Математическая формулировка квантовой механики

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В математических формулировках квантовой механики являются тем математическим формализмом , которые позволяют строгое описание квантовой механики . Этот математический формализм в основном использует часть функционального анализа , особенно гильбертово пространство, которое является разновидностью линейного пространства . Они отличаются от математических формализмов для физических теорий, разработанных до начала 1900-х годов, использованием абстрактных математических структур, таких как бесконечномерные гильбертовы пространства (в основном пространство L2 ) и операторов в этих пространствах. Короче говоря, значения физических наблюдаемых, таких какэнергия и импульс больше не рассматривались как значения функций на фазовом пространстве , а как собственные значения ; точнее как спектральные значения линейных операторов в гильбертовом пространстве. ^[1]

Эти формулировки квантовой механики продолжают использоваться и сегодня. В основе описания лежат идеи квантового состояния и квантовых наблюдаемых, которые радикально отличаются от тех, что использовались в предыдущих моделях физической реальности. Хотя математика позволяет рассчитывать множество величин, которые можно измерить экспериментально, существует определенный теоретический предел для значений, которые можно измерить одновременно. Это ограничение было впервые разъяснено Гейзенбергом посредством мысленного эксперимента и математически представлено в новом формализме некоммутативностью операторов, представляющих квантовые наблюдаемые.

До развития квантовой механики как отдельной теории математика, используемая в физике, состояла в основном из формального математического анализа , начиная с исчисления и увеличиваясь в сложности до дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Теория вероятностей использовалась в статистической механике . Геометрическая интуиция сыграла большую роль в первых двух и, соответственно, теориях относительности.были сформулированы полностью в терминах дифференциально-геометрических концепций. Феноменология квантовой физики зародилась примерно между 1895 и 1915 годами, и в течение 10-15 лет до развития квантовой теории (около 1925 года) физики продолжали рассматривать квантовую теорию в рамках того, что сейчас называется классической физикой , и в частности в рамках тех же математических структур. Наиболее сложным примером этого является правило квантования Зоммерфельда – Вильсона – Ишивары , которое полностью сформулировано на классическом фазовом пространстве .

История формализма [ править ]

«Старая квантовая теория» и потребность в новой математике [ править ]

В 1890-х Планк смог получить спектр черного тела, который позже использовался, чтобы избежать классической ультрафиолетовой катастрофы , сделав неортодоксальное предположение, что при взаимодействии электромагнитного излучения с материей обмен энергией может происходить только в дискретных единицах, которые он назвал квантами. . Планк постулировал прямую пропорциональность между частотой излучения и квантом энергии на этой частоте. Константа пропорциональности h теперь в его честь называется постоянной Планка .

В 1905 году Эйнштейн объяснил некоторые особенности фотоэлектрического эффекта , предположив, что кванты энергии Планка были реальными частицами, которые позже были названы фотонами .

Все эти разработки были феноменологическими и бросали вызов теоретической физике того времени. Бор и Зоммерфельд продолжили модифицировать классическую механику, пытаясь вывести модель Бора из первых принципов. Они предположили, что из всех замкнутых классических орбит, отслеживаемых механической системой в ее фазовом пространстве , фактически разрешены только те, которые охватывают площадь, кратную постоянной Планка. Наиболее сложной версией этого формализма было так называемое квантование Зоммерфельда – Вильсона – Ишивары . Хотя модель атома водорода Бора могла быть объяснена таким образом, спектр атома гелия (классически неразрешимыйПроблема с 3-мя телами ) предсказать невозможно. Математический статус квантовой теории некоторое время оставался неопределенным.

В 1923 году де Бройль предположил, что дуальность волна-частица применима не только к фотонам, но и к электронам и любой другой физической системе.

Ситуация быстро изменилась в 1925–1930 годах, когда рабочие математические основы были найдены благодаря новаторским работам Эрвина Шредингера , Вернера Гейзенберга , Макса Борна , Паскуаля Джордана , а также фундаментальным работам Джона фон Неймана , Германа Вейля и Поля Дирака и стало возможным объединить несколько различных подходов с точки зрения свежего набора идей. Физическая интерпретация теории также прояснилась в эти годы после того, как Вернер Гейзенберг открыл соотношения неопределенностей, а Нильс Бор представил идею дополнительности .

