Неограниченный оператор

В математике , более конкретно в функциональном анализе и теории операторов , понятие неограниченного оператора обеспечивает абстрактную основу для работы с дифференциальными операторами , неограниченными наблюдаемыми в квантовой механике и другими случаями.

Термин «неограниченный оператор» может вводить в заблуждение, поскольку

• «неограниченный» иногда следует понимать как «необязательно ограниченный»;
• «оператор» следует понимать как « линейный оператор » (как в случае «ограниченного оператора»);
• область определения оператора - линейное подпространство, не обязательно все пространство;
• это линейное подпространство не обязательно замкнуто; часто (но не всегда) он считается плотным;
• в частном случае ограниченного оператора, тем не менее, обычно предполагается, что область определения - это все пространство.

В отличие от ограниченных операторов , неограниченные операторы в данном пространстве не образуют алгебру или даже линейное пространство, потому что каждый из них определен в своей собственной области.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте данной статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше. Данное пространство предполагается гильбертовым . ^{[ требуется пояснение ]} Возможны некоторые обобщения на банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства .

Краткая история [ править ]

Теория неограниченных операторов развивалась в конце 1920-х - начале 1930-х годов как часть разработки строгой математической основы квантовой механики . ^[1] Развитие теории принадлежит Джону фон Нейману ^[2] и Маршаллу Стоуну . ^[3] Фон Нейман ввел использование графов для анализа неограниченных операторов в 1936 году. ^[4]

Определения и основные свойства [ править ]

Пусть X , Y - банаховы пространства . Неограниченный оператор (или просто оператор ) Т  : Х → Y представляет собой линейное отображение Т из линейного подпространства D ( T ) ⊆ X - область определения Т - к пространству Y . ^[5] В отличие от обычной конвенции, Т не может быть определен на всем пространстве X . Два оператора равны, если они имеют общий домен и совпадают в этом общем домене. ^[5]

Оператор T называется замкнутым, если его граф Γ ( T ) является замкнутым множеством . ^[6] (Здесь граф Γ ( T ) является линейным подпространством прямой суммы X ⊕ Y , определенной как множество всех пар ( x , Tx ) , где x пробегает область определения T.  ) В явном виде это означает, что для любой последовательности { x _n } точек из области определения T, такой что x _n→ x и Tx _n → y , то x принадлежит области определения T и Tx = y . ^[6] Замкнутость также может быть сформулирована в терминах нормы графа : оператор T замкнут тогда и только тогда, когда его область определения D ( T ) является полным пространством относительно нормы: ^[7]

${\ displaystyle \ | x \ | _ {T} = {\ sqrt {\ | x \ | ^ {2} + \ | Tx \ | ^ {2}}}.}$

Оператор Т называется плотно определен , если его домен является плотным в X . ^[5] Сюда также входят операторы, определенные на всем пространстве X , поскольку все пространство плотно само по себе. Плотность области необходима и достаточна для существования сопряженного (если X и Y - гильбертовы пространства) и транспонирования; см. разделы ниже.

Если T  : X → Y замкнут, плотно определен и непрерывна на своей области, то его область является все X . ^[8]

Плотно определенный оператор T в гильбертовом пространстве H называется ограниченным снизу, если T + a - положительный оператор для некоторого действительного числа a . То есть, ⟨ Tx | х ⟩ ≥ - || х || ² для всех х в области Т (или , альтернативно , ⟨ Tx | х ⟩ ≥ || х || ² , так как произвольно). ^[9] Если оба Tи - T ограничены снизу, то ограничены T. ^[9]

Пример [ править ]

Пусть C ([0, 1]) обозначает пространство непрерывных функций на единичном интервале, и пусть C ¹ ([0, 1]) обозначает пространство непрерывно дифференцируемых функций. Мы снабдим его нормой супремума , сделав его банаховым пространством. Определим классический оператор дифференцирования${\ Displaystyle С ([0,1])}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ infty}}$d/dx : C ¹ ([0, 1]) → C ([0, 1]) по обычной формуле:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {d} {dx}} f \ right) (x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} { h}}, \ qquad \ forall x \ in [0,1].}$

