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими сериями элементов пространства с такой же легкостью, как сериями комплексных чисел (или векторов в конечномерном евклидовом пространстве). ^[5]

История [ править ]

До развития гильбертовых пространств математикам и физикам были известны другие обобщения евклидовых пространств . В частности, идея абстрактного линейного пространства (векторного пространства) получила некоторую поддержку к концу 19-го века: ^[6] это пространство, элементы которого можно складывать вместе и умножать на скаляры (такие как действительные или комплексные числа) ) без обязательного отождествления этих элементов с «геометрическими» векторами , такими как векторы положения и импульса в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже ХХ века, в частности пространства последовательностей (в том числе рядов) и пространства функций, ^[7] естественно рассматривать как линейные пространства. Функции, например, можно складывать или умножать с помощью постоянных скаляров, и эти операции подчиняются алгебраическим законам, которым удовлетворяют сложение и скалярное умножение пространственных векторов.

В первом десятилетии 20-го века параллельные разработки привели к введению гильбертовых пространств. Первое из них было наблюдение, которое возникло во время Давида Гильберта и Erhard Schmidt «s исследование интегральных уравнений , ^[8] , что два квадратных интегрируемых вещественных функций е и г на отрезке [ , Ь ] есть внутренний продукт

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, \ mathrm {d} x}$

который обладает многими знакомыми свойствами евклидова скалярного произведения. В частности, имеет смысл идея ортогонального семейства функций. Шмидт использовал сходство этого внутреннего произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида

${\ Displaystyle е (х) \ mapsto \ int _ {a} ^ {b} K (x, y) f (y) \, \ mathrm {d} y}$

где K - непрерывная функция, симметричная по x и y . Полученное разложение по собственным функциям выражает функцию K в виде ряда вида

${\ Displaystyle К (х, у) = \ сумма _ {п} \ лямбда _ {п} \ varphi _ {п} (х) \ varphi _ {п} (у)}$

где функции ф _п ортогональны в том смысле , что ⟨ φ _п φ _т ⟩ = 0 для всех п ≠ м . Отдельные термины в этой серии иногда называют элементарными решениями продукта. Однако есть разложения по собственным функциям, которые не могут сходиться в подходящем смысле к интегрируемой с квадратом функции: недостающий ингредиент, обеспечивающий сходимость, - это полнота. ^[9]

Вторым развитием стал интеграл Лебега , альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году. ^[10] Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Frigyes Рисса и Эрнст Фишер Сигизмунд независимо доказали , что пространство L ² квадратных Лебегу функций , интегрируемых является полным метрическим пространством . ^[11] Как следствие взаимодействия между геометрией и полнотой, результаты 19 века Жозефа Фурье , Фридриха Бесселя и Марка-Антуана Парсеваляо тригонометрических рядах легко переносится на эти более общие пространства, что приводит к геометрическому и аналитическому аппарату, теперь обычно известному как теорема Рисса – Фишера . ^[12]

Дальнейшие основные результаты были подтверждены в начале 20 века. Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена Морисом Фреше и Фридьесом Риссом в 1907 году. ^[13] Джон фон Нейман ввел термин абстрактное гильбертово пространство в своей работе по неограниченным эрмитовым операторам . ^[14] Хотя другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже очень подробно изучили отдельные гильбертовы пространства, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое полное и аксиоматическое их рассмотрение. ^[15]Позднее фон Нейман использовал их в своей основополагающей работе по основам квантовой механики ^[16] и в своей продолжающейся работе с Юджином Вигнером . Название «гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге по квантовой механике и теории групп. ^[17]

Значение концепции гильбертова пространства было подчеркнуто осознанием того, что оно предлагает одну из лучших математических формулировок квантовой механики . ^[18] Короче говоря, состояния квантово-механической системы - это векторы в определенном гильбертовом пространстве, наблюдаемые - это эрмитовы операторы в этом пространстве, симметрии системы - унитарные операторы , а измерения - ортогональные проекции . Связь между квантово-механическими симметриями и унитарными операторами послужила толчком для развития унитарной теории представлений групп., инициированный в 1928 году работой Германа Вейля. ^[17] С другой стороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическая механика может быть описана в терминах гильбертова пространства ( классическая механика Купмана – фон Неймана ) и что некоторые свойства классических динамических систем могут быть проанализированы с использованием техники гильбертова пространства в рамки эргодической теории . ^[19]

Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно , алгебра операторов , определенных в гильбертовом пространстве, согласно Werner Гейзенберг «s матричной механике формулировке квантовой теории. Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Алгебры, изучаемые фон Нейманом и его современниками, теперь известны как алгебры фон Неймана . В 1940-х годах Израиль Гельфанд , Марк Наймарк и Ирвинг Сигал дали определение разновидности операторных алгебр, называемых C * -алгебрами.это, с одной стороны, не ссылалось на лежащее в основе гильбертово пространство, а с другой - экстраполировало многие полезные свойства операторных алгебр, которые ранее были изучены. В частности, спектральная теорема для самосопряженных операторов, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертова пространства, была обобщена на C * -алгебры. Эти методы сейчас являются основными в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.

Примеры [ править ]

Пространства Лебега [ править ]

Лебеговы пространств являются функциональными пространствами , связанными с измерением пространства ( X , M , мю ) , где Х представляет собой набор, М представляет собой σ-алгебра подмножеств X , а μ является счетно - аддитивной мерой на М . Пусть L ² ( X , μ ) - пространство тех комплекснозначных измеримых функций на X, для которых интеграл Лебега квадрата модуляфункции конечна, то есть, для функции F в L ² ( X , μ ) ,

${\ Displaystyle \ int _ {X} | е | ^ {2} \ mathrm {d} \ mu <\ infty \ ,,}$

и где функции идентифицируются тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры .

Скалярное произведение функций F и г в L ² ( X , μ ) затем определяется как

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {X} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} \ mu (t) \}$ или же ${\ Displaystyle \ \ int _ {X} {\ overline {f (t)}} g (t) \, \ mathrm {d} \ mu (t) \ ,,}$

где вторая форма (сопряжение первого элемента) обычно встречается в литературе по теоретической физике. Для F и г в L ² , то интеграл существует в силу неравенства Коши-Шварца, и определяет скалярное произведение на пространстве. Оснащенный этим внутренним продуктом, L ² фактически завершен. ^[20] Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях вещественных чисел, интегрируемых по Риману недостаточное количество функций . ^[21]

Пространства Лебега проявляются во многих естественных условиях. Пространства L ² ( ℝ ) и L ² ([0,1]) квадратично интегрируемых функций по отношению к мере Лебега на прямой и единичного интервала, соответственно, являются естественными домены , на которых можно определить преобразование Фурье и Фурье серии. В других ситуациях мерой может быть нечто иное, чем обычная мера Лебега на действительной прямой. Например, если w - любая положительно измеримая функция, пространство всех измеримых функций f на интервале [0, 1], удовлетворяющих

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ bigl |} f (t) {\ bigr |} ^ {2} w (t) \, \ mathrm {d} t <\ infty}$

называется взвешенная L 2 Пространство L²
_нед([0, 1]) , а w называется весовой функцией. Внутренний продукт определяется

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} f (t) {\ overline {g (t)}} w (t) \, \ mathrm {d} t \ ,. }$

Весовое пространство L²
_нед([0, 1]) совпадает с гильбертовым пространством L ² ([0, 1], μ ), где мера μ измеримого по Лебегу множества A определяется формулой

${\ Displaystyle \ му (A) = \ int _ {A} w (t) \, \ mathrm {d} t \ ,.}$

Взвешенная L ² пространства , как это часто используется для изучения ортогональных полиномов, так как различные семейства ортогональных многочленов , ортогональных относительно различных весовых функций.

