Квантовое вакуумное состояние

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В квантовой теории поля состояние квантового вакуума (также называемое квантовым вакуумом или вакуумным состоянием ) - это квантовое состояние с минимально возможной энергией . Как правило, он не содержит физических частиц. Поле нулевой точки иногда используется как синоним состояния вакуума отдельного квантованного поля.

Согласно современным представлениям о том, что называется вакуумным состоянием или квантовым вакуумом, это «ни в коем случае не простое пустое пространство». ^[1]^[2] Согласно квантовой механике, состояние вакуума на самом деле не пустое, а вместо этого содержит мимолетные электромагнитные волны и частицы, которые входят в квантовое поле и выходят из него. ^[3]^[4]^[5]

КЭД вакуума в квантовой электродинамики (или КЭД) был первый вакуум квантовой теории поля , которые будут разработаны. КЭД возникла в 1930-х годах, а в конце 1940-х и начале 1950-х годов она была переформулирована Фейнманом , Томонагой и Швингером , которые совместно получили Нобелевскую премию за эту работу в 1965 году. ^[6] Сегодня электромагнитные взаимодействия и слабые взаимодействия объединены ( только при очень высоких энергиях) в теории электрослабого взаимодействия .

Стандартная модель является обобщением работы QED , чтобы включить все известные элементарные частицы и их взаимодействие (кроме гравитации). Квантовая хромодинамика (или КХД) - это часть Стандартной модели, которая имеет дело с сильными взаимодействиями , а вакуум КХД - это вакуум квантовой хромодинамики. Он является объектом изучения Большого адронного коллайдера и Релятивистского коллайдера тяжелых ионов и связан с так называемой вакуумной структурой сильных взаимодействий . ^[7]

Ненулевое математическое ожидание [ править ]

Воспроизвести медиа

Видео эксперимента, демонстрирующего флуктуации вакуума (в красном кольце), усиленные спонтанным параметрическим понижающим преобразованием .

Если квантовая теория поля может быть точно описана с помощью теории возмущений , то свойства вакуума аналогичны свойств основного состояния квантового механического гармонического осциллятора , или , точнее, в состоянии о наличии проблемы измерения . В этом случае вакуумное математическое ожидание (VEV) любого полевого оператора обращается в нуль. Для квантовой теории поля , в которых теория возмущений нарушается при низких энергиях (например, КХД или теория BCS о сверхпроводимости ) полевые операторы могут иметь неисчезающийожидаемые значения вакуума, называемые конденсатами . В Стандартной модели ненулевое значение вакуумного ожидания поля Хиггса , возникающее из-за спонтанного нарушения симметрии , является механизмом, с помощью которого другие поля в теории приобретают массу.

Энергия [ править ]

Вакуумное состояние связано с нулевой энергией , и эта нулевая энергия (эквивалент наинизшего возможного энергетического состояния) имеет измеримые эффекты. В лаборатории это может быть обнаружено как эффект Казимира . В физической космологии энергия космологического вакуума выступает как космологическая постоянная . Фактически, энергия кубического сантиметра пустого пространства была вычислена образно и составляет одну триллионную эрг (или 0,6 эВ). ^[8] Выдающееся требование, предъявляемое к потенциальной теории всего, состоит в том, что энергия квантового состояния вакуума должна объяснять физически наблюдаемую космологическую постоянную.

Симметрия [ править ]

Для релятивистской теории поля вакуум является инвариантом Пуанкаре , что следует из аксиом Вайтмана, но также может быть доказано напрямую без этих аксиом. ^[9] Инвариантность Пуанкаре означает, что только скалярные комбинации полевых операторов имеют ненулевые ВЭВ . Вакуумные может нарушить некоторые из внутренних симметрий из лагранжиан теории поля. В этом случае вакуум имеет меньшую симметрию, чем допускает теория, и говорят, что произошло спонтанное нарушение симметрии . См. Механизм Хиггса , стандартная модель .