«Новая квантовая теория» [ править ]

Вернер Гейзенберг «S матричная механика была первой успешной попыткой тиражирования наблюдаемого квантования атомных спектров . Позже в том же году Шредингер создал волновую механику . Формализм Шредингера считался более простым для понимания, визуализации и вычислений, поскольку он привел к дифференциальным уравнениям , решение которых физики уже были знакомы. В течение года было показано, что две теории эквивалентны.

Сам Шредингер изначально не понимал фундаментальной вероятностной природы квантовой механики, поскольку считал, что абсолютный квадрат волновой функции электрона следует интерпретировать как плотность заряда объекта, размазанного по протяженному, возможно, бесконечному объему пространства. . Именно Макс Борн ввел интерпретацию абсолютного квадрата волновой функции как распределения вероятностей положения точечного объекта. Идея Борна была вскоре подхвачена Нильсом Бором в Копенгагене, который затем стал «отцом» копенгагенской интерпретации квантовой механики. Волновая функция Шредингераможно увидеть, что оно тесно связано с классическим уравнением Гамильтона – Якоби . Соответствие классической механике было еще более явным, хотя и несколько более формальным, в матричной механике Гейзенберга. В своей кандидатской диссертации Поль Дирак ^[2] обнаружил, что уравнение для операторов в представлении Гейзенберга , как его теперь называют, тесно трансформируется в классические уравнения динамики некоторых величин в гамильтоновом формализме классической механики, когда выражает их через скобки Пуассона , процедура, теперь известная как каноническое квантование .

Точнее говоря, еще до Шредингера молодой научный сотрудник Вернер Гейзенберг изобрел свою матричную механику , которая была первой правильной квантовой механикой - существенным прорывом. Формулировка матричной механики Гейзенберга была основана на алгебрах бесконечных матриц, что является очень радикальной формулировкой в ​​свете математики классической физики, хотя он начал с индексной терминологии экспериментаторов того времени, даже не подозревая, что его «индексные схемы» были матрицами, как вскоре указал ему Борн. Фактически, в те ранние годы линейная алгебра не пользовалась популярностью у физиков в ее нынешнем виде.

Хотя сам Шредингер через год доказал эквивалентность своей волновой механики и матричной механики Гейзенберга, согласование этих двух подходов и их современная абстракция как движений в гильбертовом пространстве обычно приписывается Полю Дираку , который написал ясный отчет в своей классической книге 1930 года. Принципы квантовой механики . Он - третий и, возможно, самый важный столп в этой области (вскоре он был единственным, кто открыл релятивистское обобщение теории). В своем вышеупомянутом отчете он ввел обозначение бюстгальтера вместе с абстрактной формулировкой в ​​терминах гильбертова пространства, используемого в функциональном анализе.; он показал, что подходы Шредингера и Гейзенберга были двумя разными представлениями одной и той же теории, и нашел третье, наиболее общее, которое представляло динамику системы. Его работа была особенно плодотворной во всевозможных обобщениях в этой области.

Первая полная математическая формулировка этого подхода, известная как аксиомы Дирака – фон Неймана , обычно приписывается книге Джона фон Неймана « Математические основы квантовой механики » 1932 года , хотя Герман Вейль уже упоминал гильбертовы пространства (которые он назвал унитарными пространствами). ) в его классической статье и книге 1927 года. Он разрабатывался параллельно с новым подходом к математической спектральной теории, основанным на линейных операторах, а не на квадратичных формах, которые были у Дэвида Гильберта.Подходят на поколение раньше. Хотя теории квантовой механики продолжают развиваться и по сей день, существует базовая структура математической формулировки квантовой механики, которая лежит в основе большинства подходов и может быть прослежена до математических работ Джона фон Неймана . Другими словами, дискуссии об интерпретации теории и ее расширениях в настоящее время в основном ведутся на основе общих предположений о математических основах.

Более поздние разработки [ править ]

Применение новой квантовой теории к электромагнетизму привело к созданию квантовой теории поля , которая была разработана примерно в 1930 году. Квантовая теория поля привела к развитию более сложных формулировок квантовой механики, из которых представленные здесь являются простыми частными случаями.