Соболевские просторы [ править ]

Пространства Соболева , обозначаемые H ^s или W ^{s , 2} , являются гильбертовыми пространствами. Это особый вид функционального пространства, в котором может выполняться дифференцирование , но которое (в отличие от других банаховых пространств, таких как пространства Гёльдера ) поддерживает структуру внутреннего продукта. Поскольку дифференцирование разрешено, пространства Соболева удобны для теории уравнений в частных производных . ^[22] Они также составляют основу теории прямых методов вариационного исчисления . ^[23]

Для целого неотрицательного s и Ω ⊂ ℝ ⁿ пространство Соболева H ^s ( Ω ) содержит L ² функций, слабые производные которых порядка до s также являются L ² . Скалярное произведение в H ^s ( Ω ) равно

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} f (x) {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x + \ int _ {\ Omega} Df (x ) \ cdot D {\ bar {g}} (x) \, \ mathrm {d} x + \ cdots + \ int _ {\ Omega} D ^ {s} f (x) \ cdot D ^ {s} {\ бар {g}} (x) \, \ mathrm {d} x}$

где точка указывает скалярное произведение в евклидовом пространстве частных производных каждого порядка. Пространства Соболева также могут быть определены, когда s не является целым числом.

Пространства Соболева изучаются также с точки зрения спектральной теории, более конкретно опираясь на структуру гильбертова пространства. Если Ω - подходящая область, то можно определить пространство Соболева H ^s ( Ω ) как пространство бесселевых потенциалов ; ^[24] примерно,

${\ Displaystyle H ^ {s} (\ Omega) = \ left. \ left \ {(1- \ Delta) ^ {- {\ frac {s} {2}}} f \, \ right | \, f \ в L ^ {2} (\ Omega) \ right \} \ ,.}$

Здесь Δ - лапласиан, а (1 - Δ) ^-s/2понимается в терминах теоремы о спектральном отображении . Помимо обеспечения работоспособного определения пространств Соболева для нецелых s , это определение также имеет особенно желательные свойства при преобразовании Фурье, которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов . Используя эти методы на компактном римановом многообразии , можно получить, например, разложение Ходжа , которое является основой теории Ходжа . ^[25]

Пространства голоморфных функций [ править ]

Hardy Space [ править ]

Пространства Харди - это функциональные пространства, возникающие в комплексном анализе и гармоническом анализе , элементы которого являются некоторыми голоморфными функциями в комплексной области. ^[26] Пусть U обозначает единичный круг в комплексной плоскости. Тогда пространство Харди H ² ( U ) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средние

${\ displaystyle M_ {r} (f) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ theta}$

остаются ограниченными при r <1 . Норма на этом пространстве Харди определяется формулой

${\ displaystyle \ left \ | f \ right \ | _ {2} = \ lim _ {r \ to 1} {\ sqrt {M_ {r} (f)}} \ ,.}$

Пространства Харди в круге связаны с рядами Фурье. Функция f принадлежит H ² ( U ) тогда и только тогда, когда

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} а_ {п} г ^ {п}}$

куда

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} <\ infty \ ,.}$

Таким образом, H ² ( U ) состоит из тех функций, которые являются L ² на окружности, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье которых равны нулю.

Пространства Бергмана [ править ]

Пространства Бергмана - еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. ^[27] Пусть D - ограниченное открытое множество на комплексной плоскости (или в многомерном комплексном пространстве), и пусть L ^{2, h} ( D ) - пространство голоморфных функций f в D , которые также находятся в L ² ( D ). в том смысле, что

${\ Displaystyle \ | е \ | ^ {2} = \ int _ {D} | е (г) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ му (г) <\ infty \ ,,}$

где интеграл берется по мере Лебега в D . Ясно, что L ^{2, h} ( D ) является подпространством в L ² ( D ) ; на самом деле, это замкнутое подпространство, а значит, и гильбертово пространство само по себе. Это следствие оценки, справедливой на компактных подмножествах K в D , что

${\ Displaystyle \ sup _ {г \ в К} \ влево | е (г) \ вправо | \ Leq C_ {K} \ влево \ | е \ вправо \ | _ {2} \ ,,}$

что, в свою очередь, следует из интегральной формулы Коши . Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ² ( D ) влечет также компактную сходимость , и поэтому предельная функция также голоморфна. Другое следствие этого неравенства состоит в том, что линейный функционал, вычисляющий функцию f в точке D , фактически непрерывен на L2 ^{, h} ( D ) . Теорема Рисса о представлении подразумевает, что оценочный функционал может быть представлен как элемент L ^{2, h} ( D ) . Таким образом, для каждогоz ∈ D существует функция η _z ∈ L ^{2, h} ( D ) такая, что

${\ Displaystyle е (Z) = \ int _ {D} е (\ zeta) {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}} \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta)}$

для всех f ∈ L ^{2, h} ( D ) . Подынтегральное выражение

${\ Displaystyle К (\ zeta, z) = {\ overline {\ eta _ {z} (\ zeta)}}}$

известна как Бергман ядра из D . Это интегральное ядро обладает воспроизводящим свойством

${\ Displaystyle е (z) = \ int _ {D} е (\ zeta) K (\ zeta, z) \, \ mathrm {d} \ mu (\ zeta) \ ,.}$

Пространство Бергмана является примером гильбертова пространства с воспроизводящим ядром , которое представляет собой гильбертово пространство функций вместе с ядром K ( ζ , z ), которое проверяет воспроизводящее свойство, аналогичное этому. Пространство Харди H ² ( D ) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро Сеге . ^[28] Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе ядро Пуассона является воспроизводящим ядром для гильбертова пространства квадратично интегрируемых гармонических функций в единичном шаре. То, что последнее вообще является гильбертовым пространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.

Приложения [ править ]

Многие приложения гильбертовых пространств используют тот факт, что гильбертовы пространства поддерживают обобщения простых геометрических понятий, таких как проекция и изменение базиса из их обычных конечномерных условий . В частности, спектральная теория о непрерывном самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве обобщает обычное спектральное разложение в виде матрицы , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики.

Теория Штурма – Лиувилля [ править ]

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений спектральные методы на подходящем гильбертовом пространстве используются для изучения поведения собственных значений и собственных функций дифференциальных уравнений. Например, проблема Штурма – Лиувилля возникает при изучении гармоник волн в скрипичной струне или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях . ^[29] Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида

${\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [p (x) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} \ right] + q (x) y = \ lambda w (x) y}$

для неизвестной функции y на интервале [ a , b ] , удовлетворяющей общим однородным граничным условиям Робена

${\ Displaystyle {\ begin {case} \ альфа y (a) + \ alpha 'y' (a) & = 0 \\\ beta y (b) + \ beta 'y' (b) & = 0 \ ,. \ end {case}}}$

Функции p , q и w задаются заранее, и задача состоит в том, чтобы найти функцию y и константы λ, для которых уравнение имеет решение. Задача имеет решения только для определенных значений λ , называемых собственными значениями системы, и это является следствием спектральной теоремы для компактных операторов, примененной к интегральному оператору, определяемому функцией Грина для системы. Кроме того, другим следствием этого общего результата является то, что собственные значения λ системы могут быть расположены в возрастающей последовательности, стремящейся к бесконечности. ^{[nb 2]}