Нелинейная диэлектрическая проницаемость [ править ]

Квантовые поправки к уравнениям Максвелла , как ожидается, приведет к крошечному нелинейному члену электрической поляризации в вакууме, в результате чего в поле зависящего от электрической диэлектрической проницаемости х отклонений от номинального значения & epsi ; ₀ из вакуумной диэлектрической проницаемости . ^[10] Эти теоретические разработки описаны, например, в Dittrich and Gies. ^[5] Теория квантовой электродинамики предсказывает, что вакуум КЭД должен демонстрировать небольшую нелинейность, так что в присутствии очень сильного электрического поля диэлектрическая проницаемость увеличивается на незначительную величину по сравнению с ε _0.. Более того, и что было бы легче наблюдать (но все же очень сложно!), Так это то, что сильное электрическое поле будет изменять эффективную проницаемость свободного пространства , становясь анизотропным со значением немного ниже μ ₀ в направлении электрического поля и слегка превышающий μ ₀ в перпендикулярном направлении, тем самым проявляя двойное лучепреломление для электромагнитной волны, распространяющейся в направлении, отличном от направления электрического поля. Эффект аналогичен эффекту Керра, но без материи. ^[11] Эту крошечную нелинейность можно интерпретировать с точки зрения образования виртуальных пар ^[12]Предполагается, что необходимое электрическое поле будет огромным, около В / м, известным как предел Швингера ; была оценена эквивалентная постоянная Керра , которая примерно в ^10-20 раз меньше постоянной Керра воды. Объяснения дихроизма из физики элементарных частиц, помимо квантовой электродинамики, также были предложены. ^[13] Экспериментально измерить такой эффект очень сложно, ^[14] и пока не удалось. ${\ displaystyle 1.32 \ times 10 ^ {18}}$

Виртуальные частицы [ править ]

Наличие виртуальных частиц может быть строго основано на не-коммутации из квантованных электромагнитных полей . Некоммутация означает, что, хотя средние значения полей обращаются в нуль в квантовом вакууме, их дисперсии нет. ^[15] Термин « флуктуации вакуума » относится к изменению напряженности поля в состоянии минимальной энергии ^[16] и описывается живописно как свидетельство «виртуальных частиц». ^[17] Иногда пытаются дать интуитивную картину виртуальных частиц или дисперсий на основе принципа неопределенности энергии-времени Гейзенберга :

{\ Displaystyle \ Delta E \ Delta t \ geq \ hbar \,}

(где ΔE и Δt представляют собой изменения энергии и времени соответственно; ΔE - точность измерения энергии, Δt - время, затраченное на измерение, а $ħ$ - приведенная постоянная Планка ), утверждая, что короткое время жизни виртуальных частицы позволяют «заимствовать» большую энергию из вакуума и, таким образом, позволяют генерировать частицы на короткое время. ^[18] Хотя явление виртуальных частиц принято, такая интерпретация зависимости неопределенности энергии от времени не универсальна. ^[19]^[20]Одной из проблем является использование отношения неопределенности, ограничивающего точность измерения, как будто временная неопределенность Δt определяет «бюджет» для заимствования энергии ΔE . Другой проблемой является значение термина «время» в этом отношении, поскольку энергия и время (в отличие от положения $q$ и импульса $p$ , например) не удовлетворяют каноническому соотношению коммутации (например, $[q, p] = i ħ$ ). ^[21] Были предложены различные схемы для построения наблюдаемой, которая имеет некоторую временную интерпретацию и все же удовлетворяет каноническому коммутационному соотношению с энергией. ^[22]^[23]Очень многие подходы к принципу неопределенности энергии-времени - долгая и продолжающаяся тема. ^[23]

Физическая природа квантового вакуума [ править ]

Согласно Астрид Ламбрехт (2002): «Когда кто-то очищает пространство от всей материи и понижает температуру до абсолютного нуля, он создает в Gedankenexperiment [мысленный эксперимент] состояние квантового вакуума». ^[1] Согласно Фаулеру и Гуггенхайму (1939/1965), третий закон термодинамики может быть точно сформулирован следующим образом:

