Преобразование Галилея

В физике , А галилеянин преобразование используется для преобразования между координатами два опорных кадров , которые отличаются только постоянным относительным движением в пределах конструкций ньютоновской физики . Эти преобразования вместе с пространственными вращениями и перемещениями в пространстве и времени образуют неоднородную галилееву группу (предполагаемую ниже). Без перемещений в пространстве и времени группа представляет собой однородную галилееву группу . Группа Галилея - это группа движений теории относительности Галилея, действующих в четырех измерениях пространства и времени, образующих геометрию Галилея . Этоточка зрения пассивной трансформации . В специальной теории относительности гомогенное и неоднородные Галилеевы преобразование, соответственно, заменены преобразованиями Лоренца и преобразования Пуанкара ; наоборот, групповое сжатие в классическом пределе c → ∞ преобразований Пуанкаре дает преобразования Галилея.

Приведенные ниже уравнения физически действительны только в рамках ньютоновской системы координат и неприменимы к системам координат, движущимся относительно друг друга со скоростью, приближающейся к скорости света .

Галилей сформулировал эти концепции в своем описании равномерного движения . ^[1] Эта тема была мотивирована его описанием движения мяча прокатки вниз рампы , с помощью которого он измерил численное значение для ускорения от силы тяжести вблизи поверхности Земли .

Перевод [ править ]

Стандартная конфигурация систем координат для преобразований Галилея.

Хотя преобразования названы в честь Галилея, именно абсолютное время и пространство в понимании Исаака Ньютона обеспечивает их область определения. По сути, преобразования Галилея воплощают интуитивное понятие сложения и вычитания скоростей как векторов .

Приведенные ниже обозначения описывают взаимосвязь при преобразовании Галилея между координатами ( x , y , z , t ) и ( x ′, y ′, z ′, t ′) одного произвольного события, измеренными в двух системах координат S и S ′ , в равномерном относительном движении ( скорость v ) в их общих направлениях x и x ′ , причем их пространственные начала совпадают в момент времени t = t ′ = 0 : ^{[2][3] [4] [5]}

${\ displaystyle x '= x-vt}$

${\ displaystyle y '= y}$

${\ displaystyle z '= z}$

${\ displaystyle t '= t.}$

Обратите внимание, что последнее уравнение справедливо для всех преобразований Галилея, вплоть до добавления константы, и выражает предположение об универсальном времени, независимом от относительного движения различных наблюдателей.

На языке линейной алгебры это преобразование считается отображением сдвига и описывается матрицей, действующей на вектор. При движении, параллельном оси x , преобразование действует только на два компонента:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ t' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & -v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ t \ end {pmatrix}}}$

Хотя матричные представления не являются строго обязательными для преобразования Галилея, они предоставляют средства для прямого сравнения с методами преобразования в специальной теории относительности.

Преобразования Галилея [ править ]

Галилеевых симметрии может быть однозначно записан в виде композиции в виде вращения , в переводе и равномерное движение пространства - времени. ^[6] Пусть x представляет точку в трехмерном пространстве, а t - точку в одномерном времени. Общая точка в пространстве-времени задается упорядоченной парой ( x , t ) .

Равномерное движение со скоростью v определяется выражением

${\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + t \ mathbf {v}, t),}$

где v ∈ R ³ . Перевод предоставлен

${\ displaystyle (\ mathbf {x}, t) \ mapsto (\ mathbf {x} + \ mathbf {a}, t + s),}$

где ∈ R ³ и ˙s ∈ R . Вращение дается

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t),}$

где G  : R ³ → R ³ - ортогональное преобразование . ^[6]

Как группа Ли , группа преобразований Галилея имеет размерность 10. ^[6]

Галилейская группа [ править ]

Два преобразования Галилея G ( R , v , a , s ) и G ( R ' , v' , a ' , s' ) составляют третье преобразование Галилея,

G ( R ' , v' , a ' , s' ) · G ( R , v , a , s ) = G ( R 'R , R' v + v ' , R' a + a ' + v' s , s ' + s ) .

Множество всех преобразований Галилея Gal (3) образует группу с композицией в качестве групповой операции.

Группа иногда представлена ​​как матричная группа с пространственно-временными событиями ( x , t , 1) как векторами, где t является действительным, а x ∈ R ³ - положением в пространстве. Действие задается ^[7]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

где s вещественное, а v , x , a ∈ R ³ и R - матрица вращения . Затем композиция преобразований выполняется посредством умножения матриц . При обсуждении следует проявлять осторожность, ограничиваясь ли мы связной компонентной группой ортогональных преобразований.

Гал (3) назвал подгруппы. Компонент идентичности обозначается SGal (3) .