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C ¹ ([0, 1]) ⊆ C ([0, 1]) . Мы утверждаем, чтоd/dx : C ([0, 1]) → C ([0, 1]) - вполне определенный неограниченный оператор с областью определения C ¹ ([0, 1]) . Для этого нам нужно показать, что это линейно, а затем, например, показать такие, что и .${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}}}$${\ Displaystyle \ {е_ {п} \} _ {п} \ подмножество С ^ {1} ([0,1])}$${\ Displaystyle \ | е_ {п} \ | _ {\ infty} = 1}$${\ displaystyle \ sup _ {n} \ | {\ frac {d} {dx}} f_ {n} \ | _ {\ infty} = + \ infty}$

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация a f  + bg двух непрерывно дифференцируемых функций f  , g также непрерывно дифференцируема, и 

${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {d} {dx}} \ right) (af + bg) = a \ left ({\ tfrac {d} {dx}} f \ right) + b \ left ({\ tfrac {d} {dx}} g \ right).}$

Оператор не ограничен. Например,

${\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {n}: [0,1] \ to [-1,1] \\ f_ {n} (x) = \ sin (2 \ pi nx) \ end {case} }}$

удовлетворить

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

но

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

как .${\displaystyle n\to \infty }$

Оператор плотно определен и замкнут.

Один и тот же оператор можно рассматривать как оператор Z → Z для многих вариантов выбора банахова пространства Z и не ограничивать его никакими из них. В то же время, он может быть ограничен как оператор Х → Y для других пар банаховых пространств X , Y , а также в качестве оператора Z → Z для некоторых топологических векторных пространств Z . ^{[ требуется пояснение ]} В качестве примера пусть I ⊂ R - открытый интервал, и рассмотрим

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

куда:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

Смежный [ править ]

Сопряженный к неограниченному оператору можно определить двумя эквивалентными способами. Пусть T  : D ( T ) ⊆ H ₁ → H ₂ - неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами.

Во-первых, его можно определить аналогично тому, как определяют сопряженный к ограниченному оператору. А именно, сопряженный T  ^∗  : D ( T  ^* ) H ₂ → H ₁ к T определяется как оператор, обладающий свойством:

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$

Точнее, T  ^∗ определяется следующим образом. Если у ∈ H ₂ является таким , что представляет собой непрерывное линейный функционал на области Т , то у объявляются элемент D ( T ^* ) , и после расширения линейного функционала на все пространство с помощью теоремы Хана-Банаха , можно найти z в H ₁ такое, что${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ 

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$

поскольку двойственный к гильбертову пространству можно отождествить с набором линейных функционалов, заданных внутренним произведением. Для каждого y , z определяется однозначно тогда и только тогда, когда расширенный линейный функционал был плотно определен; т. е. если T плотно определен. Наконец, если положить T  ^∗ y = z, построение T  ^∗ завершено . ^[10] Отметим, что T  ^∗ существует тогда и только тогда, когда T плотно определен.

По определению, область Т  ^* состоит из элементов у в H ₂ таким образом, что непрерывна на области Т . Следовательно, область определения T ^∗ может быть любой; он может быть тривиальным (т.е. содержать только ноль). ^[11] Может случиться, что область определения T ^∗ является замкнутой гиперплоскостью и T ^∗ обращается в нуль всюду на области. ^{[12] [13]} Таким образом, ограниченность Т ^* на своей области , не означает ограниченность Т . С другой стороны, если T${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$    ^∗ определен на всем пространстве, то T ограничен на своей области определения и поэтому может быть продолжен по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве. ^[14] Если область определения T  ^∗ плотная, то она имеет сопряженный T  ^∗∗ . ^[15] Замкнутый плотно определенный оператор T ограничен тогда и только тогда, когдаограничен T  ^∗ . ^[16]

Другое эквивалентное определение сопряженного можно получить, обратив внимание на общий факт. Определим линейный оператор J следующим образом: ^[15]

${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$

Поскольку J изометрическая сюръекция, она унитарна. Следовательно: J (Γ ( T )) ^⊥ является графиком некоторого оператора S тогда и только тогда, когда T плотно определен. ^[17] Простой расчет показывает, что это "некоторая" S удовлетворяет:

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$

для каждого х в области Т . Таким образом, S является сопряженным Т .