Никакой процедурой, какой бы идеализированной она ни была, невозможно свести любую сборку к абсолютному нулю за конечное число операций. ^[24] (См. Также. ^[25]^[26]^[27] )

Фотон-фотонное взаимодействие может происходить только через взаимодействие с вакуумным состоянием некоторого другого поля, например, через электрон-позитронное вакуумное поле Дирака; это связано с концепцией поляризации вакуума . ^[28] Согласно Милонни (1994): «... все квантовые поля имеют нулевую энергию и вакуумные флуктуации». ^[29] Это означает, что существует составляющая квантового вакуума соответственно для каждой составляющей поля (рассматриваемой при концептуальном отсутствии других полей), такой как электромагнитное поле, электрон-позитронное поле Дирака и так далее. Согласно Милонни (1994), некоторые эффекты, приписываемые вакуумному электромагнитному полюможет иметь несколько физических интерпретаций, некоторые из которых более условны, чем другие. Притяжения Казимира между незаряженными проводящими пластинами часто предлагаются в качестве примера эффекта вакуумного электромагнитного поля. Швингер, ДеРаад и Милтон (1978) цитируются Милонни (1994) как обоснованные, хотя и нетрадиционные, объясняющие эффект Казимира с помощью модели, в которой «вакуум рассматривается как истинное состояние со всеми физическими свойствами, равными нулю». ^[30]^[31] В этой модели наблюдаемые явления объясняются как эффекты движения электронов на электромагнитное поле, называемые эффектом поля источника. Милонни пишет:

Основная идея здесь будет заключаться в том, что сила Казимира может быть получена только из полей источника даже в полностью традиционной КЭД ... Милонни приводит подробный аргумент, что измеримые физические эффекты, обычно приписываемые вакуумному электромагнитному полю, не могут быть объяснены одним этим полем , но требуют, кроме того, вклада собственной энергии электронов или их радиационной реакции. Он пишет: «Реакция излучения и вакуумные поля - это два аспекта одного и того же, когда дело доходит до физической интерпретации различных процессов КЭД, включая сдвиг Лэмба , силы Ван-дер-Ваальса и эффекты Казимира». ^[32]

Эту точку зрения также высказал Яффе (2005): «Сила Казимира может быть вычислена без привязки к вакуумным флуктуациям, и, как все другие наблюдаемые эффекты в КЭД, она исчезает, когда постоянная тонкой структуры $α$ стремится к нулю». ^[33]

Обозначения [ править ]

Состояние вакуума записывается как или . Вакуумное ожидание (смотрите также среднее значение ) любое поле должно быть записано как . ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ rangle}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ Displaystyle \ langle 0 | \ phi | 0 \ rangle}$

См. Также [ править ]

Производство пар
Энергия вакуума

Ложный вакуум
Сжатое когерентное состояние

Квантовая флуктуация
Эффект Шарнхорста
Сила Ван-дер-Ваальса

Ссылки и примечания [ править ]

