Задача Дирихле

В математике , А задача Дирихля является проблемой нахождения функции , которая решает указанное частичное дифференциальное уравнение (PDE) в интерьере данной области , которая принимает заданные значения на границе области.

Проблема Дирихле может быть решена для многих УЧП, хотя первоначально она была поставлена ​​для уравнения Лапласа . В таком случае проблему можно сформулировать следующим образом:

Для заданной функции F , которая имеет значение всюду на границе области в R ^п , есть уникальная непрерывная функция у дважды непрерывно дифференцируемая в интерьере и непрерывна на границе, таким образом, что у является гармоническим в интерьере и у  =  F на граница?

Это требование называется граничным условием Дирихле . Главный вопрос - доказать наличие решения; единственность может быть доказана с помощью принципа максимума .

История [ править ]

Проблема Дирихле восходит к Джорджу Грину, который изучал проблему в общих областях с общими граничными условиями в своем эссе о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма , опубликованном в 1828 году. Он свел проблему к проблеме построения того, что теперь мы называем функции Грина и утверждали, что функция Грина существует для любой области. Его методы не были строгими по сегодняшним стандартам, но идеи оказали большое влияние на последующие разработки. Следующие шаги в изучении проблемы Дирихле сделали Карл Фридрих Гаусс , Уильям Томсон ( лорд Кельвин ) и Питер Густав Лежен Дирихле.в честь которого была названа проблема и решение проблемы (по крайней мере для мяча) с использованием ядра Пуассона было известно Дирихле (судя по его статье 1850 г., представленной в Прусскую академию). Лорд Кельвин и Дирихле предложили решение проблемы вариационным методом, основанным на минимизации «энергии Дирихле». Согласно Гансу Фройденталю ( Словарь научной биографии , том 11), Бернхард Риман был первым математиком, который решил эту вариационную задачу на основе метода, который он назвал принципом Дирихле . Существование уникального решения весьма правдоподобно с точки зрения «физического аргумента»: любое распределение заряда на границе по законам электростатики должно определятьэлектрический потенциал как решение. Однако Карл Вейерштрасс обнаружил изъян в аргументации Римана, и строгое доказательство существования было найдено только в 1900 году Давидом Гильбертом , который использовал свой прямой метод вариационного исчисления . Оказывается, существование решения тонко зависит от гладкости границы и заданных данных.

Общее решение [ править ]

Для области с достаточно гладкой границей общее решение задачи Дирихле дается формулой${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ partial D}$

${\ Displaystyle и (х) = \ int _ {\ partial D} \ nu (s) {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} ds}$

где - функция Грина для уравнения в частных производных, а${\ Displaystyle G (х, у)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} = {\ widehat {n}} \ cdot \ nabla _ {s} G (x, s) = \ sum _ {я } n_ {i} {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial s_ {i}}}}$

- производная функции Грина вдоль направленного внутрь вектора единичной нормали . Интегрирование выполняется по границе с мерой . Функция задается единственным решением интегрального уравнения Фредгольма второго рода:${\ displaystyle {\ widehat {n}}}$ ${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle \ nu (s)}$

${\ displaystyle f (x) = - {\ frac {\ nu (x)} {2}} + \ int _ {\ partial D} \ nu (s) {\ frac {\ partial G (x, s)} {\ partial n}} ds.}$

В приведенном выше интеграле используется функция Грина, которая обращается в нуль на границе:

${\ Displaystyle G (х, s) = 0}$

для и . Такая функция Грина обычно является суммой функции Грина свободного поля и гармонического решения дифференциального уравнения.${\ displaystyle s \ in \ partial D}$${\ displaystyle x \ in D}$

Существование [ править ]

Задача Дирихле для гармонических функций всегда имеет решение, и это решение единственно, когда граница достаточно гладкая и непрерывная. Точнее, есть решение, когда${\ displaystyle f (s)}$

${\displaystyle \partial D\in C^{1,\alpha }}$

для некоторых , где обозначает условие Гельдера .${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\displaystyle C^{1,\alpha }}$

Пример: единичный диск в двух измерениях [ править ]

В некоторых простых случаях проблема Дирихле может быть решена явно. Например, решение задачи Дирихле для единичного круга в R ² задается интегральной формулой Пуассона .