Уравнения с частными производными [ править ]

Гильбертовы пространства образуют основной инструмент при изучении дифференциальных уравнений в частных производных . ^[22] Для многих классов дифференциальных уравнений в частных производных, таких как линейные эллиптические уравнения , можно рассматривать обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева , который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводит к геометрической проблеме аналитическую задачу поиска решения или, что более важно, демонстрации того, что решение существует и уникально для данных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, обеспечивающим однозначную разрешимость большого класса задач, являетсяТеорема Лакса – Милграма . Эта стратегия составляет рудимент метода Галеркина ( метода конечных элементов ) для численного решения уравнений в частных производных. ^[30]

Типичным примером является уравнение Пуассона −Δ u = g с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Ω на ℝ ² . Слабая формулировка состоит в нахождении такой функции u , что для всех непрерывно дифференцируемых функций v из Ω, обращающихся в нуль на границе:

${\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla и \ cdot \ nabla v = \ int _ {\ Omega} gv \ ,.}$

Это можно преобразовать в терминах гильбертова пространства H¹
₀( Ω ), состоящий из таких функций u , что u вместе со своими слабыми частными производными интегрируемы с квадратом на Ω и обращаются в нуль на границе. Тогда вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве так, чтобы для всех v в этом пространстве

${\ Displaystyle а (и, v) = Ь (v)}$

где a - непрерывная билинейная форма , а b - непрерывный линейный функционал , задаваемый соответственно формулой

${\ displaystyle a (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla v, \ quad b (v) = \ int _ {\ Omega} gv \ ,.}$

Поскольку уравнение Пуассона эллиптическое , из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a является коэрцитивной . Тогда теорема Лакса – Милграма гарантирует существование и единственность решений этого уравнения.

Гильбертовы пространства позволяют аналогичным образом формулировать многие эллиптические уравнения в частных производных, и теорема Лакса – Мильграма становится основным инструментом их анализа. С соответствующими изменениями аналогичные методы могут быть применены к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных .

Эргодическая теория [ править ]

Область эргодической теории - изучение долговременного поведения хаотических динамических систем . Типичным случаем поля, к которому применяется эргодическая теория, является термодинамика , в которой - хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять ансамбль индивидуальных столкновений между частицами материи) - среднее поведение за достаточно долгое время временные интервалы послушны. В законах термодинамики являются утверждениями о таком среднем поведении. В частности, одна формулировка нулевого закона термодинамикиутверждает, что в достаточно длительных временных масштабах единственным функционально независимым измерением термодинамической системы в равновесии, которое можно сделать, является ее полная энергия в форме температуры .

Эргодическая динамическая система - это система, для которой, кроме энергии, измеряемой гамильтонианом , нет других функционально независимых сохраняющихся величин на фазовом пространстве . Более явно, предположим, что энергия E фиксирована, и пусть Ω _E будет подмножеством фазового пространства, состоящим из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T _t обозначает оператор эволюции на фазовом пространстве. Динамическая система является эргодической, если на Ω _E нет непрерывных непостоянных функций таких, что

${\ Displaystyle е (Т_ {т} ш) = е (ш)}$

для всех w на Ω _E и за все время t . Из теоремы Лиувилля следует, что существует мера μ на поверхности энергии, инвариантная относительно сдвига времени . В результате перевод времени является унитарным преобразованием гильбертова пространства L ² ( Ω _E , μ ), состоящего из квадратично интегрируемых функций на энергетической поверхности Ω _E относительно скалярного произведения

${\ displaystyle \ left \ langle f, g \ right \ rangle _ {L ^ {2} \ left (\ Omega _ {E}, \ mu \ right)} = \ int _ {E} f {\ bar {g }} \, \ mathrm {d} \ mu \ ,.}$

Эргодическая теорема фон Неймана о среднем ^[19] утверждает следующее:

• Если U _t - (сильно непрерывная) однопараметрическая полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве H , а P - ортогональная проекция на пространство общих неподвижных точек U _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t  > 0} , тогда

  ${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$

Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит только из постоянных функций, поэтому из эргодической теоремы следует следующее: ^[31] для любой функции f ∈ L ² ( Ω _E , μ ) ,

${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$

То есть долгое среднее значение наблюдаемого f равно его математическому ожиданию по поверхности энергии.

Анализ Фурье [ править ]

Одна из основных целей анализа Фурье - разложить функцию на (возможно, бесконечную) линейную комбинацию заданных базисных функций: связанный ряд Фурье . Классический ряд Фурье, связанный с функцией f, определенной на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$

куда

${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$

Пример сложения первых нескольких членов ряда Фурье для пилообразной функции показан на рисунке. Базисные функции - это синусоидальные волны с длинами волнλ/п(для целого n ) короче, чем длина волны λ самой пилообразной формы (за исключением n = 1 , основной волны). Все базовые функции имеют узлы в узлах пилообразной формы, но все, кроме основных, имеют дополнительные узлы. Колебание суммированных членов около пилообразной формы называется явлением Гиббса .

Существенная проблема классических рядов Фурье состоит в том, в каком смысле ряд Фурье сходится, если вообще сходится, к функции f . Один из возможных ответов на этот вопрос дают методы гильбертова пространства. ^[32] Функции e _n ( θ ) = e ^{2π inθ} образуют ортогональный базис гильбертова пространства L ² ([0, 1]) . Следовательно, любую интегрируемую с квадратом функцию можно представить в виде ряда

${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$

и, кроме того, этот ряд сходится в пространстве Гильберта смысла (то есть, в L 2 средних ).

Проблема также может быть изучена с абстрактной точки зрения: каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис , и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным образом как сумма кратных этих базисных элементов. Коэффициенты, возникающие на этих базисных элементах, иногда абстрактно называют коэффициентами Фурье элемента пространства. ^[33] Абстракция особенно полезна, когда более естественно использовать различные базисные функции для пространства, такого как L ² ([0, 1]) . Во многих случаях желательно , чтобы не разлагать функции в тригонометрические функции, а в ортогональные полиномы или вейвлет , например, ^[34]а в высших измерениях - в сферические гармоники . ^[35]

Например, если e _n - любые ортонормированные базисные функции L ² [0, 1] , то данная функция в L ² [0, 1] может быть аппроксимирована конечной линейной комбинацией ^[36]

${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$

Коэффициенты { a _j } выбираются так, чтобы величина разницы || f - f _n || ² как можно меньше. С геометрической точки зрения наилучшее приближение - это ортогональная проекция f на подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций { e _j } , и может быть вычислено с помощью ^[37]

${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$

Эта формула минимизирует разницу || f - f _n || ² является следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля .

В различных приложениях к физическим проблемам, функция может быть разложена на физически значимые собственные функции одного дифференциального оператора ( как правило, оператор Лапласа ): Это формирует основу для спектрального исследования функций, в ссылке на спектр дифференциального оператора. ^[38] Конкретное физическое приложение включает в себя проблему слышания формы барабана : учитывая основные виды вибрации, которые способна производить пластина, можно ли сделать вывод о форме самого барабана? ^[39] Математическая формулировка этого вопроса включает собственные значения Дирихле.уравнения Лапласа на плоскости, которые представляют основные моды колебаний в прямой аналогии с целыми числами, которые представляют основные моды колебаний струны скрипки.

