Пространство Минковского

Тон или стиль этой статьи могут не отражать энциклопедический тон, используемый в Википедии . См. Рекомендации в руководстве Википедии по написанию лучших статей . ( Январь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Герман Минковский (1864–1909) обнаружил, что специальную теорию относительности, введенную его бывшим учеником Альбертом Эйнштейном , лучше всего можно понять как четырехмерное пространство, известное как пространство-время Минковского.

В математической физике , пространстве Минковского (или пространства - времени Минковского ) ( / м ɪ ŋ к ɔː е с к я , - к ɒ е - /^[1] ) представляет собой комбинацию трехмерного евклидова пространства и времени в четырех- мерное многообразие, в котором пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями не зависит от инерциальной системы отсчетав котором они записаны. Хотя изначально математическая структура пространства-времени Минковского была разработана математиком Германом Минковским для уравнений электромагнетизма Максвелла, было показано, что она подразумевается постулатами специальной теории относительности . ^[2]

Пространство Минковского тесно связано с Эйнштейном теории относительности и общей теории относительности и является наиболее распространенной математической структурой , на которой сформулирована специальная теория относительности. В то время как отдельные компоненты в евклидовом пространстве и времени могут различаться из-за сокращения длины и замедления времени , в пространстве-времени Минковского все системы отсчета будут согласовывать общее расстояние в пространстве-времени между событиями. ^{[nb 1]} Поскольку оно рассматривает время иначе, чем 3 пространственные измерения, пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства .

В трехмерном евклидовом пространстве (например, просто пространстве в теории относительности Галилея ) группа изометрий (карты, сохраняющие регулярное евклидово расстояние ) является евклидовой группой . Он создается вращениями , отражениями и перемещениями . Когда время рассматривается как четвертое измерение, добавляются дальнейшие преобразования переводов во времени и галилеевы усиления , и группа всех этих преобразований называется группой Галилея . Все преобразования Галилея сохраняют трехмернуюЕвклидово расстояние. Это расстояние чисто пространственное. Разница во времени также сохраняется отдельно . Это меняет пространство-время специальной теории относительности, где пространство и время переплетаются.

Пространство оборудовано с неопределенной невырожденной билинейной формой , по- разному называется метрикой Минковского , ^[3] нормы Минковского квадрата или Минковское скалярное произведение в зависимости от контекста. ^{[nb 2]} Внутренний продукт Минковского определяется так, чтобы получить пространственно-временной интервал между двумя событиями, когда в качестве аргумента задан их вектор разности координат. ^[4] Оборудованная этим внутренним продуктом математическая модель пространства-времени называется пространством Минковского. Аналогом группы Галилея для пространства Минковского, сохраняющим пространственно-временной интервал (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группа Пуанкаре.

Как многообразия, пространство-время Галилея и пространство-время Минковского одинаковы . Они различаются тем, какие дальнейшие структуры определены на них. Первый имеет функцию евклидова расстояния и временной интервал (по отдельности) вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Галилея, в то время как последний имеет метрику Минковского вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразованиями Пуанкаре.

История [ править ]

Пространство-время
Часть серии по

Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Многообразие пространства-времени Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четырехвекторные выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

Сложное пространство-время Минковского [ править ]

В своей второй статье по теории относительности в 1905–06 годах Анри Пуанкаре показал ^[5], как, взяв время за мнимую четвертую пространственно- временную координату $ict$ , где $c$ - скорость света, а $i$ - мнимая единица , преобразования Лоренца можно визуализировать как обычные вращения четырехмерной евклидовой сферы

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + (ict) ^ {2} = {\ text {const}}.}

Пуанкаре для удобства положил $c = 1$ . Вращения в плоскостях, охватываемых двумя пространственными единичными векторами, появляются в координатном пространстве, а также в физическом пространстве-времени как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все еще вращение в координатном пространстве, является усилением Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами. Аналогия с евклидовыми вращениями является лишь частичной, поскольку радиус сферы на самом деле мнимый, что превращает вращение во вращение в гиперболическом пространстве. (см. гиперболическое вращение )

Эта идея, о которой очень кратко упоминал Пуанкаре, была подробно разработана Минковским в обширной и влиятельной статье на немецком языке в 1908 году под названием «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах». ^[6] Минковский, используя эту формулировку, переформулировал тогда еще недавнюю теорию относительности Эйнштейна. В частности, переформулируя уравнения Максвелла как симметричную систему уравнений с четырьмя переменными $(x, y, z, ict)$ в сочетании с переопределенными векторными переменными для электромагнитных величин, он смог прямо и очень просто показать их инвариантность относительно преобразования Лоренца. Он также внес другой важный вклад и впервые применил матричную запись в этом контексте. Из своей переформулировки он пришел к выводу, что время и пространство должны рассматриваться одинаково, и так возникла его концепция событий, происходящих в едином четырехмерном пространственно - временном континууме .

Настоящее пространство-время Минковского [ править ]

В ходе дальнейшего развития в своей лекции 1908 года «Пространство и время» ^[7] Минковский дал альтернативную формулировку этой идеи, в которой использовалась координата реального времени вместо мнимой, представляющая четыре переменные $(x, y, z, t).$ пространства и времени в координатной форме в четырехмерном реальном векторном пространстве . Точки в этом пространстве соответствуют событиям в пространстве-времени. В этом пространстве есть определенный световой конус, связанный с каждой точкой, и события, не находящиеся на световом конусе, классифицируются по их отношению к вершине как пространственноподобные или времениподобные.. В основном этот взгляд на пространство-время является актуальным в наши дни, хотя более старый взгляд, связанный с мнимым временем, также повлиял на специальную теорию относительности.

В английском переводе статьи Минковского метрика Минковского, как определено ниже, называется линейным элементом . Внутреннее произведение Минковского, приведенное ниже, появляется безымянным при обращении к ортогональности (которую он называет нормальностью ) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского упоминается (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Основным инструментом Минковского является диаграмма Минковского , и он использует ее для определения концепций и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, сокращения собственного времени и длины ), а также для обеспечения геометрической интерпретации обобщения ньютоновской механики на релятивистскую механику . По этим специальным темам см. Статьи, на которые даны ссылки, поскольку представленное ниже представление будет в основном ограничено математической структурой (метрика Минковского и производные от нее величины и группа Пуанкаре как группа симметрии пространства-времени), вытекающую из инвариантности пространственно-временного интервала на многообразие пространства-времени как следствие постулатов специальной теории относительности, а не для конкретного приложения иливывод инвариантности пространственно-временного интервала. Эта структура обеспечивает основу для всех существующих релятивистских теорий, исключая общую теорию относительности, для которой плоское пространство-время Минковского все еще служит трамплином, поскольку искривленное пространство-время является локально лоренцевым.

Минковский, зная о фундаментальном изложении теории, которую он сделал, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить перед вами, выросли из почвы экспериментальной физики, и в этом их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на то, чтобы раствориться в простых тенях, и только своего рода союз двух сохранит независимую реальность.
- Герман Минковский, 1908, 1909 ^[7]

Хотя Минковский сделал важный шаг для физики, Альберт Эйнштейн увидел его ограничение:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию специальной теории относительности, расширяя евклидово трёхмерное пространство до квази-евклидова четырёхмерного пространства, которое включает время, Эйнштейн уже знал, что это неверно, потому что оно исключает явление гравитации . Он был все еще далек от изучения криволинейных координат и римановой геометрии , что и привело к тяжелому математическому аппарату. ^[8]

Для получения дополнительной исторической информации см. Ссылки Galison (1979) , Corry (1997) и Walter (1999) .

