j -инвариантный

J -инвариант Клейна в комплексной плоскости

В математике , Феликс Клейн «ы J -инвариантным или J функция , рассматриваемая как функция от комплексного переменного  т , является модульной функцией веса нуля для SL (2, Z ) , определенного на верхнюю полуплоскость из комплексных чисел . Это единственная такая функция, которая голоморфна вдали от простого полюса в точке возврата, такая что

${\ displaystyle j \ left (e ^ {2 \ pi i / 3} \ right) = 0, \ quad j (i) = 1728 = 12 ^ {3}.}$

Рациональные функции от J являются модульными, а на самом деле дают все агрегатные функции. Классически j -инвариант изучался как параметризация эллиптических кривых над C , но он также имеет удивительную связь с симметриями группы Монстров (эта связь упоминается как чудовищный самогон ).

Определение [ править ]

Действительная часть J -инварианта в зависимости от нома д на единичном диске

Фаза j -инварианта как функция нома q на единичном круге

J -инвариантным может быть определена как функция на верхней полуплоскости H = { т ∈ C , Im ( т )> 0},

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}}=1728{\frac {g_{2}(\tau )^{3}}{\Delta (\tau )}}}$

куда:

${\displaystyle g_{2}(\tau )=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}(\tau )=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left(m+n\tau \right)^{-6}}$

${\displaystyle \Delta (\tau )=g_{2}(\tau )^{3}-27g_{3}(\tau )^{2}}$    ( модульный дискриминант )

Это можно мотивировать, рассматривая каждый τ как представляющий класс изоморфизма эллиптических кривых. Любая эллиптическая кривая E над C является комплексным тором и, таким образом, может быть отождествлена ​​с решеткой ранга 2; то есть, двумерная решетка C . Эта решетка может быть повернута и масштабируются (операции, сохраняющая класс изоморфизма), так что она порождается 1 и τ ∈ H . Эта решетка соответствует эллиптической кривой (см. Эллиптические функции Вейерштрасса ).${\displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}(\tau )x-g_{3}(\tau )}$

Обратите внимание, что j определен всюду в H, поскольку модулярный дискриминант не равен нулю. Это связано с тем, что соответствующий кубический многочлен имеет разные корни.

Основная область [ править ]

Фундаментальная область модулярной группы, действующей в верхней полуплоскости.

Можно показать, что Δ является модульной формой веса двенадцать, а g _{2 -} одним весом четыре, так что его третья степень также имеет вес двенадцать. Таким образом, их фактор и, следовательно, j является модулярной функцией нулевого веса, в частности голоморфной функцией H → C, инвариантной относительно действия SL (2, Z ) . Факторизация по ее центру {± I} дает модулярную группу , которую мы можем отождествить с проективной специальной линейной группой PSL (2, Z ) .

Подходящим выбором преобразования, принадлежащего этой группе,

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}},\qquad ad-bc=1,}$

мы можем уменьшить τ до значения, дающего такое же значение для j и лежащего в основной области для j , которая состоит из значений для τ, удовлетворяющих условиям

${\displaystyle {\begin{aligned}|\tau |&\geq 1\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )\leq {\tfrac {1}{2}}\\-{\tfrac {1}{2}}&<{\mathfrak {R}}(\tau )<0\Rightarrow |\tau |>1\end{aligned}}}$

Функция j ( τ ), ограниченная этой областью, по-прежнему принимает каждое значение в комплексных числах C ровно один раз. Другими словами, для каждого c в C существует единственный τ в фундаментальной области такой, что c = j ( τ ) . Таким образом, j имеет свойство отображать фундаментальную область на всю комплексную плоскость.

Кроме того, два значения τ, τ '∈ H образуют одну и ту же эллиптическую кривую тогда и только тогда, когда τ = T (τ') для некоторого T ∈ PSL (2, Z ) . Это означает, что j обеспечивает биекцию из множества эллиптических кривых над C в комплексную плоскость. ^[1]

Как риманова поверхность, фундаментальная область имеет род 0 , и каждая модулярная функция (уровня один) является рациональной функцией по j ; и, наоборот, каждая рациональная функция от j является модульной функцией. Другими словами, поле модулярных функций - это C ( j ) .

