Теорема униформизации

В математике униформизация теорема утверждает , что каждая односвязная риманова поверхность является конформно эквивалентно одному из трех римановых поверхностей: открытый единичный круг , то комплексная плоскость или сфера Римана . В частности , это означает , что каждая поверхность Римана допускает риманова метрика на постоянной кривизны . Для компактных римановых поверхностей поверхности с универсальным покрытием единичным кругом - это в точности гиперболические поверхности рода больше 1, все с неабелевой фундаментальной группой; универсально покрывающие комплексную плоскость - это римановы поверхности рода 1, а именно комплексные торы илиэллиптические кривые с фундаментальной группой Z ² ; а сферы Римана с универсальным покрытием - это сферы нулевого рода, а именно сама сфера Римана с тривиальной фундаментальной группой.

Теорема об униформизации является обобщением теоремы об отображении Римана с собственных односвязных открытых подмножеств плоскости на произвольные односвязные римановы поверхности. Теорема униформизации также имеет эквивалентное утверждение в терминах замкнутых римановых 2-многообразий: каждое такое многообразие имеет конформно эквивалентную риманову метрику постоянной кривизны.

Многие классические доказательства теоремы униформизации основаны на построении действительной гармонической функции на односвязной римановой поверхности, возможно, с особенностью в одной или двух точках и часто соответствующей форме функции Грина . Широко используются четыре метода построения гармонической функции: метод Перрона ; метод переменного Шварца ; Принцип Дирихле ; и метод ортогональной проекции Вейля . В контексте замкнутых римановых двумерных многообразий в нескольких современных доказательствах используются нелинейные дифференциальные уравнения на пространстве конформно эквивалентных метрик. К ним относятся уравнение Бельтрами изТеория Тейхмюллера и эквивалентная формулировка в терминах гармонических отображений ; Уравнение Лиувилля , уже изученное Пуанкаре; и поток Риччи вместе с другими нелинейными потоками.

История [ править ]

Феликс Клейн  ( 1883 г. ) и Анри Пуанкаре  ( 1882 г. ) предположили теорему униформизации для (римановых поверхностей) алгебраических кривых. Анри Пуанкаре ( 1883 ) распространил это на произвольные многозначные аналитические функции и привел неформальные аргументы в свою пользу. Первые строгие доказательства общей теоремы униформизации были даны Пуанкаре  ( 1907 ) и Полем Кёбе  ( 1907a , 1907b , 1907c ). Позже Пол Кобе дал еще несколько доказательств и обобщений. История описана в Gray (1994).; полный отчет об униформизации вплоть до работ Кёбе и Пуанкаре 1907 года с подробными доказательствами дается в de Saint-Gervais (2016) ( псевдоним типа Бурбаки группы из пятнадцати математиков, которые совместно подготовили эту публикацию).

Классификация связных римановых поверхностей [ править ]

Каждая риманова поверхность является фактором свободного, собственного и голоморфного действия дискретной группы на ее универсальном накрытии, и это универсальное покрытие голоморфно изоморфно (также говорят: «конформно эквивалентно» или «биголоморфно») одному из следующих:

1. сфера Римана
2. комплексная плоскость
3. единичный диск в комплексной плоскости.

Теорема Радо показывает, что каждая риманова поверхность автоматически имеет счетчик секунд . Хотя теорема Радо часто используется в доказательствах теоремы униформизации, некоторые доказательства были сформулированы так, что теорема Радо становится следствием. Вторая счетность автоматическая для компактных римановых поверхностей.

Классификация замкнутых ориентированных двумерных римановых многообразий [ править ]

На ориентированном двумерном многообразии риманова метрика индуцирует сложную структуру с помощью перехода к изотермическим координатам . Если риманова метрика задана локально как

${\ displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy ^ {2},}$

то в комплексной координате z = x + i y она принимает вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ lambda | dz + \ mu \, d {\ overline {z}} | ^ {2},}$

куда

${\ displaystyle \ lambda = {1 \ over 4} \ left (E + G + 2 {\ sqrt {EG-F ^ {2}}} \ right), \, \, \, \ mu = (E-G + 2iF) / 4 \ lambda,}$

так что λ и μ гладкие с λ > 0 и | μ | <1. В изотермических координатах ( u , v ) метрика должна иметь вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ rho (du ^ {2} + dv ^ {2})}$

с ρ > 0 гладкой. Комплексная координата w = u + i v удовлетворяет

${\ displaystyle \ rho \, | dw | ^ {2} = \ rho | w_ {z} | ^ {2} \ left | dz + {w _ {\ overline {z}} \ over w_ {z}} \, d {\ overline {z}} \ right | ^ {2},}$

так что координаты ( u , v ) будут локально изотермическими при условии, что уравнение Бельтрами

${\ displaystyle {\ partial w \ over \ partial {\ overline {z}}} = \ mu {\ partial w \ over \ partial z}}$

имеет локально диффеоморфное решение, т.е. решение с ненулевым якобианом.

