В математике , то Пуанкаре метрики , названный в честь Анри Пуанкаре , является метрический тензор , описывающий двумерную поверхность постоянной отрицательной кривизны . Это естественная метрика, обычно используемая во множестве вычислений в гиперболической геометрии или римановых поверхностях .
В двумерной гиперболической геометрии обычно используются три эквивалентных представления . Одна из них - модель полуплоскости Пуанкаре , определяющая модель гиперболического пространства на верхней полуплоскости . Модель диска Пуанкаре определяет модель гиперболического пространства на единичном диске . Диск и верхняя полуплоскость связаны конформным отображением , а изометрии задаются преобразованиями Мёбиуса . Третье представление - на проколотом диске , где иногда выражаются отношения для q -аналогов . Эти различные формы рассматриваются ниже.
Обзор метрик на римановых поверхностях Метрика на комплексной плоскости в общем случае может быть выражена в виде
d s 2 знак равно λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ {\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}} где λ - действительная положительная функция z {\ displaystyle z} а также z ¯ {\ displaystyle {\ overline {z}}} . Таким образом, длина кривой γ на комплексной плоскости определяется выражением
л ( γ ) знак равно ∫ γ λ ( z , z ¯ ) | d z | {\ displaystyle l (\ gamma) = \ int _ {\ gamma} \ lambda (z, {\ overline {z}}) \, | dz |} Площадь подмножества комплексной плоскости определяется выражением
Область ( M ) знак равно ∫ M λ 2 ( z , z ¯ ) я 2 d z ∧ d z ¯ {\ displaystyle {\ text {Area}} (M) = \ int _ {M} \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, {\ frac {i} {2}} \ , dz \ wedge d {\ overline {z}}} где ∧ {\ Displaystyle \ клин} это внешний продукт, используемый для создания объемной формы . Определитель метрики равен λ 4 {\ displaystyle \ lambda ^ {4}} , поэтому квадратный корень из определителя равен λ 2 {\ displaystyle \ lambda ^ {2}} . Евклидова форма объема на плоскости имеет вид d Икс ∧ d y {\ displaystyle dx \ wedge dy} и поэтому у одного есть
d z ∧ d z ¯ знак равно ( d Икс + я d y ) ∧ ( d Икс - я d y ) знак равно - 2 я d Икс ∧ d y . {\ displaystyle dz \ wedge d {\ overline {z}} = (dx + i \, dy) \ wedge (dx-i \, dy) = - 2i \, dx \ wedge dy.} Функция Φ ( z , z ¯ ) {\ displaystyle \ Phi (z, {\ overline {z}})} называется потенциалом метрики, если
4 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ Φ ( z , z ¯ ) знак равно λ 2 ( z , z ¯ ) . {\ displaystyle 4 {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}}}} \ Phi (z, {\ overline {z}}) = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}).} Оператор Лапласа – Бельтрами задается формулой
Δ знак равно 4 λ 2 ∂ ∂ z ∂ ∂ z ¯ знак равно 1 λ 2 ( ∂ 2 ∂ Икс 2 + ∂ 2 ∂ y 2 ) . {\ displaystyle \ Delta = {\ frac {4} {\ lambda ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial z}} {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z} }}} = {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right).} Гауссова кривизна метрики определяется выражением
K знак равно - Δ бревно λ . {\ Displaystyle К = - \ Дельта \ журнал \ лямбда. \,} Эта кривизна составляет половину скалярной кривизны Риччи .