Теория поля классов и j [ править ]

J -инвариантным обладает многими замечательными свойствами:

• Если τ - любая точка CM, то есть любой элемент мнимого квадратичного поля с положительной мнимой частью (так что j определено), то j ( τ ) является целым алгебраическим числом . ^[2] Эти специальные значения называются сингулярными модулями .
• Расширение поля Q [ j ( τ ), τ ] / Q ( τ ) абелево, т. Е. Имеет абелеву группу Галуа .
• Пусть Λ - решетка в C, порожденная элементом {1, τ }. Легко видеть, что все элементы Q ( τ ), которые фиксируют Λ при умножении, образуют кольцо с единицами, называемое порядком . Другие решетки с образующими {1, τ ′ }, сопоставленными аналогичным образом с тем же порядком, определяют алгебраические сопряжения j ( τ ′ ) к j ( τ ) над Q ( τ ) . Упорядоченный по включению, единственный максимальный порядок вQ ( τ ) является кольцом целых алгебраических чисел Q ( т ) , а значения т иметь егокак связанныеним порядка приводят к неразветвленным расширениям из Q ( т ) .

Эти классические результаты являются отправной точкой для теории комплексного умножения .

Свойства трансцендентности [ править ]

В 1937 году Теодор Шнайдер доказал вышеупомянутый результат о том, что если τ - квадратичное иррациональное число в верхней полуплоскости, то j ( τ ) - целое алгебраическое число. Кроме того, он доказал, что если τ - алгебраическое число, но не мнимо квадратичное, то j ( τ ) трансцендентно.

Функция j обладает множеством других трансцендентных свойств. Курт Малер предположил конкретный результат о трансцендентности, который часто называют гипотезой Малера, хотя он был доказан как следствие результатов Ю. В. Нестеренко и Патрис Филлипон в 1990-е годы. Гипотеза Малера заключалась в том, что если τ находилось в верхней полуплоскости, то e ^{2π iτ} и j ( τ ) никогда не были одновременно алгебраическими. Теперь известны более сильные результаты, например, если e ^{2π iτ} является алгебраическим, то следующие три числа алгебраически независимы и, следовательно, по крайней мере два из них трансцендентны:

${\displaystyle j(\tau ),{\frac {j^{\prime }(\tau )}{\pi }},{\frac {j^{\prime \prime }(\tau )}{\pi ^{2}}}}$

Д -разложении и самогон [ править ]

Несколько замечательных свойств j связаны с его q -разложением ( разложением в ряд Фурье ), записанным в виде ряда Лорана через q = e ^{2π iτ} (квадрат нома ), которое начинается:

${\displaystyle j(\tau )=q^{-1}+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+20245856256q^{4}+\cdots }$

Заметим, что j имеет простой полюс в точке возврата, поэтому в его q -разложении нет членов ниже q ⁻¹ .

Все коэффициенты Фурье являются целыми числами, что приводит к нескольким почти целым числам , особенно к константе Рамануджана :

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 640320^{3}+744}$.

Асимптотическая формула для коэффициента д ^п задается

${\displaystyle {\frac {e^{4\pi {\sqrt {n}}}}{{\sqrt {2}}\,n^{3/4}}}}$,

что может быть доказано методом кругов Харди – Литтлвуда . ^{[3] [4]}

Самогон [ править ]

Что еще более примечательно, коэффициенты Фурье для положительных показателей q являются размерностями градуированной части бесконечномерной градуированной алгебры представления группы монстров, называемой модулем самогона, в частности, коэффициент при q ⁿ является размерностью степени n. часть модуля самогона, первым примером является алгебра Грисса, размерность которой составляет 196,884, что соответствует члену 196884 q . Это поразительное наблюдение, впервые сделанное Джоном Маккеем , стало отправной точкой для теории самогона .

Изучение гипотезы о самогоне привело Джона Хортона Конвея и Саймона П. Нортона к рассмотрению модулярных функций нулевого рода. Если они нормализованы, чтобы иметь вид

${\displaystyle q^{-1}+{O}(q)}$

затем Джон Дж. Томпсон показал, что существует только конечное число таких функций (некоторого конечного уровня), а Крис Дж. Камминс позже показал, что их ровно 6486, 616 из которых имеют целые коэффициенты. ^[5]

Альтернативные выражения [ править ]

У нас есть

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

где x = λ (1 - λ ) и λ - модульная лямбда-функция

${\displaystyle \lambda (\tau )={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}=k^{2}(\tau )}$

отношение тета-функций Якоби θ _m , и является квадратом эллиптического модуля k ( τ ) . ^[6] Значение j не изменяется, когда λ заменяется любым из шести значений кросс-отношения : ^[7]

${\displaystyle \left\lbrace {\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}},1-\lambda }\right\rbrace }$

Точки ветвления j находятся в {0, 1, ∞} , так что j - функция Белого . ^[8]