Спектральная теория также лежит в основе некоторых аспектов преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, определенную на компакте, в дискретный спектр лапласиана (который соответствует колебаниям струны скрипки или барабана), преобразование Фурье функции представляет собой разложение функции, определенной на всем евклидовом пространстве. на его компоненты в непрерывном спектре лапласиана. Преобразование Фурье также является геометрическим, в некотором смысле, уточненном теоремой Планшереля , которая утверждает, что это изометрияодного гильбертова пространства («временная область») с другим («частотная область»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном гармоническом анализе , о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций, встречающаяся в некоммутативном гармоническом анализе .

Квантовая механика [ править ]

В математически строгой формулировке квантовой механики , разработанной Джоном фон Нейман , ^[40] возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово - механической система представлены единичные векторы (называемые векторы состояния ) , проживающих в комплексном сепарабельном Гильберта пространство, известное как пространство состояний , хорошо определенное до комплексного числа нормы 1 ( фазовый фактор ). Другими словами, возможные состояния - это точки проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством.. Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одиночной нерелятивистской частицы с нулевым спином представляют собой пространство всех интегрируемых с квадратом функций, в то время как состояния для спина одиночного протона являются единичными элементами двумерного комплексного гильбертова пространства спиноров. . Каждая наблюдаемая представлена самосопряженным линейным оператором, действующим в пространстве состояний. Каждое собственное состояние наблюдаемого соответствует собственному вектору оператора, а соответствующее собственное значение соответствует значению наблюдаемого в этом собственном состоянии.

Внутренний продукт между двумя векторами состояния - это комплексное число, известное как амплитуда вероятности . Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность того, что система коллапсирует из заданного начального состояния в конкретное собственное состояние, дается квадратом абсолютного значения амплитуд вероятности между начальным и конечным состояниями. Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, поскольку все собственные значения должны быть действительными. Распределение вероятностей наблюдаемого в данном состоянии можно найти, вычислив спектральное разложение соответствующего оператора.

Для общей системы состояния обычно не являются чистыми, а вместо этого представлены как статистические смеси чистых состояний или смешанных состояний, заданных матрицами плотности : самосопряженными операторами следа один в гильбертовом пространстве. Более того, для общих квантово-механических систем эффекты одного измерения могут влиять на другие части системы способом, который вместо этого описывается положительной операторной мерой . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация для чистых состояний.

Восприятие цвета [ править ]

Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов . Поскольку физические цвета могут состоять из любого количества спектральных цветов, пространство физических цветов может быть точно представлено гильбертовым пространством над спектральными цветами. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, поэтому воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейное отображение `` многие к одному '' из гильбертова пространства физических цветов в евклидово пространство воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему многие различные физические цвета могут восприниматься людьми как идентичные (например, чистый желтый свет по сравнению с сочетанием красного и зеленого свет, см. метамеризм ).

Свойства [ править ]

Пифагорейская идентичность [ править ]

Два вектора ¯u и V в гильбертовом пространстве H ортогональны , когда ⟨ U , V ⟩ = 0 . Обозначение для этого - u ⊥ v . В более общем плане , когда S является подмножеством в H , обозначение U ⊥ S означает , что у ортогонален каждый элемент из S .

Когда u и v ортогональны, мы имеем

${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$

Индукцией по n это распространяется на любое семейство u ₁ ,…, u _n из n ортогональных векторов,

${\displaystyle \|u_{1}+\cdots +u_{n}\|^{2}=\|u_{1}\|^{2}+\cdots +\|u_{n}\|^{2}\,.}$

В то время как заявленная пифагорейская идентичность действительна в любом внутреннем пространстве продукта, полнота требуется для расширения пифагорейской идентичности на ряды. А серия Е U _K из ортогональных векторов сходится в H тогда и только тогда , когда ряды квадратов норм сходится, и

${\displaystyle \left\|\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$

Кроме того, сумма ряда ортогональных векторов не зависит от порядка, в котором она берется.

Идентичность и поляризация параллелограмма [ править ]

По определению каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством . Кроме того, в каждом гильбертовом пространстве выполняется следующее тождество параллелограмма :

${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2\left(\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\right)\,.}$

И наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой поляризационным тождеством . ^[41] Для вещественных гильбертовых пространств поляризационное тождество имеет вид

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}\right)\,.}$

Для комплексных гильбертовых пространств это

${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}\right)\,.}$

Из закона параллелограмма следует, что любое гильбертово пространство является равномерно выпуклым банаховым пространством . ^[42]

Наилучшее приближение [ править ]

В этом пункте используется проекционная теорема Гильберта . Если C - непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H, а x - точка в H , существует единственная точка y ∈ C, которая минимизирует расстояние между x и точками в C , ^[43]

${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min\{\|x-z\|:z\in C\}\,.}$

Это равносильно утверждению, что в сдвинутом выпуклом множестве D = C - x существует точка с минимальной нормой . Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждая минимизирующая последовательность ( d _n ) ⊂ D является коши (используя тождество параллелограмма), следовательно, сходится (используя полноту) к точке в D , имеющей минимальную норму. Вообще говоря, это верно в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве. ^[44]

Когда этот результат применяется к замкнутому подпространству F в H , можно показать, что точка y ∈ F, ближайшая к x , характеризуется ^[45]

${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$

Эта точка у является ортогональной проекция из й на F , а отображение Р _Р  : х → у является линейным (см ортогональных дополнений и проекции ). Этот результат особенно важен в прикладной математике , особенно в численном анализе , где он лежит в основе методов наименьших квадратов . ^[46]

В частности, когда F не равно H , можно найти ненулевой вектор v, ортогональный F (выберите x ∉ F и v = x - y ). Весьма полезный критерий получается путем применения этого наблюдения в замкнутое подпространство F , порожденного подмножества S из H .

Подмножество S из H охватывает плотное векторное подпространство , если (и только если) вектор 0 является единственным вектором v ∈ H ортогональна S .

Двойственность [ править ]

Сопряженное пространство Н * есть пространство всех непрерывных линейных функций из пространства Н в основном поле. Он несет естественную норму, определяемую

${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$

Эта норма удовлетворяет закону параллелограмма , и поэтому двойное пространство также является внутренним пространством продукта, где этот внутренний продукт может быть определен в терминах этой двойственной нормы с использованием поляризационного тождества . Двойственное пространство также полно, поэтому оно является гильбертовым пространством само по себе. Если е _• = ( е _я ) _{я ∈ I} полный ортонормированный базис H , то скалярное произведение на сопряженном пространстве любых двух является ${\displaystyle f,g\in H^{*}}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$

где все члены этого ряда, кроме счетного, равны нулю.

Теорема Рисса о представлении дает удобное описание сопряженного пространства. Каждому элементу u из H соответствует единственный элемент φ _u из H * , определяемый формулой

${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle \,}$

где, кроме того, ${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

Теорема Рисса о представлении утверждает, что отображение из H в H *, определяемое u ↦ φ _u , сюръективно , что делает это отображение изометрическим антилинейным изоморфизмом. ^[47] Итак, каждому элементу ф двойственного H * существует одно и только одно u _φ в H такое, что

${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$

для всех х ∈ H . Скалярное произведение в двойственном пространстве H * удовлетворяет

${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$

Изменение порядка в правой части восстанавливает линейность по φ из антилинейности u _φ . В реальном случае антилинейный изоморфизм от H к двойственному ему на самом деле является изоморфизмом, и поэтому реальные гильбертовы пространства естественно изоморфны своим собственным двойственным.