Изометрии сохраняют углы и длину дуги. На римановых поверхностях изометрии идентичны изменениям координаты: то есть и оператор Лапласа – Бельтрами, и кривизна инвариантны относительно изометрий. Так, например, пусть S - риманова поверхность с метрикой λ 2 ( z , z ¯ ) d z d z ¯ {\ displaystyle \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}}) \, dz \, d {\ overline {z}}} и T - риманова поверхность с метрикой μ 2 ( ш , ш ¯ ) d ш d ш ¯ {\ displaystyle \ mu ^ {2} (ш, {\ overline {w}}) \, dw \, d {\ overline {w}}} . Тогда карта
ж : S → Т {\ displaystyle f: S \ to T \,} с участием ж знак равно ш ( z ) {\ Displaystyle е = вес (г)} является изометрией тогда и только тогда, когда она конформна и если
μ 2 ( ш , ш ¯ ) ∂ ш ∂ z ∂ ш ¯ ∂ z ¯ знак равно λ 2 ( z , z ¯ ) {\ displaystyle \ mu ^ {2} (w, {\ overline {w}}) \; {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} {\ frac {\ partial {\ overline {w}}} {\ partial {\ overline {z}}}} = \ lambda ^ {2} (z, {\ overline {z}})} . Здесь требование конформности отображения есть не что иное, как утверждение
ш ( z , z ¯ ) знак равно ш ( z ) , {\ Displaystyle вес (г, {\ overline {z}}) = вес (г),} это,
∂ ∂ z ¯ ш ( z ) знак равно 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}}}} w (z) = 0.}
Метрика и элемент объема на плоскости Пуанкаре Пуанкаре метрический тензор в полуплоскости модели Пуанкаре задается на верхней полуплоскости H , как
d s 2 знак равно d Икс 2 + d y 2 y 2 знак равно d z d z ¯ y 2 {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {dx ^ {2} + dy ^ {2}} {y ^ {2}}} = {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {у ^ {2}}}} где мы пишем d z знак равно d Икс + я d y . {\ displaystyle dz = dx + i \, dy.} Этот метрический тензор инвариантен относительно действия SL (2, R ) . То есть, если мы напишем
z ′ знак равно Икс ′ + я y ′ знак равно а z + б c z + d {\ displaystyle z '= x' + iy '= {\ frac {az + b} {cz + d}}} для а d - б c знак равно 1 {\ displaystyle ad-bc = 1} тогда мы сможем решить это
Икс ′ знак равно а c ( Икс 2 + y 2 ) + Икс ( а d + б c ) + б d | c z + d | 2 {\ displaystyle x '= {\ frac {ac (x ^ {2} + y ^ {2}) + x (ad + bc) + bd} {| cz + d | ^ {2}}}} а также
y ′ знак равно y | c z + d | 2 . {\ displaystyle y '= {\ frac {y} {| cz + d | ^ {2}}}.} Бесконечно малое преобразование как
d z ′ знак равно d z ( c z + d ) 2 {\ displaystyle dz '= {\ гидроразрыва {dz} {(cz + d) ^ {2}}}} и другие
d z ′ d z ¯ ′ знак равно d z d z ¯ | c z + d | 4 {\ displaystyle dz'd {\ overline {z}} '= {\ frac {dz \, d {\ overline {z}}} {| cz + d | ^ {4}}}} Таким образом, становится ясно, что метрический тензор инвариантен относительно SL (2, R ).
Инвариантный элемент объема задается формулой
d μ знак равно d Икс d y y 2 . {\ displaystyle d \ mu = {\ frac {dx \, dy} {y ^ {2}}}.} Метрика определяется как
ρ ( z 1 , z 2 ) знак равно 2 танх - 1 | z 1 - z 2 | | z 1 - z 2 ¯ | {\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} {\ frac {| z_ {1} -z_ {2} |} {| z_ {1} - {\ над чертой {z_ {2}}} |}}} ρ ( z 1 , z 2 ) знак равно бревно | z 1 - z 2 ¯ | + | z 1 - z 2 | | z 1 - z 2 ¯ | - | z 1 - z 2 | {\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ log {\ frac {| z_ {1} - {\ overline {z_ {2}}} | + | z_ {1} -z_ {2 } |} {| z_ {1} - {\ overline {z_ {2}}} | - | z_ {1} -z_ {2} |}}} для z 1 , z 2 ∈ ЧАС . {\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in \ mathbb {H}.}
Еще одна интересная форма показателя может быть дана в терминах перекрестного отношения . Учитывая любые четыре очка z 1 , z 2 , z 3 {\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}, z_ {3}} а также z 4 {\ displaystyle z_ {4}} в компактифицированной комплексной плоскости C ^ знак равно C ∪ { ∞ } , {\ Displaystyle {\ шляпа {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ чашка \ {\ infty \},} кросс-отношение определяется как
( z 1 , z 2 ; z 3 , z 4 ) знак равно ( z 1 - z 3 ) ( z 2 - z 4 ) ( z 1 - z 4 ) ( z 2 - z 3 ) . {\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2}; z_ {3}, z_ {4}) = {\ frac {(z_ {1} -z_ {3}) (z_ {2} -z_ {4} )} {(z_ {1} -z_ {4}) (z_ {2} -z_ {3})}}.} Тогда метрика задается формулой
ρ ( z 1 , z 2 ) знак равно бревно ( z 1 , z 2 ; z 1 × , z 2 × ) . {\ Displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = \ log \ left (z_ {1}, z_ {2}; z_ {1} ^ {\ times}, z_ {2} ^ {\ times }\верно).} Здесь, z 1 × {\ displaystyle z_ {1} ^ {\ times}} а также z 2 × {\ displaystyle z_ {2} ^ {\ times}} являются конечными точками на действительной числовой прямой геодезического соединения z 1 {\ displaystyle z_ {1}} а также z 2 {\ displaystyle z_ {2}} . Они пронумерованы так, чтобы z 1 {\ displaystyle z_ {1}} лежит между z 1 × {\ displaystyle z_ {1} ^ {\ times}} а также z 2 {\ displaystyle z_ {2}} .