Выражения в терминах тета-функций [ править ]

Определим ном q = e ^{π iτ} и тета-функцию Якоби ,

${\displaystyle \vartheta (0;\tau )=\vartheta _{00}(0;\tau )=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

из которого можно вывести вспомогательные тета-функции . Позволять,

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta _{2}(0;q)=\vartheta _{10}(0;\tau )\\b&=\theta _{3}(0;q)=\vartheta _{00}(0;\tau )\\c&=\theta _{4}(0;q)=\vartheta _{01}(0;\tau )\end{aligned}}}$

где θ _m и ϑ _n - альтернативные обозначения, а a ⁴ - b ⁴ + c ⁴ = 0 . Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{2}(\tau )&={\tfrac {2}{3}}\pi ^{4}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\g_{3}(\tau )&={\tfrac {4}{27}}\pi ^{6}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54\left(abc\right)^{8}}{2}}}\\\Delta &=g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}=4096\pi ^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}=4096\pi ^{12}\eta (\tau )^{24}\end{aligned}}}$

для инвариантов Вейерштрасса g ₂ , g ₃ и функции Дедекинда η ( τ ) . Затем мы можем выразить j ( τ ) в форме, которую можно быстро вычислить.

${\displaystyle j(\tau )=1728{\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}=32{\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}}{\left(abc\right)^{8}}}}$

Алгебраическое определение [ править ]

До сих пор мы рассматривали j как функцию комплексной переменной. Однако как инвариант для классов изоморфизма эллиптических кривых он может быть определен чисто алгебраически. ^[9] Пусть

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}$

- плоская эллиптическая кривая над любым полем. Затем мы можем выполнить последовательные преобразования, чтобы получить приведенное выше уравнение в стандартную форму y ² = 4 x ³ - g ₂ x - g ₃ (обратите внимание, что это преобразование может быть выполнено только тогда, когда характеристика поля не равна 2 или 3 ). Результирующие коэффициенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{2}&=a_{1}^{2}+4a_{2},\quad &b_{4}&=a_{1}a_{3}+2a_{4},\\b_{6}&=a_{3}^{2}+4a_{6},\quad &b_{8}&=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}+a_{2}a_{3}^{2}+4a_{2}a_{6}-a_{4}^{2},\\c_{4}&=b_{2}^{2}-24b_{4},\quad &c_{6}&=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6},\end{aligned}}}$

где g ₂ = c ₄ и g ₃ = c ₆ . Еще у нас есть дискриминант

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}+9b_{2}b_{4}b_{6}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}.}$

Теперь j -инвариант эллиптической кривой можно определить как

${\displaystyle j={\frac {c_{4}^{3}}{\Delta }}}$

В случае, если поле, над которым определяется кривая, имеет характеристику, отличную от 2 или 3, это равно

${\displaystyle j=1728{\frac {c_{4}^{3}}{c_{4}^{3}-c_{6}^{2}}}.}$

Обратная функция [ править ]

Обратная функция от J -инварианта может быть выражена в терминах гипергеометрической функции ₂ F ₁ (смотрите также статью Пикар-Фукс уравнение ). Явно, учитывая число N , решить уравнение j ( τ ) = N относительно τ можно как минимум четырьмя способами.

Метод 1 : Решение секстики в λ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256{\bigl (}1-\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{3}}{{\bigl (}\lambda (1-\lambda ){\bigr )}^{2}}}={\frac {256\left(1-x\right)^{3}}{x^{2}}}}$

где x = λ (1 - λ ) , а λ - модульная лямбда-функция, поэтому секстику можно решить как кубику по x . Потом,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;1-\lambda \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},1;\lambda \right)}}}$

для любого из шести значений λ .

Метод 2 : Решение квартики по γ ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {27\left(1+8\gamma \right)^{3}}{\gamma \left(1-\gamma \right)^{3}}}}$

то для любого из четырех корней ,

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {3}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;1-\gamma \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1;\gamma \right)}}}$

Метод 3 : Решение кубической в β ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {64\left(1+3\beta \right)^{3}}{\beta \left(1-\beta \right)^{2}}}}$

затем для любого из трех корней

${\displaystyle \tau ={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;1-\beta \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},1;\beta \right)}}}$

Метод 4 : Решение квадратичного по α ,

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1728}{4\alpha (1-\alpha )}}}$

тогда,

${\displaystyle \tau =i\ {\frac {{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;1-\alpha \right)}{{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {5}{6}},1;\alpha \right)}}}$

Один корень дает τ , а другой -1/τ, но поскольку j ( τ ) = j (-1/τ) не имеет значения, какой α выбран. Последние три метода можно найти в теории Рамануджана от эллиптических функций альтернативных базисов.