^ a b Астрид Ламбрехт (2002). Хартмут Фиггер; Дитер Мешеде; Клаус Циммерманн (ред.). Наблюдение механической диссипации в квантовом вакууме: экспериментальная задача; в области лазерной физики на пределе. Берлин / Нью-Йорк: Спрингер. п. 197. ISBN 978-3-540-42418-5.
^ Кристофер Рэй (1991). Время, пространство и философия . Лондон / Нью-Йорк: Рутледж. Глава 10, с. 205. ISBN 978-0-415-03221-6.
^ Обновление новостей физики AIP, 1996
^ Physical Review Focus декабрь 1998 г.
^ a b Уолтер Диттрих и Гис H (2000). Исследование квантового вакуума: подход эффективного пертурбативного действия . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-67428-3.
↑ Для исторической дискуссии см., Например, Ари Бен-Менахем, изд. (2009). «Квантовая электродинамика (КЭД)» . Историческая энциклопедия естественных и математических наук . 1 (5-е изд.). Springer. стр. 4892 и далее . ISBN 978-3-540-68831-0.Подробнее о Нобелевской премии и Нобелевских лекциях этих авторов см. «Нобелевская премия по физике 1965 года» . Nobelprize.org . Проверено 6 февраля 2012 .
^ Жан Летесье; Иоганн Рафельский (2002). Адроны и кварк-глюонная плазма . Издательство Кембриджского университета. п. 37 сл . ISBN 978-0-521-38536-7.
↑ Шон Кэрролл, старший научный сотрудник по физике, Калифорнийский технологический институт , 22 июня 2006 г.,трансляция C-SPAN космологии на Ежегодной научной панели на Косе, часть 1
^ Беднорц, Адам (ноябрь 2013). «Релятивистская инвариантность вакуума». Европейский физический журнал C . 73 (12): 2654. arXiv : 1209.0209 . Bibcode : 2013EPJC ... 73.2654B . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-013-2654-9 . S2CID 39308527 .
^ Дэвид Дельфених (2006). «Нелинейная электродинамика и КЭД». arXiv : hep-th / 0610088 .
^ Муру, Г. А., Т. Таджима, и С. В. Буланов, Оптика в релятивистском режиме ; § XI Нелинейная КЭД , Обзоры современной физики, т. 78 (№ 2), 309-371 (2006) файл pdf .
^ Кляйн, Джеймс Дж. И Б.П. Нигам, Двойное лучепреломление вакуума , Physical Review vol. 135 , стр. B1279-B1280 (1964 г.).
^ Хольгер Гис; Йорг Джекель; Андреас Рингуолд (2006). «Поляризованный свет, распространяющийся в магнитном поле как зонд миллизарядных фермионов». Письма с физическим обзором . 97 (14): 140402. arXiv : hep-ph / 0607118 . Bibcode : 2006PhRvL..97n0402G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.97.140402 . PMID 17155223 . S2CID 43654455 .
^ Дэвис; Джозеф Харрис; Окорок; Смольянинов; Кьюман Чо (2007). «Экспериментальные задачи, связанные с поиском аксионоподобных частиц и нелинейных квантовых электродинамических эффектов с помощью чувствительных оптических методов». arXiv : 0704.0748 [ hep-th ].
^ Майрон Вин Эванс ; Станислав Келич (1994). Современная нелинейная оптика, Том 85, Часть 3 . Джон Вили и сыновья. п. 462. ISBN. 978-0-471-57548-1. Для всех состояний поля, имеющих классический аналог, квадратурные дисперсии поля также больше или равны этому коммутатору.
↑ Давид Николаевич Клышко (1988). Фотоны и нелинейная оптика . Тейлор и Фрэнсис. п. 126. ISBN 978-2-88124-669-2.
^ Милтон К. Муниц (1990). Космическое понимание: философия и наука о Вселенной . Издательство Принстонского университета. п. 132. ISBN 978-0-691-02059-4. Самопроизвольное временное появление частиц из вакуума называется «вакуумной флуктуацией».
