Верхняя полуплоскость

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Верхний полуплоскость»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , то верхняя полуплоскость Н есть множество точек ( х , у ) в декартовой плоскости с у > 0.

Сложная плоскость [ править ]

Математики иногда отождествляют декартову плоскость с комплексной плоскостью , и тогда верхняя полуплоскость соответствует набору комплексных чисел с положительной мнимой частью :

${\ displaystyle \ mathbb {H} = \ {x + iy \ mid y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \}.}$

Термин возникает из общей визуализации комплексного числа х  +  IY в качестве точки ( х , у ) в плоскости , наделенной декартовыми координатами . Когда ось Y ориентирована вертикально, «верхняя полуплоскость » соответствует области над осью X и, следовательно, комплексным числам, для которых  y  > 0.

Это область многих интересующих функций комплексного анализа , особенно модульных форм . Нижняя полуплоскость, определяемая как y  <0, также хороша, но менее широко используется по соглашению. Открытый единичный круг D (множество всех комплексных чисел по абсолютной величине меньше единицы) эквивалентно с помощью конформного отображения к H (см « Пуанкаре Метрика »), что означает , что обычно можно пройти между H и D .

Он также играет важную роль в гиперболической геометрии , где модель полуплоскости Пуанкаре обеспечивает способ изучения гиперболических движений . Метрика Пуанкаре обеспечивает гиперболическую метрику на пространстве.

Теорема униформизации для поверхностей утверждает, что верхняя полуплоскость является универсальным накрывающим пространством поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной .

Закрытая верхняя полуплоскость является объединением верхней полуплоскости и действительной оси. Это замыкание верхней полуплоскости. И всегда замкнутый набор

Аффинная геометрия [ править ]

К аффинным преобразованиям верхней полуплоскости относятся (1) сдвиги ( x, y ) → ( x + c, y ), c ∈ ℝ, и (2) растяжения ( x, y ) → (λ x , λ y ) , λ> 0.

Предложение: Пусть A и B - полукруги в верхней полуплоскости с центрами на границе. Тогда существует аффинное отображение , который принимает A к B .

Доказательство: сначала сместите центр A на (0,0). Затем возьмем λ = (диаметр B ) / (диаметр A ) и растянем. Затем переложить (0,0) к центру B .

Определение: ${\ displaystyle Z = \ {(\ cos ^ {2} \ theta, {\ tfrac {1} {2}} \ sin 2 \ theta): 0 <\ theta <\ pi \}.}$

Z может быть признан в качестве окружности радиуса 1/2 с центром в точке (1/2, 0), а в качестве полярного участка из${\ Displaystyle \ ро (\ тета) = \ соз \ тета.}$

Утверждение: (0,0), ρ (θ) в Z и (1, tan θ) - коллинеарные точки .

Фактически, Z является отражением линии (1, y ), y > 0, в единичной окружности . В самом деле, диагональ от (0,0) до (1, tan θ) имеет квадрат длины, так что это величина, обратная этой длине.${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta ,}$${\displaystyle \rho (\theta )=\cos \theta }$

Метрическая геометрия [ править ]

Расстояние между любыми двумя точками p и q в верхней полуплоскости можно последовательно определить следующим образом: серединный перпендикуляр отрезка от p до q либо пересекает границу, либо параллелен ей. В последнем случае p и q лежат на луче, перпендикулярном границе, и логарифмическая мера может использоваться для определения расстояния, инвариантного относительно растяжения. В первом случае p и q лежат на окружности с центром на пересечении их серединного перпендикуляра и границы. По предложению выше эту окружность можно аффинно двигать к Z. Расстояния на Z можно определить, используя соответствие с точками на (1, y ), y > 0, и логарифмическую меру на этом луче. В результате верхняя полуплоскость становится метрическим пространством . Общее название этого метрического пространства - гиперболическая плоскость . В терминах моделей гиперболической геометрии эту модель часто называют моделью полуплоскости Пуанкаре .

Обобщения [ править ]

Одно естественное обобщение в дифференциальной геометрии является гиперболическим п пространства Н ^п , то максимально симметричным, односвязно , п - мерного риманова многообразие с постоянной секционной кривизной -1. В этой терминологии верхняя полуплоскость - это H ^2, поскольку она имеет действительную размерность 2.

В теории чисел , теория модулярных форм Гильберта связана с изучением некоторых функций на прямом произведении Н ^п о п копий верхней полуплоскости. Еще одним пространством, интересным для теоретиков чисел, является верхнее полупространство Зигеля H _n , которое является областью модулярных форм Зигеля .

См. Также [ править ]

• Соседство куспида
• Расширенная комплексная верхняя полуплоскость
• Фуксова группа
• Фундаментальный домен
• Полупространство
• Клейнианская группа
• Модульная группа
• Риманова поверхность
• Теорема Шварца – Альфорса – Пика.
• Стек модулей эллиптических кривых

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Верхняя полуплоскость" . MathWorld .