Инверсия применяется при высокоточных вычислениях периодов эллиптических функций, даже когда их отношения становятся неограниченными. Связанный с этим результат - выразимость через квадратичные радикалы значений j в точках мнимой оси, значения которых равны степеням двойки (что позволяет строить компас и линейку ). Последний результат вряд ли очевиден, поскольку модульное уравнение уровня 2 кубическое.

Формулы Пи [ править ]

Братья Чудновские обнаружили в 1987 г. ^[10]

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3344418k+13591409)}{(3k)!\left(k!\right)^{3}\left(-640320\right)^{3k}}}}$

который использует тот факт, что

${\displaystyle j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640320^{3}.}$

Подобные формулы см. В серии Рамануджана – Сато .

Особые значения [ править ]

J -инвариантным обращается в нуль в «углу» фундаментальной области в

${\displaystyle \quad J\left({\tfrac {1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)=0}$

Вот еще несколько специальных значений, представленных в альтернативных обозначениях J ( τ ) ≡1/1728 j ( τ ) (хорошо известны только первые четыре из них):

${\displaystyle {\begin{aligned}J(i)&=J\left({\tfrac {1+i}{2}}\right)=1\\J\left({\sqrt {2}}i\right)&=\left({\tfrac {5}{3}}\right)^{3}\\J(2i)&=\left({\tfrac {11}{2}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {2}}i\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19+13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(4i)&={\tfrac {1}{64}}\left(724+513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{64}}\left(724-513{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+2{\sqrt {2}}i}{3}}\right)&={\tfrac {125}{216}}\left(19-13{\sqrt {2}}\right)^{3}\\J(3i)&={\tfrac {1}{27}}\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(21+20{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left(2{\sqrt {3}}i\right)&={\tfrac {125}{16}}\left(30+17{\sqrt {3}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+7{\sqrt {3}}i}{2}}\right)&=-{\tfrac {64000}{7}}\left(651+142{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+3{\sqrt {11}}i}{10}}\right)&={\tfrac {64}{27}}\left(23-4{\sqrt {33}}\right)^{2}\left(-77+15{\sqrt {33}}\right)^{3}\\J\left({\sqrt {21}}i\right)&={\tfrac {1}{32}}\left(5+3{\sqrt {3}}\right)^{2}\left(3+{\sqrt {7}}\right)^{2}\left(65+34{\sqrt {3}}+26{\sqrt {7}}+15{\sqrt {21}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{1}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{2}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10+7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55+30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{5}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}+4{\sqrt {5}}-3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {{\sqrt {30}}i}{10}}\right)&={\tfrac {1}{16}}\left(10-7{\sqrt {2}}-4{\sqrt {5}}+3{\sqrt {10}}\right)^{4}\left(55-30{\sqrt {2}}-12{\sqrt {5}}+10{\sqrt {10}}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {31}}i}{2}}\right)&=\left(1-\left(1+{\frac {\sqrt {19}}{2}}\left({\sqrt {\tfrac {13-{\sqrt {93}}}{13+{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}}}+{\sqrt {\tfrac {13+{\sqrt {93}}}{13-{\sqrt {93}}}}}\cdot {\sqrt[{3}]{\tfrac {{\sqrt {31}}-{\sqrt {27}}}{{\sqrt {31}}+{\sqrt {27}}}}}\right)\right)^{2}\right)^{3}\\J({\sqrt {70}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}\left(303+220{\sqrt {2}}+139{\sqrt {5}}+96{\sqrt {10}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(7i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\left(30+11{\sqrt {7}}+\left(6+{\sqrt {7}}\right){\sqrt {21+8{\sqrt {7}}}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(8i)&=\left(1+{\tfrac {9}{4}}{\sqrt[{4}]{2}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)\left(123+104{\sqrt[{4}]{2}}+88{\sqrt {2}}+73{\sqrt[{4}]{8}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(10i)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402+1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}+719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {5i}{2}}\right)&=\left(1+{\tfrac {9}{8}}\left(2402-1607{\sqrt[{4}]{5}}+1074{\sqrt[{4}]{25}}-719{\sqrt[{4}]{125}}\right)^{2}\right)^{3}\\J(2{\sqrt {58}}i)&=\left(1+{\tfrac {9}{256}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{5}\left(5+{\sqrt {29}}\right)^{5}\left(793+907{\sqrt {2}}+237{\sqrt {29}}+103{\sqrt {58}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1435}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(9892538+4424079{\sqrt {5}}+1544955{\sqrt {41}}+690925{\sqrt {205}}\right)^{2}\right)^{3}\\J\left({\tfrac {1+{\sqrt {1555}}i}{2}}\right)&=\left(1-9\left(22297077+9971556{\sqrt {5}}+\left(3571365+1597163{\sqrt {5}}\right){\sqrt {\tfrac {31+21{\sqrt {5}}}{2}}}\right)^{2}\right)^{3}\\\end{aligned}}}$

