Четырехмерное пространство

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Четырехмерное пространство»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Четырехмерный эквивалент куба известен как тессеракт , который здесь вращается в четырехмерном пространстве, но проецируется в двухмерное изображение для отображения.

Геометрия
Проецирование в сферу на плоскости
Контур История
ветви Евклидово Неевклидово Эллиптический Сферический Гиперболический Неархимедова геометрия Проективный Аффинный Синтетический Аналитический Алгебраический Арифметика Диофантин Дифференциальный Риманов Симплектический Дискретный дифференциал Сложный Конечный Дискретный / Комбинаторный Цифровой Выпуклый Вычислительная Фрактал Заболеваемость
Концепции Функции Измерение Конструкции линейки и компаса Угол Изгиб Диагональ Ортогональность ( перпендикулярность ) Параллельный Вершина Конгруэнтность Сходство Симметрия
Нульмерный Точка
Одномерный Линия сегмент луч Длина
Двумерный Самолет Площадь Многоугольник Треугольник Высота Гипотенуза теорема Пифагора Параллелограмм Квадрат Прямоугольник Ромб Ромбовидный Четырехугольник Трапеция летающий змей Круг Диаметр Длина окружности Площадь
Трехмерный Объем Куб кубовид Цилиндр Пирамида Сфера
Четырех- / другое измерение Тессеракт Гиперсфера
Геометры
по имени Аида Арьябхата Ахмес Альхазен Аполлоний Архимед Атья Баудхаяна Бойяи Брахмагупта Картан Coxeter Декарт Евклид Эйлер Гаусс Громов Гильберта Джиешхадева Катьяяна Хайям Кляйн Лобачевский Манава Минковский Минггату Паскаль Пифагор Парамешвара Пуанкаре Риман Сакабэ Sijzi ат-Туси Веблен Вирасена Ян Хуэй аль-Ясамин Чжан Список геометров
по периоду До н.э. Ахмес Баудхаяна Манава Пифагор Евклид Архимед Аполлоний 1–1400 Чжан Катьяяна Арьябхата Брахмагупта Вирасена Альхазен Sijzi Хайям аль-Ясамин ат-Туси Ян Хуэй Парамешвара 1400–1700 гг. Джиешхадева Декарт Паскаль Минггату Эйлер Сакабэ Аида 1700–1900-е гг. Гаусс Лобачевский Бойяи Риман Кляйн Пуанкаре Гильберта Минковский Картан Веблен Coxeter Сегодняшний день Атья Громов
v т е

Четырехмерном пространстве ( 4D ) является математическим продолжением концепции трехмерной или 3D - пространстве. Трехмерное пространство - это простейшая из возможных абстракций наблюдения, что для описания размеров или местоположения объектов в повседневном мире нужны только три числа, называемые измерениями . Например, объем прямоугольного ящика определяется путем измерения и умножения его длины, ширины и высоты (часто обозначаемых x , y и z ).

Идея добавления четвертого измерения началась с «Измерений» Жана ле Ронда д'Аламбера, опубликованной в 1754 году ^{[1] [2],} за которой последовал Жозеф-Луи Лагранж в середине 1700-х годов, и завершилась точной формализацией концепция 1854 года Бернхарда Римана . В 1880 году Чарльз Ховард Хинтон популяризировал эти идеи в эссе под названием « Что такое четвертое измерение? », В котором объяснялась концепция « четырехмерного куба»."с пошаговым обобщением свойств линий, квадратов и кубов. Простейшая форма метода Хинтона - это рисование двух обычных трехмерных кубов в двухмерном пространстве, один из которых окружает другой, разделенных« невидимым »расстоянием, а затем нарисуйте линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации всякий раз, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов в этом случае, представляют единственное направление в " невидимое "четвертое измерение.

Пространства более высоких измерений (т.е. больше трех) с тех пор стали одной из основ для формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешних формах без использования таких пространств. Концепция пространства-времени Эйнштейна использует такое четырехмерное пространство, хотя оно имеет структуру Минковского, которая немного сложнее, чем евклидово четырехмерное пространство.

Отдельные местоположения в четырехмерном пространстве могут быть заданы как векторы или n-кортежи , то есть как упорядоченные списки чисел, такие как ( t , x , y , z ) . Только когда такие места соединяются в более сложные формы, возникает полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших возможных 4-мерных объектов, тессеракта (эквивалентного 3D- кубу ; см. Также Гиперкуб ).