Пусть m представляет матрицу преобразования с параметрами v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$ анизотропные превращения.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$ изохронные преобразования.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$ пространственные евклидовы преобразования.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$ единообразно специальные преобразования / однородные преобразования, изоморфные евклидовым преобразованиям.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong (\mathbf {R} ^{4},+),}$ сдвиги происхождения / трансляции в ньютоновском пространстве-времени.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$вращения (системы отсчета) (см. SO (3) ), компактная группа.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong (\mathbf {R} ^{3},+),}$ равномерные движения / ускорения кадра.

Параметры с , V , R , продолжительность десяти измерений. Поскольку преобразования непрерывно зависят от s , v , R , a , Gal (3) является непрерывной группой , также называемой топологической группой.

Структуру Gal (3) можно понять реконструкцией по подгруппам. Полупрямое произведение комбинации ( ) групп требуется. ${\displaystyle A\rtimes B}$

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G ₂ - нормальная подгруппа )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

Происхождение в групповом сокращении [ править ]

Алгебра Ли из группы Галилея является натянутым на H , P _I , C _я и L _Ij (An антисимметричного тензора ), с учетом соотношений коммутации , где

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H - генератор сдвигов по времени ( гамильтониан ), P _i - генератор сдвигов ( оператор импульса ), C _i - генератор безоборотных преобразований Галилея (галилеевы бусты), ^[8] и L _ij - генератор вращений ( оператор углового момента ).

Эта алгебра Ли рассматривается как специальный классический предел алгебры группы Пуанкаре в пределе c → ∞ . Технически группа Галилея является знаменитым групповым сжатием группы Пуанкаре (которая, в свою очередь, является групповым сжатием группы де Ситтера SO (1,4) ). ^[9] Формально переименовав генераторы импульса и разгона последних, как в

P ₀ ↦ H / c

К _я ↦ с ⋅ С _я ,

где c - скорость света (или любая ее неограниченная функция), коммутационные соотношения (структурные константы) в пределе c → ∞ принимают соотношения первых. Идентифицированы генераторы временных трансляций и поворотов. Также отметим групповые инварианты L _mn L ^mn и P _i P ⁱ .

В матричной форме для d = 3 можно рассмотреть регулярное представление (вложенное в GL (5; R ) , из которого оно может быть получено одним групповым сжатием, минуя группу Пуанкаре),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

Тогда элемент бесконечно малой группы равен

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{1}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{1}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Центральное продолжение галилейской группы [ править ]

Можно рассматривать ^[10] как центральное расширение алгебры Ли галилеевой группы, натянутое на H ′, P ′ _i , C ′ _i , L ′ _ij и оператор M : так называемая алгебра Баргмана получается наложением таких что M лежит в центре , т.е. коммутирует со всеми остальными операторами.${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$

В полном объеме эта алгебра имеет вид

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

и наконец

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

где появляется новый параметр . Это расширение и проективные представления, которые это позволяет, определяется его групповыми когомологиями .${\displaystyle M}$

См. Также [ править ]

• Галилеевская инвариантность
• Теория представлений галилеевой группы
• Галилей-ковариантная тензорная формулировка
• Группа Пуанкаре
• Группа Лоренца
• Лагранжевы и эйлеровы координаты

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Арнольд В.И. (1989). Математические методы классической механики (2-е изд.). Springer-Verlag. п. 6 . ISBN 0-387-96890-3.
• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анналы математики . 2. 59 (1): 1–46. DOI : 10.2307 / 1969831 .
• Коперник, Николай ; Кеплер, Иоганнес ; Галилей, Галилей ; Ньютон, Исаак ; Эйнштейн, Альберт (2002). Хокинг, Стивен (ред.). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии . Филадельфия, Лондон: Running Press . С.  515–520 . ISBN 0-7624-1348-4.
• Галилей, Галилей (1638I). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze (на итальянском языке). Лейден: Эльзевьер . С. 191–196.
• Галилей, Галилей (1638E). Дискурсы и математические демонстрации, относящиеся к двум новым наукам [ Discorsi e Dimostrazioni Matematiche Intorno a Due Nuove Scienze ]. Перевод на английский язык 1914 года Генри Крю и Альфонсо де Сальвио.
• Гилмор, Роберт (2006). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Дуврские книги по математике. Dover Publications . ISBN 0486445291.
• Хоффманн, Банеш (1983), Теория относительности и ее корни , Scientific American Books, ISBN 0-486-40676-8, Глава 5, с. 83
• Лернер, Лоуренс С. (1996), Физика для ученых и инженеров , 2 , Jones and Bertlett Publishers, Inc, ISBN 0-7637-0460-1, Глава 38 §38.2, с. 1046 1047
• Молд, Ричард А. (2002), Основная теория относительности , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95210-1, Глава 2 §2.6, с. 42
• Наджафихах, Мехди; Forough, Ахмад-Реза (2009). «Галилеевская геометрия движений» (PDF) . Прикладные науки . С. 91–105.
• Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В. (2006), Принципы физики: текст, основанный на исчислении (4-е изд.), Brooks / Cole - Thomson Learning, ISBN 0-534-49143-X, Глава 9 §9.1, с. 261