В математике, и особенно в теории потенциала , ядро Пуассона - это интегральное ядро , используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле на единичном круге . Ядро можно понимать как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Он назван в честь Симеона Пуассона .
Ядра Пуассона обычно находят приложения в теории управления и двумерных задачах электростатики . На практике определение ядер Пуассона часто распространяется на n -мерные задачи.
Двумерные ядра Пуассона
На единичном диске
В комплексной плоскости ядро Пуассона для единичного круга имеет вид
Это можно представить двумя способами: либо как функцию от r и θ , либо как семейство функций от θ, индексированных r .
Если - открытый единичный круг в C , T - граница круга, а f - функция на T , лежащая в L 1 ( T ), то функция u, заданная формулой
является гармоническим в D и имеет радиальный предел , который согласуется с е почти всюду на границе Т диска.
То, что граничным значением u является f, можно утверждать, используя тот факт, что при r → 1 функции P r ( θ ) образуют приближенную единицу в алгебре свертки L 1 ( T ). Как линейные операторы, они поточечно стремятся к дельта-функции Дирака на L p ( T ). По принципу максимума , у есть только такая гармоническая функция на D .
Свертки с этой приближенной единицей дают пример ядра суммируемости для ряда Фурье функции из L 1 ( T ) ( Кацнельсон, 1976 ). Пусть f ∈ L 1 ( T ) имеет ряд Фурье { f k }. После преобразования Фурье свертка с P r ( θ ) становится умножением на последовательность { r | k | } ∈ ℓ 1 ( Z ). [ требуется дальнейшее объяснение ]Выполнение обратного преобразования Фурье полученного произведения { r | k | f k } дает средние Абеля A r f для f :
Преобразуя это абсолютно сходящиеся серии показывает , что F является граничным значением г + ч , где г (соотв. Ч ) является голоморфным (соответственно. Антиголоморфная ) функция на D .
Когда также требуется, чтобы гармоническое расширение было голоморфным, тогда решения являются элементами пространства Харди . Это верно, когда все отрицательные коэффициенты Фурье функции f равны нулю. В частности, ядро Пуассона обычно используется для демонстрации эквивалентности пространств Харди на единичном круге и единичной окружности.
Пространство функций, которые являются пределами на T функций из H p ( z ), можно назвать H p ( T ). Это замкнутое подпространство в L p ( T ) (по крайней мере, при p ≥ 1). Поскольку L p ( T ) - банахово пространство (для 1 ≤ p ≤ ∞), то H p ( T ) - также.
На верхней полуплоскости
Блок диска может быть конформно отображается в верхней полуплоскости с помощью некоторых преобразований Мёбиуса . Поскольку конформное отображение гармонической функции также является гармоническим, ядро Пуассона переносится на верхнюю полуплоскость. В этом случае интегральное уравнение Пуассона принимает вид
Само ядро дается формулой
Учитывая функцию , пространство L p интегрируемых функций на вещественной прямой, u можно понимать как гармоническое продолжение f в верхнюю полуплоскость. По аналогии с ситуацией для диска, когда u голоморфно в верхней полуплоскости, то u является элементом пространства Харди, и, в частности,
Таким образом, снова пространство Харди H p на верхней полуплоскости является банаховым пространством , и, в частности, его ограничение на вещественную ось является замкнутым подпространством вСитуация аналогична случаю только с единичным диском; мера Лебега на единичной окружности конечности, тогда как для реальной линии нет.
На шаре
Для шара радиуса ядро Пуассона принимает вид
куда (поверхность ), и - площадь поверхности единичной ( n - 1) -сферы .
Тогда, если u ( x ) - непрерывная функция, определенная на S , соответствующий интеграл Пуассона - это функция P [ u ] ( x ), определенная формулой
Можно показать, что P [ u ] ( x ) гармонична на шареи что P [ u ] ( x ) продолжается до непрерывной функции на замкнутом шаре радиуса r , а граничная функция совпадает с исходной функцией u .
На верхнем полупространстве
Также можно получить выражение для ядра Пуассона верхнего полупространства . Обозначим стандартные декартовы координаты ℝ n +1 через
Верхнее полупространство - это множество, определяемое формулой
Ядро Пуассона для H n +1 имеет вид
куда
Ядро Пуассона для верхнего полупространства естественным образом возникает как преобразование Фурье от ядра Абеля
в котором t играет роль вспомогательного параметра. А именно,
В частности, из свойств преобразования Фурье видно, что, по крайней мере формально, свертка
является решением уравнения Лапласа в верхней полуплоскости. Также можно показать, что при t → 0 P [ u ] ( t , x ) → u ( x ) в подходящем смысле.
См. Также
Ссылки
- Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ , Dover, ISBN 0-486-63331-4
- Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90328-3.
- Axler, S .; Bourdon, P .; Рэми, В. (1992), Теория гармонических функций , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95218-7.
- Кинг, Фредерик В. (2009), Преобразования Гильберта, том. I , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88762-5.
- Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
- Вайсштейн, Эрик В. «Ядро Пуассона» . MathWorld .
- Гилбарг, Д .; Трудингер Н. , Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка , ISBN 3-540-41160-7.