Безразмерная величина

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Безразмерное количество»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В одномерном анализе , А величина безразмерная является величиной , к которой никакого физическому измерению не назначено, также известная как голая, чистая, или скалярной величина или величина размерность один, ^[1] с соответствующим блоком измерения в СИ из unit one (или 1 ), ^{[2] [3],} который явно не показан. Безразмерные величины широко используются во многих областях, таких как математика , физика , химия , инженерия и экономика.. Примером величины, имеющей измерение, является время , измеряемое в секундах .

История [ править ]

Величины, имеющие размерность один, безразмерные величины , регулярно встречаются в науке и формально рассматриваются в области анализа размерностей . В девятнадцатом веке французский математик Жозеф Фурье и шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл вели значительные разработки в современных концепциях измерения и единицы . Позже работа британских физиков Осборна Рейнольдса и лорда Рэлея внесла вклад в понимание безразмерных чисел в физике. Основываясь на методе анализа размерностей Рэлея, Эдгар Бэкингем доказал π- теорему(независимо от предыдущей работы французского математика Жозефа Бертрана ) формализовать природу этих величин. ^[4]

Многочисленные безразмерные числа, в основном отношения, были придуманы в начале 1900-х годов, особенно в области механики жидкости и теплообмена . Коэффициенты измерения в (производной) единице дБ ( децибел ) в настоящее время находят широкое применение.

В начале 2000-х годов Международный комитет мер и весов обсуждал вопрос о присвоении единицы 1 как « uno », но идея просто ввести новое имя в системе СИ для 1 была отброшена. ^{[5] [6] [7]}

Чистые числа [ править ]

Все чистые числа являются безразмерными величинами, например 1 , i , π , e и φ . ^[8] Числовые единицы, такие как дюжина , брутто , гугол и число Авогадро, также могут считаться безразмерными. ^[9]

Соотношения, пропорции и углы [ править ]

Безразмерные величины часто получают в виде соотношений в количествах , которые не безразмерные, но размеры которых сокращаются в математической операции. ^[10] Примеры включают вычисление наклонов или коэффициентов преобразования единиц . Более сложным примером такого отношения является инженерное напряжение , мера физической деформации, определяемая как изменение длины, деленное на исходную длину. Поскольку обе величины имеют размерную длину , их соотношение безразмерно. Другой набор примеров - массовые доли или мольные доли, часто записываемые с использованием обозначений частей на миллион, таких как ppm (= 10⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) и ppt (= 10 ⁻¹² ), или, возможно, сбивает с толку как отношения двух идентичных единиц ( кг / кг или моль / моль). Например, объемный спирт , который характеризует концентрацию этанола в алкогольном напитке , можно записать как мл / 100 мл .

Другие распространенные пропорции - это проценты %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001) и угловые единицы, такие как радиан , градус (° = π/180) и grad (= π/200). В статистике коэффициент вариации представляет собой отношение стандартного отклонения к среднему и используется для измерения дисперсии в данных .

Утверждалось, что величины, определяемые как отношения Q = A / B, имеющие равные размеры в числителе и знаменателе, на самом деле являются только безразмерными величинами и все же имеют физический размер, определяемый как dim Q = dim A × dim B ⁻¹ . ^[11] Например, влажность может быть определена как отношение объемов (объемная влажность, м ³ ⋅м ⁻³ , размер L ³ L ⁻³ ) или как отношение масс (гравиметрическая влажность, единицы кг⋅кг ^{- 1} , размерность M⋅M ⁻¹); оба будут безразмерными величинами, но разной размерности.

Теорема Бакингема π [ править ]

Теорема Бакингема π указывает на то, что действие законов физики не зависит от конкретной системы единиц. Утверждение этой теоремы состоит в том, что любой физический закон может быть выражен как тождество, включающее только безразмерные комбинации (отношения или произведения) переменных, связанных законом (например, давление и объем связаны законом Бойля - они обратно пропорциональны). Если бы значения безразмерных комбинаций менялись вместе с системами единиц, то уравнение не было бы тождественным, и теорема Бэкингема не выполнялась.

Другим следствием теоремы является то, что функциональная зависимость между определенным числом (скажем, n ) переменных может быть уменьшена числом (скажем, k ) независимых измерений, встречающихся в этих переменных, чтобы получить набор из p = n - k независимых , безразмерные величины . Для экспериментатора разные системы, имеющие одно и то же описание безразмерной величиной , эквивалентны.

Пример [ править ]

Чтобы продемонстрировать применение π- теоремы, рассмотрим потребляемую мощность мешалки данной формы. Мощности, Р , в измерениях [M · L ² / T ³ ], является функцией плотности , ρ [M / L ³ ], а также вязкость текучей среды , чтобы перемешивать, μ [М / (L · T )], а также размер мешалки, определяемый ее диаметром , D [L], и угловой скоростью мешалки, n [1 / T]. Следовательно, у нас всего n= 5 переменных, представляющих наш пример. Эти n = 5 переменных состоят из k = 3 основных измерений, длины: L ( единицы СИ : м ), времени: T ( с ) и массы: M ( кг ).

