Оператор сдвига

В математике , и , в частности , функциональном анализ , то оператор сдвига также известный как оператор сдвига является оператором , который принимает функцию $х \mapsto е (х)$ к его переводу $х \mapsto е (х + с)$ . ^[1] В анализе временных рядов оператор сдвига называется оператором запаздывания .

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов , важными из-за их простоты и естественности. Действие оператора сдвига на функции действительной переменной играет важную роль в гармоническом анализе , например, оно появляется в определениях почти периодических функций , положительно определенных функций и свертки . ^[2] Сдвиги последовательностей (функции целочисленной переменной) появляются в различных областях, таких как пространства Харди , теория абелевых многообразий и теория символической динамики , для которых отображение Бейкера является явным представлением.

Определение [ править ]

Функции реальной переменной [ править ]

Оператор сдвига $T t$ (где $t \in R$ ) переводит функцию $f$ на R в ее перенос $f t$ ,

{\ displaystyle T ^ {t} f (x) = f_ {t} (x) = f (x + t) ~.}

Практическое представление операционного исчисления линейного оператора $T t$ в терминах простой производной $d ⁄ dx$ было введено Лагранжем ,

${\ displaystyle T ^ {t} = e ^ {t {\ frac {d} {dx}}} ~,}$

который может быть интерпретирован операционально через его формальное разложение Тейлора по $t$ ; и чье действие на одночлен $x n$ очевидно из биномиальной теоремы , а значит, и на все ряды по $x$ , а значит, и на все функции $f (x),$ как указано выше. ^[3] Таким образом, это формальная кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор обеспечивает прототип ^[4] знаменитого адвективного потока Ли для абелевых групп :

{\ displaystyle e ^ {t \ beta (x) {\ frac {d} {dx}}} f (x) = e ^ {t {\ frac {d} {dh}}} F (h) = F ( h + t) = f \ left (h ^ {- 1} (h (x) + t) \ right),}

где канонические координаты $h$ ( функции Абеля ) определены так, что

{\ Displaystyle ч '(х) \ эквив {\ гидроразрыва {1} {\ бета (х)}} ~, \ qquad f (х) \ эквив F (ч (х)).}

Например, легко следует, что дает масштабирование, ${\ Displaystyle \ бета (х) = х}$

{\ displaystyle e ^ {tx {\ frac {d} {dx}}} f (x) = f (e ^ {t} x),}

следовательно (паритет); аналогично, урожайность ^[5] ${\ Displaystyle е ^ {я \ пи х {\ гидроразрыва {d} {dx}}} f (x) = f (-x)}$ ${\ Displaystyle \ бета (х) = х ^ {2}}$

e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {1-tx}{x}}\right),

$\beta (x)=1/x$ дает

e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),

$\beta (x)=e^{x}$ дает

\exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),

и т.п.

Начальное состояние потока и групповое свойство полностью определяют весь поток Ли, обеспечивая решение функционального уравнения сдвига ^[6]

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).

Последовательности [ править ]

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел следующим образом:

S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )

а на двусторонних бесконечных последовательностях -

T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.

Операторы правого и левого сдвига, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы [ править ]

В общем, как показано выше, если $F$ - функция на абелевой группе $G$ , а $h$ - элемент группы $G$ , оператор сдвига $T g$ отображает $F$ в ^[6]^[7]

F_{g}(h)=F(h+g).

Свойства оператора сдвига [ править ]

Оператор сдвига, действующий на действительные или комплексные функции или последовательности, является линейным оператором, который сохраняет большинство стандартных норм, которые появляются в функциональном анализе. Поэтому обычно это непрерывный оператор с нормой единица.

Действия на гильбертовых пространствах [ править ]

Оператор сдвига , действующее на двусторонний последовательностях является унитарным оператором на $л 2 (Z)$ . Оператор сдвига, действующий на функции действительной переменной, является унитарным оператором на $L 2 (R)$ .

