Метод Перрона

В математическом исследовании гармонических функций , то метод Перрона , также известный как метод субгармонических функций , является метод , введенный Oskar Перрона для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа . Метод Перрона работает, находя наибольшую субгармоническую функцию с граничными значениями ниже желаемых значений; «решение Перрона» совпадает с реальным решением проблемы Дирихле, если проблема разрешима.

Задача Дирихле состоит в том, чтобы найти гармоническую функцию в области с граничными условиями, заданными непрерывной функцией . Решение Перрона определяется поточечным супремумом по семейству функций :${\ Displaystyle \ varphi (х)}$${\ displaystyle S _ {\ varphi}}$

${\ Displaystyle и (х) = \ sup _ {v \ in S _ {\ varphi}} v (х)}$

где - множество всех субгармонических функций таких, что на границе области.${\ displaystyle S _ {\ varphi}}$${\ Displaystyle v (х) \ leq \ varphi (x)}$

Решение Перрона u (x) всегда гармонично; однако значения, которые он принимает на границе, могут не совпадать с желаемыми граничными значениями . Точка y границы удовлетворяет условию барьера, если существует супергармоническая функция , определенная на всей области, такая, что и для всех . Точки, удовлетворяющие условию барьера, называются регулярными точками границы лапласиана. Это как раз те точки, в которых гарантировано получение желаемых граничных значений: as .${\ Displaystyle \ varphi (х)}$${\ displaystyle w_ {y} (x)}$${\ displaystyle w_ {y} (y) = 0}$${\ displaystyle w_ {y} (x)> 0}$${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ Displaystyle х \ rightarrow у, и (х) \ rightarrow \ varphi (у)}$

Описание регулярных точек на поверхностях является частью теории потенциала . Регулярные точки на границе области - это те точки, которые удовлетворяют критерию Винера: для любого , пусть будет емкость множества ; то является правильной точкой тогда и только тогда, когда${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ лямбда \ в (0,1)}$${\ displaystyle C_ {j}}$${\ displaystyle B _ {\ lambda ^ {j}} (x_ {0}) \ cap \ Omega ^ {c}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }C_{j}/\lambda ^{j(n-2)}}$

расходится.

Критерий Винера был впервые изобретен Норбертом Винером ; он был расширен Вернером Пушелем до равномерно эллиптических уравнений дивергентной формы с гладкими коэффициентами, а затем до уравнений равномерно эллиптической дивергентной формы с ограниченными измеримыми коэффициентами Вальтером Литтманом , Гвидо Стампаккья и Гансом Вайнбергером .

Ссылки [ править ]

• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4
• Littman, W .; Stampacchia, G .; Вайнбергер, Х. (1963), «Регулярные точки для эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами» , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze , 3, Пиза, Италия: Scuola Normale Superiore di Pisa, 17 (1-2), стр. 43–77 MR 161019

Дальнейшее чтение [ править ]

• Конвей, Джон Б. (1996-06-13), Функции одной комплексной переменной II , Graduate Texts in Mathematics , 159 , Springer-Verlag , pp. 376–383, ISBN 978-0-387-94460-9
• Келлог, OD (1953), Основы теории потенциала , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60144-1
• Ландкоф, Н.С. (1972), Основы современной теории потенциала , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0350027
• Перрон, О. (декабрь 1923), "Eine Neue Behandlung дер Ersten Randwertaufgabe für Аи = 0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42-54, DOI : 10.1007 / BF01192395 , ISSN  0025-5874
• Püschel, Вернер (1932), "Die Erste Randwertaufgabe дер Allgemeinen selbstadjungierten elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung - им Raum für beliebige Gebiete", Mathematische Zeitschrift , 34 (1): 535-553, DOI : 10.1007 / BF01180608 , ISSN  0025-5874 , МР  1545272
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], "Метод Перрона" , Энциклопедия математики , EMS Press