^ Для примера см. PCW Davies (1982). Случайная вселенная . Издательство Кембриджского университета. С. 106 . ISBN 978-0-521-28692-3.
^ Более расплывчатое описание предоставлено Джонатаном Аллдеем (2002). Кварки, лептоны и большой взрыв (2-е изд.). CRC Press. стр. 224 и далее . ISBN 978-0-7503-0806-9. Взаимодействие продлится определенное время Δt . Это означает, что амплитуда полной энергии, участвующей во взаимодействии, распределена по диапазону энергий ΔE .
^ Эта идея "заимствования" привела к предложениям об использовании энергии нулевой точки вакуума как бесконечного резервуара и множеству "лагерей" по поводу этой интерпретации. См., Например, Moray B. King (2001). В поисках энергии нулевой точки: инженерные принципы для изобретений «свободной энергии» . Adventures Unlimited Press. стр. 124 и далее . ISBN 978-0-932813-94-7.
^ Величины, удовлетворяющие каноническому правилу коммутации, называются несовместимыми наблюдаемыми, что означает, что они оба могут быть измерены одновременно только с ограниченной точностью. См. Киеси Ито (1993). «§ 351 (XX.23) C: Канонические коммутационные соотношения» . Математический энциклопедический словарь (2-е изд.). MIT Press. п. 1303. ISBN. 978-0-262-59020-4.
^ Пол Буш ; Мариан Грабовски; Пекка Дж. Лахти (1995). «§III.4: Энергия и время». Оперативная квантовая физика . Springer. стр. 77 и далее . ISBN 978-3-540-59358-4.
^ a b Обзор см. в Paul Busch (2008). «Глава 3: Связь неопределенности времени и энергии». В JG Muga; Р. Сала Маято; Í.L. Egusquiza (ред.). Время в квантовой механике . Конспект лекций по физике. 734 (2-е изд.). Springer. С. 73–105. arXiv : квант-ph / 0105049 . Bibcode : 2002tqm..conf ... 69B . DOI : 10.1007 / 978-3-540-73473-4_3 . ISBN 978-3-540-73472-7. S2CID 14119708 .
Перейти ↑ Fowler, R. , Guggenheim, EA (1965). Статистическая термодинамика. Версия статистической механики для студентов-физиков и химиков , перепечатанная с исправлениями, Cambridge University Press, Лондон, стр. 224.
^ Партингтон, JR (1949). Расширенный трактат по физической химии , том 1, фундаментальные принципы. Свойства газов , Longmans, Green and Co., Лондон, стр. 220.
^ Уилкс, Дж. (1971). Третий закон термодинамики, глава 6 в термодинамике , том 1, изд. W. Jost, H. Eyring, D. Henderson, W. Jost, Physical Chemistry. Расширенный трактат , Academic Press, Нью-Йорк, стр. 477.
^ Бэйлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Нью-Йорк, ISBN 0-88318-797-3 , стр. 342.
^ Jauch, JM, Рорлих, F. (1955/1980). Теория фотонов и электронов. Релятивистская квантовая теория поля заряженных частиц со спином 1/2 , второе расширенное издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-07295-0 , страницы 287–288.
^ Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. Xv.
^ Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. 239.
^ Швингер, J .; ДеРаад, LL; Милтон, KA (1978). «Эффект Казимира в диэлектриках». Анналы физики . 115 (1): 1–23. Bibcode : 1978AnPhy.115 .... 1S . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (78) 90172-0 .
^ Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. 418.
Перейти ↑ Jaffe, RL (2005). Эффект Казимира и квантовый вакуум, Phys. Ред. D 72 : 021301 (R), http://1–5.cua.mit.edu/8.422_s07/jaffe2005_casimir.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