Согласно π -теореме, n = 5 переменных могут быть уменьшены на k = 3 измерения, чтобы сформировать p = n - k = 5 - 3 = 2 независимых безразмерных числа. Как правило, эти величины выбраны в качестве , обычно называли число Рейнольдса , который описывает режим потока текучей среды, и , в числе питания , которое является безразмерным описанием мешалки.${\ textstyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho nD ^ {2}} {\ mu}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {P} {\ rho n ^ {3} D ^ {5}}}}$

Обратите внимание, что две безразмерные величины не уникальны и зависят от того, какая из n = 5 переменных выбрана в качестве k = 3 независимых базисных переменных, которые присутствуют в обеих безразмерных величинах. Число Рейнольдса и мощность числа падения из приведенного выше анализа , если , п , и D выбраны так, чтобы быть основой переменных. Если вместо этого, , п и D выбраны, число Рейнольдса восстанавливается в то время как вторая величина безразмерная становится . Отметим, что это произведение числа Рейнольдса и числа степени.${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}} = {\ frac {P} {\ mu D ^ {3} n ^ {2}}}}$${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}}}$

Безразмерные физические константы [ править ]

Некоторые универсальные стандартные габариты физические константы, такие как скорость света в вакууме, универсальная постоянная тяготения , постоянная Планка , постоянная Кулона , и постоянная Больцмана могут быть нормализованы к 1 , если соответствующие единицы для времени , длины , массы , заряда и температуры являются выбрал. Результирующая система единиц известна как естественные единицы , особенно в отношении этих пяти констант, единиц Планка . Однако не все физические константыможно нормализовать таким образом. Например, значения следующих констант не зависят от системы единиц, не могут быть определены и могут быть определены только экспериментально: ^[12]

• α ≈ 1/137 - постоянная тонкой структуры , характеризующая величину электромагнитного взаимодействия между электронами.
• β (или μ ) ≈ 1836, отношение масс протона к массе электрона . Это отношение является массой покоя от протона , деленного на том , что из электрона . Аналогичное соотношение можно определить для любой элементарной частицы ;
• α _s ≈ 1, константа, характеризующая сильную силу связи ядерных сил ;
• Отношение массы любой данной элементарной частицы к массе Планка , .${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar c / G}}}$

Другие количества, произведенные обезразмериванием [ править ]

Физика часто использует безразмерные величины для упрощения описания систем с множеством взаимодействующих физических явлений. Их можно найти, применяя π- теорему Бэкингема, или иным образом они могут появиться в результате обезразмеривания уравнений в частных производных в процессе обезразмеривания . Инженерия, экономика и другие области часто расширяют эти идеи при проектировании и анализе соответствующих систем.

Физика и техника [ править ]

• Число Френеля - волновое число на расстоянии
• Число Маха - отношение скорости объекта или потока к скорости звука в жидкости.

• Бета (физика плазмы) - отношение давления плазмы к магнитному давлению, используемое в физике магнитосферы, а также в физике термоядерной плазмы.
• Числа Дамкелера (Da) - используются в химической инженерии для связи шкалы времени химической реакции (скорости реакции) со скоростью явления переноса, происходящего в системе.
• Модуль Тиле - описывает взаимосвязь между диффузией и скоростью реакции в гранулах пористого катализатора без ограничений массопереноса.
• Числовая апертура - характеризует диапазон углов, в которых система может принимать или излучать свет.
• Число Шервуда - (также называемое числом Нуссельта массопереноса ) - это безразмерное число, используемое в операции массообмена. Он представляет собой отношение конвективного массопереноса к скорости диффузионного массопереноса.
• Число Шмидта - определяется как отношение коэффициента диффузии по импульсу (кинематической вязкости) и коэффициента диффузии по массе, и используется для характеристики потоков жидкости, в которых одновременно протекают процессы конвекции диффузии импульса и массы.
• Число Рейнольдса обычно используется в механике жидкости для характеристики потока, включая свойства жидкости и потока. Он интерпретируется как отношение сил инерции к силам вязкости и может указывать на режим течения, а также коррелировать с нагревом от трения в приложении к потоку в трубах. ^[13]

Химия [ править ]

• Относительная плотность - плотность относительно воды
• Относительная атомная масса , стандартный атомный вес
• Константа равновесия (иногда безразмерная)

Другие поля [ править ]

• Стоимость транспорта - это эффективность перемещения с одного места на другое.
• Эластичность - это измерение пропорционального изменения одной экономической переменной в ответ на изменение другой.

См. Также [ править ]

• Произвольная единица
• Размерный анализ
• Нормализация (статистика) и стандартизованный момент , аналогичные понятия в статистике
• Порядки величины (числа)
• Подобие (модель)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с безразмерными числами на Викискладе?