Эти условия можно эквивалентно сформулировать в терминах внешней производной и звездного оператора Ходжа ∗ . ^[1] u и v будут изотермическими координатами, если ∗ du = dv , где ∗ определено на дифференциалах как ∗ ( p dx + q dy ) = - q dx + p dy . Пусть ∆ = ∗ d ∗ d - оператор Лапласа – Бельтрами . Согласно стандартной эллиптической теории, u можно выбрать равнымгармоническая вблизи данной точки, т. е. Δ u = 0 , причем du не обращается в нуль. По лемме Пуанкаре dv = ∗ du имеет локальное решение v именно тогда, когда d (∗ du ) = 0 . Это условие эквивалентно Δ u = 0 , поэтому всегда может быть решено локально. Поскольку du не равен нулю и квадрат оператора звезды Ходжа равен −1 на 1-формах, du и dv должны быть линейно независимыми, так что u и v дают локальные изотермические координаты.

Существование изотермических координат может быть доказано другими методами, например с помощью общей теории уравнения Бельтрами , как у Альфорса (2006) , или прямыми элементарными методами, как у Черна (1955) и Йоста (2006) .

Из этого соответствия с компактными римановыми поверхностями следует классификация замкнутых ориентируемых римановых 2-многообразий. Каждая такая конформно эквивалентна уникальной замкнутой 2-многообразию постоянной кривизны , поэтому в фактор одного из следующих с помощью свободного действия в виде дискретной подгруппы в качестве изометрии группы :

1. сфера (кривизна + 1)
2. евклидова плоскость (кривизна 0)
3. гиперболической плоскости (кривизна -1).

• род 0

• род 1

• род 2

• род 3

Первый случай дает 2-сферу, единственное 2-многообразие с постоянной положительной кривизной и, следовательно, положительной эйлеровой характеристикой (равной 2). Второй случай дает все плоские 2-многообразия, т. Е. Торы , которые имеют эйлерову характеристику 0. Третий случай охватывает все 2-многообразия постоянной отрицательной кривизны, т.е. гиперболические 2-многообразия, все из которых имеют отрицательную эйлерову характеристику. Классификация согласуется с теоремой Гаусса – Бонне , из которой следует, что для замкнутой поверхности с постоянной кривизной знак этой кривизны должен совпадать со знаком характеристики Эйлера. Эйлерова характеристика равна 2 - 2 g , где g - род двумерного многообразия, т. е. число «дырок».

Методы доказательства [ править ]

Методы гильбертова пространства [ править ]

В 1913 году Герман Вейль опубликовал свой классический учебник «Die Idee der Riemannschen Fläche», основанный на его лекциях в Геттингене с 1911 по 1912 год. Это была первая книга, в которой теория римановых поверхностей была представлена ​​в современной обстановке, и благодаря своим трем изданиям она сохранила свое влияние. Посвященное Феликсу Клейну , первое издание включало в себя трактовку Гильбертом проблемы Дирихле с использованием методов гильбертова пространства ; Вклад Брауэра в топологию; и доказательство Кёбе теоремы униформизации и его последующие улучшения. Намного позже Вейль (1940)разработал свой метод ортогональной проекции, который дал упрощенный подход к проблеме Дирихле, также основанный на гильбертовом пространстве; эта теория, включающая лемму Вейля об эллиптической регулярности , была связана с теорией гармонических интегралов Ходжа ; и обе теории были отнесены в современную теорию эллиптических операторов и L ² пространств Соболева . В третьем издании своей книги от 1955 года, переведенной на английский язык в Вейле (1964) , Вейль принял современное определение дифференциального многообразия вместо триангуляций , но решил не использовать свой метод ортогональной проекции. Спрингер (1957) следовал изложению Вейля теоремы об униформизации, но использовал метод ортогональной проекции для решения проблемы Дирихле. Этот подход будет описан ниже. Кодаира (2007) описывает подход в книге Вейля, а также то, как его сократить, используя метод ортогональной проекции. Соответствующий отчет можно найти в Donaldson (2011) .

