Четвертичное взаимодействие

В квантовой теории поля , квартик взаимодействие представляет собой тип самовоздействия в скалярном поле . Другие типы взаимодействий четвертой степени можно найти в теме четырехфермионных взаимодействий . Классическое свободное скалярное поле удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона . Если обозначено скалярное поле , то взаимодействие четвертой степени представлено добавлением потенциального члена к плотности лагранжиана . Константа является безразмерным в 4-мерном пространстве - времени .${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle ({\ lambda} / {4!}) \ varphi ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

В этой статье используется метрическая подпись для пространства Минковского .${\ Displaystyle (+, -, -, -)}$

Лагранжиан для вещественного скалярного поля [ править ]

Плотность лагранжиана для реального скалярного поля с взаимодействием четвертой степени равна

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} [\ partial ^ {\ mu} \ varphi \ partial _ {\ mu} \ varphi -m ^ {2} \ varphi ^ {2}] - {\ frac {\ lambda} {4!}} \ varphi ^ {4}.}$

Этот лагранжиан имеет отображение глобальной симметрии Z ₂ .${\ displaystyle \ varphi \ to - \ varphi}$

Лагранжиан для комплексного скалярного поля [ править ]

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. Для двух скалярных полей и лагранжиан имеет вид${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ frac {1} {2}} [\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {1} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {1} -m ^ {2} \ varphi _ {1} ^ {2}] + {\ frac {1} {2}} [\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {2} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {2} -m ^ {2} \ varphi _ {2} ^ {2}] - {\ frac {1} {4}} \ lambda (\ varphi _ {1} ^ {2} + \ varphi _ {2} ^ {2}) ^ {2},}$

который можно записать более кратко, введя комплексное скалярное поле, определяемое как${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ Phi \ Equiv {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ varphi _ {1} + я \ varphi _ {2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

Выраженный через это скалярное поле, указанный лагранжиан принимает вид

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

что, таким образом, эквивалентно модели SO (2) реальных скалярных полей , что можно увидеть, разложив комплексное поле на действительную и мнимую части.${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$${\displaystyle \phi }$

С действительными скалярными полями у нас может быть модель с глобальной SO (N) -симметрией, задаваемой лагранжианом${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi ^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2).

Во всех вышеперечисленных моделях константа связи должна быть положительной, поскольку в противном случае потенциал был бы неограниченным снизу и не было бы стабильного вакуума. Кроме того, описанный ниже интеграл по путям Фейнмана будет некорректным. В четырех измерениях теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания в масштабе высоких энергий перенормировка сделала бы теорию тривиальной .${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \phi ^{4}}$

Интегральное квантование Фейнмана [ править ]

Расширение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулировки интеграла по путям Фейнмана . ^[1] время заказали вакуумные средние многочленов ф, известные как п -частичной функции Грина, построены путем интегрирования по всем возможным полям, нормированного значение вакуумного ожидания без каких - либо внешних полей,

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.}$

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты по J ( x ) φ ( x ) в производящую функцию

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

Вращения Фитиль может быть применен , чтобы сделать время мнимым. Изменение подписи на (++++) затем дает интеграл статистической механики φ ⁴ по 4-мерному евклидову пространству ,

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно преобразование Фурье , дающее вместо этого

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

где - дельта-функция Дирака .${\displaystyle \delta (x)}$

Стандартный прием для вычисления этого функционального интеграла состоит в том, чтобы схематично записать его как произведение экспоненциальных множителей:

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в виде степенного ряда, и комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов, а результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , вычисленных с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле в n- точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p .${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• Каждая вершина представлена ​​множителем -λ .
• При заданном порядке λ ^k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами строятся так, что импульсы, текущие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена ​​множителем 1 / ( q ² + m ² ), где q - импульс, проходящий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перегруппировки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включайте графики, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на . Правила Фейнмана пространства Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ​​как , а каждая внутренняя линия представлена ​​множителем i / ( q ² - m ² + i ε ), где ε- член представляет собой небольшое вращение Вика, необходимое для сделать гауссовский интеграл в пространстве Минковского сходящимся.${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$${\displaystyle -i\lambda }$ 

Ренормализация [ править ]

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графах Фейнмана обычно расходятся. Обычно это выполняется с помощью перенормировки , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. ^[2] При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, от которого зависят константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к полюсу Ландау, упомянутому ранее, и требует сохранения конечности обрезания. В качестве альтернативы, если обрезание может стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теориюбанально . ^[3]

Спонтанное нарушение симметрии [ править ]

Интересная особенность может возникнуть, если m ² станет отрицательным, но при этом λ останется положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с самой низкой энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z ₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний типа доменных стенок . В теории O (2) вакуум будет лежать на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушит симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к бозону Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является важным компонентом механизма Хиггса . ^[4]

Самопроизвольное нарушение дискретных симметрий [ править ]

Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, - это система с одним скалярным полем с лагранжианом${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

где и${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

Минимизация потенциала по отношению к приводит к${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Теперь мы расширяем поле вокруг этого минимального письма

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

и подставляя в лагранжиан, получаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

где мы замечаем, что скаляр теперь имеет положительный массовый член.${\displaystyle \sigma }$

Мышление в терминах математических ожиданий позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантен относительно симметрии . С${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

оба минимума, должно быть два разных вакуума: с${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

Поскольку симметрия принимает , она также должна принимать . Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане симметрия исчезла, она все еще существует, но теперь действует так. Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но на самом деле они не нарушаются в лагранжиане, а просто скрыты. , и часто реализуется только нелинейным образом. ^[5]${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

Точные решения [ править ]

Существует набор точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

что можно записать для безмассового случая как ^[6]${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,-1),}$

с эллиптической функции Якоби и двух постоянных интегрирования, при условии , что следующее дисперсионное соотношение имеет место${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

Интересно то, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с дисперсионным соотношением, соответствующим массивному решению. Когда массовый член не равен нулю, получается

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

теперь дисперсионное соотношение

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

Наконец, для случая нарушения симметрии имеем

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

быть и следующая дисперсия имеет место соотношение${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, уравнение дисперсии имеет верное значение. Кроме того, функция Якоби не имеет реальных нулей, поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии.${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

Доказательство единственности может быть предоставлено, если мы заметим, что решение можно искать в форме будучи . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с удовлетворением собственному соотношению дисперсии.${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$${\displaystyle \xi =p\cdot x}$${\displaystyle p}$

См. Также [ править ]

• Теория скалярного поля
• Квантовая тривиальность
• Полюс Ландау
• Перенормировка
• Механизм Хиггса
• Бозон Голдстоуна

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• 'т Хоофт, Г. , "Концептуальные основы квантовой теории поля" ( онлайн-версия ).
• Базганди, Мустафа (август 2019 г.). "Симметрии Ли и решения подобия уравнения фи-четыре". Индийский математический журнал . 61 (2): 187–197.