• Формулировка интеграла по путям
• Формулировка квантовой механики и геометрического квантования в фазовом пространстве
• квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
• аксиоматическая , алгебраическая и конструктивная квантовая теория поля
• Формализм C * -алгебры
• Обобщенная статистическая модель квантовой механики

Связанная тема - отношение к классической механике. Предполагается, что любая новая физическая теория в некотором приближении сводится к успешным старым теориям. Для квантовой механики это означает необходимость изучения так называемого классического предела квантовой механики . Кроме того, как подчеркивал Бор, когнитивные способности человека и язык неразрывно связаны с классической областью, и поэтому классические описания интуитивно более доступны, чем квантовые. В частности, квантование , а именно построение квантовой теории, классическим пределом которой является заданная и известная классическая теория, само по себе становится важной областью квантовой физики.

Наконец, некоторые из создателей квантовой теории (особенно Эйнштейн и Шредингер) были недовольны тем, что, по их мнению, было философским подтекстом квантовой механики. В частности, Эйнштейн придерживался позиции, что квантовая механика должна быть неполной, что мотивировало исследования так называемых теорий скрытых переменных . Проблема скрытых переменных стала частично экспериментальной проблемой с помощью квантовой оптики .

Математическая структура квантовой механики [ править ]

Физическая система обычно описывается тремя основными составляющими: состояниями ; наблюдаемые ; и динамика (или закон временной эволюции ) или, в более общем смысле, группа физических симметрий . Классическое описание может быть дано довольно прямо с помощью модели механики в фазовом пространстве : состояния - это точки в симплектическом фазовом пространстве, наблюдаемые - это действительные функции на нем, временная эволюция задается однопараметрической группой симплектических преобразований. фазового пространства, а физические симметрии реализуются симплектическими преобразованиями. Квантовое описание обычно состоит из гильбертова пространствасостояний, наблюдаемые являются самосопряженными операторами в пространстве состояний, временная эволюция задается однопараметрической группой унитарных преобразований в гильбертовом пространстве состояний, а физические симметрии реализуются с помощью унитарных преобразований. (Возможно , обратимо отобразить эту картину гильбертова пространства в формулировку фазового пространства . См. Ниже.)

Постулаты квантовой механики [ править ]

Нижеследующее изложение математической основы квантовой механики частично восходит к аксиомам Дирака – фон Неймана . Постулаты канонически представлены в шести утверждениях, хотя в каждом есть много важных моментов. ^[3]

Описание состояния системы [ править ]

Каждая физическая система связана с (топологический) сепарабельным комплексным гильбертова пространством H с внутренним произведением ⟨ ф | г | ⟩. Лучи (то есть подпространства комплексной размерности 1) в H связаны с квантовыми состояниями системы.

Постулат I

Состояние изолированной физической системы представлено, в определенное время , с помощью вектора состояния , принадлежащего к гильбертову пространству называется пространством состояний .${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Другими словами, квантовые состояния можно отождествить с классами эквивалентности векторов длины 1 в H , где два вектора представляют одно и то же состояние, если они отличаются только фазовым множителем . Разделимость - математически удобная гипотеза, с физической интерпретацией, что счетного числа наблюдений достаточно, чтобы однозначно определить состояние. «Квантово-механическое состояние - это луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Во многих учебниках не делается этого различия, что отчасти может быть результатом того факта, что уравнение Шредингера само включает« векторы »гильбертова пространства, в результате чего что неточное использование "вектора состояния", а нелуча очень трудно избежать » ^[4]

Гильбертово пространство составной системы - это тензорное произведение гильбертова пространства пространств состояний, связанных с компонентными системами (например, JM Jauch, Основы квантовой механики , раздел 11.7). Для нерелятивистской системы, состоящей из конечного числа различимых частиц, составляющими системами являются отдельные частицы.

Описание физических величин [ править ]

Физические наблюдаемые представлены эрмитовых матриц на H . Поскольку эти операторы эрмитовы, измерение всегда является действительным значением. Если спектр наблюдаемого дискретен, то возможные результаты квантуются .