История [ править ]

Лагранж писал в своей аналитической работе Mécanique (опубликованной в 1788 г., на основе работ, выполненных около 1755 г.), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве - трех измерениях пространства и одном времени. ^[3] В 1827 году Мёбиус понял, что четвертое измерение позволит вращать трехмерную форму на ее зеркальном отображении, ^{[4] : 141} и к 1853 году Людвиг Шлефли открыл много многогранников в более высоких измерениях, хотя его работа не была опубликовано до его смерти. ^{[4] : 142–143} Бернхард Риман вскоре поставил на твердую основу высшие измерения.тезис 1854 г. , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , в котором он считал «точкой» любую последовательность координат ( x ₁ , ..., x _n ). Таким образом была установлена ​​возможность геометрии в более высоких измерениях , включая, в частности, четыре измерения.

Арифметика четырех измерений, называемых кватернионами, была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра явилась источником науки о векторном анализе в трех измерениях, о чем говорится в «Истории векторного анализа» . Вскоре после того, как tessarines и coquaternions были введены в качестве других четырехмерных алгебр над R .

Одним из первых крупных толкователей четвертого измерения был Чарльз Ховард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?». ; опубликовано в журнале Дублинского университета . ^[5] Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге « Четвертое измерение» . ^{[6] [7]}

Идеи Хинтона вдохновили Мартина Гарднера на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения» в его январской 1962 г. колонке « Математические игры » в журнале Scientific American . В 1886 году Виктор Шлегель описал ^[8] свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .

В 1908 году Герман Минковский представил документ ^[9] консолидирующую роль времени как четвертое измерение пространства - времени , основой для Эйнштейна теорий специальной и общей теории относительности . ^[10] Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало новой математики, совершенно отличной от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалось по совершенно другим направлениям. Это разделение было менее четким в массовом воображении, поскольку художественные и философские произведения размывали это различие, поэтому в 1973 годуHSM Coxeter почувствовал себя обязанным написать:

Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время . Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Гербертом Уэллсом в «Машине времени» , привела таких авторов, как Джон Уильям Данн ( «Эксперимент со временем» ), к серьезному неверному пониманию теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет никакого отношения к настоящему исследованию.

-  HSM Coxeter , Regular Polytopes ^{[4] : 119.}

Векторы [ править ]

Математически четырехмерное пространство - это пространство с четырьмя пространственными измерениями, то есть пространство, которому требуются четыре параметра для определения точки в нем. Например, общая точка может иметь вектор положения a , равный

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \ end {pmatrix}}.}$

Это можно записать в терминах четырех стандартных базисных векторов ( e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ), задаваемых формулой

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

так что общий вектор является

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.

Скалярное произведение евклидовых трехмерных пространственных обобщающей четырех размеров , как

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}$

Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора,

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}$

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.}$

Пространство-время Минковского - это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденным спариванием, отличным от скалярного произведения:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}$

Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в четырехмерном пространстве Минковского, в то время как квадрат расстояния между (0,0 , 0,0) и (1,1,1,1) равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение фактически уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.${\displaystyle b_{4}}$

Крест продукт не определен в четырех измерениях. Вместо этого внешний продукт используется для некоторых приложений и определяется следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}}$

Это бивекторное значение, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерное линейное пространство с базисом ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ). Их можно использовать для создания вращений в четырех измерениях.

Ортогональность и словарный запас [ править ]

В привычном трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат, обычно обозначаемые как x , y и z, причем каждая ось ортогональна (то есть перпендикулярна) двум другим. Шесть сторон света в этом пространстве можно назвать вверх , вниз , восток , запад , север и юг . Положения по этим осям можно назвать высотой , долготой и широтой . Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высотой , шириной иглубина .

Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается буквой w . Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Ховард Хинтон ввел термины ана и ката , от греческих слов, означающих «вверх к» и «вниз от» соответственно. Положение вдоль оси w можно назвать spissitude , как это сформулировал Генри Мор .

Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света . Добавляя измерение времени к трехмерному пространству, он определил альтернативную перпендикулярность, гиперболическую ортогональность . Это понятие обеспечивает его четырехмерное пространство с модифицированной одновременностью, соответствующей электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной космологией абсолютного пространства и времени, ранее использовавшейся во вселенной трех пространственных измерений и одного измерения времени.