Из данного определения немедленно следует, что сопряженное T  ^∗ замкнуто. ^[15] В частности, самосопряженный оператор (т.е. T = T  ^∗ ) замкнут. Оператор Т замкнут и плотно определен тогда и только тогда , когда T  ^** = Т . ^[18]

Некоторые известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро замкнутого оператора замкнуто. Более того, ядро ​​замкнутого плотно определенного оператора T  : H ₁ → H ₂ совпадает с ортогональным дополнением образа сопряженного. То есть ^[19]

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$

Теорема фон Неймана утверждает, что T  ^∗ T и TT  ^∗ самосопряжены, и что I + T  ^∗ T и I + TT  ^∗ имеют ограниченные обратные. ^[20] Если T  ^∗ имеет тривиальное ядро, T имеет плотный диапазон значений (по указанному выше тождеству). Более того:

T сюръективен тогда и только тогда, когда существует K > 0 такое, что ||  f  || ₂ ≤ K  || T  ^∗ f  || ₁ для всех f из D ( T ^∗ ) . ^[21] (По сути, это вариант так называемой теоремы о замкнутом диапазоне ). В частности, T имеет замкнутый диапазон тогда и только тогда, когда T ^∗ имеет замкнутый диапазон.    

В отличие от ограниченного случая, не обязательно, чтобы ( TS ) ^∗ = S  ^∗ T  ^∗ , поскольку, например, возможно даже, что ( TS ) ^∗ не существует. ^{[ необходима цитата ]} Это, однако, так, если, например, T ограничено. ^[22]

Плотно определенный замкнутый оператор T называется нормальным, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^[23]

• Т  ^* Т = ТТ  ^* ;
• область определения T равна области определения T  ^∗ , и || Tx || = || T  ^∗ x || для каждого x в этом домене;
• существуют самосопряженные операторы A , B такие, что T = A + iB , T ^∗ = A - iB и || Tx || ² = || Топор || ² + || Bx || ² для каждого х в области Т .

Каждый самосопряженный оператор нормален.

Транспонировать [ править ]

Пусть T  : B ₁ → B ₂ - оператор между банаховыми пространствами. Тогда транспонированный (или двойственный ) к T оператор удовлетворяет:${\displaystyle T':{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$

${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,T'y'\rangle }$

для всех x в B ₁ и y в B ₂ ^* . Здесь мы использовали обозначения: . ^[24]${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$

Необходимым и достаточным условием для существования транспонирования T является то, что T плотно определен (по существу по той же причине, что и сопряженные, как обсуждалось выше).

Для любого гильбертова пространства H существует антилинейный изоморфизм:

${\displaystyle J:H^{*}\to H}$

задается формулой Jf = y, где . Благодаря этому изоморфизму транспонированный T ^' связан с присоединенным T ^∗ следующим образом:${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H)}$

${\displaystyle T^{*}=J_{1}T'J_{2}^{-1}}$, ^[25]

где . (Для конечномерного случая это соответствует тому факту, что сопряженная матрица является ее сопряженным транспонированием.) Обратите внимание, что это дает определение сопряженного в терминах транспонирования.${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$

Замкнутые линейные операторы [ править ]

Замкнутые линейные операторы - это класс линейных операторов в банаховых пространствах . Они более общие, чем ограниченные операторы , и поэтому не обязательно непрерывны , но все же сохраняют достаточно хорошие свойства, чтобы можно было определить спектр и (при определенных предположениях) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не могут быть ограничены, оказываются замкнутыми, например производная и большой класс дифференциальных операторов .