Причинная структура [ править ]

Подразделение пространства-времени Минковского по событию на четыре непересекающихся множества. Световой конус , то абсолютное будущее , то абсолютное прошлое , и в других местах . Терминология взята из Sard (1970) .

Где $v$ - скорость, а $x$ , $y$ и $z$ - декартовы координаты в трехмерном пространстве, а $c$ - постоянная, представляющая универсальный предел скорости, а $t$ - время, четырехмерный вектор $v = (ct, x, y, z) = (ct, r)$ классифицируется по знаку $c 2 t 2 - r 2$ . Вектор времениподобен, если $c 2 t 2 > r 2$ , пространственноподобный, если $c 2 t 2 < r 2$ , и нулевой или светоподобный, если $c 2 t 2 = r 2$ . Это также может быть выражено через знак $η (v, v)$ , который зависит от подписи. Классификация любого вектора будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре, поскольку в этом случае начало координат может быть перемещено) из-за инвариантности интервала.

Набор всех нулевых векторов в событии ^{[nb 3]} пространства Минковского составляет световой конус этого события. Учитывая времяподобный вектор $v$ , с ним связана мировая линия постоянной скорости, представленная прямой линией на диаграмме Минковского.

Как только направление времени выбрано, ^{[nb 4]} времениподобные и нулевые векторы могут быть далее разложены на различные классы. Для времениподобных векторов

ориентированные в будущее времениподобные векторы, первая компонента которых положительна (вершина вектора расположена в абсолютном будущем на рисунке) и
направленные в прошлое времениподобные векторы, первая компонента которых отрицательна (абсолютное прошлое).

Нулевые векторы делятся на три класса:

нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны $(0, 0, 0, 0)$ (начало координат),
направленные в будущее нулевые векторы, первая компонента которых положительна (верхний световой конус), и
направленные в прошлое нулевые векторы, первая компонента которых отрицательна (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными векторами всего 6 классов.

Ортонормирована основа для пространства Минковского обязательно состоит из одного времениподобных и трех пространственноподобных единичных векторов. Если кто-то желает работать с неортонормированными базами, можно использовать другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, полностью состоящий из нулевых векторов, который называется нулевым базисом .

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если связанные векторы времениподобные, пространственноподобные или нулевые в каждой точке, где определено поле.

Свойства времениподобных векторов [ править ]

Временноподобные векторы имеют особое значение в теории относительности, поскольку они соответствуют событиям, которые доступны наблюдателю в (0, 0, 0, 0) со скоростью, меньшей, чем скорость света. Наибольший интерес представляют времяподобные векторы, которые одинаково направлены, т.е. все либо в прямом, либо в обратном конусах. Такие векторы обладают рядом свойств, не общих для пространственно-подобных векторов. Они возникают потому, что и передний, и задний конусы выпуклые, тогда как пространственно-подобная область не выпуклая.

Скалярное произведение [ править ]

Скалярное произведение два время , как векторы $U 1 = (т 1, х 1, у 1, г 1)$ и $у 2 = (т 2, х 2, у 2, г 2)$ является

{\ displaystyle \ eta (u_ {1}, u_ {2}) = u_ {1} \ cdot u_ {2} = c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ {1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2}.}

Положительность скалярного произведения : важным свойством является то, что скалярное произведение двух одинаково направленных времениподобных векторов всегда положительно. Это видно из обращенного ниже неравенства Коши – Шварца . Отсюда следует, что если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть пространственным. Скалярное произведение двух пространственно-подобных векторов может быть положительным или отрицательным, что можно увидеть, рассматривая произведение двух пространственно-подобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты и времена либо разных, либо одинаковых знаков.

Используя свойство положительности времениподобных векторов, легко проверить, что линейная сумма с положительными коэффициентами одинаково направленных времениподобных векторов также одинаково направлена и подобна времени (сумма остается внутри светового конуса из-за выпуклости).

Норма и обратное неравенство Коши [ править ]

Норма времениподобного вектора $u = (ct, x, y, z)$ определяется как

{\ displaystyle \ left \ | u \ right \ | = {\ sqrt {\ eta (u, u)}} = {\ sqrt {c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}}}}

Обратное неравенство Коши - еще одно следствие выпуклости любого светового конуса. ^[9] Для двух различных одинаково направленных времениподобных векторов $u 1$ и $u 2$ это неравенство имеет вид

{\ displaystyle \ eta (u_ {1}, u_ {2})> \ left \ | u_ {1} \ right \ | \ left \ | u_ {2} \ right \ |}

или алгебраически,

c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}

Отсюда видно свойство положительности скалярного произведения.

Неравенство перевернутого треугольника [ править ]

Для двух одинаково направленных времениподобных векторов $u$ и $w$ неравенство ^[10]

\left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,

где равенство имеет место при линейной зависимости векторов .

Доказательство использует алгебраическое определение с обращенным неравенством Коши: ^[11]

\left\|u+w\right\|^{2}=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}

Результат вычисляется извлечением квадратного корня из обеих частей.

Математическая структура [ править ]

Ниже предполагается, что пространство-время наделено системой координат, соответствующей инерциальной системе отсчета . Это обеспечивает начало координат , необходимое для того, чтобы иметь возможность рассматривать пространство-время как моделируемое как векторное пространство. Это не совсем физически мотивировано тем, что каноническое происхождение («центральное» событие в пространстве-времени) должно существовать. Можно обойтись меньшей структурой, такой как аффинное пространство , но это без нужды усложнит обсуждение и не отразит, как плоское пространство-время обычно рассматривается математически в современной вводной литературе.

Для обзора: пространство Минковского - это $4-$ мерное вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной симметричной билинейной формой на касательном пространстве в каждой точке пространства-времени, здесь просто называемое внутренним произведением Минковского , с метрической сигнатурой либо $(+ - - -)$ или $(- + + +)$ . Касательное пространство в каждом событии - это векторное пространство той же размерности, что и пространство-время, $4$ .

Касательные векторы [ править ]

Наглядное изображение касательного пространства в точке

x

на сфере . Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство

ℝ 3

самых. Тогда векторы в нем будем называть геометрическими касательными векторами . По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое оказывается всем пространством-временем.

На практике касательные пространства не касаются. Природа векторного пространства пространства Минковского позволяет канонически идентифицировать векторы в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См., Например, Ли (2003 , предложение 3.8). Эти отождествления обычно выполняются в математике. Формально их можно выразить в декартовых координатах как ^[12]

{\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q},\end{aligned}}

с базисными векторами в касательных пространствах, определяемыми

\left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ or }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, etc}}.

Здесь $p$ и $q$ - любые два события, а последняя идентификация называется параллельной транспортировкой . Первая идентификация - это каноническая идентификация векторов в касательном пространстве в любой точке с векторами в самом пространстве. Появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка связано с этим отождествлением. Это мотивировано наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть связан взаимно однозначным образом с оператором производной по направлению на множестве гладких функций. Это продвигается к определению касательных векторов в многообразиях, не обязательно вложенных в $R n.$ . Это определение касательных векторов не единственно возможное, поскольку можно использовать и обычные n -наборы.