В Геодезической для этого метрического тензора дуги окружностей , перпендикулярные к действительной оси (полукруги, происхождение которых на вещественной оси) и прямые вертикальные линии , оканчивающихся на вещественной оси.
Конформное отображение плоскости на диск Верхнюю полуплоскость можно конформно отобразить на единичный круг с помощью преобразования Мёбиуса
ш знак равно е я ϕ z - z 0 z - z 0 ¯ {\ Displaystyle ш = е ^ {я \ фи} {\ гидроразрыва {z-z_ {0}} {z - {\ overline {z_ {0}}}}}} где w - точка на единичном круге, соответствующая точке z в верхней полуплоскости. В этом отображении константа z 0 может быть любой точкой в верхней полуплоскости; он будет отображен в центре диска. Настоящая ось ℑ z знак равно 0 {\ Displaystyle \ Im z = 0} отображает на край единичного диска | ш | знак равно 1. {\ displaystyle | w | = 1.} Постоянное действительное число ϕ {\ displaystyle \ phi} может использоваться для вращения диска на произвольную фиксированную величину.
Каноническое отображение
ш знак равно я z + 1 z + я {\ Displaystyle ш = {\ гидроразрыва {iz + 1} {z + i}}} что переводит i в центр диска и 0 в нижнюю часть диска.
Метрический и объемный элемент на диске Пуанкаре Пуанкаре метрический тензор в дисковой модели Пуанкаре дается на открытом единичном круге
U знак равно { z знак равно Икс + я y : | z | знак равно Икс 2 + y 2 < 1 } {\ Displaystyle U = \ left \ {z = x + iy: | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} <1 \ right \}} от
d s 2 знак равно 4 ( d Икс 2 + d y 2 ) ( 1 - ( Икс 2 + y 2 ) ) 2 знак равно 4 d z d z ¯ ( 1 - | z | 2 ) 2 . {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4 (dx ^ {2} + dy ^ {2})} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2} }} = {\ frac {4dz \, d {\ overline {z}}} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.}. Элемент объема определяется выражением
d μ знак равно 4 d Икс d y ( 1 - ( Икс 2 + y 2 ) ) 2 знак равно 4 d Икс d y ( 1 - | z | 2 ) 2 . {\ displaystyle d \ mu = {\ frac {4dx \, dy} {(1- (x ^ {2} + y ^ {2})) ^ {2}}} = {\ frac {4dx \, dy} {(1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}.} Метрика Пуанкаре задается формулой
ρ ( z 1 , z 2 ) знак равно 2 танх - 1 | z 1 - z 2 1 - z 1 z 2 ¯ | {\ displaystyle \ rho (z_ {1}, z_ {2}) = 2 \ tanh ^ {- 1} \ left | {\ frac {z_ {1} -z_ {2}} {1-z_ {1} { \ overline {z_ {2}}}}} \ right |} для z 1 , z 2 ∈ U . {\ displaystyle z_ {1}, z_ {2} \ in U.}
Геодезические для этого метрического тензора представляют собой дуги окружности, концы которых ортогональны границе диска. Геодезические потоки на диске Пуанкаре - это потоки Аносова ; в этой статье развиваются обозначения таких потоков.
Модель проколотого диска
J-инвариантен в координатах проколотого диска; то есть как функция нома.
J-инвариантен в координатах диска Пуанкаре; обратите внимание, что этот диск повернут на 90 градусов от канонических координат, указанных в этой статье.
Вторым распространенным отображением верхней полуплоскости на диск является q-отображение
q знак равно exp ( я π τ ) {\ Displaystyle д = \ ехр (я \ пи \ тау)} где q - номинал, а τ - отношение полупериодов :
τ знак равно ω 2 ω 1 {\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}} . В обозначениях предыдущих разделов τ - координата в верхней полуплоскости. ℑ τ > 0 {\ Displaystyle \ Im \ tau> 0} . Отображение выполняется на проколотый диск, потому что значение q = 0 отсутствует в изображении карты.
Метрика Пуанкаре на верхней полуплоскости индуцирует метрику на q-диске
d s 2 знак равно 4 | q | 2 ( бревно | q | 2 ) 2 d q d q ¯ {\ displaystyle ds ^ {2} = {\ frac {4} {| q | ^ {2} (\ log | q | ^ {2}) ^ {2}}} dq \, d {\ overline {q} }} Потенциал метрики
Φ ( q , q ¯ ) знак равно 4 бревно бревно | q | - 2 {\ displaystyle \ Phi (q, {\ overline {q}}) = 4 \ log \ log | q | ^ {- 2}}
Лемма Шварца
Смотрите также
Рекомендации Хершель М. Фаркас, Ирвин Кра, Римановы поверхности (1980), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 0-387-90465-4 . Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN 3-540-43299-X (см. Раздел 2.3) . Светлана Каток , Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Чикаго ISBN 0-226-42583-5 (Обеспечивает простое, легко читаемое введение.)