Дальнейшее чтение [ править ]

Бесплатная копия в формате pdf книги «Структурированный вакуум - ни о чем не думать » Иоганна Рафельского и Берндта Мюллера (1985) ISBN 3-87144-889-3 .
М. Е. Пескин, Д. В. Шредер, Введение в квантовую теорию поля .
Х. Генз, Ничто: наука о пустом пространстве
Путхофф, HE; Литтл, SR; Ибисон, М. (2001). «Разработка поля нулевой точки и поляризуемого вакуума для межзвездного полета». arXiv : astro-ph / 0107316 .
EW Davis, VL Teofilo, B. Haisch, HE Puthoff, LJ Nickisch, A. Rueda и DC Cole (2006) " Обзор экспериментальных концепций для изучения квантового вакуумного поля "

Внешние ссылки [ править ]

Энергия в материю

[Lambrecht-1] Астрид Ламбрехт (2002). Хартмут Фиггер; Дитер Мешеде; Клаус Циммерманн (ред.). Наблюдение механической диссипации в квантовом вакууме: экспериментальная задача; в области лазерной физики на пределе. Берлин / Нью-Йорк: Спрингер. п. 197. ISBN 978-3-540-42418-5.

[Ray-2] Кристофер Рэй (1991). Время, пространство и философия . Лондон / Нью-Йорк: Рутледж. Глава 10, с. 205. ISBN 978-0-415-03221-6.

[3] Обновление новостей физики AIP, 1996

[4] Physical Review Focus декабрь 1998 г.

[Dittrich-5] Уолтер Диттрих и Гис H (2000). Исследование квантового вакуума: подход эффективного пертурбативного действия . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-67428-3.

[history-6] Для исторической дискуссии см., Например, Ари Бен-Менахем, изд. (2009). «Квантовая электродинамика (КЭД)» . Историческая энциклопедия естественных и математических наук . 1 (5-е изд.). Springer. стр. 4892 и далее . ISBN 978-3-540-68831-0.Подробнее о Нобелевской премии и Нобелевских лекциях этих авторов см. «Нобелевская премия по физике 1965 года» . Nobelprize.org . Проверено 6 февраля 2012 .

[Letessier-7] Жан Летесье; Иоганн Рафельский (2002). Адроны и кварк-глюонная плазма . Издательство Кембриджского университета. п. 37 сл . ISBN 978-0-521-38536-7.

[8] Шон Кэрролл, старший научный сотрудник по физике, Калифорнийский технологический институт , 22 июня 2006 г.,трансляция C-SPAN космологии на Ежегодной научной панели на Косе, часть 1

[proof-vac-9] Беднорц, Адам (ноябрь 2013). «Релятивистская инвариантность вакуума». Европейский физический журнал C . 73 (12): 2654. arXiv : 1209.0209 . Bibcode : 2013EPJC ... 73.2654B . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-013-2654-9 . S2CID 39308527 .

[Delphenich-10] Дэвид Дельфених (2006). «Нелинейная электродинамика и КЭД». arXiv : hep-th / 0610088 .

[Mourou-11] Муру, Г. А., Т. Таджима, и С. В. Буланов, Оптика в релятивистском режиме ; § XI Нелинейная КЭД , Обзоры современной физики, т. 78 (№ 2), 309-371 (2006) файл pdf .

[12] Кляйн, Джеймс Дж. И Б.П. Нигам, Двойное лучепреломление вакуума , Physical Review vol. 135 , стр. B1279-B1280 (1964 г.).

[13] Хольгер Гис; Йорг Джекель; Андреас Рингуолд (2006). «Поляризованный свет, распространяющийся в магнитном поле как зонд миллизарядных фермионов». Письма с физическим обзором . 97 (14): 140402. arXiv : hep-ph / 0607118 . Bibcode : 2006PhRvL..97n0402G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.97.140402 . PMID 17155223 . S2CID 43654455 .

[14] Дэвис; Джозеф Харрис; Окорок; Смольянинов; Кьюман Чо (2007). «Экспериментальные задачи, связанные с поиском аксионоподобных частиц и нелинейных квантовых электродинамических эффектов с помощью чувствительных оптических методов». arXiv : 0704.0748 [ hep-th ].

[commutator-15] Майрон Вин Эванс ; Станислав Келич (1994). Современная нелинейная оптика, Том 85, Часть 3 . Джон Вили и сыновья. п. 462. ISBN. 978-0-471-57548-1. Для всех состояний поля, имеющих классический аналог, квадратурные дисперсии поля также больше или равны этому коммутатору.

[Klyshko-16] Давид Николаевич Клышко (1988). Фотоны и нелинейная оптика . Тейлор и Фрэнсис. п. 126. ISBN 978-2-88124-669-2.

[Munitz-17] Милтон К. Муниц (1990). Космическое понимание: философия и наука о Вселенной . Издательство Принстонского университета. п. 132. ISBN 978-0-691-02059-4. Самопроизвольное временное появление частиц из вакуума называется «вакуумной флуктуацией».