Определение касательных векторов как обычных векторов

Касательный вектор в точке $p$ может быть определен, здесь специализированный для декартовых координат в фреймах Лоренца, как векторы-столбцы $4 \times 1$ $v,$ связанные с каждым фреймом Лоренца, связанным преобразованием Лоренца $Λ$ , так что вектор $v$ в фрейме, связанном с некоторым фреймом, $Λ$ преобразуется согласно $v \to Λ v$ . Таким же образом преобразуются координаты $x μ$ . Ясно,

{\begin{aligned}x'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu },\\v'^{\mu }&={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }v^{\nu }.\end{aligned}}

Это определение эквивалентно определению, данному выше при каноническом изоморфизме.

Для некоторых целей желательно отождествлять касательные векторы в точке $p$ с векторами смещения в точке $p$ , что, конечно, допустимо по существу той же канонической идентификацией. ^[13] Идентификация векторов, упомянутых выше в математической постановке, соответственно может быть найдена в более физической и явно геометрической постановке у Misner, Thorne & Wheeler (1973) . Они предлагают различную степень сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы хотите прочитать.

Подпись показателя [ править ]

Метрическая сигнатура указывает на то, какой знак дает внутренний продукт Минковского, когда ему задано пространство ( пространственноподобное, чтобы быть конкретным, определенное ниже) и базисные векторы времени ( времениподобные ) в качестве аргументов. Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора с точки зрения внутренней согласованности и удобства отложено до скрытого поля ниже.

Выбор метрической подписи

В общем, за некоторыми исключениями, математики и общие релятивисты предпочитают пространственноподобные векторы, чтобы они давали положительный знак $(- + + +)$ , в то время как физики частиц предпочитают времениподобные векторы, чтобы давать положительный знак $(+ - - -)$ . Авторы охватывающих несколько областей физики, например , Стивен Вайнберг и Ландау и Лифшиц ( $(- + + +)$ и $(+ - - -)$ соответственно) придерживаться одного выбора , независимо от темы. Аргументы в пользу первого соглашения включают «непрерывность» из евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу $c \to \infty$ . Аргументы в пользу последнего включают исчезновение знаков минус, которые в остальном широко распространены в физике элементарных частиц. Однако другие авторы, особенно вводных текстов, например Клеппнер и Коленков (1978) , вообще не выбирают сигнатуру, а вместо этого предпочитают координировать пространство-время таким образом, чтобы координата времени (но не само время!) Была мнимой. Это устраняет необходимость в явном введении метрического тензора (что может показаться , как дополнительное бремя во вводном курсе), и нужно не иметь дело с ковариантными векторами и контравариантными векторами(или повышающие и понижающие индексы), которые будут описаны ниже. Вместо этого на внутреннее произведение производится прямое расширение скалярного произведения в $ℝ 3$ до $ℝ 3 \times ℂ$ . Это работает в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, но не в искривленном пространстве-времени общей теории относительности, см. Misner, Thorne & Wheeler (1973 , Box 2.1, Farewell to ict ) (которые, кстати, используют $(- + + +)$ ) . MTW также утверждает, что он скрывает истинную неопределенную природу метрики и истинную природу повышения Лоренца, которые не являются вращениями. Это также без нужды усложняет использование инструментов дифференциальной геометрии. которые в противном случае немедленно доступны и полезны для геометрического описания и вычислений - даже в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, например, электромагнитного поля.

Терминология [ править ]

Математически с билинейной формой связан тензор типа $(0,2)$ в каждой точке пространства-времени, называемый метрикой Минковского . ^{[nb 5]} Метрика Минковского, билинейная форма и внутреннее произведение Минковского - все это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает действительное число. В координатах это матрица $4 \times 4,$ представляющая билинейную форму.

Для сравнения, в ОТО , A лоренцево многообразие $L$ аналогичным образом оснащен метрическим тензором $г$ , которая является невырожденной симметрической билинейной формой на касательном пространстве $Т р L$ в каждой точке $р$ о $л$ . В координатах он может быть представлен матрицей $4 \times 4 в$ зависимости от положения в пространстве-времени . Таким образом, пространство Минковского является сравнительно простым частным случаем лоренцевого многообразия. Его метрический тензор находится в координатах одной и той же симметричной матрицы в каждой точке $M$ , и его аргументы, как указано выше, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Вводя дополнительную терминологию (но не дополнительную структуру), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидовым пространством с общей размерностью $n = 4$ и сигнатурой $(3, 1)$ или $(1, 3)$ . Элементы пространства Минковского называются событиями . Пространство Минковского часто обозначается $ℝ 3,1$ или $ℝ 1,3$ подчеркнуть выбранную подпись, или просто $M$ . Возможно, это простейший пример псевдориманова многообразия .

Интересным примером неинерциальных координат для (части) пространства-времени Минковского являются координаты Борна . Другой полезный набор координат - это координаты светового конуса .

Псевдоевклидовы метрики [ править ]

За исключением времениподобных векторов, скалярное произведение Минковского не является скалярным продуктом , поскольку оно не является положительно определенным , т.е. квадратичная форма $η (v, v)$ не обязательно должна быть положительной для ненулевого $v$ . Условие положительной определенности заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенной . Метрика Минковского $η$ - это метрический тензор пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, постоянная псевдориманова метрика в декартовых координатах. Как таковая, это невырожденная симметричная билинейная форма типа $(0, 2)$ тензор. Он принимает два аргумента $у р, v р$ , векторы в $Т р М, р \in M$ , касательное пространство $р$ в $М$ . В связи с упомянутым выше канонической идентификацией $Т р М$ с $М$ самого, она принимает аргументы $U, V$ как с $U$ и $V$ в $М$ .

В качестве условного обозначения векторы $v$ в $M$ , называемые 4-векторами , обозначаются курсивом, а не жирным шрифтом $v$ , как это принято в евклидовой среде . Последний обычно зарезервирован для $3-$ векторной части (которая будет представлена ниже) $4-$ вектора.

Определение ^[14]

u\cdot v=\eta (u,\,v)

дает структуру, подобную внутреннему продукту, на $M$ , ранее и далее называемую внутренним продуктом Минковского , аналогичную внутреннему продукту Евклида , но описывающую другую геометрию. Его также называют релятивистским скалярным произведением . Если два аргумента одинаковы,

u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},

Полученная величина будет называться квадратом нормы Минковского . Внутреннее произведение Минковского удовлетворяет следующим свойствам.

Линейность по первому аргументу: $\eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R}$
Симметрия: $\eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)$
Невырожденность: $\eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющее различие между псевдо-внутренним продуктом и собственно внутренним продуктом состоит в том, что первое не обязательно должно быть положительно определенным, то есть допускается $η (u, u) <0$ .

Самая важная особенность внутреннего произведения и квадрата нормы состоит в том, что на эти величины не влияют преобразования Лоренца . Фактически, его можно рассматривать как определяющее свойство преобразования Лоренца, заключающееся в том, что оно сохраняет внутренний продукт (т.е. значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход используется в более общем смысле для всех классических групп, определяемых таким образом в классической группе . Там матрица $Φ$ идентична в случае $O (3, 1)$ (группа Лоренца) матрице $η,$ отображаемой ниже.