Геометрия [ править ]

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем у трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Подобно тому, как в трех измерениях существуют многогранники, состоящие из двухмерных многоугольников , в четырех измерениях есть 4-многогранники, состоящие из многогранников. В трех измерениях есть 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях есть 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности порождает еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полурегулярным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

Правильные многогранники в четырех измерениях
(отображаются как ортогональные проекции в каждой плоскости симметрии Кокстера )

А 4 , [3,3,3]	В 4 , [4,3,3]		F 4 , [3,4,3]	H 4 , [5,3,3]
5-элементный {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	16 ячеек {3,3,4}	24-элементный {3,4,3}	120 ячеек {5,3,3}	600 ячеек {3,3,5}

В трех измерениях круг может быть выдавлен в виде цилиндра . В четырех измерениях есть несколько разных цилиндрических объектов. Сфера может быть экструдирована для получения сферического цилиндра (цилиндр со сферическими «крышками», известного как сфериндер ), а цилиндр может быть экструдирован для получения цилиндрической призмы ( кубиндер ). Декартово произведение двух окружностей может быть принято для получения duocylinder . Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, у каждого свои свойства.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы, а поверхности - нет (если они не самопересекаются). Однако в четырех измерениях узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, смещая их в четвертом направлении, но 2D-поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. ^{[11] [ необходима страница ]} Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой затруднительной поверхности. ^{[ необходимая цитата ]} Другой такой поверхностью является реальная проективная плоскость . ^{[ необходима цитата ]}

Гиперсфера [ править ]

Множество точек в евклидовом 4-пространстве , находящихся на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P _0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера . Гиперобъем замкнутого пространства составляет:

${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}$

Это часть метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера в общей теории относительности, где R заменяется функцией R ( t ), где t означает космологический возраст Вселенной. Увеличение или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри. ^[12]

Познание [ править ]

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерного) и угла. (двухмерный) между ними. ^[13] Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, окончательные и богатые 4D-представления с увеличенным опытом восприятия в 4D виртуальных средах». . ^[13] В другом исследовании ^[14]была проверена способность человека ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех отрезков пути случайной длины, соединенных случайными ортогональными поворотами, но без ответвлений или петель (то есть фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze. ^[15] Участвовавшие должны были пройти по тропе и, наконец, оценить линейное направление обратно к начальной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые из участников смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи более низкого измерения были для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Пространственная аналогия [ править ]

Чтобы понять природу четырехмерного пространства, обычно используется устройство, называемое размерной аналогией . Размерная аналогия - это изучение того, как ( n - 1) измерений соотносятся с n измерениями, а затем вывод о том, как n измерений будут соотноситься с ( n + 1) измерениями. ^[16]

Пространственная аналогия была использована Эдвином Эбботтом Эбботтом в книге « Флатландия» , в которой рассказывается история о квадрате, который живет в двухмерном мире, как поверхность листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо обладает, казалось бы, божественными способностями, такими как способность извлекать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их через третье измерение), чтобы видеть все, что из двух- пространственная перспектива скрыта за стенами и оставаться полностью невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.

Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо способно на аналогичные подвиги с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе « Космическая страна» , в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.

Поперечные сечения [ править ]

Поскольку трехмерный объект проходит через двумерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечениетрехмерного объекта в этой плоскости. Например, если сферический воздушный шар прошел через лист бумаги, существа на бумаге увидели бы сначала одну точку, затем круг, постепенно увеличивающийся, пока не достигающий диаметра воздушного шара, а затем снова уменьшающийся, пока не уменьшился. до точки, а затем исчез. Важно помнить, что двумерные существа не будут видеть круг так же, как мы, а только одномерную проекцию круга на своей одномерной «сетчатке». Точно так же, если четырехмерный объект проходит через трехмерную (гипер) поверхность, можно наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта - например, четырехмерная сфера сначала появится как точка, а затем как растущая сфера, которая затем сжимается до единственной точки, а затем исчезает.^[17] Это средство визуализации аспектов четвертого измерения использовалось в романе « Флатландия», а также в нескольких работах Чарльза Ховарда Хинтона . ^{[6] : 11–14} И точно так же трехмерные существа (например, люди с двумерной сетчаткой) не могут видеть сферу целиком, точно так же, как четырехмерные существа со своей трехмерной твердой сетчаткой.