Нелинейные потоки [ править ]

Представляя Риччи поток , Ричард С. Гамильтон показал , что Риччи поток на замкнутую поверхность униформизирует метрики (т.е. потока сходится к метрике постоянной кривизны). Однако его доказательство опиралось на теорему униформизации. Недостающий шаг связан с потоком Риччи на двумерной сфере: метод, позволяющий избежать обращения к теореме униформизации (для рода 0), был предоставлен Ченом, Лу и Тианом (2006) ; ^[2] краткий автономный отчет о потоке Риччи на двумерной сфере был дан в Andrews & Bryan (2010) .

Обобщения [ править ]

Кёбе доказал общую теорему униформизации, согласно которой, если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.

В 3-х измерениях есть 8 геометрий, называемых восемью геометриями Терстона . Не каждое трехмерное многообразие допускает геометрию, но гипотеза Терстона о геометризации, доказанная Григорием Перельманом, утверждает, что каждое трехмерное многообразие можно разрезать на части, которые можно геометризовать.

Одновременная теорема униформизации из Берс показывает , что можно одновременно униформизировать два компактной римановой поверхности одного и того же рода> 1 с той же квазифуксовой группы .

Теорема об измеримом отображении Римана показывает в более общем плане, что отображение на открытое подмножество комплексной сферы в теореме униформизации может быть выбрано как квазиконформное отображение с любым заданным ограниченным измеримым коэффициентом Бельтрами.

См. Также [ править ]

• p -адическая теорема об униформизации .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Исторические ссылки [ править ]

• Шварц, HA (1870 г.), "Убер Einen Grenzübergang Durch alternierendes Verfahren" , Vierteljahrsschrift дер Naturforschenden Gesellschaft в Цюрих , 15 : 272-286, СУЛ  02.0214.02.
• Клейн, Феликс (1883), "Neue Beiträge цур Riemann'schen Functionentheorie" , Mathematische Annalen , 21 (2): 141-218, DOI : 10.1007 / BF01442920 , ISSN  0025-5831 , СУЛ  15.0351.01 , S2CID  120465625
• Кёбе, П. (1907a), "Über умереть Uniformisierung reeller analytischer Kurven" , Göttinger Nachrichten : 177-190, JFM  38.0453.01
• Кёбе, P. (1907b), "Über умереть Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven" , Göttinger Nachrichten : 191-210, JFM  38.0454.01
• Кёбе, P. (1907c), "Über умереть Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)" , Göttinger Nachrichten : 633-669, JFM  38.0455.02
• Кёбе, Пол (1910а), "Über умереть Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Journal für умереть Reine унд Angewandte Mathematik , 138 : 192-253, DOI : 10,1515 / crll.1910.138.192 , S2CID  120198686
• Кобе, Пауль (1910b), "Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
• Пуанкаре, Х. (1882), "Мемуаре ле fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica , 1 : 193-294, DOI : 10.1007 / BF02592135 , ISSN  0001-5962 , СУЛ  15.0342.01
• Пуанкаре, Анри (1883), "Sur ООН théorème де ла Théorie женераль де fonctions" , Бюллетень де ла Société Mathematique де Франс , 11 : 112-125, DOI : 10,24033 / bsmf.261 , ISSN  0037-9484 , JFM  15.0348.01
• Пуанкаре, Анри (1907), "Sur l'uniformisation де fonctions analytiques", Acta Mathematica , 31 : 1-63, DOI : 10.1007 / BF02415442 , ISSN  0001-5962 , СУЛ  38.0452.02
• Гильберт, Давид (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
• Перрон, О. (1923), "Eine Neue Behandlung дер Ersten Randwertaufgabe für Аи = 0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42-54, DOI : 10.1007 / BF01192395 , ISSN  0025-5874 , S2CID  122843531
• Вейль, Герман (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (переиздание 1997 года немецкого оригинала 1913 года) , Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), "Метод ортогональных проекций в теории потенциала", Duke Math. J. , 7 : 411-444, DOI : 10,1215 / s0012-7094-40-00725-6

Исторические обзоры [ править ]