В обоих случаях оператор (левого) сдвига удовлетворяет следующему коммутационному соотношению с преобразованием Фурье:

{\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},

где $M t$ - оператор умножения на $exp (i t x)$ . Следовательно, спектр $T t$ - это единичная окружность.

Односторонний сдвиг $S$ , действующее на $л 2 (N)$ является собственной изометрией с диапазоном равной для всех векторов , которые обращаются в нуль в первой координате . Оператор S является сжатие от T ^-1 , в том смысле , что

T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),\,

где $y$ - вектор в $ℓ 2 (Z)$ с $y i$ = $x i$ для $i \geq 0$ и $y i$ = $0$ для $i <0$ . Это наблюдение лежит в основе построения многих унитарных расширений изометрий.

Спектр S - это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма ; он имеет индекс Фредгольма −1.

Обобщение [ править ]

Жан Дельсарт ввел понятие оператора обобщенного сдвига (также называемого оператором обобщенного сдвига ); Дальнейшее развитие получил Борис Левитан . ^[2]^[8]^[9]

Семейство операторов ${L x} x \in X,$ действующих в пространстве $Φ$ функций из множества $X$ в $C$ , называется семейством операторов обобщенного сдвига, если выполняются следующие свойства:

Ассоциативность: пусть $(R y f) (x) = (L x f) (y)$ . Тогда $L x R y = R y L x$ .
Там существует $е$ в $X$ такое , что $L е$ тождественный оператор.

В этом случае множество $X$ называется гипергруппой .

См. Также [ править ]

Арифметический сдвиг
Логический сдвиг
Конечная разница

Заметки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Оператор сдвига» . MathWorld .
^ а б Марченко В.А. (2006). «Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи». Математические события ХХ века . Берлин: Springer. С. 145–162. DOI : 10.1007 / 3-540-29462-7_8 . Руководство по ремонту 2182783 .
^ Джордан, Чарльз, (1939/1965). Исчисление конечных разностей , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .
^ M Hamermesh (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, онлайн .
^ стр 75 Георга Шефферса (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн
^ a b Aczel, J (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .
^ «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». М. Хамермеш, там же .
^ Левитан, БМ ; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Операторы обобщенного смещения" , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Бредихина, EA (2001) [1994], "Почти периодическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press

Библиография [ править ]

Партингтон, Джонатан Р. (15 марта 2004 г.). Линейные операторы и линейные системы . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10,1017 / cbo9780511616693 . ISBN 978-0-521-83734-7.
Марвин Розенблюм и Джеймс Ровняк, Классы Харди и теория операторов , (1985) Oxford University Press.

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Оператор сдвига» . MathWorld .

[mar-2] а б Марченко В.А. (2006). «Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи». Математические события ХХ века . Берлин: Springer. С. 145–162. DOI : 10.1007 / 3-540-29462-7_8 . Руководство по ремонту 2182783 .

[3] Джордан, Чарльз, (1939/1965). Исчисление конечных разностей , (AMS Chelsea Publishing), ISBN 978-0828400336 .

[4] M Hamermesh (1989), Теория групп и ее применение к физическим проблемам (Dover Books on Physics), Hamermesh ISBM 978-0486661810, Ch 8-6, pp 294-5, онлайн .

[5] стр 75 Георга Шефферса (1891): Sophus Lie, Vorlesungen Ueber Differentialgleichungen Mit Bekannten Infinitesimalen Transformationen , Teubner, Leipzig, 1891. ISBN 978-3743343078 онлайн

[acz-6] Aczel, J (2006), Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236 .

[7] «Однопараметрическая непрерывная группа эквивалентна группе переводов». М. Хамермеш, там же .

[8] Левитан, БМ ; Литвинов, Г.Л. (2001) [1994], "Операторы обобщенного смещения" , Энциклопедия математики , EMS Press

[9] Бредихина, EA (2001) [1994], "Почти периодическая функция" , Энциклопедия математики , EMS Press

[1]