Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , символическая динамика является практикой моделирования топологической или гладкой динамической системы с дискретным пространством , состоящим из бесконечных последовательностей абстрактных символов, каждый из которых соответствует состоянию системы, с динамикой (эволюция) , данными оператором сдвига . Формально марковское разбиение используется для обеспечения конечного покрытия гладкой системы; каждый набор покрытий связан с одним символом, и последовательности символов возникают в результате того, что траектория системы перемещается от одного набора покрытий к другому.

История [ править ]

Идея восходит к работе Жака Адамара 1898 года о геодезических на поверхностях отрицательной кривизны . [1] Он был применен Марстоном Морсом в 1921 году для построения непериодической рекуррентной геодезической. Соответствующие работы были выполнены Эмилем Артином в 1924 году (для системы, которая теперь называется бильярдом Артина ), Пеккой Мирбергом , Полом Кобе , Якобом Нильсеном , Г.А. Хедлундом .

Первый формальный подход был разработан Морсом и Хедлундом в их статье 1938 года. [2] Джордж Биркгоф , Норман Левинсон и пара Мэри Картрайт и Дж. Литтлвуд применили аналогичные методы к качественному анализу неавтономных дифференциальных уравнений второго порядка .

Клод Шеннон использовал символические последовательности и сдвиги конечного типа в своей статье 1948 года «Математическая теория коммуникации, которая породила теорию информации» .

В конце 1960 - х годов метод символической динамики была разработана для гиперболических автоморфизмов Рой Адлер и Бенджамин Вайс , [3] и до диффеоморфизмов по Я. Синая , которые использовали символическую модель для построения меры Гиббса . [4] В начале 1970-х годов теория была расширена на потоки Аносова Мариной Ратнер и на диффеоморфизмы и потоки аксиомы А Руфусом Боуэном .

Захватывающее применение методов символической динамики Порядок Шарковский о периодических орбитах в виде непрерывного отображения отрезка в себя (1964).

Примеры [ править ]

Такие понятия, как гетероклинические орбиты и гомоклинические орбиты, имеют особенно простое представление в символической динамике.

Маршрут [ править ]

Маршрут точки относительно перегородки представляет собой последовательность символов. Он описывает динамику точки. [5]

Приложения [ править ]

Символическая динамика возникла как метод изучения общих динамических систем; теперь его методы и идеи нашли существенное применение в хранении и передаче данных , линейной алгебре , движении планет и многих других областях. Отличительной чертой символической динамики является то, что время измеряется дискретными интервалами. Таким образом, в каждый временной интервал система находится в определенном состоянии . Каждое состояние связано с символом, а эволюция системы описывается бесконечной последовательностью символов, представленных фактически в виде строк . Если состояния системы не являются дискретными по своей природе, то вектор состояниядолжны быть дискретизированы, чтобы получить грубое описание системы.

См. Также [ править ]

  • Сохраняющая меру динамическая система
  • Сдвинуть пробел
  • Сдвиг конечного типа
  • Сложная динамика
  • Арифметическая динамика

Ссылки [ править ]

  1. ^ Адамар, Дж. (1898). "Поверхности противоположные и леопардовые линии" (PDF) . J. Math. Pures Appl. 5 (4): 27–73.
  2. ^ Морс, М .; Хедлунд, Джорджия (1938). «Символическая динамика». Американский журнал математики . 60 (4): 815–866. DOI : 10.2307 / 2371264 . JSTOR 2371264 .  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  3. ^ Адлер, Р .; Вайс, Б. (1967). «Энтропия - полный метрический инвариант автоморфизмов тора» . PNAS . 57 (6): 1573–1576. Bibcode : 1967PNAS ... 57.1573A . DOI : 10.1073 / pnas.57.6.1573 . JSTOR 57985 . PMC 224513 . PMID 16591564 .   
  4. ↑ Синай, Ю. (1968). «Построение марковских перегородок». Функц. Анальный. Я Приложен . 2 (3): 70–80.
  5. ^ Математика сложности и динамических систем Роберта А. Мейерса. Springer Science & Business Media, 2011, ISBN 1461418054 , 9781461418054 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Хао, Байлинь (1989). Элементарная символическая динамика и хаос в диссипативных системах . World Scientific . ISBN 9971-5-0682-3. Архивировано из оригинала на 2009-12-05 . Проверено 2 декабря 2009 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Брюс Китченс, Символическая динамика. Одностороннее, двустороннее и счетное состояние Марковские сдвиги . Universitext, Springer-Verlag , Berlin, 1998. x + 252 стр. ISBN 3-540-62738-3 MR 1484730 
  • Линд, Дуглас; Маркус, Брайан (1995). Введение в символическую динамику и кодирование . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55124-2. Руководство по ремонту  1369092 . Zbl  1106.37301 .
  • Г. А. Хедлунд, Эндоморфизмы и автоморфизмы динамической системы сдвига . Математика. Теория систем, Vol. 3, № 4 (1969) 320–3751
  • Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • «Символическая динамика» . Scholarpedia .

Внешние ссылки [ править ]

  • ChaosBook.org Глава "Графики переходов"