В евклидовой геометрии , А перевод является геометрическим преобразованием , который перемещает каждую точку фигуры или пространств на то же расстояние в заданном направлении. Перевод также может быть интерпретирован как добавление постоянного вектора к каждой точке, или в качестве смещения происхождения от системы координат . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией .
Как функция
Если - фиксированный вектор, известный как вектор трансляции , и - начальная позиция некоторого объекта, тогда функция перевода будет работать как .
Если перевод, то изображение подмножествапод функцией это перевод из от . Перевод от часто пишется .
Горизонтальные и вертикальные переводы
В геометрии , A вертикальное перемещение (также известный как вертикальный сдвиг ) представляет собой перевод геометрического объекта в направлении , параллельном вертикальной оси системы декартовых координат . [1] [2] [3]
Часто вертикальные переводы рассматриваются для графика функции . Если f является любой функцией от x , то график функции f ( x ) + c (значения которой задаются добавлением константы c к значениям f ) может быть получен путем вертикального переноса графика f ( x ) на расстояние c . По этой причине функция F ( х ) + с иногда называют вертикальной перевести из F ( х ). [4] Например, все первообразные функции отличаются друг от друга на постоянную интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга. [5]
В функции построения графиков , A горизонтальный перевод является преобразованием , которое приводит к графику , что эквивалентно сдвигу базового графика влево или вправо в направлении х Оу. График переводится на k единиц по горизонтали, перемещая каждую точку на графике на k единиц по горизонтали.
Для базовой функции f ( x ) и константы k функцию, заданную формулой g ( x ) = f ( x - k ), можно набросать на f ( x ) со сдвигом k единиц по горизонтали.
Если говорить о преобразовании функций в терминах геометрических преобразований, может быть понятнее, почему функции переводятся по горизонтали именно так. При обращении к переводам на декартовой плоскости естественно вводить переводы в этом типе записи:
или же
где а также - горизонтальные и вертикальные изменения соответственно.
Пример
Взяв параболу y = x 2 , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T (( x , y )) = ( x + 5, y ). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку ( a , b ) на исходной параболе, которая перемещается в точку ( c , d ) на перенесенной параболе. Согласно нашему переводу, c = a + 5 и d = b . Точка на исходной параболе была b = a 2 . Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b = d и a = c - 5. Итак, d = b = a 2 = ( c - 5) 2 . Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение имеет вид y = ( x - 5) 2 .
Применение в классической физике
В классической физике поступательное движение - это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттекера: [6]
Если тело перемещается из одной позиции в другую, а если линии , соединяющие начальные и конечные точки каждой из точек тела представляют собой набор параллельных прямых линий длины л , таким образом , что ориентация тела в пространстве В неизменном виде смещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .
Перевод - это операция по изменению положения всех точек. объекта по формуле
где один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор переводаОбщее для всех точек объекта описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.
При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.
Как оператор
Оператор перевода превращает функцию исходной позиции,, в функцию конечной позиции, . Другими словами, определяется так, что Этот оператор более абстрактный, чем функция, посколькуопределяет отношения между двумя функциями, а не самими лежащими в основе векторами. Оператор трансляции может воздействовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.
Как группа
Набор всех переводов образует группу переводов , Которая изоморфна самого пространства, и нормальная подгруппа из группы Евклида . Фактор - группа из от изоморфна ортогональной группе :
Поскольку трансляция коммутативна, группа трансляций абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов - это бесконечная группа .
В теории относительности из-за того, что пространство и время рассматриваются как единое пространство-время , переводы могут также относиться к изменениям временной координаты . Например, Галилеянин группа и группа Пуанкаре включают переводы по времени.
Группы решеток
Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются группы решеток , которые являются бесконечными группами , но, в отличие от групп трансляций, конечно порождены . То есть конечный набор порождает всю группу.
Матричное представление
Перевод является аффинным преобразованием с не фиксированными точками . Матричные умножения всегда имеют начало в качестве фиксированной точки. Тем не менее, есть общий обходной путь, использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : напишите 3-мерный вектор используя 4 однородные координаты как . [7]
Чтобы перевести объект по вектору , каждый однородный вектор (записанные в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :
Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:
Обратную матрицу переноса можно получить, изменив направление вектора на противоположное:
Точно так же произведение матриц перевода получается путем сложения векторов:
Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц трансляции также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).
Перевод осей
Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивный вариант активного геометрического переноса известен как перенос осей .
Поступательная симметрия
Говорят, что объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, обладает трансляционной симметрией . Типичный пример - периодические функции , которые являются собственными функциями оператора сдвига.
Смотрите также
- Адвекция
- Параллельный транспорт
- Матрица вращения
- Масштабирование (геометрия)
- Матрица трансформации
- Поступательная симметрия
Внешние ссылки
- Преобразование трансляции в разорванном узле
- Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
- Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .
Рекомендации
- ^ Де Берг, Марк; Чеонг, Отфрид; Ван Кревельд, Марк; Овермарс, Марк (2008), Алгоритмы и приложения вычислительной геометрии , Берлин: Springer , стр. 91, DOI : 10.1007 / 978-3-540-77974-2 , ISBN 978-3-540-77973-5.
- ^ Смит, Джеймс Т. (2011), Методы геометрии , John Wiley & Sons, стр. 356, ISBN 9781118031032.
- ^ Фолкнер, Джон Р. (2014), Роль неассоциативной алгебры в проективной геометрии , Аспирантура по математике , 159 , Американское математическое общество, стр. 13, ISBN 9781470418496.
- ^ Догерти, Эдвард Р .; Астол, Яакко (1999), Нелинейные фильтры для обработки изображений , серия SPIE / IEEE по визуализации и инженерии, 59 , SPIE Press, стр. 169, ISBN 9780819430335.
- ^ Зилл, Деннис; Райт, Уоррен С. (2009), Исчисление одной переменной: ранние трансцендентальные методы, обучение Джонса и Бартлетта, стр. 269, ISBN 9780763749651.
- ^ Эдмунд Тейлор Уиттакер (1988). Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел (перепечатка четвертого издания 1936 г. с предисловием ред. Уильяма МакКри). Издательство Кембриджского университета. п. 1. ISBN 0-521-35883-3.
- ^ Ричард Пол, 1981, Роботы-манипуляторы: математика, программирование и управление: компьютерное управление роботами-манипуляторами , MIT Press, Кембридж, Массачусетс
- Зазкис, Р., Лильедал, П., и Гадовски, К. Концепции трансляции функций: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Журнал математического поведения, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с веб-сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
- Преобразования графов: горизонтальные переводы . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графиков. Проверено 29 апреля 2014 г.