Прогнозы [ править ]

Полезное применение размерной аналогии в визуализации более высоких измерений - это проекция . Проекция - это способ представления n- мерного объекта в n - 1 измерениях. Например, экраны компьютеров являются двухмерными, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представлены в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом размер, ортогональный экрану ( глубина ), удаляется и заменяется косвенной информацией. Сетчатки глаза в глаза также двумерный массив из рецепторов , но в мозгеспособен воспринимать природу трехмерных объектов на основе косвенной информации (такой как затенение, ракурс , бинокулярное зрение и т. д.). Художники часто используют перспективу, чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. Тень , отлитый фиктивной модели сетки вращающегося тессеракта на плоской поверхности, как показано на чертежах, также является результатом проекций.

Точно так же объекты в четвертом измерении можно математически спроецировать в знакомые три измерения, где их будет более удобно исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине из косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.

Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза привносит артефакты, такие как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений дает аналогичные эффекты ракурса. Применяя аналогию с измерениями, из этих эффектов можно сделать вывод о четырехмерной «глубине».

В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.

Тени [ править ]

Концепция, тесно связанная с проекцией, - это отбрасывание теней.

Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двумерная тень. По аналогии с измерениями, свет, падающий на двумерный объект в двухмерном мире, отбрасывает одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывает нульмерную тень, то есть , точка несвета. Если пойти другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.

Если каркас куба освещается сверху, результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соответствующими соединенными углами. Точно так же, если бы каркас тессеракта освещался «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность из четырехугольника). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление на самом деле является двухмерным изображением трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)

Ограничивающие объемы [ править ]

Пространственная аналогия также помогает вывести основные свойства объектов в более высоких измерениях. Например, двухмерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен 6 квадратными гранями. Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт , ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубиками. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы изображения, а не только на двумерные поверхности.

Визуальный охват [ править ]

Люди имеют пространственное самовосприятие как существ в трехмерном пространстве, но визуально ограничены одним измерением меньше: глаз видит мир как проекцию в двух измерениях на поверхности сетчатки . Если предположить, что четырехмерное существо могло видеть мир в проекциях на гиперповерхность, также всего на одно измерение меньше, то есть в трех измерениях, оно могло бы видеть, например, все шесть сторон непрозрачного бокса одновременно и в Фактически, то, что находится внутри коробки одновременно, точно так же, как люди могут видеть все четыре стороны и одновременно внутреннюю часть прямоугольника на листе бумаги. ^{[ необходима цитата ]}Существо сможет различать все точки в трехмерном подпространстве одновременно, включая внутреннюю структуру твердых трехмерных объектов, вещи, скрытые от человеческих точек зрения в трех измерениях на двухмерных проекциях. Мозг получает изображения в двух измерениях и использует рассуждения, чтобы помочь представить себе трехмерные объекты.

Ограничения [ править ]

Рассуждения по аналогии с знакомыми более низкими измерениями могут быть отличным интуитивным руководством, но нужно проявлять осторожность, чтобы не принимать результаты, которые не подвергаются более строгой проверке. Например, рассмотрит формулу для длины окружности и площади поверхности сферы: . У кого-то может возникнуть соблазн предположить, что поверхностный (или поверхностный) объем гиперсферы равен , или возможно , но любой из этих вариантов был бы неправильным. Правильная формула . ^{[4] : 119}${\displaystyle C=2\pi r}$${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$${\displaystyle V=6\pi r^{3}}$${\displaystyle V=8\pi r^{3}}$${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{3}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Арчибальд, Р. К. (1914). «Время как четвертое измерение» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества : 409–412.
• Эндрю Форсайт (1930) Геометрия четырех измерений , ссылка из Интернет-архива .
• Гамов, Джордж (1988). Раз два три . . . Бесконечность: факты и предположения науки (3-е изд.). Courier Dover Publications. п. 68. ISBN 978-0-486-25664-1. Выдержка со страницы 68
• EH Neville (1921) «Четвертое измерение» , Cambridge University Press , ссылка из Исторического математического собрания Мичиганского университета .

Внешние ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Специальная теория относительности.

• Видео "Размеры", демонстрирующие несколько различных способов визуализации четырехмерных объектов.
• Статья " Новости науки", в которой резюмируются видеоролики "Dimensions" с клипами.
• Флатландия: романс многих измерений (второе издание)
• Покадровая анимация 4D - 3D аналогии