• Абикофф, Уильям (1981), "Теорема униформизации", Amer. Математика. Ежемесячно , 88 (8): 574-592, DOI : 10,2307 / 2320507 , JSTOR  2320507
• Грей, Джереми (1994), "К истории теоремы об отображении Римана" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Серия II. Дополнение (34): 47–94, MR  1295591
• Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония - геометрические фантазии: рост теории сложных функций , источники и исследования в истории математики и физических наук, Springer, ISBN 978-1461457251
• де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: пересмотр теоремы столетней давности , перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, doi : 10.4171 / 145 , ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста (подготовлен в 2007 году к столетию 1907 года работ Кёбе и Пуанкаре)

Гармонические функции [ править ]

Метод Перрона

• Heins, M. (1949), "Конформное отображение односвязных римановых поверхностей", Ann. математики. , 50 (3): 686-690, DOI : 10,2307 / 1969555 , JSTOR  1969555
• Heins, M. (1951), "Внутреннее отображение ориентируемой поверхности в S ² ", Proc. Амер. Математика. Soc. , 2 (6): 951–952, DOI : 10.1090 / s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), "Конформное отображение односвязных римановых поверхностей. II", Nagoya Math. J. , 12 : 139-143, DOI : 10,1017 / s002776300002198x
• Пфлюгер, Альберт (1957), Theorie der Riemannschen Flächen , Springer
• Альфорс, Ларс В. (2010), Конформные инварианты: вопросы геометрической теории функций , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Бердон, А.Ф. (1984), "Букварь по римановым поверхностям" , Серия лекций Лондонского математического общества , Cambridge University Press, 78 , ISBN 978-0521271042
• Форстер, Отто (1991), Лекции по римановым поверхностям , Тексты для выпускников по математике, 81 , перевод Брюса Гиллигана, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
• Farkas, Hershel M .; Кра, Ирвин (1980), Римановы поверхности (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Гамлен, Теодор В. (2001), Комплексный анализ , Тексты для бакалавров по математике, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Хаббард, Джон Х. (2006), Теория Тейхмюллера и приложения к геометрии, топологии и динамике. Vol. 1. Теория Тейхмюллера , Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), Курс комплексного анализа и римановых поверхностей. , Аспирантура по математике, 154 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-9847-5

Альтернативный метод Шварца

• Неванлинна, Рольф (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften в Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, 64 , Springer
• Бенке, Генрих; Зоммер, Фридрих (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 77 (3-е изд.), Springer
• Фрейтаг, Эберхард (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции , Springer, ISBN. 978-3-642-20553-8

Принцип Дирихле

• Вейль, Герман (1964), Концепция римановой поверхности , переведенная Джеральдом Р. Маклейном, Addison-Wesley, MR  0069903
• Курант, Ричард (1977), принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Зигель, К.Л. (1988), Вопросы теории комплексных функций. Vol. I. Эллиптические функции и теория униформизации , перевод А. Шеницера; Д. Солитэр, Wiley, ISBN 978-0471608448

Метод ортогональной проекции Вейля

• Спрингер, Джордж (1957), Введение в римановы поверхности , Addison-Wesley, MR  0092855
• Кодаира, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджские исследования в области высшей математики, 107 , Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Дональдсон, Саймон (2011), Римановы поверхности , Oxford Graduate Texts in Mathematics, 22 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

Операторы сарио

• Сарио, Лео (1952), "Метод линейных операторов на произвольных римановых поверхностях", Trans. Амер. Математика. Soc. , 72 (2): 281-295, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1952-0046442-2
• Альфорс, Ларс В .; Сарио, Лео (1960), Римановы поверхности , Princeton Mathematical Series, 26 , Princeton University Press

Нелинейные дифференциальные уравнения [ править ]

Уравнение Бельтрами

• Альфорс, Ларс В. (2006), Лекции о квазиконформных отображениях , Университетская серия лекций, 38 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Альфорс, Ларс В .; Берс, Липман (1960), "Теорема Римана об отображении для переменных метрик", Ann. математики. , 72 (2): 385-404, DOI : 10,2307 / 1970141 , JSTOR  1970141
• Берс, Липман (1960), «Одновременная униформизация», Bull. Амер. Математика. Soc. , 66 (2): 94–97, DOI : 10.1090 / s0002-9904-1960-10413-2
• Берс, Липман (1961), "Униформизация уравнениями Бельтрами", Comm. Pure Appl. Математика. , 14 (3): 215-228, DOI : 10.1002 / cpa.3160140304
• Берс, Липман (1972), "униформизация, модули и кляйнианские групп", Бюллетень Лондонских математического общества , 4 (3): 257-300, DOI : 10,1112 / БЛЕ / 4.3.257 , ISSN  0024-6093 , MR  0348097