Представляющий вектор u _φ получается следующим образом. Когда ф ≠ 0 , то ядро Р = Кек ( ф ) является замкнутым векторным подпространством в H , не равно H , следовательно , существует ненулевой вектор v , ортогональный F . Вектор U является подходящим скалярным кратным λv из V . Требование о том , φ ( v ) = ⟨ V , U ⟩ выходы

${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$

Это соответствие φ ↔ u используется с помощью популярных в физике обозначений на скобках . Обычно в физике предположить , что скалярное произведение, обозначаемое ⟨ х | у ⟩ , линейно справа,

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$

В результате ⟨ х | у ⟩ можно рассматривать как действие линейного функционала ⟨ х | ( бюстгальтер ) на векторе | у ⟩ (The кет ).

Теорема Рисса о представлении основывается не только на наличии внутреннего продукта, но и на полноте пространства. Фактически из теоремы следует, что топологическое двойственное пространство любого внутреннего продукта можно отождествить с его пополнением. Непосредственное следствие теоремы Рисса также , что гильбертово пространство H является рефлексивным , что означает , что естественное отображение H в его двойное сопряженное пространство является изоморфизмом.

Слабо сходящиеся последовательности [ править ]

В гильбертовом пространстве H , последовательность { х _п } является слабо сходится к вектору х ∈ H , когда

${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$

для каждого об ∈ H .

Например, любая ортонормированная последовательность { f _n } слабо сходится к 0 как следствие неравенства Бесселя . Каждая слабо сходящаяся последовательность { х _п } ограничена, по единому принципу ограниченности .

Наоборот, любая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве допускает слабо сходящиеся подпоследовательности ( теорема Алаоглу ). ^[48] Этот факт можно использовать для доказательства результатов минимизации непрерывных выпуклых функционалов точно так же, как теорема Больцано – Вейерштрасса используется для непрерывных функций на ℝ ^d . Среди нескольких вариантов одно простое утверждение выглядит следующим образом: ^[49]

Если f  : H → ℝ - выпуклая непрерывная функция такая, что f ( x ) стремится к + ∞ при || х || стремится к ∞ , то е допускает минимум в некоторой точке х ₀ ∈ H .

Этот факт (и его различные обобщения) имеют основополагающее значение для прямых методов в вариационном исчислении . Результаты Минимизации для выпуклых функционалов также являются прямым следствием несколько более абстрактном тем , что замкнутые ограниченной выпуклых подмножества в гильбертовом пространстве H является слабо компактно , так как Н рефлексивно. Существование слабо сходящихся подпоследовательностей является частным случаем теоремы Эберлейна – Шмулиана .

Свойства пространства Банаха [ править ]

Любое общее свойство банаховых пространств сохраняется и для гильбертовых пространств. Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование из одного банахова пространства в другое является открытым отображением, что означает, что оно отправляет открытые множества в открытые множества. Следствием является ограниченная обратная теорема о том , что непрерывная и биективная линейная функция из одного банахова пространства в другое является изоморфизмом (то есть непрерывным линейным отображением, обратное которому также непрерывно). Эту теорему значительно проще доказать в случае гильбертовых пространств, чем в общих банаховых пространствах. ^[50] Теорема об открытом отображении эквивалентнатеорема о замкнутом графике , которая утверждает, что линейная функция из одного банахова пространства в другое непрерывна тогда и только тогда, когда ее график является замкнутым множеством . ^[51] В случае гильбертовых пространств это основа при изучении неограниченных операторов (см. Замкнутый оператор ).

(Геометрическая) теорема Хана – Банаха утверждает, что замкнутое выпуклое множество можно отделить от любой точки вне его с помощью гиперплоскости гильбертова пространства. Это является непосредственным следствием свойства наилучшего приближения : если y - элемент замкнутого выпуклого множества F, ближайший к x , то разделяющая гиперплоскость - это плоскость, перпендикулярная отрезку xy, проходящему через его середину. ^[52]

Операторы в гильбертовых пространствах [ править ]

Ограниченные операторы [ править ]

Непрерывные линейные операторы  : Н ₁ → Н ₂ из гильбертова пространства H ₁ ко второму гильбертова пространство H ₂ имеют ограниченные в том смысле , что они отображают ограниченные множества в ограниченные множества. Наоборот, если оператор ограничен, то он непрерывен. Пространство таких ограниченных линейных операторов имеет норму , операторную норму, заданную формулой

${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup \left\{\,\lVert Ax\rVert :\lVert x\rVert \leq 1\,\right\}\,.}$

Сумма и композиция двух ограниченных линейных операторов снова ограничены и линейны. Для у в H ₂ , на карте , которая посылает е ∈ H ₁ к ⟨ Ax , у ⟩ является линейным и непрерывным, и в соответствии с представлением Рисса теорема , следовательно , может быть представлена в виде

${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$

для некоторого вектора A * y в H ₁ . Это определяет другой линейный ограниченный оператор *: H ₂ → H ₁ , то сопряженная из A . При этом присоединенные удовлетворяет ** = А . Когда представление Рисса теорема используется для идентификации каждого гильбертова пространства с его непрерывным сопряженным пространством, сопряженный А может быть показан, что идентично с транспонированным ^т A  : H ₂ * → H ₁ * из A , который по определению отправляет в функционал${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

Множество B ( H ) всех линейных ограниченных операторов на H (то есть операторов H → H ) вместе с операциями сложения и композиции, нормой и присоединенной операцией является C * -алгеброй , которая является типом операторной алгебры .

Элемент из В ( Н ) называется «самосопряженная» или «эрмитова» , если * = . Если эрмитовость и ⟨ Ах , х ⟩ ≥ 0 для каждого х , то называется «неотрицательными», написанный ≥ 0 ; если равенство выполняется только при x = 0 , то A называется «положительным». Множество самосопряженных операторов допускает частичный порядок , в котором A ≥ B, если A - B ≥ 0. Если A имеет вид B * B для некоторого B , то A неотрицательно; если B обратимо, то A положительно. Обратное также верно в том смысле, что для неотрицательного оператора A существует единственный неотрицательный квадратный корень B такой, что

${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$

В некотором смысле, уточненном спектральной теоремой , самосопряженные операторы можно рассматривать как «вещественные» операторы. Элемент A из B ( H ) называется нормальным, если A * A = AA * . Нормальные операторы разлагаются на сумму самосопряженных операторов и мнимое кратное самосопряженного оператора

${\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}}$

которые ездят друг с другом. Нормальные операторы также можно рассматривать с точки зрения их действительной и мнимой частей.

Элемент U из B ( H ) называется унитарным, если U обратим, а его обратный задается U * . Это также может быть выражено, требуя , чтобы U быть на и ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ х , у ⟩ для всех х , у ∈ H . Унитарные операторы образуют группу в соответствии с составом, который является изометрия группой из H .

Элемент B ( H ) является компактным , если он посылает ограниченные множества в относительно компактных множеств. Эквивалентно ограниченный оператор T компактен, если для любой ограниченной последовательности { x _k } последовательность { Tx _k } имеет сходящуюся подпоследовательность. Многие интегральные операторы компактны и фактически определяют специальный класс операторов, известных как операторы Гильберта – Шмидта , которые особенно важны при изучении интегральных уравнений . Фредгольмовы операторыотличаются от компактного оператора кратным тождества и эквивалентно характеризуются как операторы с конечномерным ядром и коядром . Индекс фредгольмова оператора T определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$

Индекс гомотопически инвариантен и играет важную роль в дифференциальной геометрии с помощью теоремы Атьи – Зингера об индексе .