Два вектора $v$ и $w$ называются ортогональными, если $η (v, w) = 0$ . Для геометрической интерпретации ортогональности в частном случае, когда $η (v, v) \leq 0$ и $η (w, w) \geq 0$ (или наоборот), см. Гиперболическую ортогональность .

Вектор $e$ называется единичным вектором, если $η (e, e) = \pm 1$ . Основой для $М$ , состоящая из взаимно ортогональных единичных векторов называется ортонормированный базис . ^{[ необходима цитата ]}

Для данной инерциальной системы отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с единичным вектором времени образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе - это фиксированная пара чисел, равная сигнатуре билинейной формы, связанной со внутренним продуктом. Это закон инерции Сильвестра .

Более терминология (но не более структура): метрика Минковского является псевдо-римановой метрики , более конкретно, Лоренцевы метрика , еще более конкретно, Лоренц метрика, зарезервирован для $4$ - мерного плоского пространства - времени с оставшейся неоднозначности только будучи условность подписи .

Метрика Минковского [ править ]

Из второго постулата специальной теории относительности вместе с однородностью пространства-времени и изотропностью пространства следует, что пространственно-временной интервал между двумя произвольными событиями, называемыми $1$ и $2,$ равен: ^[15]

{\sqrt {c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}}}.

Эта величина не всегда упоминается в литературе. Интервал иногда называют квадратом интервала, как определено здесь. ^[16] Невозможно дать исчерпывающий список несоответствий в обозначениях. Сначала нужно проверить определения, обращаясь к литературе по теории относительности.

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами отсчета следует из инвариантности

\pm \left[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right]

(с сохранением любого знака $\pm$ ), если преобразования линейны. Эта квадратичная форма может использоваться для определения билинейной формы

u\cdot v=\pm \left[c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}\right].

через поляризационную идентичность . Эта билинейная форма, в свою очередь, может быть записана как

u\cdot v=u^{\textsf {T}}[\eta ]v,

где $[η]$ - матрица $4 \times 4,$ ассоциированная с $η$ . Возможно, что сбивает с толку, обозначайте $[η]$ просто $η,$ как это принято. Матрица читается из явной билинейной формы как

\eta =\pm {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},

и билинейная форма

u\cdot v=\eta (u,v),

с которой этот раздел начинался, предполагая его существование, теперь идентифицируется.

Для определенности и краткости изложения ниже принята подпись $(- + + +)$ . Этот выбор (или другой возможный выбор) не имеет (известных) физических последствий. Группа симметрии, сохраняющая билинейную форму с одним выбором сигнатуры, изоморфна (в соответствии с приведенным здесь отображением ) с группой симметрии, сохраняющей другой выбор сигнатуры. Это означает, что оба варианта соответствуют двум постулатам относительности. Переключение между двумя соглашениями несложно. Если метрический тензор $η$ использовался при выводе, вернитесь к самой ранней точке, где он использовался, замените $η$ на $- η$ и вернитесь к желаемой формуле с желаемой метрической сигнатурой.

Стандартная основа [ править ]

Стандартный базис пространства Минковского - это набор из четырех взаимно ортогональных векторов ${e 0, e 1, e 2, e 3}$ таких, что

-\eta (e_{0},e_{0})=\eta (e_{1},e_{1})=\eta (e_{2},e_{2})=\eta (e_{3},e_{3})=1.

Эти условия можно компактно записать в виде

\eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.

Относительно стандартного базиса компоненты вектора $v$ записываются $(v 0, v 1, v 2, v 3),$ где запись Эйнштейна используется для записи $v = v μ e μ$ . Компонент $v 0$ называется времениподобный компонент из $V$ , а остальные три компонента называется пространственные компоненты . Пространственные компоненты $4-$ вектора $v$ можно отождествить с $3$ -вектор $v = (v 1, v 2, v 3)$ .

В терминах компонентов скалярное произведение Минковского между двумя векторами $v$ и $w$ дается выражением

\eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },

и

\eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.

Здесь использовалось понижение индекса с метрикой.

Повышение и понижение индексов [ править ]

Линейные функционалы (1-формы) α , β и их сумма σ и векторы u , v , w в трехмерном евклидовом пространстве . Количество (1-форма) гиперплоскостей, пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению . ^[17]

Технически невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и его сопряженным, в этом контексте, отображение между касательными пространствами $М$ и кокасательными пространствами на $М$ . В точке в $M$ касательное и кокасательное пространства являются двойственными векторными пространствами (так что размерность кокасательного пространства в событии также равна $4$ ). Так же, как подлинный скалярный продукт в векторном пространстве с одним фиксированным аргументом, согласно теореме о представлении Рисса , может быть выражен как действие линейного функционала в векторном пространстве, то же самое верно и для скалярного произведения Минковского пространства Минковского. ^[18]

Таким образом, если $v μ$ - компоненты вектора в касательном пространстве, то $η μν v μ = v ν$ - компоненты вектора в кокасательном пространстве (линейный функционал). Из-за отождествления векторов в касательных пространствах с векторами в самом $M$ это в основном игнорируется, а векторы с более низкими индексами называются ковариантными векторами . В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном пространстве Минковского. Векторы с верхними индексами - контравариантные векторы. Таким же образом, обратное отображение от касательного к кокасательному пространствам, явно заданное обратным к $η$ в матричном представлении, может использоваться для определения повышения индекса . Компоненты этого обратного обозначаются $η μν$ . Бывает, что $η μν = η μν$ . Эти отображения между векторным пространством и двойственным ему пространством можно обозначить $η ♭$ (эта-бемоль) и $η ♯$ (эта-диез) по музыкальной аналогии. ^[19]

Контравариантные и ковариантные векторы геометрически очень разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелки. Линейный функционал можно охарактеризовать двумя объектами: его ядром , которое представляет собой гиперплоскость, проходящую через начало координат, и его нормой. Таким образом, геометрически ковариантные векторы следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больший = меньший интервал), при этом одна из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора - 1-ковектор или 1-форма (хотя последнее обычно используется для ковекторных полей ).

Misner, Thorne & Wheeler (1973) используют яркую аналогию с волновыми фронтами волны де Бройля (масштабированной с коэффициентом приведенной постоянной Планка), квантово-механически связанной с четырехвектором импульса, чтобы проиллюстрировать, как можно представить себе ковариантную версию контравариантный вектор. Внутренний продукт двух контравариантных векторов можно также рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Тогда внутренний продукт - это сколько раз стрела проникает в плоскости. Математический справочник Ли (2003) предлагает такой же геометрический вид этих объектов (но не упоминает пронзание).

Тензор электромагнитного поля является дифференциальной 2-формой , которая геометрическое описание может также быть найдена в MTW.

Можно, конечно, полностью игнорировать геометрические взгляды (как это делается, например, в Weinberg (2002) и Landau & Lifshitz 2002 ) и действовать алгебраически в чисто формальной манере. Проверенная временем надежность самого формализма, иногда называемого индексной гимнастикой , гарантирует, что перемещение векторов и изменение от контравариантных векторов к ковариантным и наоборот (а также тензоров более высокого порядка) является математически правильным. Неправильные выражения часто проявляются быстро.