Неспособность классифицировать эллиптические кривые над другими полями [ править ]

-Инвариантное чувствительно только к классам изоморфизма эллиптических кривых над комплексными числами, или более общо, алгебраически замкнутое полем . Над другими полями существуют примеры эллиптических кривых, у которых -инвариантность такая же, но неизоморфная. Например, пусть будут эллиптические кривые, связанные с полиномами${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle E_{1},E_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-25x\\E_{2}:&{\text{ }}y^{2}=x^{3}-4x\end{aligned}}}$

оба имеют -инвариантный . Тогда рациональные точки могут быть вычислены как${\displaystyle j}$${\displaystyle 1728}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}(\mathbb {Q} )=\{\infty ,(2,0),(-2,0),(0,0)\}}$

поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}-4x&=x(x^{2}-4)\\&=x(x-2)(x+2)\end{aligned}}}$

а для есть только иррациональные точки${\displaystyle y\neq 0}$

${\displaystyle (x^{3}-4x-a^{2},a)}$

для . Это можно показать с помощью формулы Кардано . С другой стороны, содержит набор точек${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \{n(-4,6):n\in \mathbb {Z} \}\subset E_{1}(\mathbb {Q} )}$

так как уравнение дает уравнение${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle 36n^{2}=-64n^{3}+100n}$

Ибо решение есть , так что предполагайте . Тогда деление уравнения на дает${\displaystyle n=0}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle 4n}$

${\displaystyle 9n=-16n^{2}+25}$

которое можно переписать в виде квадратного уравнения

${\displaystyle 16n^{2}+9n-25=0}$

Используя квадратичную формулу, это дает

${\displaystyle {\frac {-9\pm {\sqrt {81-4\cdot 16\cdot (-25)}}}{2\cdot 16}}={\frac {-9\pm 41}{32}}}$

следовательно, это рациональное число. Теперь, если рассматривать эти кривые над , существует изоморфизм, отправляющий${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {10}})}$${\displaystyle E_{1}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))\cong E_{2}(\mathbb {Q} ({\sqrt {10}}))}$

${\displaystyle (x,y)\mapsto (\mu ^{2}x,\mu ^{3}y){\text{ where }}\mu ={\frac {\sqrt {10}}{2}}}$

Ссылки [ править ]

• Апостол, Том М. (1976), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics, 41 , New York: Springer-Verlag, MR  0422157. Обеспечивает очень удобочитаемое введение и различные интересные личности.
  • Апостол, Том М. (1990), Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел , Тексты для выпускников по математике, 41 (2-е изд.), DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0999-7 , ISBN 978-0-387-97127-8, MR  1027834
• Берндт, Брюс С .; Чан Хен Huat (1999), "Ramanujan и модульное J-инвариантным" (PDF) , канадский математический вестник , 42 (4): 427-440, DOI : 10,4153 / CMB-1999-050-1 , MR  1727340 , архивируются из оригинала (PDF) от 29.09.2007 г.. Предоставляет множество интересных алгебраических тождеств, в том числе обратное в виде гипергеометрического ряда.
• Кокс, Дэвид А. (1989), Простые числа формы x ^ 2 + ny ^ 2: Ферма, теория поля классов и комплексное умножение , Нью-Йорк: публикация Wiley-Interscience, John Wiley & Sons Inc., MR  1028322 Вводит j-инвариант и обсуждает связанную теорию полей классов.
• Конвей, Джон Хортон ; Нортон Саймон (1979), "Чудовищная самогон", Бюллетень Лондонского математического общества , 11 (3): 308-339, DOI : 10,1112 / БЛМ / 11.3.308 , MR  0554399. Включает список из 175 модульных функций нулевого рода.
• Ранкин, Роберт А. (1977), Модульные формы и функции , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-21212-0, MR  0498390. Краткий обзор в контексте модульных форм.
• Шнайдер, Теодор (1937), "Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale", Math. Annalen , 113 : 1-13, DOI : 10.1007 / BF01571618 , MR  1513075 , S2CID  121073687.