Гармонические карты

• Йост, Юрген (2006), Компактные римановы поверхности: введение в современную математику (3-е изд.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Уравнение Лиувилля

• Бергер, Мелвин С. (1971), "Римановы структуры заданной гауссовой кривизны для компактных двумерных многообразий", Журнал дифференциальной геометрии , 5 (3–4): 325–332, doi : 10.4310 / jdg / 1214429996
• Бергер, Мелвин С. (1977), Нелинейность и функциональный анализ , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения с частными производными III. Нелинейные уравнения , Прикладные математические науки, 117 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

Потоки на римановой метрике

• Гамильтон, Ричард С. (1988), "Поток Риччи на поверхностях", Математика и общая теория относительности (Санта-Крус, Калифорния, 1986) , Contemp. Math., 71 , Американское математическое общество, стр. 237–262.
• Чоу, Беннет (1991), "Поток Риччи на двумерной сфере", J. Differential Geom. , 33 (2): 325-334, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214446319
• Осгуд, Б .; Phillips, R .; Сарнак, П. (1988), "Экстремали определителей лапласианов", J. Funct. Анальный. , 80 : 148-211, CiteSeerX  10.1.1.486.558 , DOI : 10,1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Полуглобальное существование и сходимость решений уравнения Робинсона-Траутмана (2-мерного уравнения Калаби)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289–313, Bibcode : 1991CMaPh.137 ..289C , CiteSeerX  10.1.1.459.9029 , DOI : 10.1007 / bf02431882 , S2CID  53641998
• Чанг, Шу-Ченг (2000), "Глобальное существование и сходимость решений потока Калаби на поверхностях рода h  ≥ 2", J. Math. Kyoto Univ. , 40 (2): 363-377, DOI : 10,1215 / KJM / 1250517718
• Брендл, Саймон (2010), Поток Риччи и теорема о сфере , Аспирантура по математике, 111 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Чен, Xiuxiong; Лу, Пэн; Tian, Gang (2006), "Замечание о униформизации римановых поверхностей Риччи потока", Труды Американского математического общества , 134 (11): 3391-3393, DOI : 10.1090 / S0002-9939-06-08360-2 , ISSN  0002-9939 , MR  2231924
• Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2010), "Границы кривизны путем изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двумерной сфере", Calc. Вар. Уравнения в частных производных , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007 / s00526-010-0315-5 , S2CID  1095459
• Маццео, Рейф; Тейлор, Майкл (2002), «Кривизна и униформизация», Israel J. Math. , 130 : 323–346, arXiv : math / 0105016 , doi : 10.1007 / bf02764082 , S2CID  7192529
• Струве, Майкл (2002), "Кривизна потоков на поверхностях", Ann. Sc. Норма. Супер. Пиза Cl. Sci. , 1 : 247–274

Общие ссылки [ править ]

• Черн, Шиинг-шен (1955), "Элементарное доказательство существования изотермических параметров на поверхности", Proc. Амер. Математика. Soc. , 6 (5): 771-782, DOI : 10,2307 / 2032933 , JSTOR  2032933
• ДеТерк, Деннис М .; Каздан, Джерри Л. (1981), "Некоторые теоремы регулярности в римановой геометрии" , Анналов Научных де l'Эколь Нормаль , Серия 4, 14 (3): 249-260, DOI : 10,24033 / asens.1405 , ISSN  0012- 9593 , Руководство по ремонту  0644518.
• Гусевский Н.А. (2001) [1994], "Униформизация" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Крушкал, SL; Апанасов Б.Н.; Гусевский Н.А. (1986) [1981], Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах , Переводы математических монографий, 62 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4516-5, Руководство по ремонту  0647770
• Тейлор, Майкл Э. (1996a), Уравнения в частных производных I: Основная теория , Springer, стр. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Тейлор, Майкл Э. (1996b), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных (перепечатка оригинала 1964 года) , Лекции по прикладной математике, 3A , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0049-2
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

Внешние ссылки [ править ]

• Конформное преобразование: от круга к квадрату .