Если - непрерывная функция на границе открытого единичного круга , то решение задачи Дирихле дается формулой${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle u(z)}$

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{\vert 1-ze^{-i\psi }\vert ^{2}}}d\psi &{\mbox{if }}z\in D\\f(z)&{\mbox{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

Решение непрерывно на замкнутом единичном круге и гармонично на${\displaystyle u}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle D.}$

Подынтегральное выражение известно как ядро Пуассона ; это решение следует из функции Грина в двух измерениях:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log \vert z-x\vert +\gamma (z,x)}$

где гармоника${\displaystyle \gamma (z,x)}$

${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$

и выбрал такой что для .${\displaystyle G(z,x)=0}$${\displaystyle x\in \partial D}$

Способы решения [ править ]

Для ограниченных областей проблема Дирихле может быть решена с помощью метода Перрона , который основан на принципе максимума для субгармонических функций . Этот подход описан во многих учебниках. ^[1] Это не очень хорошо подходит для описания гладкости решений, когда граница гладкая. Другой классический подход к гильбертову пространству через пространства Соболева действительно дает такую ​​информацию. ^[2] Решение задачи Дирихле с использованием пространств Соболева для плоских областей может быть использовано для доказательства гладкой версии теоремы об отображении Римана . Белл (1992)изложил другой подход к установлению теоремы о гладком отображении Римана, основанный на воспроизводящих ядрах Сегё и Бергмана, и, в свою очередь, использовал его для решения проблемы Дирихле. Классические методы теории потенциала позволяют решать проблему Дирихле непосредственно в терминах интегральных операторов , для которых применима стандартная теория компактных и фредгольмовых операторов . Те же методы одинаково работают и для задачи Неймана .^[3]

Обобщения [ править ]

Задачи Дирихле типичны для эллиптических уравнений в частных производных , теории потенциала и, в частности, уравнения Лапласа . Другие примеры включают бигармоническое уравнение и связанные с ним уравнения теории упругости .

Они являются одним из нескольких типов классов задач PDE , определенных информации , представленной на границе, в том числе задач Неймана и задачи Коши .

Пример - уравнение конечной струны, прикрепленной к одной движущейся стене [ править ]

Рассмотрим задачу Дирихле для волнового уравнения, которое описывает струну, прикрепленную между стенками, один конец которой постоянно прикреплен, а другой движется с постоянной скоростью, то есть уравнение Даламбера в треугольной области декартова произведения пространства и времени:

${\displaystyle {\frac {\partial {}^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial {}^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0}$

${\displaystyle u(0,t)=0}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0}$

Как легко проверить подстановкой, решение, удовлетворяющее первому условию, есть

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t)}$

Дополнительно мы хотим

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0}$

Подстановка

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t}$

получаем условие самоподобия

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau )}$

куда

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}}$

Это выполняется, например, составной функцией${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

с

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i}}$

таким образом в целом

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )]}$

где - периодическая функция с периодом${\displaystyle g}$${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau )}$

и мы получаем общее решение

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)]}$.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• А. Янушаускас (2001) [1994], "Задача Дирихле" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кранц С. Г. Проблема Дирихле. §7.3.3 в Справочнике комплексных переменных . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, стр. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 . 
• С. Акслер , П. Горкин , К. Восс, Задача Дирихле на квадратичных поверхностях. Математика вычислений 73 (2004), 637-651.
• Гилбарг, Дэвид; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4
• Жерар, Патрик; Лейхтнам, Эрик : Эргодические свойства собственных функций для задачи Дирихле. Duke Math. J. 71 (1993), нет. 2, 559-607.
• Джон, Фриц (1982), Уравнения в частных производных , Прикладные математические науки, 1 (4-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6
• Берс, Липман; Джон, Фриц; Шехтер, Мартин (1979), Уравнения в частных производных, с дополнениями Ларса Гёрдинга и А. Н. Милграма , Лекции по прикладной математике, 3A , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0049-3
• Агмон, Шмуэль (2010), Лекции по эллиптическим краевым задачам , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-4910-7
• Штейн, Элиас М. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton University Press
• Грин, Роберт Э .; Кранц, Стивен Г. (2006), Теория функций одной комплексной переменной , Аспирантура по математике , 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3962-4
• Тейлор, Майкл Э. (2011), Уравнения в частных производных I. Основная теория , Прикладные математические науки, 115 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1
• Циммер, Роберт Дж. (1990), Основные результаты функционального анализа , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2
• Chazarain, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений с частными производными , Исследования по математике и ее приложениям, 14 , Elsevier, ISBN 0444864520
• Белл, Стивен Р. (1992), преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение , Исследования в области высшей математики, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0387908943
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Wiley Interscience, ISBN 0471050598
• Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , Interscience
• Schiffer, M .; Хоули, Н.С. (1962), "Связи и конформное отображение", Acta Math. , 107 : 175-274, DOI : 10.1007 / bf02545790

Внешние ссылки [ править ]

• "Задача Дирихле" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Проблема Дирихле" . MathWorld .