Постулат II

Каждая измеримая физическая величина описывается эрмитовым оператором, действующим в пространстве состояний . Этот оператор является наблюдаемым , что означает, что его собственные векторы образуют основу для .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

Измерение физических величин [ править ]

По спектральной теории мы можем связать вероятностную меру со значениями A в любом состоянии ψ . Мы можем также показать , что возможные значения наблюдаемых А в любом государстве должны принадлежать спектру от А . Среднее значение (в смысле теории вероятностей) наблюдаемого А для системы в состоянии представлено единичный вектор г | ∈ H является .${\ Displaystyle \ langle \ psi \ mid A \ mid \ psi \ rangle}$

Постулат III

Результатом измерения физической величины должно быть одно из собственных значений соответствующей наблюдаемой .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$

В частном случае A имеет только дискретный спектр , возможными результатами измерения A являются его собственные значения . Точнее, если мы представим состояние ψ в базисе, образованном собственными векторами матрицы A , то квадрат модуля компонента, прикрепленного к данному собственному вектору, представляет собой вероятность наблюдения соответствующего собственного значения.

Постулат IV

Когда физическая величина измеряется в системе в нормализованном состоянии , вероятность получения собственного значения (обозначенного для дискретных и непрерывных спектров) соответствующей наблюдаемой задается квадратом амплитуды соответствующей волновой функции (проекция на соответствующий собственный вектор) .${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {P} (a_ {n}) & = | \ langle \ phi _ {n} | \ psi \ rangle | ^ {2} & {\ text {(Дискретный, невырожденный спектр)}} \\\ mathbb {P} (a_ {n}) & = \ sum _ {i} ^ {g_ {n}} | \ langle \ phi _ {n} ^ {i} | \ psi \ rangle | ^ {2} & \ mathrm {(Дискретный, \ вырожденный \ спектр)} \\ d \ mathbb {P} (\ alpha) & = | \ langle \ phi _ {\ alpha} | \ psi \ rangle | ^ { 2} d \ alpha & {\ text {(Непрерывный невырожденный спектр)}} \ end {align}}}$

В более общем смысле, состояние может быть представлено так называемым оператором плотности , который представляет собой класс следов , неотрицательный самосопряженный оператор ρ, нормированный на след 1. Ожидаемое значение A в состоянии ρ равно .${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}$

Влияние измерения на состояние [ править ]

Когда выполняется измерение, получается только один результат (согласно некоторым интерпретациям квантовой механики ). Это моделируется математически как обработка дополнительной информации из измерения, ограничивая вероятности немедленного второго измерения той же наблюдаемой. В случае дискретного невырожденного спектра два последовательных измерения одной и той же наблюдаемой всегда будут давать одно и то же значение, предполагая, что второе сразу следует за первым. Следовательно, вектор состояния должен измениться в результате измерения и схлопнуться в собственное подпространство, связанное с измеренным собственным значением.

Постулат V

Если измерение физической величины в системе в состоянии дает результат , то состояние системы сразу после измерения является нормализованной проекцией на собственное подпространство, связанное с${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \psi \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}}$

Если ρ _ψ - ортогональный проектор на одномерное подпространство в H, натянутое на | г | ⟩ , то .${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho _{\psi })=\left\langle \psi \mid A\mid \psi \right\rangle }$

Временная эволюция системы [ править ]

Хотя можно вывести уравнение Шредингера, которое описывает, как вектор состояния эволюционирует во времени, в большинстве текстов уравнение утверждается как постулат. Обычные выводы включают использование гипотезы ДеБрогли или интегралов по путям .

Постулат VI

Эволюция вектора состояния во времени определяется уравнением Шредингера, где - наблюдаемая, связанная с полной энергией системы (называемая гамильтонианом )${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle }$

Другие значения постулатов [ править ]

• Физические симметрии действуют на гильбертово пространство квантовых состояний унитарно или антиединично из-за теоремы Вигнера ( суперсимметрия - это совсем другое дело).

• Физические наблюдаемые представлены эрмитовых матриц на H .

• Операторы плотности - это операторы, которые находятся в замыкании выпуклой оболочки одномерных ортогональных проекторов. Наоборот, одномерные ортогональные проекторы являются крайними точками множества операторов плотности. Физики также называют одномерные ортогональные проекторы чистыми состояниями, а другие операторы плотности - смешанными состояниями .

