Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , в частности в теории эллиптических функций , ном является специальной функцией и задается формулой

где K и i K ′ - периоды четверти , ω 1 и ω 2 - основная пара периодов , а τ = i K  ′ / K  = ω 2 / ω 1 - отношение полупериодов. Номинал можно рассматривать как функцию любой из этих величин; и наоборот, любую из этих величин можно рассматривать как функцию нома. Каждый из них однозначно определяет другие. То есть отображения между этими различными символами являются как 1-к-1, так и на, и поэтому могут быть инвертированы: четверть периодов, полупериоды и отношение полупериодов могут быть явно записаны как функции нома. Явные выражения для квартальных периодов в терминах номов приведены в связанной статье. И наоборот, приведенное выше можно рассматривать как явное выражение для нома в терминах других величин.

Таким образом, ном может быть либо функцией, либо параметром; и наоборот, четверть и полупериоды могут быть взяты либо как функции, либо как параметры; указания любого из них достаточно, чтобы однозначно определить все остальные; все они являются функциями друг друга.

Условно четверть периодов K и i K ′ обычно используются только в контексте эллиптических функций Якоби , тогда как полупериоды ω 1 и ω 2 обычно используются только в контексте эллиптических функций Вейерштрасса . Некоторые авторы, особенно Апостол, используют ω 1 и ω 2 для обозначения целых периодов, а не полупериодов.

Ном часто используется как значение, с помощью которого могут быть описаны эллиптические функции и модульные формы; с другой стороны, его также можно рассматривать как функцию, потому что периоды четверти являются функциями эллиптического модуля . Эта неоднозначность возникает из-за того, что для реальных значений эллиптического модуля периоды четверти и, следовательно, номинал определяются однозначно.

Дополняют друг друга нома д 1 дается

Однако в некоторых источниках используется соглашение или .

См. Статьи о четверть периода и эллиптических интегралах для дополнительных определений и соотношений по ному.

Приложения [ править ]

Ном обычно используется в качестве отправной точки для построения рядов Ламберта , q-рядов и, в более общем смысле, q-аналогов . То есть отношение полупериодов τ обычно используется в качестве координаты на комплексной верхней полуплоскости , обычно снабженной метрикой Пуанкаре для получения модели полуплоскости Пуанкаре . Ном тогда служит координатой на проколотом диске единичного радиуса; он проколот, потому что q = 0 не является частью диска (точнее, q = 0 соответствует τ → ∞). Это наделяет проколотый диск метрикой Пуанкаре.

Таким образом, верхнюю полуплоскость (и диск Пуанкаре , и проколотый диск) можно разделить на фундаментальную область , которая представляет собой область значений отношения полупериодов τ (или q , или K и i K ′ и т. д.), однозначно определяющих замощение плоскости параллелограммами . Замощение называется модульной симметрией, задаваемой модульной группой . Функции, периодические на верхней полуплоскости (или периодические на круге Пуанкаре, или периодические на проколотом q -диске), называются модулярными функциями; Номинал, полупериоды, четверть периода или отношение полупериодов - все они обеспечивают различные параметризации для этих периодических функций.

Типичная модульная функция является j-инвариантом Клейна . Его можно записать как функцию либо отношения полупериодов τ, либо как функцию числа q . Расширение ряда в терминах нома ( q -расширение ), как известно, связано с чудовищем Фишера-Грисса посредством чудовищного самогона .

Функции, которые являются «почти периодическими», но не совсем и имеют определенное преобразование в модулярной группе, называются модулярными формами . Например, функция Эйлера возникает как прототип для q- серии в целом.

Нома, как д о д -рядов тогда возникает в теории аффинных алгебр Ли , в основном потому , (говоря поэтически, но не фактически) эти алгебры описывают симметрии и изометрии римановых поверхностей .

Ссылки [ править ]