В квантовой механике , то преобразование Вигнера-Вейль или преобразования Вейль-Вигнера (после того, как Герман Вейль и Юджин Вигнер ) является обратимое отображение между функциями в квантовой формулировке фазового пространства и пространства Гильберта операторов в картине Шредингера .
Часто отображение функций на фазовом пространстве в операторы называется преобразованием Вейля или квантованием Вейля , тогда как обратное отображение операторов в функции в фазовом пространстве называется преобразованием Вигнера . Это отображение было первоначально разработано Германом Вейлем в 1927 году в попытке отобразить симметризованные функции классического фазового пространства в операторы, процедура, известная как квантование Вейля . [1]Теперь понятно, что квантование Вейля не удовлетворяет всем свойствам, которые требуются для последовательного квантования, и поэтому иногда дает нефизические ответы. С другой стороны, некоторые из замечательных свойств, описанных ниже, предполагают, что если кто-то ищет единую согласованную процедуру, отображающую функции на классическом фазовом пространстве в операторы, квантование Вейля - лучший вариант: своего рода нормальные координаты таких отображений. ( Теорема Греневольда утверждает, что никакое такое отображение не может обладать всеми идеальными свойствами, которые вы хотели бы иметь.)
Тем не менее, преобразование Вейля – Вигнера представляет собой четко определенное интегральное преобразование между фазовым пространством и представлениями операторов и дает представление о работе квантовой механики. Наиболее важно то, что квази-вероятностное распределение Вигнера - это преобразование Вигнера квантовой матрицы плотности , и, наоборот, матрица плотности - это преобразование Вейля функции Вигнера.
В отличие от первоначальных намерений Вейля по поиску последовательной схемы квантования, эта карта просто сводится к изменению представления в рамках квантовой механики; нет необходимости связывать «классические» с «квантовыми» величинами. Например, функция фазового пространства может явно зависеть от постоянной Планка, как это происходит в некоторых известных случаях, связанных с угловым моментом. Это обратимое изменение представления затем позволяет выразить квантовую механику в фазовом пространстве , как это было оценено в 1940-х годах Хильбрандом Дж. Гроенвольдом [2] и Хосе Энрике Мойалом . [3] [4]
Определение квантования Вейля общей наблюдаемой
Следующее объясняет преобразование Вейля на простейшем двумерном евклидовом фазовом пространстве. Пусть координаты на фазовом пространстве равны (q, p) , и пусть f - функция, определенная всюду на фазовом пространстве. В дальнейшем мы фиксируем операторы P и Q, удовлетворяющие каноническим коммутационным соотношениям , таким как обычные операторы положения и импульса в представлении Шредингера. Мы предполагаем, что экспоненциальные операторы а также представляют собой неприводимое представление соотношений Вейля , так что выполняется теорема Стоуна – фон Неймана (гарантирующая единственность канонических коммутационных соотношений).
Основная формула
Преобразование Вейля (или квантование Вейля ) функции f задается следующим оператором в гильбертовом пространстве,
Через, - приведенная постоянная Планка .
Поучительно сначала выполнить интегралы p и q в приведенной выше формуле, что дает эффект вычисления обычного преобразования Фурье функции , оставив оператора . В этом случае преобразование Вейля можно записать как [5]
- .
Поэтому мы можем думать о отображении Вейля следующим образом: мы берем обычное преобразование Фурье функции , но затем, применяя формулу обращения Фурье, мы подставляем квантовые операторы а также для исходных классических переменных а также , получив «квантовую версию . "
Менее симметричная форма, но удобная для приложений:
В позиционном представлении
Тогда отображение Вейля также может быть выражено через матричные элементы интегрального ядра этого оператора [6]
Обратная карта
Обратным вышеупомянутому отображению Вейля является отображение Вигнера , которое возвращает оператор Φ к исходной ядерной функции f фазового пространства ,
Например, карта Вигнера оператора теплового распределения осциллятора это [7]
Если заменить в приведенном выше выражении с произвольным оператором результирующая функция f может зависеть от постоянной Планка и может хорошо описывать квантово-механические процессы, при условии, что она правильно скомпонована через звездное произведение , приведенное ниже. [8] В свою очередь, отображение Вейль карты Вигнера обобщены формулы Groenewold в , [7]
Квантование Вейля полиномиальных наблюдаемых
Хотя приведенные выше формулы дают хорошее представление о квантовании Вейля очень общей наблюдаемой на фазовом пространстве, они не очень удобны для вычислений на простых наблюдаемых, таких как те, которые являются полиномами от а также . В следующих разделах мы увидим, что на таких многочленах квантование Вейля представляет собой полностью симметричный порядок некоммутирующих операторов а также . Например, отображение Вигнера кванта углового момента квадрат оператор L 2 представляет не только классический угловой момент квадрата, но она дополнительно содержит смещенный термин -3 ħ 2 /2 , на долю которого приходится для ненулевого углового момента земли -состояние орбиты Бора .