В этом формализме можно сформулировать принцип неопределенности Гейзенберга и доказать его как теорему, хотя точная историческая последовательность событий, касающихся того, кто что получил и в каких рамках, является предметом исторических исследований, выходящих за рамки данной статьи.

Кроме того, к постулатам квантовой механики следует также добавить основные положения о свойствах спина и принципе исключения Паули , см. Ниже.

Картинки динамики [ править ]

• В так называемой картине Шредингера квантовой механики динамика дается следующим образом:

Временная эволюция состояния определяется дифференцируемой функцией от вещественных чисел R , представляющий моменты времени, в гильбертовом пространстве состояний системы. Это отображение характеризуется следующим дифференциальным уравнением: Если | ψ ( t )⟩ обозначает состояние системы в любой момент времени t , выполняется следующее уравнение Шредингера :

где H - плотно определенный самосопряженный оператор, называемый гамильтонианом системы , i - мнимая единица, а ħ - приведенная постоянная Планка . Как наблюдаемая, H соответствует полной энергии системы.

С другой стороны, по теореме Стоуна можно утверждать, что существует сильно непрерывное однопараметрическое унитарное отображение U ( t ) : H → H такое, что

${\displaystyle \left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle }$

за все времена s , t . Существование самосопряженного гамильтониана H такого, что

${\displaystyle U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}}$

является следствием теоремы Стоуна об однопараметрических унитарных группах . Предполагается, что H не зависит от времени и что возмущение начинается при t ₀ = 0 ; в противном случае следует использовать серию Дайсона , официально записанную как

${\displaystyle U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}\,{\rm {d}}t'\,H(t')\right)\right]\,,}$

где - символ временного порядка Дайсона .${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

(Этот символ переставляет произведение некоммутирующих операторов вида

${\displaystyle B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})}$

в однозначно определенное переупорядоченное выражение

${\displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})}$ с ${\displaystyle t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.}$

Результатом является причинная цепь, первичная причина в прошлом на крайних правых сторонах и, наконец, настоящее воздействие на крайние правые.)

• Гейзенберг картина квантовой механики фокусируется на наблюдаемых и вместо того , чтобы рассматривать состояния как меняющиеся во время, он рассматривает государства как исправленные и наблюдаемые как изменение. Чтобы перейти от картины Шредингера к картине Гейзенберга, необходимо определить не зависящие от времени состояния и зависящие от времени операторы следующим образом:

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle }$

${\displaystyle A(t)=U(-t)AU(t).\quad }$

Затем легко проверить, что ожидаемые значения всех наблюдаемых на обоих изображениях одинаковы.

${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle }$

и что зависящие от времени операторы Гейзенберга удовлетворяют

что верно для зависящего от времени A = A ( t ) . Обратите внимание, что выражение коммутатора является чисто формальным, когда один из операторов неограничен . Чтобы понять смысл выражения, нужно указать его представление.

• Так называемая картина Дирака или картина взаимодействия имеет состояния и наблюдаемые, зависящие от времени , эволюционирующие относительно различных гамильтонианов. Эта картина наиболее полезна, когда эволюция наблюдаемых может быть решена точно, ограничивая любые сложности эволюцией состояний. По этой причине гамильтониан для наблюдаемых называется «свободным гамильтонианом», а гамильтониан для состояний - «гамильтонианом взаимодействия». В символах:

Однако картина взаимодействия не всегда существует. Во взаимодействующих квантовых теориях поля теорема Хаага утверждает, что картины взаимодействия не существует. Это связано с тем, что гамильтониан нельзя разделить на свободную и взаимодействующую части в пределах сектора суперотбора . Более того, даже если в картине Шредингера гамильтониан не зависит от времени, например H = H ₀ + V , в картине взаимодействия он зависит , по крайней мере, если V не коммутирует с H ₀ , поскольку

${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}}$.

Так что вышеупомянутую серию Dyson все равно придется использовать.

Картина Гейзенберга наиболее близка к классической гамильтоновой механике (например, коммутаторы, фигурирующие в приведенных выше уравнениях, непосредственно переводятся в классические скобки Пуассона ); но это уже довольно «высокопарно», и картина Шредингера считается наиболее простой для визуализации и понимания большинством людей, если судить по педагогическим объяснениям квантовой механики. Картина Дирака используется в теории возмущений и особенно связана с квантовой теорией поля и физикой многих тел .