Пусть X , Y - два банаховых пространства . Линейный оператор  : D ( ) ⊆ X → Y является закрытым , если для каждой последовательности { х _п } в D ( A ) , сходящийся к й в Й такое , что Ах _п → у ∈ Y , как п → ∞ из них имеет е ∈ D ( А ) и Ax = y . Эквивалентно, замкнут , если его график будет закрыт в прямую сумму X ⊕ Y .

Учитывая линейный оператор А , не обязательно закрывается, если замыкание его графика в X ⊕ Y случается график некоторого оператора, что оператор называется замыкание в А , и мы говорим , что является закрываемой . Обозначим замыкание А на А . Отсюда следует , что это ограничение на А до D ( A ) .

Ядро (или существенным домен ) от закрываемого оператора является подмножество С из D ( A ) , что замыкание сужения А на С является .

Пример [ править ]

Рассмотрим производный оператор A =d/dxгде X = Y = C ([ a , b ]) - банахово пространство всех непрерывных функций на интервале [ a , b ] . Если взять его область определения D ( A ) как C ¹ ([ a , b ]) , то A - замкнутый оператор, который не ограничен. ^[26] С другой стороны, если D ( A ) = C ∞ ([ a , b]) , то A больше не будет замкнутым, но будет закрываемым, причем замыкание будет его расширением, определенным на C ¹ ([ a , b ]) .

Симметричные операторы и самосопряженные операторы [ править ]

Оператор T в гильбертовом пространстве симметричен тогда и только тогда, когда для каждого x и y в области определения T мы имеем . Плотно определенный оператор Т симметричен тогда и только тогда , когда она согласуется с его присоединенной Т ^* ограничена областью Т , другими словами , когда Т ^* является продолжением T . ^[27]${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$

В общем, если Т плотно определен и симметричны, область присоединенного Т ^* потребность не равна область Т . Если T является симметричным и областью Т и области присоединенным совпадают, то мы говорим , что T является самосопряженным . ^[28] Заметим, что, когда T самосопряженный, из существования сопряженного следует, что T плотно определен, а поскольку T ^∗ обязательно замкнуто, T замкнуто.

Плотно определенный оператор T является симметричным , если подпространство Γ ( T ) (определенное в предыдущем разделе) ортогонально его образу J (Γ ( T )) относительно J (где J ( x , y ): = ( y , - х )). ^[29]

Эквивалентно, оператор T является самосопряженным, если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора T - i , T + i сюръективны, то есть отображают область определения T на все пространство H . Другими словами: для каждого x в H существуют y и z в области определения T такие, что Ty - iy = x и Tz + iz = x . ^[30]

Оператор T является самосопряженным , если два подпространства Γ ( T ) , J (Γ ( T )) ортогональны и их сумма составляет все пространство ^[15]${\displaystyle H\oplus H.}$

Этот подход не распространяется на неплотно определенные замкнутые операторы. Неплотно определенные симметрические операторы могут быть определены напрямую или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается с помощью его преобразования Кэли .

Оператор Т на комплексном гильбертовом пространстве является симметричным , если и только если его квадратичная форма является реальным, то есть, количество реально для всех х в области Т . ^[27]${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$

Плотно определенный замкнутый симметрический оператор T самосопряжен тогда и только тогда, когда T ^∗ симметричен. ^[31] Может случиться, что это не так. ^{[32] [33]}

Плотно определенный оператор Т называется положительным ^[9] (или неотрицательное ^[34] ) , если ее квадратичная форма неотрицательна, то есть, для всех х в области Т . Такой оператор обязательно симметричен.${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$

Оператор Т ^* Т самосопряжен ^[35] и положительный ^[9] для каждого плотно определенного, закрытого Т .