Характеристики
Квантование Вейля многочленов
Действие квантования Вейля на полиномиальные функции от а также полностью определяется следующей симметричной формулой: [9]
для всех комплексных чисел а также . Из этой формулы нетрудно показать, что квантование Вейля на функции вида дает среднее значение всех возможных порядков факторы а также факторы . Например, у нас есть
Хотя этот результат концептуально естественен, он неудобен для вычислений, когда а также большие. В таких случаях мы можем использовать вместо этого формулу МакКоя [10]
Это выражение дает, по-видимому, другой ответ для случая из полностью симметричного выражения выше. Однако здесь нет противоречия, поскольку канонические коммутационные соотношения допускают более одного выражения для одного и того же оператора. (Читатель может найти поучительным использовать коммутационные соотношения, чтобы переписать полностью симметричную формулу для случая с точки зрения операторов , , а также и проверим первое выражение в формуле Маккоя с помощью .)
Широко распространено мнение, что квантование Вейля среди всех схем квантования максимально приближено к отображению скобки Пуассона на классической стороне на коммутатор на квантовой стороне. (Точное соответствие невозможно в свете теоремы Греневольда .) Например, Мойал показал
- Теорема : если является многочленом степени не выше 2 и - произвольный многочлен, то имеем .
Квантование Вейля общих функций
- Если F является вещественной функцией , то ее Вейль-изображение карты Φ [ F ] является самосопряженным .
- Если f - элемент пространства Шварца , то Φ [ f ] является следовым классом .
- В более общем смысле, Φ [ f ] - плотно определенный неограниченный оператор .
- Отображение Φ [ f ] взаимно однозначно на пространстве Шварца (как подпространство интегрируемых с квадратом функций).
Квантование деформации
Интуитивно понятно, что деформация математического объекта - это семейство однотипных объектов, которые зависят от некоторого параметра (ов). Здесь представлены правила преобразования «классической» коммутативной алгебры наблюдаемых в квантовую некоммутативную алгебру наблюдаемых.
Базовая установка в теории деформации состоит в том, чтобы начать с алгебраической структуры (скажем, алгебры Ли ) и спросить: существует ли одно или несколько семейств аналогичных структур, таких что для начального значения параметра (ов) у вас такая же структура (алгебра Ли), с которой вы начали? (Самой старой иллюстрацией этого может быть осознание Эратосфена в древнем мире, что плоская Земля была деформируемой в сферическую Землю с параметром деформации 1 / R ⊕ .) Например, можно определить некоммутативный тор как квантование деформации через ★ -продукт, неявно учитывающий все тонкости сходимости (обычно не рассматриваются при формальном квантовании деформации). Поскольку алгебра функций в пространстве определяет геометрию этого пространства, изучение звездного произведения приводит к изучению деформации некоммутативной геометрии этого пространства.
В контексте приведенного выше примера с плоским фазовым пространством звездное произведение (произведение Мойала , фактически введенное Гроенвольдом в 1946 году), ★ ħ , пары функций из f 1 , f 2 ∈ C ∞ (ℜ 2 ) , является указано
Звездное произведение, вообще говоря, не коммутативно, а переходит в обычное коммутативное произведение функций в пределе ħ → 0 . Таким образом, говорят, что он определяет деформацию коммутативной алгебры C ∞ ( 2 ) .
Для приведенного выше примера карты Вейля ★ -произведение может быть записано в терминах скобки Пуассона как
Здесь Π - бивектор Пуассона , оператор, определенный таким образом, что его степени равны
а также
где { f 1 , f 2 } - скобка Пуассона . В более общем смысле,
где - биномиальный коэффициент .
Так, например, [7] гауссианы составляют гиперболически ,
или же
Эти формулы основаны на координатах, в которых бивектор Пуассона постоянен (плоские скобки Пуассона). По поводу общей формулы на произвольных пуассоновых многообразиях ср. формула квантования Концевич .