Подобные уравнения можно записать для любой однопараметрической унитарной группы симметрий физической системы. Время будет заменено подходящей координатой, параметризующей унитарную группу (например, углом поворота или расстоянием перемещения), а гамильтониан будет заменен сохраняющейся величиной, связанной с симметрией (например, угловым или линейным моментом).

Резюме :

Эволюция	Изображение ( v т е )
из:	Гейзенберг	Взаимодействие	Шредингер
Кетское государство	постоянный	${\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }$	${\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }$
Наблюдаемый	${\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$	${\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$	постоянный
Матрица плотности	постоянный	${\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}$	${\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}$

Представления [ править ]

Исходная форма уравнения Шредингера зависит от выбора конкретного представления Гейзенберга «s канонических коммутационных соотношений . Теорема Стоуна – фон Неймана диктует, что все неприводимые представления конечномерных коммутационных соотношений Гейзенберга унитарно эквивалентны. Систематическое понимание его последствий привело к формулировке квантовой механики в фазовом пространстве , которая работает в полном фазовом пространстве вместо гильбертова , а затем с более интуитивной связью с его классическим пределом . Эта картина также упрощает рассмотрение квантования., расширение деформации от классической до квантовой механики.

Квантовый гармонический осциллятор является точно решаемой системой , в которой различные представления легко сравнить. Здесь, помимо представлений Гейзенберга или Шредингера (положение или импульс) или фазового пространства, встречаются также представление Фока (число) и представление Сегала-Баргмана (пространство Фока или когерентное состояние) (названное в честь Ирвинга Сигала и Валентин Баргманн ). Все четыре унитарно эквивалентны.

Время как оператор [ править ]

Представленная структура до сих пор выделяет время , как в параметре , что все зависит от. Можно сформулировать механику таким образом, что время само становится наблюдаемой, связанной с самосопряженным оператором. На классическом уровне можно произвольно параметризовать траектории частиц с помощью нефизического параметра s , и в этом случае время t становится дополнительной обобщенной координатой физической системы. На квантовом уровне трансляции в s будут генерироваться «гамильтонианом» H  -  E , где E - оператор энергии, а H - «обычный» гамильтониан. Однако, посколькуs - нефизический параметр, физические состояния должны оставаться инвариантными с помощью « s- эволюции», и поэтому пространство физических состояний является ядром H  -  E (это требует использования оснащенного гильбертова пространства и перенормировки нормы).

Это связано с квантованием систем со связями и квантованием калибровочных теорий . Также возможно сформулировать квантовую теорию «событий», в которой время становится наблюдаемым (см. Д. Эдвардс).

Спин [ править ]

В дополнение к своим другим свойствам все частицы обладают величиной, называемой спином , собственным угловым моментом . Несмотря на название, частицы буквально не вращаются вокруг оси, а квантово-механический спин не имеет соответствия в классической физике. В позиционном представлении бесспиновая волновая функция имеет положение r и время t как непрерывные переменные, ψ = ψ ( r , t ) . Для спиновых волновых функций спин является дополнительной дискретной переменной: ψ = ψ ( r , t , σ ) , где σ принимает значения;

${\displaystyle \sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.}$

То есть состояние отдельной частицы со спином S представляется (2 S + 1) -компонентным спинором комплекснозначных волновых функций.

Два класса частиц с очень разные поведения бозонов , которые имеют целый спин ( S  = 0, 1, 2 ... ), и фермионы , обладающие полуцелым спином ( S  = ¹ / ₂ , ³ / ₂ , ⁵ / ₂ , ... ).