Формализм метрики Минковского [ править ]

Настоящая цель состоит в том, чтобы показать полусложно, как формально можно применить метрику Минковского к двум векторам и получить действительное число, то есть показать роль дифференциалов, и как они исчезают в вычислениях. Настройка соответствует теории гладких многообразий, и здесь вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

Формальный подход к метрике Минковского

Полноценная версия метрики Минковского в координатах как тензорного поля в пространстве-времени имеет вид

\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\odot dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.

Пояснение: Координатные дифференциалы представляют собой поля с одной формой. Они определяются как внешняя производная координатных функций $x μ$ . Эти величины, вычисленные в точке $p,$ служат основой для котангенсного пространства в точке $p$ . Тензорное произведение (обозначается символом $\otimes$ ) дает тензорное поле типа $(0, 2)$ , то есть тип , который ожидает два контравариантные векторов в качестве аргументов. В правой части взято симметричное произведение (обозначенное символом $⊙$ или сопоставлением). Равенство выполняется, поскольку по определению метрика Минковского симметрична. ^[20]Обозначение справа также иногда используется для связанного, но другого элемента строки . Это не тензор. Более подробно о различиях и сходствах см. Misner, Thorne & Wheeler (1973 , вставка 3.2 и раздел 13.2).

Касательные векторы в этом формализме задаются в терминах базиса дифференциальных операторов первого порядка:

\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p},

где $p$ - событие. Этот оператор, примененный к функции $f,$ дает производную $f$ по направлению в точке $p$ в направлении увеличения $x μ$ при фиксированных $x ν, ν \neq μ$ . Они составляют основу касательного пространства на $стр$ .

Внешняя производная $df$ функции $f$ является ковекторным полем , т. Е. Назначением вектора котангенса каждой точке $p$ по определению таким образом, что

df(X)=Xf,

для каждого векторного поля $X$ . Векторное поле - это привязка касательного вектора к каждой точке $p$ . В координатах $X$ может быть расширен в каждой точке $p$ в базисе, задаваемом $\partial / \partial x ν | стр$ . Применяя это с $f = x μ$ , самой координатной функцией и $X = \partial / \partial x ν$ , называемым координатным векторным полем , получаем

dx^{\mu }\left({\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}=\delta _{\nu }^{\mu }.

Поскольку это соотношение выполняется в каждой точке $p$ , $dx μ | p$ составляют основу кокасательного пространства в каждом $p,$ а базисы $dx μ | p$ и $\partial / \partial x ν | р$ являются два друг к другу,

\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right|_{p}\right)=\delta _{\nu }^{\mu }.

на каждой $р$ . Кроме того, есть

\alpha \otimes \beta (a,b)=\alpha (a)\beta (b)

для общих одноформ на касательном пространстве $α, β$ и общих касательных векторов $a, b$ . (Это можно принять как определение, но также можно доказать в более общем контексте.)

Таким образом, когда в метрический тензор вводятся два векторных поля $a, b$ , оба расширенные в терминах векторных полей базисных координат, результат

\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }\otimes dx^{\nu }(a,b)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },

где $a μ$ , $b ν$ - компоненты векторных полей. Вышеупомянутое уравнение выполняется в каждой точке $p$ , и это отношение также можно интерпретировать как метрику Минковского в точке $p,$ примененную к двум касательным векторам в точке $p$ .

Как уже упоминалось, в векторном пространстве, таком как моделирующее пространство-время в специальной теории относительности, касательные векторы можно канонически отождествлять с векторами в самом пространстве, и наоборот. Это означает, что касательные пространства в каждой точке канонически отождествляются друг с другом и с самим векторным пространством. Это объясняет, как правая часть приведенного выше уравнения может использоваться напрямую, без учета точки пространства-времени, метрика должна оцениваться и откуда (из какого касательного пространства) берутся векторы.

Эта ситуация меняется в общей теории относительности . Там есть

g(p)_{\mu \nu }\left.dx^{\mu }\right|_{p}\left.dx^{\nu }\right|_{p}(a,b)=g(p)_{\mu \nu }a^{\mu }b^{\nu },

где теперь $η \to g (p)$ , то есть $g$ все еще является метрическим тензором, но теперь зависит от пространства-времени и является решением уравнений поля Эйнштейна . Более того, $a, b$ должны быть касательными векторами в точке пространства-времени $p$ и больше не могут свободно перемещаться.

Хронологические и причинно-следственные связи [ править ]

Пусть $х, у \in M$ . Мы говорим что

$x$ хронологически предшествует $y,$ если $y - x направлен$ в будущее подобно времени. Это отношение обладает транзитивным свойством, поэтому его можно записать как $x < y$ .
$x$ причинно предшествует $y,$ если $y - x направлен$ в будущее нуль или ориентирован в будущее подобно времени. Это дает частичное упорядочение пространства-времени, поэтому его можно записать как $x \leq y$ .

Предположим, что x ∈ M времениподобен. Тогда одновременная гиперплоскость для x равна. Поскольку эта гиперплоскость изменяется при изменении x , существует относительность одновременности в пространстве Минковского. $\{y:\eta (x,y)=0\}.$

Обобщения [ править ]

Лоренцево многообразие является двояким обобщением пространства Минковского. Общее количество измерений пространства-времени не ограничивается $4$ ( $2$ или более), и лоренцево многообразие не обязательно должно быть плоским, т.е. оно допускает кривизну.

Обобщенное пространство Минковского [ править ]

Пространство Минковского относится к математической формулировке в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное обобщенное пространство Минковского в любом количестве измерений. Если $n \geq 2$ , $n$ -мерное пространство Минковского - это векторное пространство вещественной размерности $n,$ на котором существует постоянная метрика Минковского сигнатуры $(n - 1, 1)$ или $(1, n - 1)$ . Эти обобщения используются в теориях, где предполагается, что пространство-время имеет больше или меньше $четырех$ измерений. Теория струн и М-теория - два примера, когда $n > 4$ . В теории струн появляются конформные теории поля с размерностью пространства-времени $1 + 1$ .

Пространство де Ситтера можно сформулировать как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболической геометрии (см. ниже).

Кривизна [ править ]

Как плоское пространство-время , три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются теореме Пифагора . Пространство Минковского является подходящей основой для специальной теории относительности , хорошего описания физических систем на конечных расстояниях в системах без значительной гравитации . Однако для того, чтобы учесть гравитацию, физики используют общую теорию относительности , которая сформулирована в математике неевклидовой геометрии . Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, она называется искривленным пространством .

Даже в искривленном пространстве пространство Минковского по-прежнему является хорошим описанием в бесконечно малой области, окружающей любую точку (за исключением гравитационных сингулярностей). ^{[nb 6]} Более абстрактно, мы говорим, что в присутствии гравитации пространство-время описывается искривленным 4-мерным многообразием, для которого касательное пространство к любой точке является 4-мерным пространством Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему важна для описания общей теории относительности.