Антисимметризация этого ★ -произведения дает скобку Мойала , собственно квантовую деформацию скобки Пуассона и изоморф фазового пространства (преобразование Вигнера) квантового коммутатора в более обычной формулировке квантовой механики в гильбертовом пространстве. Таким образом, он составляет краеугольный камень динамических уравнений наблюдаемых в этой формулировке фазового пространства.
Это приводит к полной формулировке квантовой механики в фазовом пространстве , полностью эквивалентной представлению оператора в гильбертовом пространстве , с изоморфно параллельными операциями умножения в виде звезды. [7]
Ожидаемые значения при квантовании в фазовом пространстве получаются изоморфно отслеживанию операторных наблюдаемых Φ с матрицей плотности в гильбертовом пространстве: они получаются интегралами в фазовом пространстве наблюдаемых, таких как приведенный выше f с квазивероятным распределением Вигнера, эффективно служащим мерой .
Таким образом, путь экспрессии квантовой механики в фазовом пространстве (то же сфера , как для классической механики), выше карты Вейля облегчает распознавание квантовой механики как деформации (обобщение, ср принцип соответствия ) классической механики, с параметром деформации ħ / S . (Другие известные деформации в физике включают деформацию классической ньютоновской механики в релятивистскую механику с параметром деформации v / c или деформацию ньютоновской гравитации в общую теорию относительности с параметром деформации радиус Шварцшильда / характеристическое измерение. И наоборот, групповое сжатие приводит к недеформированные теории исчезающего параметра - классические пределы .)
Классические выражения, наблюдаемые и операции (такие как скобки Пуассона) модифицируются H -зависимых квантовых поправок, так как обычное коммутативное умножение в применении классической механики обобщается на некоммутативную звезде-умножение , характеризующий квантовую механику и лежащую в основе его принцип неопределенности.
Несмотря на свое название, деформационное квантование не является успешной схемой квантования , а именно методом создания квантовой теории из классической. Это сводится к простому изменению представления от гильбертова пространства к фазовому пространству.
Обобщения
В более общем плане квантование Вейля изучается в случаях, когда фазовое пространство является симплектическим многообразием или, возможно, пуассоновым многообразием . Связанные структуры включают группы Пуассона – Ли и алгебры Каца – Муди .
Смотрите также
|
|
Рекомендации
- ^ Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1–46. Bibcode : 1927ZPhy ... 46 .... 1W . DOI : 10.1007 / BF02055756 . S2CID 121036548 .
- ^ Groenewold, HJ (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Physica . 12 (7): 405–446. Bibcode : 1946Phy .... 12..405G . DOI : 10.1016 / S0031-8914 (46) 80059-4 .
- ^ Мойал, Дж. Э .; Бартлетт, MS (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1): 99–124. Bibcode : 1949PCPS ... 45 ... 99M . DOI : 10.1017 / S0305004100000487 .
- ^ Кертрайт, TL; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37–46. arXiv : 1104.5269 . DOI : 10.1142 / S2251158X12000069 . S2CID 119230734 .
- ^ Зал 2013 Раздел 13.3
- ^ Холл 2013 Определение 13,7
- ^ а б в г Кертрайт, TL; Fairlie, DB; Захос, СК (2014). Краткий трактат по квантовой механике в фазовом пространстве . World Scientific . ISBN 9789814520430.
- ^ Кубо Р. (1964). "Вигнеровское представление квантовых операторов и его приложения к электронам в магнитном поле". Журнал Физического общества Японии . 19 (11): 2127–2139. Bibcode : 1964JPSJ ... 19.2127K . DOI : 10,1143 / JPSJ.19.2127 .
- Перейти ↑ Hall 2013 Proposition 13.3
- ^ Маккой, Нил (1932). «О функции в квантовой механике, которая соответствует заданной функции в классической механике», Proc Nat Acad Sci USA 19 674, онлайн .
- Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
дальнейшее чтение
- Дело, Уильям Б. (октябрь 2008 г.). «Функции Вигнера и преобразования Вейля для пешеходов». Американский журнал физики . 76 (10): 937–946. Bibcode : 2008AmJPh..76..937C . DOI : 10.1119 / 1.2957889 .(В разделах с I по IV этой статьи дается обзор преобразования Вигнера – Вейля , распределения квазивероятностей Вигнера , формулировки квантовой механики в фазовом пространстве и примера квантового гармонического осциллятора .)
- «Квантование Вейля» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Заметки Теренс Тао о порядке Вейля в 2012 году