Спектральная теорема относится к операторам самосопряжённых ^[36] и , кроме того, к нормальным операторам, ^{[37] [38]} , но не плотно определен, замкнутые операторы в целом, так как в этом случае спектр может быть пустым. ^{[39] [40]}

Симметрический оператор, определенный всюду, замкнут, а значит, ограничен ^[6], что является теоремой Хеллингера – Теплица . ^[41]

Связанные с расширением [ править ]

По определению оператор T является расширением оператора S, если Γ ( S ) ⊆ Γ ( T ) . ^[42] Эквивалентное прямое определение: для каждого x в области определения S , x принадлежит области определения T и Sx = Tx . ^{[5] [42]}

Обратите внимание, что для каждого оператора существует всюду определенное расширение, что является чисто алгебраическим фактом, объясненным в разделе «Разрывное линейное отображение» # Общая теорема существования и основанная на аксиоме выбора . Если данный оператор не ограничен, то расширение является разрывным линейным отображением . От него мало пользы, так как он не может сохранить важные свойства данного оператора (см. Ниже) и обычно не уникален.

Оператор T называется закрываемым, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: ^{[6] [42] [43]}

• T имеет закрытое расширение;
• замыкание графика T - это график некоторого оператора;
• для любой последовательности ( x _n ) точек из области определения T такой, что x _n → 0, а также Tx _n → y, выполняется y = 0 .

Не все операторы закрываются. ^[44]

Закрываемое оператор Т имеет наименьшее замкнутое расширение называется замыкание из T . Замыкание графика T равно графику из ^{[6] [42]}${\displaystyle {\overline {T}}}$${\displaystyle {\overline {T}}.}$

Могут существовать другие, неминимальные замкнутые расширения. ^{[32] [33]}

Плотно определенный оператор T замыкаем тогда и только тогда, когда T ^∗ плотно определен. В этом случае и ^{[15] [45]}${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$

Если S плотно определено и T является расширением S, то S ^∗ является расширением T ^∗ . ^[46]

Каждый симметричный оператор замыкаем. ^[47]

Симметричный оператор называется максимальным симметричным, если он не имеет симметрических расширений, кроме самого себя. ^[27]

Каждый самосопряженный оператор максимально симметричен. ^[27] Обратное неверно. ^[48]

Оператор называется по существу самосопряженным, если его замыкание самосопряженное. ^[47]

Оператор по существу самосопряженный тогда и только тогда, когда он имеет одно и только одно самосопряженное расширение. ^[31]

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже их континуум. ^[33]

Плотно определенный симметричный оператор T по существу самосопряжен тогда и только тогда, когда оба оператора T - i , T + i имеют плотный диапазон значений. ^[49]

Пусть T - плотно определенный оператор. Обозначая отношение « T является расширением S » через S ⊂ T (обычное сокращение для Γ ( S ) ⊆ Γ ( T )), мы получаем следующее. ^[50]

• Если T симметричный, то T ⊂ T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T замкнуто и симметрично, то T = T ^∗∗ ⊂ T ^∗ .
• Если T самосопряженный, то T = T ^∗∗ = T ^∗ .
• Если T существенно самосопряжен, то T ⊂ T ^∗∗ = T ^∗ .

Важность самосопряженных операторов [ править ]

Класс самосопряженных операторов особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное верно для ограниченных операторов, но в общем случае неверно. Самосопряженность существенно более ограничивает, чем эти три свойства. Знаменитая спектральная теорема верна для самосопряженных операторов. В сочетании с теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах он показывает, что самосопряженные операторы являются в точности инфинитезимальными генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор # Самосопряженные расширения в квантовой механике . Такие унитарные группы особенно важны для описания временной эволюции. в классической и квантовой механике.

См. Также [ править ]

• Гильбертово пространство # Неограниченные операторы
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Ограниченный оператор

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Березанский Ю.М.; Шефтель, З.Г .; Us, GF (1996), Функциональный анализ , II , Birkhäuser (см. главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
• Brezis, Haïm (1983), Analyze fonctionnelle - Théorie et applications (на французском языке), Париж: Мейсон
• «Неограниченный оператор» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Холл, Британская Колумбия (2013), "Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы", Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Като, Тосио (1995), "Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве", Теория возмущений для линейных операторов , Classics in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-58661-X
• Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас , Springer (см. главу 5 «Неограниченные операторы»).
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики , 1: Функциональный анализ (переработанное и дополненное изд.), Academic Press (см. главу 8 «Неограниченные операторы»).
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

Эта статья включает материалы от оператора Closed на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .