Классический предел

Классический предел или корреспонденция предел является способностью физической теории усреднять или «восстановить» классическую механику при рассмотрении более специальных значений его параметров. ^[1] Классический предел используется с физическими теориями, которые предсказывают неклассическое поведение.

Квантовая теория [ править ]

Эвристический постулат называется принципом соответствия был введен в квантовую теорию с помощью Нильса Бора : в действительности он утверждает , что какое - то аргумент непрерывности следует обратиться к классическому пределу квантовых систем в качестве значения постоянная Планка , нормированного действием этих систем становится очень небольшой. Часто это достигается с помощью «квазиклассических» методов (ср. Приближение ВКБ ). ^[2]

Более строго, ^[3] математическая операция участвует в классических пределах является группа сжатия , аппроксимирующим физические систем , где соответствующее действие значительно больше , чем постоянная Планка ħ , так что «параметр деформации» ħ / S может быть эффективно принят равным нуль ( ср Вейль квантования .) Таким образом , как правило, квантовые коммутаторы (эквивалентно, Moyal скобки ) сводятся к скобок Пуассона , ^[4] в группе сжатия .

В квантовой механике , в связи с Гейзенберга принципом неопределенности , электрон не может быть в состоянии покоя; он всегда должен иметь ненулевую кинетическую энергию , чего нет в классической механике. Например, если мы рассмотрим что-то очень большое по сравнению с электроном, например бейсбольный мяч, принцип неопределенности предсказывает, что на самом деле он не может иметь нулевую кинетическую энергию, но неопределенность кинетической энергии настолько мала, что бейсбольный мяч может фактически казаться неподвижным. , и, следовательно, похоже, подчиняется классической механике. В общем, если большие энергии и большие объекты (относительно размера и уровней энергии электрона) рассматриваются в квантовой механике, результат будет подчиняться классической механике. Типичныйчисла заполнения огромны: макроскопический гармонический осциллятор с ω  = 2 Гц, m  = 10 g и максимальной амплитудой x ₀  = 10 см имеет S  ≈  E / ω  ≈ mωx²
₀/ 2 ≈ 10 ⁻⁴  кг · м ² / с  =  ħn , так что n  10 ³⁰ . Далее см. Когерентные состояния . Однако менее ясно, как классический предел применим к хаотическим системам - области, известной как квантовый хаос .

Квантовая механика и классическая механика обычно рассматриваются с помощью совершенно разных формализмов: квантовая теория, использующая гильбертово пространство , и классическая механика, использующая представление в фазовом пространстве . Их можно объединить в общую математическую структуру различными способами. В фазовой формулировке квантовой механики, которая является статистической по своей природе, устанавливаются логические связи между квантовой механикой и классической статистической механикой, что позволяет естественным образом сравнивать их, включая нарушения теоремы Лиувилля (гамильтониана) при квантовании. ^{[5] [6]}

В важнейшей статье (1933 г.) Дирак ^[7] объяснил, как классическая механика является возникающим явлением квантовой механики: деструктивная интерференция траекторий с неэкстремальными макроскопическими воздействиями S  »  ħ стирает амплитудные вклады в интеграл по путям, который он ввел, оставляя экстремальные _класс действия S , таким образом, классический путь действия как доминирующий вклад, наблюдение, далее развитое Фейнманом в его докторской диссертации 1942 года. ^[8] (См. Также квантовую декогеренцию .)

Временная эволюция ожидаемых значений [ править ]

Один простой способ сравнить классическую механику с квантовой - рассмотреть эволюцию во времени ожидаемого положения и ожидаемого импульса, которую затем можно сравнить с эволюцией во времени обычного положения и импульса в классической механике. Квантовые математические ожидания удовлетворяют теореме Эренфеста . Теорема Эренфеста утверждает, что для одномерной квантовой частицы, движущейся в потенциале ^[9]${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle m {\ frac {d} {dt}} \ langle x \ rangle = \ langle p \ rangle; \ quad {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = - \ left \ langle V '(X) \ right \ rangle.}$

Хотя первое из этих уравнений согласуется с классической механикой, второе - нет: если бы пара удовлетворяла второму закону Ньютона, правая часть второго уравнения имела бы вид${\ Displaystyle (\ langle X \ rangle, \ langle P \ rangle)}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle p \ rangle = -V '\ left (\ left \ langle X \ right \ rangle \ right)}$.

Но в большинстве случаев

${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle \neq V'(\left\langle X\right\rangle )}$.

Если, например, потенциал кубический, то он квадратичный, и в этом случае мы говорим о различии между и , которые различаются на .${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle \langle X^{2}\rangle }$${\displaystyle \langle X\rangle ^{2}}$${\displaystyle (\Delta X)^{2}}$

Исключение составляет случай, когда классические уравнения движения являются линейными, то есть квадратичными и линейными. В том частном случае и все-таки согласен. В частности, для свободной частицы или квантового гармонического осциллятора ожидаемое положение и ожидаемый импульс точно соответствуют решениям уравнений Ньютона.${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$

Для общих систем лучшее, на что мы можем надеяться, - это то, что ожидаемые положение и импульс будут приблизительно соответствовать классическим траекториям. Если волновая функция сильно сконцентрирована вокруг точки , то и будет почти одинаковым, поскольку оба будут примерно равны . В этом случае ожидаемое положение и ожидаемый импульс будут оставаться очень близкими к классическим траекториям, по крайней мере, до тех пор, пока волновая функция остается сильно локализованной по положению. ^[10]${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)}$${\displaystyle \left\langle V'(X)\right\rangle }$${\displaystyle V'(x_{0})}$

Теперь, если начальное состояние очень локализовано по положению, оно будет сильно разбросано по импульсу, и поэтому мы ожидаем, что волновая функция будет быстро распространяться, и связь с классическими траекториями будет потеряна. Однако, когда постоянная Планка мала, возможно состояние, которое хорошо локализовано как по положению, так и по импульсу. Небольшая неопределенность в импульсе гарантирует, что частица остается хорошо локализованной в своем положении в течение длительного времени, так что ожидаемое положение и импульс продолжают точно отслеживать классические траектории в течение длительного времени.

Относительность и другие деформации [ править ]

Другие известные деформации в физике включают:

• Деформация классического Ньютона в релятивистскую механику ( специальная теория относительности ) с параметром деформации v / c ; классический предел предполагает малые скорости, поэтому v / c → 0, и кажется, что системы подчиняются ньютоновской механике.
• Аналогично для деформации ньютоновской гравитации в общую теорию относительности , с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристическое измерение, мы обнаруживаем, что объекты снова кажутся подчиняющимися классической механике (плоское пространство), когда масса объекта умножается на квадрат Планка. длина намного меньше, чем его размер и размеры решаемой задачи. См. Предел Ньютона .
• Волновую оптику можно также рассматривать как деформацию лучевой оптики для параметра деформации λ / a .
• Точно так же, термодинамика деформируется к статистической механике с параметром деформации 1 / N .

См. Также [ править ]

• Приближение ВКБ
• Квантовая декогеренция
• Квантовый предел
• Квантовая область
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Квантовый хаос
• Интеграл Френеля
• Полуклассическая физика
• Теорема Эренфеста
• Математическая формулировка квантовой механики

Ссылки [ править ]

• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158