Неограниченные операторы [ править ]

Неограниченные операторы также поддаются обработке в гильбертовых пространствах и имеют важные приложения в квантовой механике . ^[53] неограниченный оператор Т в гильбертовом пространстве H определяется как линейный оператор которого домен Д ( Т ) является линейным подпространством Н . Часто область D ( T ) является плотным подпространством в H , и в этом случае T известен как плотно определенный оператор .

Сопряженный к плотно определенному неограниченному оператору определяется по существу так же, как и для ограниченных операторов. Самосопряженные неограниченные операторы играют роль наблюдаемых в математической формулировке квантовой механики. Примеры самосопряженных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( ℝ ) : ^[54]

Они соответствуют наблюдаемым импульсу и положению соответственно. Обратите внимание, что ни A, ни B не определены на всей H , так как в случае A производная может не существовать, а в случае B функция произведения не обязательно должна быть квадратично интегрируемой. В обоих случаях множество возможных аргументов образуют плотные подпространства L ² ( ℝ ) .

Конструкции [ править ]

Прямые суммы [ править ]

Два гильбертовыми H ₁ и Н ₂ могут быть объединены в другом гильбертовом пространстве, называется (ортогональной) прямая сумма , ^[55] и обозначается

${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$

состоящий из множества всех упорядоченных пар ( x ₁ , x ₂ ), где x _i ∈ H _i , i = 1, 2 , и скалярного произведения, определенного формулой

${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$

В более общем смысле, если H _i - семейство гильбертовых пространств, индексированных i ∈ I , то прямая сумма H _i , обозначенная

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$

состоит из множества всех индексированных семейств

${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}|i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$

в декартово произведение в H _я таким образом, что

${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$

Внутренний продукт определяется

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$

Каждое из H _i включено как замкнутое подпространство в прямую сумму всех H _i . Более того, H _i попарно ортогональны. Наоборот, если существует система замкнутых подпространств V _i , i ∈ I , в гильбертовом пространстве H , которые попарно ортогональны и объединение которых плотно в H , то H канонически изоморфна прямой сумме V _i . В этом случае H называется внутренней прямой суммой V _i. Прямая сумма (внутренняя или внешняя) также оснащена семейством ортогональных проекций E _i на i- е прямое слагаемое H _i . Эти проекции представляют собой ограниченные самосопряженные идемпотентные операторы, удовлетворяющие условию ортогональности

${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$

Спектральная теорема для компактных операторов самосопряжённых в гильбертовом пространстве H состояний, H распадается в ортогональную прямую сумму подпространств оператора, а также дает явное разложение оператора в виде суммы проекций на собственные подпространства. Прямая сумма гильбертовых пространств также появляется в квантовой механике как пространство Фока системы, содержащей переменное число частиц, где каждое гильбертово пространство в прямой сумме соответствует дополнительной степени свободы для квантово-механической системы. В теории представлений , то Питер-Вейль теорема гарантирует , что любое унитарное представлениеиз компактной группы в гильбертовом пространстве разлагается в прямую сумму конечномерных представлений.

Тензорные продукты [ править ]

Если х ₁ , у ₁ ε H ₁ и х ₂ , у ₂ ε H ₂ , то один определяет скалярное произведение на (обычное) тензорное произведение следующим образом . На простых тензорах пусть

${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$

Затем эта формула распространяется с помощью полуторалинейности на скалярное произведение на H ₁ ⊗ H ₂ . Гильбертово тензорное произведение H ₁ и H ₂ , иногда обозначаемое H ₁ H ₂${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ , является гильбертовым пространством, полученным дополнением H ₁ ⊗ H ₂ для метрики, связанной с этим внутренним произведением. ^[56]

Примером может служить гильбертово пространство L ² ([0, 1]) . Гильбертово тензорное произведение двух копий L ² ([0, 1]) изометрически и линейно изоморфно пространству L ² ([0, 1] ² ) квадратично интегрируемых функций на квадрате [0, 1] ² . Этот изоморфизм переводит простой тензор f ₁ ⊗ f ₂ в функцию

${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$

на пл.

Этот пример типичен в следующем смысле. ^{[57] С} каждым простым тензорным произведением x ₁ ⊗ x ₂ связан оператор ранга один из H^∗
₁в H _2, который отображает заданное x * ∈ H^∗
₁ в качестве

${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$

Это отображение, определенное на простых тензорах, продолжается до линейной идентификации между H ₁ ⊗ H ₂ и пространством операторов конечного ранга из H^∗
₁к H ₂ . Это продолжается до линейной изометрии гильбертова тензорного произведения H ₁ H ₂${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ с гильбертовым пространством HS ( H^∗
₁, Н ₂ ) из операторов Гильберта-Шмидта из H^∗
₁к H ₂ .

Ортонормированные базы [ править ]

Понятие ортонормированного базиса линейной алгебры обобщается на случай гильбертовых пространств. ^[58] В гильбертовом пространстве H ортонормированный базис - это семейство { e _k } _{k ∈ B} элементов H, удовлетворяющих условиям:

1. Ортогональности : Каждые два различных элемента B ортогональны: ⟨ е _к , е _J ⟩ = 0 для всех K , J ∈ B с K ≠ J .
2. Нормализация : Каждый элемент семейства имеет норму 1: || e _k || = 1 для всех K ∈ B .
3. Полнота : линейная оболочка из семейства х _K , K ∈ B , является плотной в H .

Система векторов , удовлетворяющих первых двух условий базис называется О.Н.С. или ортонормированный набор (или ортонормированной последовательностью , если B является счетно ). Такая система всегда линейно независима . Полноту ортонормированной системы векторов гильбертова пространства можно эквивалентно переформулировать как:

если ⟨ v , е _к ⟩ = 0 для всех K ∈ B и некоторые v ∈ H , то v = 0 .

Это связано с тем фактом, что единственным вектором, ортогональным плотному линейному подпространству, является нулевой вектор, поскольку, если S - любое ортонормированное множество и v ортогонален S , то v ортогонален замыканию линейной оболочки S , что это все пространство.

Примеры ортонормированных баз включают:

• множество {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} образует ортогональный базис ℝ ³ с продуктом точки ;
• последовательность { f _n  : n ∈ ℤ } с f _n ( x ) = exp (2π inx ) образует ортонормированный базис комплексного пространства L ² ([0, 1]) ;

В бесконечномерном случае ортонормированный базис не будет базисом в смысле линейной алгебры ; чтобы различать эти два, последний базис также называют базисом Гамеля . То, что промежуток базисных векторов является плотным, означает, что каждый вектор в пространстве может быть записан как сумма бесконечного ряда, а ортогональность означает, что это разложение уникально.

Пробелы последовательности [ править ]

Пространство суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел - это множество бесконечных последовательностей${\displaystyle \ell _{2}}$

${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}$

действительных или комплексных чисел, таких что

${\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}$

Это пространство имеет ортонормированную основу:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$

Это пространство является бесконечномерным обобщением пространства конечномерных векторов. Обычно это первый пример, используемый, чтобы показать, что в бесконечномерных пространствах замкнутое и ограниченное множество не обязательно (последовательно) компактно (как это имеет место во всех конечномерных пространствах). В самом деле, набор ортонормированных векторов выше показывает это: это бесконечная последовательность векторов в единичном шаре (т. Е. Шаре точек с нормой меньше или равной единице). Это множество, очевидно, ограничено и замкнуто; однако никакая подпоследовательность этих векторов не сходится ни к чему, и, следовательно, единичный шар в${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$${\displaystyle \ell _{2}}$не компактный. Интуитивно это происходит потому, что «всегда есть другое направление координат», в которое могут уклоняться следующие элементы последовательности.

Обобщить пространство можно разными способами. Например, если B - любое (бесконечное) множество, то можно сформировать гильбертово пространство последовательностей с индексным множеством B , определяемым${\displaystyle \ell _{2}}$

${\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x:B{\xrightarrow {x}}\mathbb {C} \,\left|\,\sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty \right.\right\}\,.}$

Суммирование по B здесь определяется как

${\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}}$

грань берется по всем конечным подмножествам  B . Отсюда следует, что для того, чтобы эта сумма была конечной, каждый элемент l ² ( B ) имеет только счетное число ненулевых членов. Это пространство становится гильбертовым пространством со скалярным произведением

${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}$

для всех x , y ∈ l ² ( B ) . Здесь также имеется счетное число ненулевых членов, и она безусловно сходится согласно неравенству Коши – Шварца.

Ортонормированный базис l ² ( B ) индексируется множеством B , задаваемым

${\displaystyle e_{b}\left(b'\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Неравенство Бесселя и формула Парсеваля [ править ]

Пусть F ₁ , ..., е _п конечная О.Н.С. в  H . Для произвольного вектора x ∈ H пусть

${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}$

Тогда ⟨ х , е _к ⟩ = ⟨ у , е _к ⟩ для любого к = 1, ..., п . Отсюда следует, что x - y ортогонален каждому f _k , следовательно, x - y ортогонален  y . Дважды используя тождество Пифагора, следует, что

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}$

Пусть { е _I }, я ∈ I , произвольная ортонормированная система в  Н . Применение предыдущего неравенства к каждому конечному подмножеству J в I дает неравенство Бесселя: ^[59]

${\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}$

(согласно определению суммы произвольного семейства неотрицательных действительных чисел).

Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство, натянутое на f _i, имеет норму, не превосходящую норму x . В двух измерениях это утверждение, что длина катета прямоугольного треугольника не может превышать длину гипотенузы.

Неравенство Бесселя - это ступенька к более сильному результату, называемому тождеством Парсеваля , который регулирует случай, когда неравенство Бесселя фактически является равенством. По определению, если { e _k } _{k ∈ B} является ортонормированным базисом H , то каждый элемент x из H может быть записан как

${\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}$

Даже если B несчетно, неравенство Бесселя гарантирует, что выражение правильно определено и состоит только из счетного числа ненулевых членов. Эта сумма называется разложением Фурье х , а отдельные коэффициенты ⟨ х , е _К ⟩ являются коэффициентами Фурье х . Личность Парсеваля затем утверждает, что

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}$

Наоборот, если { e _k } - ортонормированное множество, такое, что тождество Парсеваля выполняется для каждого x , то { e _k } - ортонормированный базис.

Измерение Гильберта [ править ]

Как следствие леммы Цорна , каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность , называемую гильбертовой размерностью пространства. ^[60] Например, поскольку l ² ( B ) имеет ортонормированный базис, индексируемый B , его гильбертова размерность равна мощности B (которая может быть конечным целым числом, счетным или несчетным кардинальным числом ).

Как следствие тождества Парсеваля, если { е _к } _{к ∈ B} является ортонормированный базис Н , то отображение Ф  : H → л ² ( Б ) определяется Ф ( х ) = ⟨x, е _к ⟩ _{к ∈ B} является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств: это биективное линейное отображение такое, что

${\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}}$

для всех х , у ∈ H . Кардинальное число из B представляет собой Гильберт размерность Н . Таким образом , каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно пространства последовательностей л ² ( B ) для некоторого множества B .

Разделимые пробелы [ править ]

По определению гильбертово пространство сепарабельно, если оно содержит плотное счетное подмножество. Наряду с леммой Цорна это означает, что гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. Следовательно, все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны l ² .

В прошлом, как часть определения, гильбертовы пространства часто требовалось разделить. ^[61] Большинство пространств , используемых в физике отделимы, и так как они все изоморфны друг к другу, часто относится к любому бесконечномерным сепарабельному гильбертова пространства , как « в гильбертовом пространстве» или просто «гильбертова пространство». ^[62] Даже в квантовой теории поля большинство гильбертовых пространств фактически отделимы, как это предусмотрено аксиомами Вайтмана . Однако иногда утверждают, что неразделимые гильбертовы пространства также важны в квантовой теории поля, примерно потому, что системы в теории обладают бесконечным числом степеней свободы и любым бесконечным гильбертовым тензорным произведением(пространств размерности больше единицы) неразделимо. ^[63] Например, бозонное поле можно естественным образом рассматривать как элемент тензорного произведения, множители которого представляют гармонические осцилляторы в каждой точке пространства. С этой точки зрения пространство естественных состояний бозона может показаться неразделимым пространством. ^[63]Однако только небольшое разделяемое подпространство полного тензорного произведения может содержать физически значимые поля (на которых можно определить наблюдаемые). Другое неразделимое гильбертово пространство моделирует состояние бесконечного набора частиц в неограниченной области пространства. Ортонормированный базис пространства индексируется плотностью частиц, непрерывным параметром, и, поскольку набор возможных плотностей неисчислим, базис не исчисляем. ^[63]

Ортогональные дополнения и проекции [ править ]

Если S является подмножеством гильбертова пространства H , набор векторов, ортогональных S , определяется как

${\displaystyle S^{\perp }=\left\{x\in H:\langle x,s\rangle =0\ \forall s\in S\right\}\,.}$

S ^⊥ является замкнутым подпространством в H (может быть легко доказано, используя линейность и непрерывность скалярного произведения), и поэтому образует гильбертово пространство. Если V есть замкнутое подпространство в H , то V ^⊥ называется ортогональное дополнение в V . Фактически, каждый x ∈ H может быть записан однозначно как x = v + w , где v ∈ V и w ∈ V ^⊥ . Следовательно, H- внутренняя прямая сумма Гильберта V и V ^⊥ .

Линейный оператор Р _В  : Н → Н , отображающий й в V называется ортогональной проекция на V . Между множеством всех замкнутых подпространств в H и множеством всех ограниченных самосопряженных операторов P таких, что P ² = P, существует естественное взаимно однозначное соответствие . Конкретно,

Теорема . Ортогональный проектор P _V является самосопряженным линейным оператором на H нормы ≤ 1 со свойством P²
_В= Р _В . Более того, любой самосопряженный линейный оператор Е такой , что Е ² = Е имеет вид Р _V , где V представляет собой диапазон Е . Для каждого x в H , P _V ( x ) является единственным элементом v из V, который минимизирует расстояние || х - v || .

Это обеспечивает геометрическую интерпретацию P _V ( х ) : это наилучшее приближение х элементами V . ^[64]

Проекции P _U и P _V называются взаимно ортогональными, если P _U P _V = 0 . Это эквивалентно тому , U и V ортогональны как подпространства Н . Сумма двух проекций Р _U и Р _V является проекцией , только если U и V являются ортогональными друг к другу, и в этом случае Р _U + P _V = P _{U + V} . Композит П _У П _Вэто вообще не проекция; на самом деле, композит является проекцией тогда и только тогда , когда обе проекции коммутируют, и в этом случае Р _У Р _V = P _{U ∩ V} .

Ограничивая область области гильбертовым пространством V , ортогональная проекция P _V порождает отображение проекции π  : H → V ; это сопряженный к отображению включения

${\displaystyle i:V\to H\,,}$

означающий, что

${\displaystyle \left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}}$

для всех х ∈ V и у ∈ H .

Операторная норма ортогональной проекции P _V на ненулевое замкнутое подпространство V равна 1:

${\displaystyle \|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\not =0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.}$

Каждое замкнутое подпространство V в гильбертовом пространстве, следовательно , образ оператора P нормы одного таким образом, что Р ² = Р . Свойство обладания подходящими операторами проекции характеризует гильбертовы пространства: ^[65]

• Банахово пространство размерности выше 2 является (изометрически) гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует оператор P _V нормы один, образ которого равен V, такой что P²
  _В= Р _В .

Хотя этот результат характеризует метрическую структуру гильбертова пространства, структура гильбертова пространства как топологического векторного пространства сама может быть охарактеризована в терминах наличия дополнительных подпространств: ^[66]

• Банахово пространство X топологически и линейно изоморфно гильбертово пространство тогда и только тогда, когда на каждый замкнутое подпространство V , существует замкнутое подпространство W таким образом, что Х равен внутренний прямая сумма V ⊕ W .

Ортогональное дополнение удовлетворяет еще нескольким элементарным результатам. Это монотонная функция в том смысле , что , если U ⊂ V , то V ^⊥ ⊆ U ^⊥ с равенством проведения тогда и только тогда , когда V содержится в замыкании на U . Этот результат является частным случаем теоремы Хана – Банаха . Замыкание подпространства можно полностью охарактеризовать в терминах ортогонального дополнения: если V является подпространством H , то замыкание V равно V ^⊥⊥ . Таким образом, ортогональное дополнение естьСвязность Галуа о частичном порядке подпространств гильбертова пространства. В общем, ортогональное дополнение к сумме подпространств является пересечением ортогональных дополнений: ^[67]

${\displaystyle \left(\sum _{i}V_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.}$

Если V _i дополнительно закрыты, то

${\displaystyle {\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }}}=\left(\bigcap _{i}V_{i}\right)^{\perp }\,.}$

Спектральная теория [ править ]

Существует хорошо развитая спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, которая примерно аналогична изучению симметричных матриц над вещественными числами или самосопряженных матриц над комплексными числами. ^[68] В том же смысле можно получить «диагонализацию» самосопряженного оператора как подходящую сумму (фактически интеграл) ортогональных проекционных операторов.

Спектр оператора Т , обозначим σ ( Т ) , есть множество комплексных чисел Л такая , что Т - λ отсутствует непрерывный обратный. Если T ограничено, то спектр всегда представляет собой компакт на комплексной плоскости и лежит внутри круга | z | ≤ || Т || . Если T самосопряженный, то спектр действительный. Фактически, он содержится в интервале [ m , M ], где

${\displaystyle m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.}$

Более того, m и M фактически содержатся в спектре.

Собственные подпространства оператора T задаются формулами

${\displaystyle H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )\,.}$

В отличие от конечных матриц, не каждый элемент спектра T должен быть собственным: линейный оператор Т - λ может только отсутствие обратного потому что это не сюръективны. Элементы спектра оператора в общем смысле известны как спектральные значения . Поскольку спектральные значения не обязательно должны быть собственными значениями, спектральное разложение часто бывает более тонким, чем в конечных измерениях.

Однако спектральная теорема самосопряженного оператора T принимает особенно простой вид, если, кроме того, T предполагается компактным оператором . Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов состояний: ^[69]

• Компактный самосопряженный оператор T имеет только счетное (или конечное) число спектральных значений. Спектр T не имеет предельной точки на комплексной плоскости, кроме, возможно, нуля. Собственные подпространства T разлагают H в ортогональную прямую сумму:

  ${\displaystyle H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.}$

Более того, если E _λ обозначает ортогональную проекцию на собственное подпространство H _λ , то

${\displaystyle T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,}$

где сумма сходится относительно нормы на B ( H ) .

Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений , поскольку многие интегральные операторы компактны, в частности те, которые возникают из операторов Гильберта – Шмидта .

Общая спектральная теорема для самосопряженных операторов включает своего рода операторнозначный интеграл Римана – Стилтьеса , а не бесконечное суммирование. ^[70] спектральное семейство ассоциированное с Т - ассоциированным с каждым действительным числом А с оператором Е _Х , которая является проекцией на нуль - пространства оператора ( Т - λ ) ⁺ , где положительная часть самосопряженного оператора определяются

${\displaystyle A^{+}={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {A^{2}}}+A\right)\,.}$

Операторы E _λ монотонно возрастают относительно частичного порядка, определенного на самосопряженных операторах; собственные значения в точности соответствуют скачкам. Есть спектральная теорема, утверждающая

${\displaystyle T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$

Под интегралом понимается интеграл Римана – Стилтьеса, сходящийся по норме на B ( H ) . В частности, имеется обычное скалярнозначное интегральное представление

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.}$

В чем-то похожее спектральное разложение выполняется для нормальных операторов, хотя, поскольку спектр теперь может содержать невещественные комплексные числа, операторнозначная мера Стилтьеса d E _λ должна быть заменена разрешением единицы .

Основным применением спектральных методов является теорема о спектральном отображении , которая позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, определенную на спектре оператора T , образуя интеграл

${\displaystyle f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.}$

Полученное непрерывное функциональное исчисление имеет приложения, в частности, к псевдодифференциальным операторам . ^[71]

Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов лишь незначительно сложнее, чем для ограниченных операторов. Спектр неограниченного оператора определяется точно так же, как и для ограниченных операторов: λ является спектральным значением, если резольвентный оператор

${\displaystyle R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}}$

не может быть четко определенным непрерывным оператором. Самосопряженность T по- прежнему гарантирует действительность спектра. Таким образом, основная идея работы с неограниченными операторами состоит в том, чтобы вместо этого взглянуть на резольвенту R _λ, где λ невещественно. Это ограниченный нормальный оператор, который допускает спектральное представление , которые затем могут быть переданы в спектральное представление Т самого. Подобная стратегия используется, например, для изучения спектра оператора Лапласа: вместо того, чтобы обращаться к оператору напрямую, вместо этого он выглядит как связанная резольвента, такая как потенциал Рисса или потенциал Бесселя .

Точная версия спектральной теоремы в этом случае такова: ^[72]

Дан плотно определенный самосопряженный оператор T в гильбертовом пространстве H , ему соответствует единственное разрешение тождества E на борелевских множествах оператора такое, что

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )}$

для всех х ∈ D ( Т ) и у ∈ H . Спектральная мера Е концентрируется на спектре Т .

Существует также версия спектральной теоремы, которая применяется к неограниченным нормальным операторам.

В популярной культуре [ править ]

Томас Пинчон представил вымышленного персонажа Сэмми Гильберта-Спесса (игра слов на «Гильбертовом пространстве») в своем романе 1973 года «Радуга гравитации» . Гильберта-Спесса сначала описывают как «вездесущего двойного агента», а затем как «по крайней мере двойного агента». ^[73] Роман ранее ссылаются на работу коллег немецкого математика Курта Гёделя «s неполноте теоремы , ^[74] , который показал , что программа Гильберта , формализованный план Гильберта унифицировать математики в единый набор аксиом, не представлялось возможным. ^[75]

См. Также [ править ]

• Банахово пространство  - полное нормированное векторное пространство
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Пространство Адамара
• Гильбертова алгебра
• C * -модуль Гильберта
• Гильбертово многообразие
• L-полу-внутренний продукт  - Обобщение внутренних продуктов, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство  - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Теория операторов
• Топологии операторов
• Оснащенное гильбертово пространство  - конструкция, связывающая изучение "связанных" и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Топологическое векторное пространство  - Векторное пространство с понятием близости.

Замечания [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]