[Davies-18] Для примера см. PCW Davies (1982). Случайная вселенная . Издательство Кембриджского университета. С. 106 . ISBN 978-0-521-28692-3.

[Allday-19] Более расплывчатое описание предоставлено Джонатаном Аллдеем (2002). Кварки, лептоны и большой взрыв (2-е изд.). CRC Press. стр. 224 и далее . ISBN 978-0-7503-0806-9. Взаимодействие продлится определенное время Δt . Это означает, что амплитуда полной энергии, участвующей во взаимодействии, распределена по диапазону энергий ΔE .

[King-20] Эта идея "заимствования" привела к предложениям об использовании энергии нулевой точки вакуума как бесконечного резервуара и множеству "лагерей" по поводу этой интерпретации. См., Например, Moray B. King (2001). В поисках энергии нулевой точки: инженерные принципы для изобретений «свободной энергии» . Adventures Unlimited Press. стр. 124 и далее . ISBN 978-0-932813-94-7.

[commutation-21] Величины, удовлетворяющие каноническому правилу коммутации, называются несовместимыми наблюдаемыми, что означает, что они оба могут быть измерены одновременно только с ограниченной точностью. См. Киеси Ито (1993). «§ 351 (XX.23) C: Канонические коммутационные соотношения» . Математический энциклопедический словарь (2-е изд.). MIT Press. п. 1303. ISBN. 978-0-262-59020-4.

[Busch0-22] Пол Буш ; Мариан Грабовски; Пекка Дж. Лахти (1995). «§III.4: Энергия и время». Оперативная квантовая физика . Springer. стр. 77 и далее . ISBN 978-3-540-59358-4.

[Busch-23] Обзор см. в Paul Busch (2008). «Глава 3: Связь неопределенности времени и энергии». В JG Muga; Р. Сала Маято; Í.L. Egusquiza (ред.). Время в квантовой механике . Конспект лекций по физике. 734 (2-е изд.). Springer. С. 73–105. arXiv : квант-ph / 0105049 . Bibcode : 2002tqm..conf ... 69B . DOI : 10.1007 / 978-3-540-73473-4_3 . ISBN 978-3-540-73472-7. S2CID 14119708 .

[24] Перейти ↑ Fowler, R. , Guggenheim, EA (1965). Статистическая термодинамика. Версия статистической механики для студентов-физиков и химиков , перепечатанная с исправлениями, Cambridge University Press, Лондон, стр. 224.

[25] Партингтон, JR (1949). Расширенный трактат по физической химии , том 1, фундаментальные принципы. Свойства газов , Longmans, Green and Co., Лондон, стр. 220.

[26] Уилкс, Дж. (1971). Третий закон термодинамики, глава 6 в термодинамике , том 1, изд. W. Jost, H. Eyring, D. Henderson, W. Jost, Physical Chemistry. Расширенный трактат , Academic Press, Нью-Йорк, стр. 477.

[27] Бэйлин, М. (1994). Обзор термодинамики , Американский институт физики, Нью-Йорк, ISBN 0-88318-797-3 , стр. 342.

[28] Jauch, JM, Рорлих, F. (1955/1980). Теория фотонов и электронов. Релятивистская квантовая теория поля заряженных частиц со спином 1/2 , второе расширенное издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-07295-0 , страницы 287–288.

[29] Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. Xv.

[30] Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. 239.

[31] Швингер, J .; ДеРаад, LL; Милтон, KA (1978). «Эффект Казимира в диэлектриках». Анналы физики . 115 (1): 1–23. Bibcode : 1978AnPhy.115 .... 1S . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (78) 90172-0 .

[32] Миллони, PW (1994). Квантовый вакуум. Введение в квантовую электродинамику , Academic Press, Inc., Бостон, ISBN 0-12-498080-5 , стр. 418.

[33] Перейти ↑ Jaffe, RL (2005). Эффект Казимира и квантовый вакуум, Phys. Ред. D 72 : 021301 (R), http://1–5.cua.mit.edu/8.422_s07/jaffe2005_casimir.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}