Артин бильярд

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Artin billiard"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике и физике , то артины бильярдный является типом динамических бильярдных впервые изучен Артином в 1924 г. Он описывает геодезическое движение свободной частицы на некомпактную римановой поверхности , где является верхней полуплоскостью , наделенный Пуанкаром метрическая и является модульной группой . Его можно рассматривать как движение по фундаментальной области модульной группы с идентифицированными сторонами. ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma ,}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \Gamma =PSL(2,\mathbb {Z} )}$

Система примечательна тем, что это точно решаемая система, которая сильно хаотична : она не только эргодична , но и является сильным перемешиванием . Таким образом, это пример течения Аносова . В статье Артина для анализа системы использовалась символическая динамика .

Квантовомеханическую версия бильярда Артином также точно решаема. Спектр собственных значений состоит из связанного состояния и непрерывного спектра выше энергии . Эти волновые функции задаются функции Бесселя .${\displaystyle E=1/4}$

Экспозиция [ править ]

Исследуемое движение представляет собой движение свободной частицы, скользящей без трения, а именно такой, которая имеет гамильтониан

${\displaystyle H(p,q)={\frac {1}{2m}}p_{i}p_{j}g^{ij}(q)}$

где m - масса частицы, - координаты на многообразии, - сопряженные импульсы :${\displaystyle q^{i},i=1,2}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle p_{i}=mg_{ij}{\frac {dq^{j}}{dt}}}$

а также

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}(q)\,dq^{i}\,dq^{j}}$

- метрический тензор на многообразии. Поскольку это гамильтониан свободных частиц, решение уравнений движения Гамильтона-Якоби просто дается геодезическими на многообразии.

В случае биллиардов Артина метрика задается канонической метрикой Пуанкаре

${\displaystyle ds^{2}={\frac {dy^{2}}{y^{2}}}}$

в верхней полуплоскости. Некомпактная риманова поверхность является симметричным пространством и определяется как фактор верхней полуплоскости по модулю действия элементов, действующих как преобразования Мёбиуса . Набор ${\displaystyle {\mathcal {H}}/\Gamma }$${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

является фундаментальной областью для этого действия.

Разумеется, у коллектора есть одна точка возврата . Это то же самое многообразие, если рассматривать его как комплексное многообразие , то есть пространство, на котором изучаются эллиптические кривые и модулярные функции .

Ссылки [ править ]

• Э. Артин, "Механическая система Ein mit quasi-ergodischen Bahnen", Abh. Математика. Сем. d. Hamburgischen Universität , 3 (1924) pp170-175.