Геометрия [ править ]

Значение термина « геометрия» для пространства Минковского сильно зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено евклидовой геометрией и не наделено какой-либо из обобщенных римановых геометрий с внутренней кривизной, которые раскрываются модельными пространствами в гиперболической геометрии (отрицательная кривизна) и геометрией, моделируемой сферой (положительная кривизна). Причина - неопределенность метрики Минковского. Пространство Минковского, в частности, не является метрическим пространством и не является римановым многообразием с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразия, наделенные римановой метрикой, дающей гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии малой размерности, скажем , $2$ или $3$ , не может быть изометрически вложено в евклидовом пространстве с еще одной размерности, т.е. $ℝ 3$ или $ℝ 4$ , соответственно, с евклидовой метрикой $г$ , запрещая легкую визуализацию. ^{[nb 7]}^[21] Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной - это просто сферы в евклидовом пространстве одного высшего измерения. ^[22] Оказывается, однако, что эти гиперболические пространства могут быть изометрически вложены в пространства еще одного измерения, если пространство вложения наделено метрикой Минковского $η$ .

Определить $H 1 (п) R \subset M n +1$ как верхний лист ( $ct > 0$ ) гиперболоида

\mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}\cdots \left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}

в обобщенном пространстве Минковского $M n +1$ размерности пространства-времени $n + 1$ . Это одна из поверхностей транзитивности обобщенной группы Лоренца. Индуцированная метрика на этом подмногообразии,

h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,

откат метрики Минковского $п$ при включении, является римановой метрикой . С этой метрикой $H 1 (п) R$ - риманово многообразие . Это является одной из модельных пространств римановой геометрии гиперболоид модели из гиперболического пространства . Это пространство постоянной отрицательной кривизны $-1 / R 2$ . ^[23] $1$ в верхнем индексе относится к нумерации различных модельных пространств гиперболической геометрии, и $п$ для его размерности. A $2 (2)$ соответствует модели диска Пуанкаре , а $3 (n)$ соответствует модели полупространства Пуанкаре размерности $n$ .

Предварительные мероприятия [ править ]

В приведенном выше определении $ι : H 1 (п) R \to M n +1$ - карта включения, а звездочка в верхнем индексе обозначает откат . Настоящая цель - описать эту и подобные операции как подготовку к реальной демонстрации того, что $H 1 (п) R$ на самом деле это гиперболическое пространство.

Поведение тензоров при включении, возврат ковариантных тензоров при общих отображениях и перенос векторов при общих отображениях

Поведение тензоров при включении:
для отображений включения из подмногообразия $S$ в $M$ и ковариантного тензора $α$ порядка $k$ на $M$ выполняется

\iota ^{*}\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(\iota _{*}X_{1},\,\iota _{*}X_{2},\,\ldots ,\,\iota _{*}X_{k}\right)=\alpha \left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right),

где $X 1, X 1, ..., X к$ векторные поля на $S$ . Звездочка в нижнем индексе обозначает продвижение вперед (будет введено позже), и в этом частном случае это просто карта идентичности (как и карта включения). Последнее равенство имеет место, поскольку касательное пространство к подмногообразию в точке каноническим образом является подпространством касательного пространства самого многообразия в рассматриваемой точке. Можно просто написать

\iota ^{*}\alpha =\alpha |_{S},

что означает (с небольшим злоупотреблением нотации ) ограничением $альфа$ принять в качестве входных векторов , касательных к некоторому $s \in S$ только.

Возврат тензоров при общих отображениях: Возврат
ковариантного $k$ -тензора $α$ (принимающего только контравариантные векторы в качестве аргументов) при отображении $F : M \to N$ является линейным отображением

F^{*}\colon T_{F(p)}^{k}N\rightarrow T_{p}^{k}M,

где для любого векторного пространства $V$ ,

T^{k}V=\underbrace {V^{*}\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{k{\text{ times}}}.

Это определяется

F^{*}(\alpha )\left(X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{k}\right)=\alpha \left(F_{*}X_{1},\,F_{*}X_{2},\,\ldots ,\,F_{*}X_{k}\right),

где индекс звездочка обозначает по прямой образ карты $F$ , и $Х 1, Х 2, ..., Х к$ являются векторами в $Т р М$ . (Это согласуется с тем, что было подробно описано об обратном отображении отображения включения. В общем случае здесь нельзя действовать так просто, потому что $F * X 1 \neq X 1$ вообще.)

Продвижение векторов при общих отображениях:
эвристически вытягивание тензора обратно к $p \in M$ из $F (p) \in N,$ передавая ему векторы, находящиеся в $p \in M$ , по определению аналогично продвижению вперед векторов из $p \in M$ в $F (p) \in N,$ подавая их в тензор, находящийся в $F (p) \in N$ .

Продолжая разворачивать определения, прямое направление $F * : TM p \to TN F (p)$ векторного поля при отображении $F : M \to N$ между многообразиями определяется следующим образом:

F_{*}(X)f=X(f\circ F),

где $F$ является функцией от $N$ . Когда $M = ℝ m, N = ℝ n,$ прямое преобразование $F$ сводится к $DF : ℝ m \to ℝ n$ , обыкновенному дифференциалу , который задается матрицей Якоби частных производных составляющих функций. Дифференциал - это наилучшее линейное приближение функции $F$ от $ℝ m$ до $ℝ n.$ . Прогресс - это гладкая версия этого многообразия. Он действует между касательными пространствами и находится в координатах, представленных матрицей Якоби координатного представления функции.

Соответствующий откат - это двойное отображение из двойного касательного пространства диапазона в двойное касательное пространство домена, т.е. это линейное отображение,

F^{*}\colon T_{F(p)}^{*}N\rightarrow T_{p}^{*}M.

Гиперболическая стереографическая проекция [ править ]

Красная дуга окружности является геодезической в модели диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленый гиперболоид.

Чтобы отобразить метрику, необходимо вернуть ее с помощью подходящей параметризации . Параметризация подмногообразия $S$ из $M$ представляет собой карту $U \subset ℝ м \to М$ , чей диапазон открытое подмножество $S$ . Если $S$ имеет ту же размерность, что и $M$ , параметризация - это просто обратное отображение координат $φ : M \to U \subset m$ . Используемая параметризация - обратная гиперболической стереографической проекции . Это показано на рисунке слева для $n = 2.$ . Поучительно сравнить со стереографической проекцией сфер.

Стереографическая проекция $σ : H п R \to ℝ n$ и обратное ему $σ -1 : ℝ n \to H п R$ даны

{\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}

где для простоты $τ \equiv ct$ . $(Τ, х)$ являются координаты на $М п +1$ и $у$ координаты на $ℝ н$ .

Детальный вывод

Позволять

\mathbf {H} _{R}^{n}=\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\subset \mathbf {M} :-\tau ^{2}+\left(x^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(x^{n}\right)^{2}=-R^{2},\tau >0\right\}

и разреши

S=(-1,0,\ldots ,0)

Если

P=\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {H} _{R}^{n},

то геометрически ясно, что вектор

{\overrightarrow {PS}}

пересекает гиперплоскость

\left\{\left(\tau ,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in M:\tau =0\right\}

один раз в точке обозначается

U=\left(0,u^{1}(P),\ldots ,u^{n}(P)\right)\equiv (0,\mathbf {u} ).

Надо

{\begin{aligned}S+{\overrightarrow {SU}}&=U\Rightarrow {\overrightarrow {SU}}=U-S,\\S+{\overrightarrow {SP}}&=P\Rightarrow {\overrightarrow {SP}}=U-P\end{aligned}}.

