В математике , то график из функции это множество упорядоченных пар , где . В общем случае, когда а также являются действительными числами , эти пары являются декартовыми координатами точек в двумерном пространстве и, таким образом, образуют подмножество этой плоскости.
В случае функций двух переменных, то есть функций, область определения которых состоит из пар ( x , y ) , граф обычно относится к набору упорядоченных троек где , вместо пар как в определении выше. Этот набор представляет собой подмножество трехмерного пространства ; для непрерывной действительной функции двух действительных переменных это поверхность .
График функции - это частный случай отношения .
В науке , технике , технологиях , финансах и других областях графики - это инструменты, используемые для многих целей. В простейшем случае одна переменная отображается как функция другой, обычно с использованием прямоугольных осей ; подробности см. в графике .
В современных основах математики и, как правило, в теории множеств функция фактически равна своему графику. [1] Однако, часто бывает полезно , чтобы увидеть функции , как отображения , [2] , которые состоят не только из соотношения между входом и выходом, но и каким набором является доменом, и каким набор является кообластью . Например, чтобы сказать, что функция находится на ( сюръективном ) или нет кодомене, следует принять во внимание. График функции сам по себе не определяет кодомен. Обычно [3] используются термины функция и график функции, поскольку, даже если они рассматриваются как один и тот же объект, они указывают на его рассмотрение с другой точки зрения.
Определение
Учитывая отображение , другими словами, функция вместе со своим доменом и codomain , графиком отображения является [4] множество
- ,
который является подмножеством . В абстрактном определении функции фактически равно .
Можно заметить, что если , то график это подмножество (строго говоря это , но его можно вложить естественным изоморфизмом).
Примеры
Функции одной переменной
График функции определяется
является подмножеством множества
На графике домен восстанавливается как набор первых компонентов каждой пары в графе . Точно так же диапазон можно восстановить как. Кодоменоднако это не может быть определено только по графику.
График кубического многочлена на вещественной прямой
является
Если этот набор построен на декартовой плоскости , результатом будет кривая (см. Рисунок).
Функции двух переменных
График тригонометрической функции
является
Если этот набор нанесен в трехмерной декартовой системе координат , результатом будет поверхность (см. Рисунок).
Часто бывает полезно показать с графиком градиент функции и несколько кривых уровня. Кривые уровня могут быть нанесены на функциональную поверхность или могут быть спроецированы на нижнюю плоскость. На втором рисунке показан такой рисунок графика функции:
Обобщения
График функции содержится в декартовом произведении множеств. Плоскость X – Y - это декартово произведение двух линий, называемых X и Y, а цилиндр - это декартово произведение прямой и окружности, высота, радиус и угол которой задают точное расположение точек. Пучки волокон не являются декартовыми продуктами, но кажутся близкими. Соответствующее понятие графа на расслоении называется сечением .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Чарльз C Пинтер (2014) [1971]. Книга теории множеств . Dover Publications. п. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.
- ^ ТМ Апостол (1981). Математический анализ . Эддисон-Уэсли. п. 35.
- ^ PR Halmos (1982). Книга проблем гильбертова пространства . Springer-Verlag. п. 31 . ISBN 0-387-90685-1.
- ^ Д.С. Мосты (1991). Основы реального и абстрактного анализа . Springer. п. 285 . ISBN 0-387-98239-6.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. " Функциональный график ". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.