Принцип Паули [ править ]

Свойство спина относится к другому основному свойству, касающемуся систем из N одинаковых частиц: принципу исключения Паули , который является следствием следующего перестановочного поведения волновой функции N -частицы; опять же, в позиционном представлении нужно постулировать, что для перестановки любых двух из N частиц всегда нужно иметь

т.е. при перестановке аргументов любых двух частиц волновая функция должна воспроизводиться , за исключением префактора (−1) ^{2 S,} который равен +1 для бозонов , но ( −1 ) для фермионов . Электроны - фермионы с S  = 1/2 ; кванты света - бозоны с S  = 1 . В нерелятивистской квантовой механике все частицы являются либо бозонами, либо фермионами ; в релятивистских квантовых теориях тоже «суперсимметричные»существуют теории, в которых частица представляет собой линейную комбинацию бозонной и фермионной частей. Только в размерности d = 2 можно построить объекты, в которых (−1) ^{2 S} заменяется произвольным комплексным числом с величиной 1, называемых энионами .

Хотя спин и принцип Паули могут быть получены только из релятивистских обобщений квантовой механики, свойства, упомянутые в последних двух абзацах, относятся к основным постулатам уже в нерелятивистском пределе. В частности, многие важные свойства в естествознании, например, периодическая система химии, являются следствием этих двух свойств.

Проблема измерения [ править ]

Картинка, приведенная в предыдущих параграфах, достаточна для описания полностью изолированной системы. Однако в нем не учитывается одно из главных различий между квантовой механикой и классической механикой, а именно эффекты измерения . ^[5] Описание фон Неймана квантового измерения наблюдаемой A , когда система подготовлена ​​в чистом состоянии ψ, следующее (обратите внимание, однако, что описание фон Неймана восходит к 1930-м годам и основано на экспериментах, проведенных во время в то время - точнее, эксперимент Комптона – Саймона ; он неприменим к большинству современных измерений в квантовой области):

• Пусть A имеет спектральное разрешение

${\displaystyle A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),}$

где Е это разложение единицы (также называемый проекционный-значной мерой ) , связанной с A . Тогда вероятность того, что результат измерения лежит в интервале B из R, равна | E _A ( B )  ψ | ² . Другими словами, вероятность получается путем интегрирования характеристической функции B по счетно-аддитивной мере

${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .}$

• Если измеренное значение содержится в B , то сразу после измерения система будет в (обычно ненормированном) состоянии E _A ( B ) ψ . Если измеренное значение не находится в B , замените B его дополнением для указанного выше состояния.

Например, предположим, что пространство состояний - это n -мерное комплексное гильбертово пространство C ^n, а A - эрмитова матрица с собственными значениями λ _i и соответствующими собственными векторами ψ _i . Проекционно-значная мера, ассоциированная с A , E _A , тогда равна

${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$

где B - борелевское множество, содержащее только одно собственное значение λ _i . Если система подготовлена ​​в гос.

${\displaystyle |\psi \rangle \,}$

Тогда вероятность того, что измерение вернет значение λ _i, может быть вычислена путем интегрирования спектральной меры

${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle }$

над B _i . Это тривиально дает

${\displaystyle \langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.}$

Характерное свойство схемы измерения фон Неймана состоит в том, что повторение одного и того же измерения даст те же результаты. Это также называется постулатом проекции .

В более общей формулировке проекционно- значная мера заменяется положительно-операторной мерой (POVM) . Для иллюстрации снова возьмем конечномерный случай. Здесь мы заменим проекции ранга 1

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\,}$

конечным набором положительных операторов

${\displaystyle F_{i}F_{i}^{*}\,}$

сумма которого по-прежнему является оператором тождества, как и раньше (разрешение тождества). Подобно тому, как набор возможных результатов { λ ₁  ...  λ _n } связан с проекционно-значной мерой, то же самое можно сказать и о POVM. Предположим, что результат измерения равен λ _i . Вместо коллапса в (ненормализованное) состояние

${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle \,}$

после измерения система теперь будет в состоянии

${\displaystyle F_{i}|\psi \rangle .\,}$

Поскольку операторы F _i F _i * не обязательно должны быть взаимно ортогональными проекциями, проекционный постулат фон Неймана больше не выполняется.

Та же формулировка применяется к общим смешанным состояниям .

В подходе фон Неймана преобразование состояния из-за измерения отличается от преобразования во времени несколькими способами. Например, эволюция во времени детерминирована и унитарна, тогда как измерение недетерминировано и неунитарно. Однако, поскольку оба типа преобразования состояний переводят одно квантовое состояние в другое, это различие многие сочли неудовлетворительным. Формализм POVM рассматривает измерение как одну из многих других квантовых операций , которые описываются полностью положительными картами, которые не увеличивают след.

В любом случае кажется, что вышеупомянутые проблемы могут быть решены только в том случае, если временная эволюция включает не только квантовую систему, но также, по сути, классический измерительный прибор (см. Выше).

Относительное состояние интерпретации [ править ]

Альтернативная интерпретация измерения - это интерпретация относительного состояния Эверетта , которая позже была названа « многомировой интерпретацией » квантовой физики.

Список математических инструментов [ править ]

Часть фольклоре предметных проблем в математической физике учебник Методы математической физики , объединяемых в Ричарда Куранта из Дэвида Гильберта «s Геттингенского университета курсов. История рассказана (математиками), что физики отклонили материал как неинтересный в текущих областях исследований, до появления уравнения Шредингера. Тогда стало понятно, что математика новой квантовой механики уже заложена в ней. Также говорят, что Гейзенберг консультировался с Гильбертом по поводу его матричной механики.Гильберт заметил, что его собственный опыт работы с бесконечномерными матрицами был основан на дифференциальных уравнениях, совет, который Гейзенберг проигнорировал, упустив возможность объединить теорию, как это сделали Вейль и Дирак несколько лет спустя. Какой бы ни была основа анекдотов, математика теории в то время была традиционной, а физика - радикально новой.

К основным инструментам относятся:

• линейная алгебра : комплексные числа , собственные векторы , собственные значения
• функциональный анализ : гильбертовы пространства , линейные операторы , спектральная теория
• дифференциальные уравнения : уравнения в частных производных , разделение переменных , обыкновенные дифференциальные уравнения , теория Штурма – Лиувилля , собственные функции
• гармонический анализ : преобразования Фурье

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Фон Нейман , Математические основы квантовой механики (1932), Princeton University Press, 1955. Перепечатано в мягкой обложке.
• Х. Вейль , Теория групп и квантовая механика , Dover Publications, 1950.
• А. Глисон , Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства , Журнал математики и механики, 1957.
• Дж. Макки , Математические основы квантовой механики , У. А. Бенджамин, 1963 (перепечатка в мягкой обложке, изданная Dover 2004).
• RF Streater и AS Wightman , PCT, Spin and Statistics and All That , Benjamin 1964 (перепечатано Princeton University Press)
• Р. Йост, Общая теория квантованных полей , Американское математическое общество, 1965.
• JM Jauch, Основы квантовой механики , Addison-Wesley Publ. Сай., Рединг, Массачусетс, 1968.
• Эмч Г. Алгебраические методы статистической механики и квантовой теории поля , Wiley-Interscience, 1972.
• М. Рид и Б. Саймон , Методы математической физики , т. I – IV, Academic Press, 1972.
• Т. С. Кун , Теория черного тела и квантовый разрыв , 1894–1912 , Clarendon Press, Oxford and Oxford University Press, Нью-Йорк, 1978.
• Д. Эдвардс, Математические основы квантовой механики , Synthese, 42 (1979), стр. 1–70.
• Р. Шанкар, "Принципы квантовой механики", Springer, 1980.
• Э. Пруговецкий, Квантовая механика в гильбертовом пространстве , Дувр, 1981.
• С. Ауян, Как возможна квантовая теория поля? , Oxford University Press, 1995.
• Н. Уивер, «Математическое квантование», Chapman & Hall / CRC 2001.
• Дж. Джахетта, Л. Манджиаротти, Г. Сарданашвили , "Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике", World Scientific, 2005.
• Дэвид МакМахон, «Квантовая механика, лишенная мистики», 2-е изд., McGraw-Hill Professional, 2005.
• Г. Тешль , Математические методы в квантовой механике с приложениями к операторам Шредингера , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , Американское математическое общество, 2009.
• В. Моретти, "Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки", 2-е издание, Springer, 2018.
• BC Холл, "Квантовая теория для математиков", Springer, 2013.
• В. Моретти, "Фундаментальные математические структуры квантовой теории". Springer, 2019 г., https://www.springer.com/it/book/9783030183455#aboutBook
• К. Ландсман, "Основы квантовой теории", Springer, 2017.