или же

{\begin{aligned}{\overrightarrow {SU}}&=(0,\mathbf {u} )-(-R,0)=(R,\mathbf {u} ),\\{\overrightarrow {SP}}&=(\tau ,\mathbf {x} )-(-R,0)=(\tau +R,\mathbf {x} ).\end{aligned}}

По построению стереографической проекции

{\overrightarrow {SU}}=\lambda (\tau ){\overrightarrow {SP}}.

Это приводит к системе уравнений

{\begin{aligned}R&=\lambda (\tau +R),\\\mathbf {u} &=\lambda \mathbf {x} .\end{aligned}}

Первый из них решен для стереографической проекции и получается $\lambda$

\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }}.

Далее необходимо вычислить обратное . Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с $\sigma ^{-1}(u)=(\tau ,\mathbf {x} )$

{\begin{aligned}U&=(0,\mathbf {u} )\\P&=(\tau (\mathbf {u} ),\xi (\mathbf {u} )).\end{aligned}}

Один получает

{\begin{aligned}\tau &={\frac {R(1-\lambda )}{\lambda }},\\\mathbf {x} &={\frac {\mathbf {u} }{\lambda }},\end{aligned}}

но теперь в зависимости от Условие для $P,$ лежащего в гиперболоиде, равно $\lambda$ $\mathbf {u} .$

-\tau ^{2}+\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =-\tau ^{2}+|u|^{2}=-R^{2},

или же

-{\frac {R^{2}(1-\lambda )^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {|u|^{2}}{\lambda ^{2}}},

ведущий к

\lambda ={\frac {R^{2}-|u|^{2}}{2R^{2}}}.

При этом получаем $\lambda$

\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}.\right)

Возвращение метрики [ править ]

Надо

h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}

и карта

\sigma ^{-1}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).

Возвращенная метрика может быть получена простыми методами исчисления;

\left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.

Один вычисляет в соответствии со стандартными правилами вычисления дифференциалов (хотя на самом деле он вычисляет строго определенные внешние производные),

{\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\ldots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}

и подставляет результаты в правую часть. Это дает

\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.

Подробный план расчета

Надо

{\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}&={\frac {2\left(R^{2}-|u|^{2}\right)+4R^{2}\left(u^{1}\right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{1},\\{\frac {\partial }{\partial u^{2}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{2}&={\frac {4R^{2}u^{1}u^{2}du^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}du^{2},\end{aligned}}

и

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ^{2}=0.

С этим можно написать

dx^{1}(\mathbf {u} )={\frac {2R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)du^{1}+4R^{2}u^{1}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},

откуда

\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}={\frac {4R^{2}\left(r^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left(du^{1}\right)^{2}+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)u^{1}du^{1}+14R^{r}\left(u^{1}\right)^{2}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.

Суммируя эту формулу, получаем

{\begin{aligned}&\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\ldots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]+16R^{4}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )+16R^{4}|u|^{2}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}\\={}&{\frac {4R^{2}\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}+R^{2}{\frac {16R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.\end{aligned}}

Аналогично для $τ$ получаем

d\tau =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}du^{i}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}+|u|^{2}}}d\tau =\sum _{i=1}^{n}R^{4}{\frac {4R^{2}u^{i}du^{i}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)}},

уступающий

-dt^{2}=-\left(R{\frac {4R^{4}\left(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} \right)}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\right)^{2}=-R^{2}{\frac {14R^{4}(\mathbf {u} \cdot d\mathbf {u} )^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{4}}}.

Теперь добавьте этот вклад, чтобы наконец получить

\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\ldots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.

Последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике $h 2 (п) R$ в модели Пуанкаре шара , другой стандартной модели гиперболической геометрии.

Альтернативный расчет с использованием pushforward

Откат можно вычислить по-другому. По определению,

\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}(V,\,V)=h_{R}^{1(n)}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right)=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}\left(\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V,\,\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V\right).

В координатах,

\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V=\left(\sigma ^{-1}\right)_{*}V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}=V^{i}{\frac {\partial x^{j}}{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial \tau }{\partial u^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=V^{i}{\frac {\partial }{x}}^{j}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V^{i}{\frac {\partial }{\tau }}{\partial u^{i}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}=Vx^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+V\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}.

Из формулы для $σ -1$

{\begin{aligned}Vx^{j}&=V^{i}{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\left({\frac {2R^{2}u^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {2R^{2}V^{j}}{R^{2}-|u|^{2}}}-{\frac {4R^{2}u^{j}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}},\quad \left({\text{here }}V|u|^{2}=2\sum _{k=1}^{n}V^{k}u^{k}\equiv 2\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle \right)\\V\tau &=V\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {4R^{3}\langle \mathbf {V} ,\,\mathbf {u} \rangle }{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}

Наконец,

\eta \left(\sigma _{*}^{-1}V,\,\sigma _{*}^{-1}V\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(Vx^{j}\right)^{2}-(V\tau )^{2}={\frac {4R^{4}|V|^{2}}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}=h_{R}^{2(n)}(V,z,V),

и делается тот же вывод.

См. Также [ править ]

Введение в математику общей теории относительности
Самолет Минковского

Замечания [ править ]

^ Это делает расстояние в пространстве-времени инвариантом .
^ Последовательное использование терминов «внутреннее произведение Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено для билинейной формы здесь, так как она широко используется. Это ни в коем случае не является «стандартным» в литературе, но, похоже, стандартной терминологии не существует.
^ Переведите систему координат так, чтобы событие было новой точкой отсчета.
^ Это соответствует временной координате, увеличивающейся или уменьшающейся, когда собственное время для любой частицы увеличивается. Применение $Т$ меняет это направление.
^ Для сравнения и объяснения терминологии возьмем риманову метрику , которая обеспечивает положительно определенную симметричную билинейную форму, т. Е. Внутреннее произведение, собственно в каждой точке многообразия.
^ Это сходство между плоским и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях лежит в основе определения многообразия в целом.
^ Там вне изометрическое вложения в $ℝ п$ согласно Нэшу теореме вложения ( Нэш (1956) ), но вложение размерности значительно выше, $п = (м / 2) (м + 1) , (3 м + 11)$ для а Риманово многообразие размерности $m$ .

Примечания [ править ]

^ "Минковский" . Полный словарь Random House Webster .
↑ Ландау и Лифшиц, 2002 , стр. 4
Перейти ↑ Lee 1997 , p. 31 год
Перейти ↑ Schutz, John W. (1977). Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского (иллюстрированный ред.). CRC Press. С. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Отрывок страницы 184
^ Пуанкаре 1905-1906 , С. 129-176 Wikisource перевод:. О динамике электрона
^ Минковский 1907-1908 , стр 53-111 * Wikisource перевод:. S: Перевод: Фундаментальные уравнения для электромагнитных процессов в движущихся телах .
^ a b Minkowski 1908–1909 , pp. 75–88 Различные английские переводы на Wikisource: « Пространство и время ».
↑ Корнелиус Ланцос (1972) «Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности», страницы 5–19 общей теории относительности: статьи в честь Дж. Л. Синджа , редактора Л. О'Райфарта, Clarendon Press , см. Стр. 11
↑ См. Доказательство Шютца, стр. 148, также Набер, стр. 48.
^ Schutz с.148, Naber стр.49
^ Schutz с.148
Перейти ↑ Lee 1997 , p. 15
^ Lee 2003 , см. Обсуждение Ли касательных геометрических векторов в начале главы 3.
^ Giulini 2008 стр. 5,6
↑ Минковский, Ландау и Лифшиц, 2002 , стр. 4
↑ Сард 1970 , стр. 71
Перейти ↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973
^ Ли 2003 . Один пункт в доказательстве Ли существования этого отображения требует модификации (Ли имеет дело с римановыми метриками ). Там, где Ли обращается к положительной определенности, чтобы показать инъективность карты, вместо этого нужно обратиться к невырожденности.
^ Ли 2003 , Изоморфизм тангенса-котангенса стр. 282.
^ Ли 2003
Перейти ↑ Lee 1997 , p. 66
Перейти ↑ Lee 1997 , p. 33
^ Ли 1997

Ссылки [ править ]

Корри, Л. (1997). «Герман Минковский и постулат относительности». Arch. Hist. Exact Sci . 51 (4): 273–314. DOI : 10.1007 / BF00518231 . ISSN 0003-9519 . S2CID 27016039 .
Catoni, F .; и другие. (2008). Математика пространства Минковского . Границы математики. Базель: Birkhäuser Verlag . DOI : 10.1007 / 978-3-7643-8614-6 . ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN 1660-8046 .
Галисон, П.Л. (1979). Р. Маккормах; и другие. (ред.). Пространство-время Минковского: от визуального мышления к абсолютному миру . Исторические исследования в физических науках. 10 . Издательство Университета Джона Хопкинса . С. 85–121. DOI : 10.2307 / 27757388 . JSTOR 27757388 .
Джулини Д. Богатая структура пространства Минковского, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1
Клеппнер, Д .; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику . Лондон: Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-035048-9.
Ландау, Л.Д . ; Лифшиц, Е.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля . Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 0-7506-2768-9.
Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для выпускников Springer по математике. 218 . ISBN 978-0-387-95448-6.
Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия - введение в кривизну . Тексты для выпускников Springer по математике. 176 . Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
Минковский, Герман (1907–1908), "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" [Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschetischfteniku, Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern » , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschefteniku.* Перевод Wikisource: Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
Минковский, Герман (1908–1909), «Raum und Zeit» [Пространство и время], Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88Различные переводы на английский язык на Википедии: Пространство и время
Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. S .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
Набер, GL (1992). Геометрия пространства-времени Минковского . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97848-2.
Нэш, Дж. (1956). «Проблема вложения римановых многообразий». Анналы математики . 63 (1): 20–63. DOI : 10.2307 / 1969989 . JSTOR 1969989 . Руководство по ремонту 0075639 .
Пенроуз, Роджер (2005). "18 геометрия Минковского". Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной . Альфред А. Кнопф . ISBN 9780679454434.
Пуанкаре, Анри (1905-1906), "Sur ла Dynamique де l'Electron" [О динамике электрона], Rendiconti дель Чирколо Matematico ди Палермо , 21 : 129-176, DOI : 10.1007 / BF03013466 , ЛВП : 2027 / uiug.30112063899089 , S2CID 120211823Перевод Wikisource: О динамике электрона
Робб А.А.: Оптическая геометрия движения; Новый взгляд на теорию относительности Кембридж, 1911 г. (Хефферс). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich
Робб А.А.: Геометрия времени и пространства, 1936 г., Cambridge Univ Press http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp
Сард, RD (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918.
Шоу Р. (1982). «§ 6.6 Пространство Минковского, § 6.7,8 Канонические формы, стр. 221–242». Линейная алгебра и представления групп . Академическая пресса . ISBN 978-0-12-639201-2.
Вальтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности» . У Геннера, Хьюберта; и другие. (ред.). Расширяющиеся миры общей теории относительности . Бостон: Биркхойзер. С. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6.
Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей , 1 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с диаграммами Минковского на Викискладе?

Анимационный ролик на YouTube, визуализирующий пространство Минковского в контексте специальной теории относительности.
Геометрия специальной теории относительности: световой конус пространства-времени Минковского
Пространство Минковского в PhilPapers

[3] Это делает расстояние в пространстве-времени инвариантом .

[5] Последовательное использование терминов «внутреннее произведение Минковского», «норма Минковского» или «метрика Минковского» предназначено для билинейной формы здесь, так как она широко используется. Это ни в коем случае не является «стандартным» в литературе, но, похоже, стандартной терминологии не существует.

[11] Переведите систему координат так, чтобы событие было новой точкой отсчета.

[12] Это соответствует временной координате, увеличивающейся или уменьшающейся, когда собственное время для любой частицы увеличивается. Применение $Т$ меняет это направление.

[18] Для сравнения и объяснения терминологии возьмем риманову метрику , которая обеспечивает положительно определенную симметричную билинейную форму, т. Е. Внутреннее произведение, собственно в каждой точке многообразия.

[26] Это сходство между плоским и искривленным пространством на бесконечно малых расстояниях лежит в основе определения многообразия в целом.

[27] Там вне изометрическое вложения в $ℝ п$ согласно Нэшу теореме вложения ( Нэш (1956) ), но вложение размерности значительно выше, $п = (м / 2) (м + 1) , (3 м + 11)$ для а Риманово многообразие размерности $m$ .

[1] "Минковский" . Полный словарь Random House Webster .

[2] Ландау и Лифшиц, 2002 , стр. 4

[4] Перейти ↑ Lee 1997 , p. 31 год

[6] Перейти ↑ Schutz, John W. (1977). Независимые аксиомы для пространства-времени Минковского (иллюстрированный ред.). CRC Press. С. 184–185. ISBN 978-0-582-31760-4. Отрывок страницы 184

[7] Пуанкаре 1905-1906 , С. 129-176 Wikisource перевод:. О динамике электрона

[8] Минковский 1907-1908 , стр 53-111 * Wikisource перевод:. S: Перевод: Фундаментальные уравнения для электромагнитных процессов в движущихся телах .

[raumzeit-9] Minkowski 1908–1909 , pp. 75–88 Различные английские переводы на Wikisource: « Пространство и время ».

[10] Корнелиус Ланцос (1972) «Путь Эйнштейна от специальной к общей теории относительности», страницы 5–19 общей теории относительности: статьи в честь Дж. Л. Синджа , редактора Л. О'Райфарта, Clarendon Press , см. Стр. 11

[13] См. Доказательство Шютца, стр. 148, также Набер, стр. 48.

[14] Schutz с.148, Naber стр.49

[15] Schutz с.148

[16] Перейти ↑ Lee 1997 , p. 15

[17] Lee 2003 , см. Обсуждение Ли касательных геометрических векторов в начале главы 3.

[19] Giulini 2008 стр. 5,6

[20] Минковский, Ландау и Лифшиц, 2002 , стр. 4

[21] Сард 1970 , стр. 71

[22] Перейти ↑ Misner, Thorne & Wheeler 1973

[23] Ли 2003 . Один пункт в доказательстве Ли существования этого отображения требует модификации (Ли имеет дело с римановыми метриками ). Там, где Ли обращается к положительной определенности, чтобы показать инъективность карты, вместо этого нужно обратиться к невырожденности.

[24] Ли 2003 , Изоморфизм тангенса-котангенса стр. 282.

[25] Ли 2003

[28] Перейти ↑ Lee 1997 , p. 66

[29] Перейти ↑ Lee 1997 , p. 33

[30] Ли 1997

[1]